Đề thi học sinh giỏi các môn - chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí

Chuyên Đề giải toán 7 tập 2 trang 59: Phép Cộng, Phép Trừ Đa Thức Một Biến Và Ứng Dụng Nâng Cao (Cánh Diều)

by · November 28, 2025

Rate this post

Tài liệu chuyên sâu này cung cấp lời giải toán 7 tập 2 trang 59 chi tiết, chính xác, và mở rộng cho các bài tập thuộc Bài 3: Phép cộng, phép trừ đa thức một biến trong sách giáo khoa Toán 7, tập 2, bộ sách Cánh Diều. Việc nắm vững phép toán đa thức là nền tảng cốt lõi để xây dựng kiến thức đại số vững chắc, không chỉ phục vụ cho việc học tập trên lớp mà còn là kỹ năng thiết yếu trong các bài toán thực tiễn. Chúng tôi sẽ đi sâu vào nguyên tắc đại số cơ bản, phân tích từng bước giải, và làm rõ những ứng dụng biểu thức đại số trong các tình huống thực tế như tính lãi suất hay thể tích hình học. Đây là nguồn tài liệu quý giá giúp học sinh ôn luyện và phát triển tư duy giải quyết vấn đề một cách toàn diện.

Kiến Thức Nền Tảng: Phép Toán Với Đa Thức Một Biến

Để thực hiện thành thạo các bài tập tại trang 59, học sinh cần nắm chắc định nghĩa và quy tắc cơ bản của đa thức. Đa thức một biến là tổng của các đơn thức của cùng một biến, thường được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến đó.

Đa Thức Một Biến Và Bậc Của Đa Thức

Đa thức $P(x)$ là biểu thức có dạng $an x^n + a{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0$. Trong đó, $n$ là số mũ tự nhiên lớn nhất. Bậc của đa thức $P(x)$ khác đa thức không chính là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó. Việc sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần là bước đầu tiên và quan trọng nhất để chuẩn bị cho các phép toán cộng và trừ. Đa thức đã được sắp xếp giúp việc nhận diện các hạng tử đồng dạng trở nên nhanh chóng và chính xác. Đây là một nguyên tắc cơ bản giúp giảm thiểu sai sót trong quá trình tính toán.

Nguyên Tắc Cộng/Trừ Đa Thức Theo Hàng Ngang

Phương pháp tính toán theo hàng ngang yêu cầu học sinh viết đa thức bị trừ và đa thức trừ kề nhau, có dấu ngoặc bao quanh đa thức trừ. Bước tiếp theo là thực hiện quy tắc bỏ ngoặc, một bước cần sự tỉ mỉ cao độ. Cụ thể, khi bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước, học sinh phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc. Sau đó, tiến hành nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau. Cuối cùng, thực hiện phép cộng hoặc trừ các hệ số của từng nhóm hạng tử đồng dạng để tìm ra kết quả cuối cùng. Việc thực hiện chính xác quy tắc bỏ ngoặc là yếu tố then chốt quyết định sự đúng đắn của kết quả.

Phương Pháp Cộng/Trừ Đa Thức Theo Cột Dọc

Phương pháp tính toán theo cột dọc đòi hỏi sự chuẩn bị kỹ lưỡng hơn về mặt hình thức. Đầu tiên, cả hai đa thức phải được sắp xếp theo cùng một thứ tự lũy thừa, thường là giảm dần. Các hạng tử đồng dạng phải được đặt thẳng cột với nhau. Nếu một đa thức thiếu hạng tử ở một bậc nào đó, ta có thể viết thêm hạng tử với hệ số bằng 0 vào vị trí đó để dễ dàng đặt cột hơn. Thực hiện phép cộng hoặc phép trừ các hệ số trong từng cột từ trái sang phải, từ bậc cao nhất đến bậc thấp nhất. Phương pháp này thường giúp học sinh kiểm soát tốt hơn các hạng tử đồng dạng và giảm thiểu sai sót do nhầm lẫn vị trí.

Phân Tích Chuyên Sâu Luyện Tập 4 Trang 59: Phép Trừ Đa Thức

Bài Luyện tập 4 là một ví dụ điển hình để so sánh hiệu quả của hai phương pháp cộng và trừ đa thức. Yêu cầu tính hiệu $P(x) – Q(x)$ với $P(x) = 6x^3 + 8x^2 + 5x – 2$ và $Q(x) = -9x^3 + 6x^2 + 3 + 2x$.

Giải Bài Tập Theo Phương Pháp Hàng Ngang

Áp dụng nguyên tắc bỏ ngoặc và nhóm hạng tử đồng dạng. Trước tiên, ta sắp xếp lại đa thức $Q(x)$ để dễ nhìn hơn: $Q(x) = -9x^3 + 6x^2 + 2x + 3$.
$$P(x) – Q(x) = (6x^3 + 8x^2 + 5x – 2) – (-9x^3 + 6x^2 + 2x + 3)$$
Bỏ ngoặc và đổi dấu các hạng tử của $Q(x)$:
$$= 6x^3 + 8x^2 + 5x – 2 + 9x^3 – 6x^2 – 2x – 3$$
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
$$= (6x^3 + 9x^3) + (8x^2 – 6x^2) + (5x – 2x) + (-2 – 3)$$
Thực hiện phép toán:
$$= 15x^3 + 2x^2 + 3x – 5$$
Kết quả là $15x^3 + 2x^2 + 3x – 5$. Phương pháp này đòi hỏi sự cẩn thận tuyệt đối trong bước đổi dấu để tránh sai lầm cơ bản.

Giải Bài Tập Theo Phương Pháp Cột Dọc

Để tính hiệu $P(x) – Q(x)$ theo cột dọc, ta cần viết đa thức $P(x)$ ở trên và $Q(x)$ ở dưới, đặt thẳng cột các hạng tử đồng dạng. Sau đó, ta thực hiện phép trừ từng cột, chú ý đến dấu của hạng tử ở đa thức $Q(x)$.
$$
begin{array}{c|c|c|c|c}
P(x) & 6x^3 & +8x^2 & +5x & -2
-Q(x) & – (-9x^3) & – (+6x^2) & – (+2x) & – (+3)
hline
text{Hiệu} & (6+9)x^3 & (8-6)x^2 & (5-2)x & (-2-3)
end{array}
$$
Kết quả:
$$(6 – (-9))x^3 = 15x^3$$
$$(8 – 6)x^2 = 2x^2$$
$$(5 – 2)x = 3x$$
$$(-2 – 3) = -5$$
Tổng hợp lại, ta được $P(x) – Q(x) = 15x^3 + 2x^2 + 3x – 5$. Phương pháp cột dọc trực quan hơn trong việc trừ các hệ số đồng dạng nhưng lại dễ bị nhầm lẫn dấu khi thực hiện phép trừ.

Thảo Luận Về Tính Chính Xác Của Hai Phương Pháp

Cả hai phương pháp tính hiệu đa thức theo hàng ngang và cột dọc đều cho cùng một kết quả chính xác là $15x^3 + 2x^2 + 3x – 5$. Sự khác biệt nằm ở cách tiếp cận và tiềm năng mắc lỗi. Phương pháp hàng ngang ưu tiên áp dụng trực tiếp quy tắc dấu ngoặc, phù hợp với những người có tư duy đại số linh hoạt. Trong khi đó, phương pháp cột dọc tạo ra một cấu trúc trực quan, giúp người học dễ dàng quản lý các hạng tử đồng dạng, đặc biệt hữu ích khi đa thức có nhiều hạng tử hoặc thiếu vắng một số bậc. Các chuyên gia khuyến nghị học sinh nên thực hành cả hai để lựa chọn phương pháp phù hợp với phong cách học tập của bản thân.

Lời Giải Chi Tiết Các Bài Tập Cơ Bản (Bài 1 & Bài 2)

Bài 1 và Bài 2 tiếp tục củng cố kỹ năng cộng, trừ đa thức và xác định bậc của đa thức tổng/hiệu, là những dạng bài tập trọng tâm trong chuyên đề giải toán 7 tập 2 trang 59 này.

Bài 1a: Phép Cộng Hai Đa Thức Bậc Bốn ($R(x) + S(x)$)

Cho $R(x) = -8x^4 + 6x^3 + 2x^2 – 5x + 1$ và $S(x) = x^4 – 8x^3 + 2x + 3$.
$$R(x) + S(x) = (-8x^4 + 6x^3 + 2x^2 – 5x + 1) + (x^4 – 8x^3 + 2x + 3)$$
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
$$= (-8x^4 + x^4) + (6x^3 – 8x^3) + 2x^2 + (-5x + 2x) + (1 + 3)$$
Thực hiện phép toán:
$$= -7x^4 – 2x^3 + 2x^2 – 3x + 4$$
Đa thức tổng có bậc là 4, vì hạng tử bậc cao nhất là $-7x^4$.

Bài 1b: Phép Trừ Hai Đa Thức Bậc Bốn ($R(x) – S(x)$)

Thực hiện phép trừ $R(x) – S(x)$ cũng tương tự như Bài Luyện tập 4, áp dụng quy tắc bỏ ngoặc và đổi dấu:
$$R(x) – S(x) = (-8x^4 + 6x^3 + 2x^2 – 5x + 1) – (x^4 – 8x^3 + 2x + 3)$$
Bỏ ngoặc và đổi dấu:
$$= -8x^4 + 6x^3 + 2x^2 – 5x + 1 – x^4 + 8x^3 – 2x – 3$$
Nhóm các hạng tử đồng dạng:
$$= (-8x^4 – x^4) + (6x^3 + 8x^3) + 2x^2 + (-5x – 2x) + (1 – 3)$$
Thực hiện phép toán:
$$= -9x^4 + 14x^3 + 2x^2 – 7x – 2$$
Đa thức hiệu có bậc là 4, vì hạng tử bậc cao nhất là $-9x^4$.

Bài 2: Xác Định Bậc Của Đa Thức Tổng Và Hiệu ($A(x)$ và $B(x)$)

Cho $A(x) = -8x^5 + 6x^4 + 2x^2 – 5x + 1$ và $B(x) = 8x^5 + 8x^3 + 2x – 3$.

Tính $A(x) + B(x)$:

$$A(x) + B(x) = (-8x^5 + 6x^4 + 2x^2 – 5x + 1) + (8x^5 + 8x^3 + 2x – 3)$$
Nhóm hạng tử đồng dạng:
$$= (-8x^5 + 8x^5) + 6x^4 + 8x^3 + 2x^2 + (-5x + 2x) + (1 – 3)$$
Kết quả:
$$= 0 cdot x^5 + 6x^4 + 8x^3 + 2x^2 – 3x – 2 = 6x^4 + 8x^3 + 2x^2 – 3x – 2$$
Đa thức tổng $A(x) + B(x)$ có bậc là 4.

Tính $A(x) – B(x)$:

$$A(x) – B(x) = (-8x^5 + 6x^4 + 2x^2 – 5x + 1) – (8x^5 + 8x^3 + 2x – 3)$$
Bỏ ngoặc và đổi dấu:
$$= -8x^5 + 6x^4 + 2x^2 – 5x + 1 – 8x^5 – 8x^3 – 2x + 3$$
Nhóm hạng tử đồng dạng:
$$= (-8x^5 – 8x^5) + 6x^4 – 8x^3 + 2x^2 + (-5x – 2x) + (1 + 3)$$
Kết quả:
$$= -16x^5 + 6x^4 – 8x^3 + 2x^2 – 7x + 4$$
Đa thức hiệu $A(x) – B(x)$ có bậc là 5.

Phân Tích Kỹ Thuật Triệt Tiêu Hạng Tử Bậc Cao

Bài 2 minh họa một điểm cực kỳ quan trọng: khi cộng hoặc trừ hai đa thức, bậc của đa thức kết quả có thể nhỏ hơn bậc của đa thức ban đầu. Trong phép cộng $A(x) + B(x)$, hạng tử bậc cao nhất ($x^5$) đã bị triệt tiêu do $(-8x^5) + (8x^5) = 0$, khiến bậc của đa thức tổng giảm từ 5 xuống 4. Ngược lại, trong phép trừ $A(x) – B(x)$, hạng tử bậc cao nhất ($x^5$) không bị triệt tiêu mà trở thành $-16x^5$, do đó bậc của đa thức hiệu vẫn giữ nguyên là 5. Sự triệt tiêu này xảy ra khi và chỉ khi hệ số của hạng tử bậc cao nhất của hai đa thức là đối nhau trong phép cộng, hoặc bằng nhau trong phép trừ. Việc nhận biết và kiểm tra khả năng triệt tiêu là dấu hiệu của chuyên môn sâu sắc trong đại số.

Ứng Dụng Đa Thức Trong Thực Tiễn: Lãi Suất Và Thể Tích

Các bài tập ứng dụng (Bài 3 và Bài 4) giúp học sinh kết nối kiến thức đại số về đa thức và biểu thức đại số với các tình huống thực tế. Điều này thể hiện tính xác đáng và giá trị thực tiễn cao của chuyên đề giải toán 7 tập 2 trang 59.

Bài 3: Phân Tích Bài Toán Lãi Suất Ngân Hàng (Ứng Dụng Biểu Thức Đại Số)

Bài toán: Bác Ngọc gửi 90 triệu đồng (NH1, lãi suất $x%$/năm) và 80 triệu đồng (NH2, lãi suất $(x + 1.5)%$/năm), kì hạn 1 năm.

Tính Lãi Ngân Hàng Thứ Hai

Tiền lãi $L$ được tính bằng công thức: $L = text{Gốc} times text{Lãi suất}$.
Gốc gửi ở NH2 là 80 triệu đồng, lãi suất là $(x + 1.5)% = frac{x + 1.5}{100}$.
Tiền lãi NH2:
$$L_2 = 80 cdot frac{x + 1.5}{100} = frac{80}{100} cdot (x + 1.5) = frac{4}{5}(x + 1.5) text{ (triệu đồng)}$$
Số tiền cả gốc và lãi ở NH2 sau 1 năm:
$$text{Tiền NH2} = text{Gốc} + L_2 = 80 + frac{4}{5}(x + 1.5) text{ (triệu đồng)}$$
Đây là một biểu thức đại số thể hiện tổng số tiền bác Ngọc có được ở ngân hàng thứ hai, phụ thuộc vào biến $x$ (lãi suất cơ sở).

Tính Tổng Cả Hai Ngân Hàng

Trước hết, tính tiền lãi ở ngân hàng thứ nhất (NH1):
$$L1 = 90 cdot x% = 90 cdot frac{x}{100} = frac{9}{10}x text{ (triệu đồng)}$$
Tổng tiền lãi ở cả hai ngân hàng là:
$$L{tổng} = L_1 + L2 = frac{9}{10}x + frac{4}{5}(x + 1.5)$$
Thực hiện phép tính biểu thức đại số:
$$L{tổng} = 0.9x + 0.8(x + 1.5)$$
$$L{tổng} = 0.9x + 0.8x + 0.8 cdot 1.5$$
$$L{tổng} = (0.9 + 0.8)x + 1.2 = 1.7x + 1.2 text{ (triệu đồng)}$$
Tổng số tiền gốc đã gửi là $90 + 80 = 170$ (triệu đồng).
Tổng số tiền cả gốc và lãi ở cả hai ngân hàng sau 1 năm là:
$$text{Tổng tiền} = text{Tổng gốc} + L_{tổng} = 170 + (1.7x + 1.2) = 171.2 + 1.7x text{ (triệu đồng)}$$
Kết quả bài 3b trong bài gốc là tính tổng tiền lãi.

Bài 4: Mô Hình Thể Tích Nước Trong Bể Hình Lập Phương

Bài toán: Rót nước từ can 10 lít sang bể lập phương cạnh 20 cm. Tìm thể tích nước còn lại trong can khi mực nước trong bể cao $h$ (cm).

Quy Đổi Đơn Vị Và Công Thức Thể Tích

Đây là bước cực kỳ quan trọng. Ta cần đảm bảo các đơn vị là đồng nhất.
1 lít = 1 dm$^3$.
1 dm = 10 cm, nên 1 dm$^3$ = $(10 text{ cm})^3 = 1000 text{ cm}^3$.
Thể tích nước ban đầu trong can: $V_{text{can ban đầu}} = 10 text{ lít} = 10 text{ dm}^3$.

Kích thước bể: cạnh $a = 20 text{ cm} = 2 text{ dm}$.
Công thức tính thể tích nước rót vào bể hình hộp chữ nhật (đáy là hình vuông, chiều cao $h$): $V = text{Diện tích đáy} times text{Chiều cao}$.

Xây Dựng Biểu Thức Thể Tích Nước Còn Lại

  1. Tính Thể tích nước trong bể ($V_{text{bể}}$):
    Cạnh bể là $20 text{ cm}$. Chiều cao mực nước là $h text{ cm}$.
    $$V_{text{bể}} = 20 cdot 20 cdot h = 400h text{ (cm}^3)$$
  2. Đổi đơn vị Thể tích nước trong bể về dm$^3$ (để khớp với đơn vị của can):
    $$V{text{bể}} = 400h text{ cm}^3 = frac{400h}{1000} text{ dm}^3 = 0.4h text{ (dm}^3)$$
    Thể tích nước rót ra bằng thể tích nước trong bể: $V    {text{rót ra}} = 0.4h text{ (dm}^3)$.
  3. Tính Thể tích nước còn lại trong can ($V_{text{còn lại}}$):
    $$V{text{còn lại}} = V{text{can ban đầu}} – V{text{rót ra}}$$
    $$V    {text{còn lại}} = 10 – 0.4h text{ (dm}^3)$$
    Đây là một biểu thức đại số đơn giản, thể hiện mối quan hệ tuyến tính giữa thể tích nước còn lại và chiều cao mực nước trong bể.

Hình minh họa bài toán thể tích và đa thức một biến trong giải toán 7 tập 2 trang 59Hình minh họa bài toán thể tích và đa thức một biến trong giải toán 7 tập 2 trang 59

Phân Tích Lý Thuyết Sâu Sắc (Bài 5): Bậc Của Đa Thức Tổng/Hiệu

Bài 5 là một câu hỏi lý thuyết quan trọng, thách thức nhận định phổ biến của học sinh và đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về khái niệm bậc của đa thức.

Khai Thác Sai Lầm Thường Gặp Về Bậc Của Đa Thức

Bạn Minh cho rằng “Tổng của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Bạn Quân cho rằng “Hiệu của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Cả hai nhận định này đều là sai lầm phổ biến. Nguyên nhân của sai lầm là do giả định rằng hạng tử bậc cao nhất sẽ luôn được bảo toàn trong phép cộng hoặc trừ. Tuy nhiên, như đã phân tích ở Bài 2, quá trình cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng có thể dẫn đến việc triệt tiêu hạng tử bậc cao nhất, làm giảm bậc của đa thức kết quả.

Bằng Chứng Phản Ví Dụ (Minh và Quân)

Để bác bỏ nhận định của Minh (về tổng), ta cần tìm hai đa thức bậc bốn có tổng là một đa thức có bậc nhỏ hơn 4.
Ví dụ:
$A(x) = x^4 + x^3 + 1$ (Bậc 4)
$B(x) = -x^4 + 2x^2$ (Bậc 4)
$$A(x) + B(x) = (x^4 – x^4) + x^3 + 2x^2 + 1 = x^3 + 2x^2 + 1$$
Đa thức tổng có bậc là 3. Nhận định của Minh là Sai.

Để bác bỏ nhận định của Quân (về hiệu), ta cần tìm hai đa thức bậc bốn có hiệu là một đa thức có bậc nhỏ hơn 4.
Ví dụ:
$C(x) = x^4 + 5x$ (Bậc 4)
$D(x) = x^4 + 5x – 8$ (Bậc 4)
$$C(x) – D(x) = (x^4 + 5x) – (x^4 + 5x – 8)$$
$$= x^4 + 5x – x^4 – 5x + 8 = (x^4 – x^4) + (5x – 5x) + 8 = 8$$
Đa thức hiệu là một đa thức hằng số (bậc 0). Nhận định của Quân là Sai.

Trong ví dụ gốc: $A(x) = x^4 + 1$ và $C(x) = x^4$. $A(x) – C(x) = 1$ (đa thức bậc 0).

Điều Kiện Để Bậc Đa Thức Tổng/Hiệu Bị Giảm

Bậc của đa thức tổng $P(x) + Q(x)$ bị giảm khi và chỉ khi hệ số của hạng tử bậc cao nhất của $P(x)$ và $Q(x)$ là hai số đối nhau (có tổng bằng 0).
Bậc của đa thức hiệu $P(x) – Q(x)$ bị giảm khi và chỉ khi hệ số của hạng tử bậc cao nhất của $P(x)$ và $Q(x)$ bằng nhau (có hiệu bằng 0).
Nếu các điều kiện này không xảy ra, bậc của đa thức tổng hoặc hiệu sẽ bằng bậc của đa thức ban đầu (hoặc bằng bậc của hạng tử cao nhất không bị triệt tiêu). Sự hiểu biết về điều kiện này là một tín hiệu về chuyên môn và sự hiểu biết sâu sắc, vượt qua các quy tắc tính toán cơ bản.

Mở Rộng Chuyên Môn: Các Lưu Ý Khi Thực Hiện Phép Cộng/Trừ Đa Thức

Để đảm bảo độ tin cậy và chính xác tuyệt đối trong quá trình giải bài tập, học sinh cần chú ý đến một số kỹ thuật và sai lầm thường gặp. Điều này giúp nâng cao trải nghiệm học tập và củng cố chuyên môn về giải toán 7 tập 2 trang 59 nói riêng và đại số nói chung.

Sai Lầm Phổ Biến Trong Sắp Xếp Và Ghép Nhóm

Sai lầm đầu tiên và thường gặp nhất là thiếu sót hoặc nhầm lẫn trong bước sắp xếp đa thức và xác định các hạng tử đồng dạng. Nhiều học sinh bỏ qua bước sắp xếp theo lũy thừa giảm dần. Điều này khiến cho việc nhận diện và ghép nhóm các hạng tử đồng dạng trở nên khó khăn, dễ dẫn đến tính toán nhầm lẫn. Trong phép trừ theo hàng ngang, sai lầm phổ biến thứ hai là quên đổi dấu một hoặc nhiều hạng tử sau khi bỏ ngoặc. Một giải pháp hiệu quả là luôn luôn viết đa thức trừ thành đa thức đối trước khi cộng, thay vì thực hiện phép trừ trực tiếp.

Tầm Quan Trọng Của Việc Kiểm Tra Lại Bậc Đa Thức

Sau khi hoàn thành phép toán cộng hoặc trừ đa thức, một bước kiểm tra lại vô cùng quan trọng là xác định bậc của đa thức kết quả. Nếu bậc của đa thức tổng/hiệu bị giảm so với đa thức gốc, học sinh cần ngay lập tức kiểm tra lại bước tính toán các hệ số của hạng tử bậc cao nhất. Việc này giúp phát hiện lỗi sai triệt tiêu hoặc lỗi dấu. Ngoài ra, việc xác định chính xác bậc của đa thức cũng là câu trả lời cho Bài 5, khẳng định sự hiểu biết vững vàng về lý thuyết. Các em nên luôn tự hỏi: “Hệ số của hạng tử bậc cao nhất có bằng 0 không?” để đảm bảo tính chính xác của bài giải.

Chuyên đề giải toán 7 tập 2 trang 59 này đã cung cấp một phân tích toàn diện, bao gồm cả lý thuyết nền tảng, lời giải chi tiết theo nhiều phương pháp, và các ứng dụng thực tiễn của phép cộng, phép trừ đa thức một biến. Sự tỉ mỉ trong từng bước giải và sự nhấn mạnh vào các nguyên tắc đại số cơ bản giúp người học không chỉ tìm được đáp án mà còn phát triển tư duy toán học sâu sắc. Việc vận dụng linh hoạt các phương pháp và tránh được các sai lầm thường gặp sẽ đảm bảo thành công trong việc chinh phục chương trình Toán lớp 7 và các cấp học cao hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 28, 2025 by Thầy Đông

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *