Đề thi học sinh giỏi các môn - chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí

Giải Toán 12 Bài 1 Trang 9 Chi Tiết Nhất: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Và Cực Trị Của Hàm Số

by · December 1, 2025

Rate this post

Bài viết này cung cấp lời giải toán 12 bài 1 trang 9 (Sự đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số) một cách đầy đủ và chi tiết nhất, giúp học sinh nắm vững phương pháp làm bài. Đây là những kiến thức nền tảng quan trọng, liên quan trực tiếp đến việc tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, xác định khoảng đơn điệu và tìm cực trị hàm số. Việc hiểu rõ bản chất của Ứng dụng đạo hàm sẽ tạo đà tốt cho các chuyên đề sau. Nắm chắc lý thuyết và thực hành các bước cơ bản là yếu tố then chốt để giải quyết mọi bài tập khảo sát hàm số.

Lý Thuyết Trọng Tâm Cần Nắm Vững Trước Khi Giải Bài 1

Để giải toán 12 bài 1 trang 9 một cách chính xác, học sinh cần ôn tập lại những khái niệm cốt lõi về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Những khái niệm này được xây dựng dựa trên dấu của đạo hàm cấp một. Việc thành thạo lý thuyết sẽ giúp quá trình giải bài tập trở nên mạch lạc và dễ hiểu hơn.

Định Nghĩa Về Sự Đồng Biến Và Nghịch Biến Của Hàm Số

Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên một khoảng nếu với mọi cặp giá trị ({x_1}, {x_2}) thuộc khoảng đó mà ({x_1} < {x_2}) thì (f({x_1}) < f({x_2})). Nói cách khác, giá trị của hàm số sẽ tăng khi biến độc lập tăng.

Ngược lại, hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên một khoảng nếu với mọi ({x_1} < {x_2}) thì (f({x_1}) > f({x_2})). Trong trường hợp này, giá trị của hàm số sẽ giảm khi biến độc lập tăng. Đây là hai khái niệm cơ bản xác định tính đơn điệu của hàm số.

Quy Tắc Tìm Khoảng Đơn Điệu Sử Dụng Dấu Của Đạo Hàm Cấp Một

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của đạo hàm là để khảo sát tính đơn điệu của hàm số. Giả sử hàm số (y = f(x)) có đạo hàm trên khoảng (K).

Nếu (f'(x) > 0) với mọi (x) thuộc (K) (trừ một số hữu hạn điểm mà (f'(x) = 0)), thì hàm số (f(x)) đồng biến trên khoảng (K). Đạo hàm dương cho thấy tốc độ tăng của hàm số là dương.

Nếu (f'(x) < 0) với mọi (x) thuộc (K) (trừ một số hữu hạn điểm mà (f'(x) = 0)), thì hàm số (f(x)) nghịch biến trên khoảng (K). Đạo hàm âm cho thấy hàm số đang giảm.

Nếu (f'(x) = 0) với mọi (x) thuộc (K), thì hàm số (f(x)) là hàm hằng trên khoảng đó. Đây là cơ sở để xác định các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số.

Định Nghĩa Về Cực Trị Hàm Số Cực Đại, Cực Tiểu

Cực trị của hàm số là các điểm tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc nhỏ nhất (cực tiểu) trong một lân cận nào đó. Điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số.

Điểm ({x_0}) được gọi là điểm cực đại của hàm số (y = f(x)) nếu (f(x) < f({x_0})) với mọi (x) thuộc một lân cận của ({x_0}) và (x ne {x_0}). Giá trị (f({x_0})) là giá trị cực đại.

Điểm ({x_0}) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số (y = f(x)) nếu (f(x) > f({x_0})) với mọi (x) thuộc một lân cận của ({x_0}) và (x ne {x_0}). Giá trị (f({x_0})) là giá trị cực tiểu.

Quy Tắc Tìm Cực Trị Quy Tắc 1

Quy tắc 1 là phương pháp phổ biến nhất để tìm cực trị hàm số, thường được sử dụng trong các bài toán cơ bản như giải toán 12 bài 1 trang 9. Phương pháp này dựa trên sự đổi dấu của đạo hàm.

Bước 1: Tính đạo hàm (f'(x)) và tìm các điểm tới hạn (nghiệm của (f'(x) = 0) và các điểm mà (f'(x)) không xác định).

Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu của (f'(x)) trên từng khoảng.

Bước 3: Dựa vào sự đổi dấu của (f'(x)):

  • Nếu (f'(x)) đổi dấu từ dương sang âm khi (x) qua ({x_0}) (theo chiều tăng), thì ({x_0}) là điểm cực đại.
  • Nếu (f'(x)) đổi dấu từ âm sang dương khi (x) qua ({x_0}) (theo chiều tăng), thì ({x_0}) là điểm cực tiểu.
  • Nếu (f'(x)) không đổi dấu khi (x) qua ({x_0}), thì ({x_0}) không phải là điểm cực trị.

Phương Pháp Chung Giải Toán 12 Bài 1 Trang 9

Bài 1 trang 9 trong sách giáo khoa Toán 12, Chương I yêu cầu học sinh khảo sát sự đồng biến, nghịch biến và tìm cực trị của các hàm số. Dưới đây là ba bước thực hiện chuẩn mực:

Bước 1: Tìm Tập Xác Định Và Tính Đạo Hàm y’

Trước hết, cần xác định rõ tập xác định (D) của hàm số. Đây là tập hợp các giá trị (x) mà tại đó hàm số có nghĩa. Đối với hàm đa thức, (D = mathbb{R}). Đối với hàm phân thức, cần loại trừ các giá trị làm mẫu số bằng 0.

Sau đó, tính đạo hàm cấp một (y’). Quá trình tính toán này phải tuân thủ nghiêm ngặt các công thức đạo hàm cơ bản và nâng cao. Tính toán đạo hàm là bước đầu tiên và quan trọng nhất để xác định tính đơn điệu của hàm số.

Bước 2: Tìm Nghiệm Của y’ = 0 Và Các Điểm Không Xác Định Của y’

Đặt (y’ = 0) để tìm các điểm tới hạn, tức là các giá trị của (x) tại đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song hoặc trùng với trục hoành. Các nghiệm này cùng với các điểm mà tại đó đạo hàm (y’) không xác định (nhưng thuộc tập xác định (D) của hàm số gốc) sẽ là các “điểm chia” để xét dấu của đạo hàm.

Những điểm này phân chia tập xác định thành các khoảng đơn điệu khác nhau. Việc tìm nghiệm cần được thực hiện cẩn thận, đặc biệt với các phương trình bậc cao hoặc phương trình chứa căn, chứa mẫu số.

Bước 3: Lập Bảng Biến Thiên Và Kết Luận

Bảng biến thiên là công cụ trực quan hóa mối liên hệ giữa dấu của (y’) và chiều biến thiên của hàm số (y). Bảng biến thiên có ba dòng chính:

  1. Dòng 1: Giá trị của (x).
  2. Dòng 2: Dấu của (y’).
  3. Dòng 3: Chiều biến thiên và giá trị của (y).

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận về khoảng đồng biến nghịch biến (nơi (y’ > 0) và (y’ < 0)) và các điểm cực trị (nơi (y’) đổi dấu). Đây là bước cuối cùng và là kết quả của quá trình khảo sát.

Lời Giải Chi Tiết Bài 1 Trang 9 – Khảo Sát Các Hàm Số Cụ Thể

Áp dụng ba bước phương pháp chung đã nêu trên, chúng ta sẽ tiến hành giải chi tiết từng câu hỏi trong giải toán 12 bài 1 trang 9.

Câu a: Hàm Số Đa Thức Bậc Ba (y = – {x^3} + 3x – 6)

Hàm số đã cho là hàm đa thức, vì vậy nó xác định trên toàn bộ tập số thực, tức là (D = mathbb{R}).

Tính đạo hàm cấp một:
[y’ = (- {x^3} + 3x – 6)’ = – 3{x^2} + 3]

Tìm nghiệm của (y’ = 0):
[y’ = 0 Leftrightarrow – 3{x^2} + 3 = 0 Leftrightarrow 3{x^2} = 3 Leftrightarrow {x^2} = 1]
Vậy, các nghiệm là (x = 1) và (x = – 1). Đây là các điểm tới hạn cần đưa vào bảng biến thiên.

Lập bảng biến thiên:
Vì (y’) là tam thức bậc hai có hệ số của ({x^2}) là (-3 < 0), nên trong khoảng hai nghiệm ((-1, 1)), (y’) mang dấu dương (cùng dấu với hệ số (a) khi xét dấu trái, sai. Nó phải là trong trái, ngoài cùng). Tức là trong khoảng ((-1; 1)), (y’ > 0), và ngoài khoảng đó, (y’ < 0).

Tính giá trị của (y) tại các điểm cực trị:
Tại (x = 1), (y(1) = – {(1)^3} + 3(1) – 6 = – 1 + 3 – 6 = – 4).
Tại (x = – 1), (y(- 1) = – {(- 1)^3} + 3(- 1) – 6 = 1 – 3 – 6 = – 8).

Từ bảng biến thiên, ta có kết luận về tính đơn điệu và cực trị:

Hàm số (y = – {x^3} + 3x – 6) đồng biến trên khoảng ((- 1; 1)).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (( – infty ; – 1)) và ((1; + infty )).

Hàm số đạt cực đại tại (x = 1) với giá trị cực đại là (y_{CĐ} = – 4).

Hàm số đạt cực tiểu tại (x = – 1) với giá trị cực tiểu là (y_{CT} = – 8).

Câu b: Hàm Số Phân Thức Bậc Nhất Trên Bậc Nhất (y = frac{{x – 1}}{{x + 2}})

Hàm số phân thức có dạng (y = frac{{ax + b}}{{cx + d}}). Tập xác định (D) phải loại trừ giá trị làm mẫu số bằng 0.

Tập xác định: (x + 2 ne 0 Rightarrow x ne – 2). Vậy (D = mathbb{R}setminus { – 2 }).

Tính đạo hàm cấp một: Áp dụng công thức (left( frac{u}{v} right)’ = frac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}).
Ta có (a=1, b=-1, c=1, d=2). Hoặc dùng công thức nhanh (y’ = frac{{ad – bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}).
[y’ = frac{{1 cdot 2 – (- 1) cdot 1}}{{{{(x + 2)}^2}}} = frac{{2 + 1}}{{{{(x + 2)}^2}}} = frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}]

Xét dấu của (y’):
Vì (y’ = frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}). Tử số là (3 > 0). Mẫu số ({{(x + 2)}^2} > 0) với mọi (x ne – 2).
Do đó, (y’ > 0) với mọi (x in D). Đạo hàm luôn dương trên tập xác định.

Kết luận:
Hàm số (y = frac{{x – 1}}{{x + 2}}) đồng biến trên các khoảng (( – infty ; – 2)) và ((- 2; + infty )).

Lưu ý: Do (y’) luôn dương và không bằng 0 tại bất kỳ điểm nào, hàm số không có cực trị. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định và không có cực trị.

Câu c: Hàm Số Phân Thức Bậc Hai Trên Bậc Nhất (y = frac{{ – {x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}})

Hàm số xác định khi mẫu số khác 0: (x + 1 ne 0 Rightarrow x ne – 1). Tập xác định: (D = mathbb{R}setminus { – 1 }).

Tính đạo hàm cấp một: Áp dụng công thức (left( frac{u}{v} right)’ = frac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}).
Với (u = – {x^2} + 2x + 2) thì (u’ = – 2x + 2).
Với (v = x + 1) thì (v’ = 1).
[y’ = frac{{( – 2x + 2)(x + 1) – ( – {x^2} + 2x + 2) cdot 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}]
Khai triển tử số:
[(- 2{x^2} – 2x + 2x + 2) – (- {x^2} + 2x + 2) = (- 2{x^2} + 2) + {x^2} – 2x – 2]
[= – {x^2} – 2x]
Vậy, (y’ = frac{{ – {x^2} – 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}]

Tìm nghiệm của (y’ = 0): Tử số bằng 0.
[- {x^2} – 2x = 0 Leftrightarrow – x(x + 2) = 0]
Các nghiệm là (x = 0) và (x = – 2). Cả hai nghiệm này đều thuộc tập xác định (D).

Lập bảng biến thiên:
Điểm đặc biệt cần đưa vào bảng là ( – infty, – 2, – 1, 0, + infty). Tại (x = – 1), (y) và (y’) không xác định.

Xét dấu tử số (- {x^2} – 2x): Đây là tam thức bậc hai có hai nghiệm (0) và ( – 2), hệ số (a = – 1 < 0). Theo quy tắc trong trái, ngoài cùng, tử số dương trong khoảng ( ( – 2; 0)) và âm ngoài khoảng đó. Mẫu số ({{(x + 1)}^2}) luôn dương.

Tính giá trị của (y) tại các điểm cực trị:
Tại (x = 0), (y(0) = frac{{ – {(0)^2} + 2(0) + 2}}{{0 + 1}} = frac{2}{1} = 2).
Tại (x = – 2), (y(- 2) = frac{{ – {(- 2)^2} + 2(- 2) + 2}}{{- 2 + 1}} = frac{{ – 4 – 4 + 2}}{{- 1}} = frac{{ – 6}}{{- 1}} = 6).

Từ bảng biến thiên, ta kết luận:

Hàm số đồng biến trên khoảng ((- 2; – 1)) và ((- 1; 0)). (Trong bảng biến thiên có vẻ kết luận khác, cần xem xét lại). Lưu ý: Hàm số phải đồng biến trên khoảng ((-2;0)) và không xác định tại (x = -1), nên phải tách thành hai khoảng nhỏ hơn.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (( – infty ; – 2)) và ((0; + infty )).

Hàm số đạt cực đại tại (x = 0) với giá trị cực đại là (y_{CĐ} = 2).

Hàm số đạt cực tiểu tại (x = – 2) với giá trị cực tiểu là (y_{CT} = 6).

Câu d: Hàm Số Phân Thức Có Mẫu Số Bậc Hai (y = frac{{3x}}{{{x^2} – 9}})

Hàm số xác định khi mẫu số khác 0: ({x^2} – 9 ne 0 Leftrightarrow x ne pm 3).
Tập xác định: (D = mathbb{R}setminus { – 3; 3 }).

Tính đạo hàm cấp một: Áp dụng công thức (left( frac{u}{v} right)’ = frac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}).
Với (u = 3x) thì (u’ = 3).
Với (v = {x^2} – 9) thì (v’ = 2x).
[y’ = frac{{3({x^2} – 9) – 3x cdot (2x)}}{{{{({x^2} – 9)}^2}}}]
[y’ = frac{{3{x^2} – 27 – 6{x^2}}}{{{{({x^2} – 9)}^2}}} = frac{{ – 3{x^2} – 27}}{{{{({x^2} – 9)}^2}}}]

Xét dấu của (y’):
Tử số: (- 3{x^2} – 27 = – 3({x^2} + 9)). Vì ({x^2} ge 0) nên ({x^2} + 9 > 0). Do đó, tử số luôn âm: (- 3({x^2} + 9) < 0) với mọi (x).

Mẫu số: ({{(x^2 – 9)}^2}) luôn dương với mọi (x in D).

Vì (y’ = frac{text{Âm}}{text{Dương}}), nên (y’ < 0) với mọi (x in D). Đạo hàm luôn âm trên tập xác định.

Kết luận:
Hàm số (y = frac{{3x}}{{{x^2} – 9}}) nghịch biến trên các khoảng (( – infty ; – 3)), ((- 3; 3)) và ((3; + infty )).

Do (y’) luôn âm và không có điểm nào làm cho đạo hàm bằng 0, hàm số không có cực trị. Hàm số này cũng là một ví dụ điển hình của hàm số lẻ, luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Phân Tích Sâu Và Mở Rộng Kiến Thức

Việc giải toán 12 bài 1 trang 9 không chỉ là tìm ra đáp số mà còn là hiểu rõ bản chất của quá trình khảo sát. Phân tích dưới đây giúp củng cố chuyên môn và tính xác đáng của kiến thức.

Sai Lầm Thường Gặp Khi Lập Bảng Biến Thiên

Một sai lầm phổ biến là quên đưa các điểm mà tại đó hàm số không xác định (như (x = -2) ở câu b, (x = -1) ở câu c và (x = pm 3) ở câu d) vào bảng biến thiên. Những điểm này không phải là cực trị nhưng chúng là “bức tường” phân chia các khoảng đơn điệu. Tại các điểm này, ta phải đặt hai gạch đứng song song, thể hiện sự gián đoạn của hàm số.

Nếu không đưa các điểm gián đoạn vào, học sinh có thể kết luận sai rằng hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng lớn bao gồm cả điểm gián đoạn, điều này là sai về mặt toán học. Ví dụ, hàm số ở câu b đồng biến trên (( – infty ; – 2)) và ((- 2; + infty )) chứ không phải đồng biến trên (mathbb{R}setminus { – 2 }) hoặc (( – infty ; + infty )).

Tầm Quan Trọng Của Việc Xác Định Đúng Tập Xác Định D

Tập xác định (D) là nền tảng của mọi bài toán khảo sát hàm số. Việc sai sót trong việc tìm (D) sẽ dẫn đến sai sót trong việc tính đạo hàm, tìm nghiệm và kết luận. Đặc biệt với hàm phân thức và hàm chứa căn, việc xác định đúng tập xác định giúp tránh kết luận thừa hoặc thiếu các khoảng đơn điệu.

Nắm vững nguyên tắc tìm tập xác định là bước đầu tiên để thể hiện sự chuyên nghiệp trong giải toán. Chỉ sau khi xác định được (D), chúng ta mới tìm (y’) và xét dấu của nó trên (D).

Mối Liên Hệ Giữa Dấu Của Đạo Hàm Và Hình Dạng Đồ Thị Hàm Số

Dấu của đạo hàm (f'(x)) có mối liên hệ trực tiếp và sâu sắc với hình dạng của đồ thị hàm số (y = f(x)).

(f'(x) > 0) tương ứng với phần đồ thị đi lên (hàm số đồng biến).
(f'(x) < 0) tương ứng với phần đồ thị đi xuống (hàm số nghịch biến).
(f'(x) = 0) hoặc không xác định tại các điểm có tiềm năng là cực trị, nơi đồ thị chuyển hướng từ đi lên sang đi xuống (cực đại) hoặc ngược lại (cực tiểu).

Việc hiểu được mối liên hệ này giúp học sinh không chỉ làm bài tập một cách máy móc mà còn có khả năng đọc và hiểu đồ thị hàm số một cách trực quan, tăng cường trải nghiệm học tập sâu sắc. Đây là tư duy cần thiết khi tiếp cận các bài toán nâng cao hơn.

Tóm lại, việc giải toán 12 bài 1 trang 9 đã giúp chúng ta củng cố các bước cơ bản để khảo sát sự đồng biến, nghịch biến và tìm cực trị của một hàm số. Bằng cách áp dụng đúng quy tắc tính đạo hàm và lập bảng biến thiên, học sinh có thể tự tin chinh phục các bài toán Ứng dụng đạo hàm phức tạp hơn trong chương trình. Nắm vững phương pháp này, cùng với việc kiểm tra cẩn thận tập xác định và các điểm gián đoạn, là chìa khóa để đạt kết quả cao và phát triển kiến thức chuyên môn vững chắc trong lĩnh vực Giải tích 12.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất December 1, 2025 by Thầy Đông

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *