Giải Toán 9 Bài 48 Trang 29: Hướng Dẫn Chi Tiết Phương Pháp Khử Mẫu Của Biểu Thức Lấy Căn
Nắm vững kỹ năng biến đổi biểu thức chứa căn thức là nền tảng cốt lõi trong chương trình Toán học lớp 9. Bài viết này cung cấp một hướng dẫn toàn diện, từng bước để giải toán 9 bài 48 trang 29, một bài tập quan trọng liên quan đến kỹ thuật khử mẫu của biểu thức lấy căn. Việc thành thạo phương pháp này không chỉ giúp bạn giải quyết trọn vẹn bài 48 mà còn củng cố kiến thức về căn thức bậc hai và rút gọn biểu thức cho các dạng toán phức tạp hơn, đồng thời phân biệt rõ ràng với kỹ thuật trục căn thức ở mẫu. Đây là kiến thức thiết yếu cho mọi học sinh mong muốn đạt điểm cao.
Tầm Quan Trọng Của Việc Nắm Vững Kỹ Thuật Biến Đổi Căn Thức Bậc Hai
Kỹ thuật biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai, bao gồm phép khử mẫu, là một trong những chuyên đề trọng tâm của Đại số lớp 9. Nó giúp chuẩn hóa các biểu thức toán học, tạo điều kiện thuận lợi cho các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và so sánh. Một biểu thức được gọi là rút gọn nếu mẫu số không còn chứa căn bậc hai, và biểu thức dưới dấu căn là số nguyên hoặc đa thức tối giản.
Khái Quát Về Chương I: Căn Bậc Hai – Căn Bậc Ba
Chương I của sách giáo khoa Toán 9 tập 1 đặt nền móng vững chắc cho các khái niệm về căn bậc hai và căn bậc ba. Học sinh được giới thiệu về định nghĩa, tính chất, và các phép biến đổi cơ bản của căn thức. Nắm chắc chương này là điều kiện tiên quyết để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số, phương trình và bất phương trình sau này.
Các bài học trong chương I được sắp xếp logic. Từ khái niệm cơ bản về căn bậc hai số học, học sinh tiến đến tìm hiểu về căn thức bậc hai, và sau đó là các quy tắc nhân, chia các căn thức. Các bài tập về biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn, bao gồm Bài 48, nằm ở giai đoạn cuối của quá trình này, đòi hỏi sự tổng hợp kiến thức.
Mục Tiêu Học Tập Của Bài 7: Biến Đổi Đơn Giản Biểu Thức Chứa Căn (Tiếp theo)
Bài 7 tiếp nối các kỹ thuật rút gọn căn thức đã học, tập trung vào hai kỹ năng chính: đưa thừa số ra ngoài dấu căn và khử mẫu của biểu thức lấy căn. Khử mẫu là thao tác biến đổi biểu thức có dạng $sqrt{frac{A}{B}}$ (với $B>0$) thành biểu thức tương đương mà mẫu số không còn nằm trong dấu căn. Mục tiêu là giúp biểu thức trở nên gọn gàng và dễ tính toán hơn.
Đây là một kỹ năng quan trọng giúp học sinh áp dụng linh hoạt công thức $sqrt{frac{A}{B}} = frac{sqrt{AB}}{left | B right |}$. Công thức này là kim chỉ nam cho toàn bộ quá trình giải bài tập. Việc áp dụng đúng công thức này đòi hỏi học sinh phải cẩn thận trong việc xác định điều kiện của các biến số và dấu của mẫu số $B$.
Phân Tích Chuyên Sâu Bài Toán 9 Bài 48 Trang 29 SGK
Bài 48 trang 29 SGK là một chuỗi các bài tập thực hành kỹ năng khử mẫu cho biểu thức lấy căn. Các biểu thức được đưa ra có độ phức tạp tăng dần, từ các phân số đơn giản đến các biểu thức có chứa biến. Việc giải quyết triệt để từng phần của bài toán sẽ củng cố sâu sắc phương pháp làm việc.
Đề Bài Chi Tiết Và Yêu Cầu Của Bài 48
Yêu cầu chung của Bài 48 là khử mẫu của biểu thức lấy căn cho các biểu thức sau:
- $sqrt{frac{1}{600}}$
- $sqrt{frac{11}{540}}$
- $sqrt{frac{3}{50}}$
- $sqrt{frac{5}{98}}$
- $sqrt{frac{(1-sqrt{3})^2}{27}}$
Mỗi biểu thức yêu cầu học sinh áp dụng đúng kỹ thuật nhân cả tử và mẫu với mẫu số, sau đó đưa mẫu số ra ngoài dấu căn, và cuối cùng là rút gọn phân số. Quá trình này đòi hỏi sự chính xác trong các bước tính toán và phân tích thừa số.
Công Thức Nền Tảng: Quy Tắc Khử Mẫu Của Biểu Thức Lấy Căn
Nguyên tắc cơ bản để khử mẫu của biểu thức $sqrt{frac{A}{B}}$ là nhân cả tử và mẫu của phân số bên trong căn thức với mẫu $B$. Mục đích là tạo ra một bình phương hoàn hảo dưới mẫu số, cho phép đưa mẫu số ra ngoài dấu căn.
Cụ thể, ta có công thức biến đổi:
$$sqrt{frac{A}{B}} = sqrt{frac{A cdot B}{B cdot B}} = sqrt{frac{A B}{B^2}}$$
Sau đó, áp dụng quy tắc khai phương một thương và quy tắc về căn bậc hai của bình phương:
$$sqrt{frac{A B}{B^2}} = frac{sqrt{A B}}{sqrt{B^2}} = frac{sqrt{A B}}{left | B right |}$$
Vì trong các bài tập này mẫu số $B$ thường là số dương, nên $left | B right | = B$. Kỹ thuật này giúp chuyển mẫu số từ trong dấu căn ra ngoài, hoàn thành yêu cầu khử mẫu.
Hướng Dẫn Từng Bước Giải Chi Tiết Bài 48 Trang 29
Việc trình bày lời giải chi tiết và đầy đủ các bước là cách tốt nhất để đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu. Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của Bài 48 một cách hệ thống, tập trung vào việc khai triển và rút gọn cuối cùng.
Bài Toán 1: Khử Mẫu Cho Biểu Thức $sqrt{frac{1}{600}}$
Phân tích: Biểu thức có mẫu số là 600. Ta cần nhân cả tử và mẫu với 600 để đưa 600 ra khỏi căn.
$$sqrt{frac{1}{600}} = sqrt{frac{1 cdot 600}{600 cdot 600}} = frac{sqrt{600}}{600}$$
Biến đổi tiếp: Rút gọn tử số $sqrt{600}$. Ta phân tích $600 = 100 cdot 6 = 10^2 cdot 6$.
$$frac{sqrt{600}}{600} = frac{sqrt{10^2 cdot 6}}{600} = frac{10 sqrt{6}}{600}$$
Rút gọn cuối cùng: Chia cả tử và mẫu cho 10.
$$frac{10 sqrt{6}}{600} = frac{sqrt{6}}{60}$$
Đây là kết quả cuối cùng sau khi đã khử mẫu và rút gọn tối đa.
Bài Toán 2: Khử Mẫu Cho Biểu Thức $sqrt{frac{11}{540}}$
Phân tích: Mẫu số là 540. Để tránh số lớn, ta có thể rút gọn phân số $frac{11}{540}$ nếu có thể, hoặc phân tích 540 để tìm thừa số bình phương. Trong trường hợp này, 540 không chia hết cho 11.
$$sqrt{frac{11}{540}} = sqrt{frac{11 cdot 540}{540^2}} = frac{sqrt{11 cdot 540}}{540}$$
Biến đổi tiếp: Phân tích $540 = 36 cdot 15 = 6^2 cdot 15$. Việc phân tích này giúp ta đưa 6 ra khỏi căn ở tử số.
$$frac{sqrt{11 cdot 540}}{540} = frac{sqrt{11 cdot 36 cdot 15}}{540} = frac{sqrt{36 cdot (11 cdot 15)}}{540}$$
$$frac{sqrt{36 cdot 165}}{540} = frac{6 sqrt{165}}{540}$$
Rút gọn cuối cùng: Chia cả tử và mẫu cho 6.
$$frac{6 sqrt{165}}{540} = frac{sqrt{165}}{90}$$
Lưu ý rằng, việc phân tích mẫu số thành tích các thừa số có chứa bình phương trước khi nhân với tử số sẽ giúp đơn giản hóa quá trình rút gọn sau này, tránh phải làm việc với các số quá lớn.
Bài Toán 3: Khử Mẫu Cho Biểu Thức $sqrt{frac{3}{50}}$
Phân tích: Mẫu số là 50. Để khử mẫu, ta có thể nhân với 50. Tuy nhiên, nếu ta nhận thấy $50 = 25 cdot 2 = 5^2 cdot 2$, việc nhân thêm với 2 sẽ tạo ra một bình phương hoàn hảo.
Cách 1: Nhân với 50 (Theo công thức chuẩn)
$$sqrt{frac{3}{50}} = frac{sqrt{3 cdot 50}}{50} = frac{sqrt{150}}{50}$$
Rút gọn $sqrt{150}$. $150 = 25 cdot 6 = 5^2 cdot 6$.
$$frac{sqrt{150}}{50} = frac{sqrt{5^2 cdot 6}}{50} = frac{5 sqrt{6}}{50}$$
Rút gọn cuối cùng: Chia cả tử và mẫu cho 5.
$$frac{5 sqrt{6}}{50} = frac{sqrt{6}}{10}$$
Cách 2: Nhân với thừa số bổ sung (Phương pháp tối ưu)
Nhận thấy $50 = 25 cdot 2$. Ta chỉ cần nhân tử và mẫu với 2 để có $50 cdot 2 = 100 = 10^2$ dưới mẫu.
$$sqrt{frac{3}{50}} = sqrt{frac{3 cdot 2}{50 cdot 2}} = sqrt{frac{6}{100}} = frac{sqrt{6}}{sqrt{100}} = frac{sqrt{6}}{10}$$
Cả hai cách đều cho ra cùng một kết quả. Tuy nhiên, Cách 2 giúp rút gọn phép tính ngay từ đầu, giảm thiểu sai sót và là một kỹ thuật linh hoạt hơn.
Bài Toán 4: Khử Mẫu Cho Biểu Thức $sqrt{frac{5}{98}}$
Phân tích: Mẫu số là 98. Ta phân tích $98 = 49 cdot 2 = 7^2 cdot 2$. Tương tự như bài toán trước, ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu với 2 để mẫu số trở thành $14^2$.
$$sqrt{frac{5}{98}} = sqrt{frac{5 cdot 2}{98 cdot 2}} = sqrt{frac{10}{196}}$$
Áp dụng quy tắc khai phương:
$$sqrt{frac{10}{196}} = frac{sqrt{10}}{sqrt{196}} = frac{sqrt{10}}{14}$$
Đây là lời giải tối ưu và đã rút gọn. Kỹ năng phân tích thừa số chính là chìa khóa để giải quyết bài toán một cách nhanh chóng.
Bài Toán 5: Khử Mẫu Cho Biểu Thức $sqrt{frac{(1-sqrt{3})^2}{27}}$
Phân tích: Bài toán này có hai điểm cần lưu ý: tử số đã là bình phương, và mẫu số là 27.
Bước 1: Khai phương tử số
Áp dụng $sqrt{A^2} = |A|$, ta có:
$$sqrt{frac{(1-sqrt{3})^2}{27}} = frac{sqrt{(1-sqrt{3})^2}}{sqrt{27}} = frac{|1-sqrt{3}|}{sqrt{27}}$$
Vì $sqrt{3} approx 1.732$, nên $1 – sqrt{3}$ là một số âm. Do đó, $|1-sqrt{3}| = -(1-sqrt{3}) = sqrt{3}-1$.
$$frac{|1-sqrt{3}|}{sqrt{27}} = frac{sqrt{3}-1}{sqrt{27}}$$
Bước 2: Biến đổi mẫu số và trục căn thức
Lúc này, bài toán chuyển thành trục căn thức ở mẫu (Rationalizing the denominator), không còn là khử mẫu của biểu thức lấy căn nữa. Ta biến đổi mẫu số $sqrt{27} = sqrt{9 cdot 3} = 3sqrt{3}$.
$$frac{sqrt{3}-1}{sqrt{27}} = frac{sqrt{3}-1}{3sqrt{3}}$$
Tiếp theo, ta nhân cả tử và mẫu với $sqrt{3}$ để trục căn thức:
$$frac{(sqrt{3}-1) cdot sqrt{3}}{3sqrt{3} cdot sqrt{3}} = frac{(sqrt{3})^2 – 1sqrt{3}}{3 cdot (sqrt{3})^2} = frac{3 – sqrt{3}}{3 cdot 3}$$
Rút gọn cuối cùng:
$$frac{3 – sqrt{3}}{9}$$
Phần này là một ví dụ điển hình cho thấy sự liên kết giữa các kỹ thuật biến đổi căn thức, bao gồm việc sử dụng trị tuyệt đối. Mặc dù yêu cầu đề bài là “khử mẫu của biểu thức lấy căn” cho nguyên biểu thức, kết quả cuối cùng lại đòi hỏi kỹ thuật “trục căn thức ở mẫu”.
Các Lỗi Thường Gặp Khi Thực Hiện Phép Khử Mẫu
Việc giải toán không chỉ dừng lại ở việc tìm ra lời giải đúng, mà còn nằm ở việc hiểu rõ bản chất vấn đề và tránh các sai lầm phổ biến. Khi làm bài tập giải toán 9 bài 48 trang 29, học sinh thường mắc phải một số lỗi cơ bản liên quan đến định nghĩa và kỹ thuật.
Nhầm Lẫn Giữa “Khử Mẫu” và “Trục Căn Thức Ở Mẫu”
Đây là lỗi sai phổ biến nhất. Khử mẫu của biểu thức lấy căn là biến đổi biểu thức có dạng $sqrt{frac{A}{B}}$ để mẫu $B$ không còn nằm trong dấu căn, kết quả có dạng $frac{sqrt{AB}}{B}$. Trong khi đó, Trục căn thức ở mẫu là biến đổi biểu thức có dạng $frac{A}{sqrt{B}}$ hoặc $frac{A}{sqrt{B} pm C}$ để mẫu số không còn chứa căn thức (dưới mọi hình thức).
Về cơ bản, Khử mẫu là một bước trung gian, trong khi Trục căn thức ở mẫu là mục tiêu cuối cùng trong việc rút gọn một phân số. Mặc dù mục đích cuối cùng của việc rút gọn thường là trục căn thức, đề bài 48 chỉ dừng lại ở yêu cầu khử mẫu.
Sai Sót Trong Việc Rút Gọn Sau Khi Khử Mẫu
Sau khi áp dụng công thức khử mẫu $sqrt{frac{A}{B}} = frac{sqrt{A B}}{B}$, nhiều học sinh quên hoặc làm sai bước rút gọn $sqrt{A B}$. Điều này thường xảy ra khi các em không phân tích $sqrt{A B}$ thành tích của các thừa số chính phương và các thừa số khác (ví dụ: $sqrt{600} = 10sqrt{6}$).
Một sai sót khác là việc rút gọn sai phân số cuối cùng (ví dụ: $frac{10 sqrt{6}}{600}$ chỉ rút gọn tử số với mẫu số mà không xét đến thừa số 10). Sự cẩn thận trong các phép tính đại số là cực kỳ cần thiết.
Mở Rộng Kiến Thức: Các Kỹ Thuật Rút Gọn Biểu Thức Chứa Căn Nâng Cao
Để thực sự nắm vững chương trình, học sinh cần mở rộng kiến thức từ bài 48 sang các kỹ thuật biến đổi căn thức phức tạp hơn, đặc biệt là khi làm các bài toán rút gọn biểu thức tổng hợp hoặc giải phương trình vô tỉ.
Kỹ Thuật Trục Căn Thức Ở Mẫu: Các Trường Hợp Đặc Biệt
Trục căn thức ở mẫu là kỹ thuật cần thiết khi mẫu số có dạng căn thức hoặc tổng/hiệu của căn thức và số.
- Mẫu dạng $sqrt{B}$: Nhân cả tử và mẫu với $sqrt{B}$. Ví dụ: $frac{A}{sqrt{B}} = frac{Asqrt{B}}{B}$.
- Mẫu dạng $C pm sqrt{D}$ hoặc $sqrt{C} pm sqrt{D}$: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
- Biểu thức liên hợp của $C + sqrt{D}$ là $C – sqrt{D}$.
- Sử dụng hằng đẳng thức $(A-B)(A+B) = A^2 – B^2$ để loại bỏ căn ở mẫu. Ví dụ: $frac{1}{2+sqrt{3}} = frac{2-sqrt{3}}{(2+sqrt{3})(2-sqrt{3})} = frac{2-sqrt{3}}{4-3} = 2-sqrt{3}$.
Việc thành thạo các kỹ thuật này sẽ giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán rút gọn biểu thức có chứa biến $x, y$ thường gặp trong các đề kiểm tra.
Ứng Dụng Của Biến Đổi Căn Thức Trong Giải Phương Trình
Kỹ năng biến đổi căn thức là cầu nối dẫn đến việc giải quyết các phương trình vô tỉ, tức là phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn. Việc rút gọn và chuẩn hóa biểu thức căn thức trước khi bình phương hai vế là một chiến lược hiệu quả để đơn giản hóa quá trình giải.
Ví dụ, trước khi giải phương trình $sqrt{x-1} + sqrt{frac{x-1}{4}} = 6$, ta nên biến đổi vế trái:
$$sqrt{x-1} + sqrt{frac{x-1}{4}} = sqrt{x-1} + frac{sqrt{x-1}}{sqrt{4}} = sqrt{x-1} + frac{1}{2}sqrt{x-1} = frac{3}{2}sqrt{x-1}$$
Việc này giúp phương trình trở nên đơn giản hơn rất nhiều: $frac{3}{2}sqrt{x-1} = 6$. Kỹ thuật khử mẫu được áp dụng ở đây đã giúp việc giải phương trình trở nên khả thi hơn.
Thành thạo các kỹ năng biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai, từ khử mẫu đến trục căn thức, là điều kiện tiên quyết. Đây là bước đệm không thể thiếu để học sinh tiếp cận các bài toán phức tạp hơn, bao gồm các bài toán giải phương trình vô tỉ, bất phương trình, hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức có chứa căn thức.
Nền tảng vững chắc này được xây dựng từ những bài tập cơ bản như giải toán 9 bài 48 trang 29 và là chìa khóa để đạt được sự chính xác, tốc độ và hiểu biết sâu sắc về toán học. Việc làm chủ kiến thức và các kỹ thuật biến đổi giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi quan trọng.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 28, 2025 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
