Đề thi học sinh giỏi các môn - chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí

Giải Toán 9 Trang 10 Tập 1 Kết Nối Tri Thức Chi Tiết Nhất

by · November 30, 2025

Rate this post

Đây là tài liệu giải toán 9 trang 10 (Tập 1, sách Kết nối tri thức) được biên soạn chi tiết. Bài 1 giới thiệu về Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình. Nội dung cốt lõi bao gồm việc xác định phương trình, tìm Nghiệm tổng quát, và Biểu diễn hình học của tập nghiệm. Tài liệu này cung cấp lời giải đầy đủ, phân tích chuyên sâu cho từng bài tập, giúp học sinh nắm vững kiến thức nền tảng về Hệ hai phương trình và Điều kiện hệ phương trình.

Phân Tích Chuyên Sâu Khái Niệm Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là nền tảng quan trọng. Việc nắm vững khái niệm này giúp học sinh xử lý hiệu quả các bài tập phức tạp hơn. Một phương trình được gọi là bậc nhất hai ẩn x và y nếu có dạng tổng quát $ax + by = c$. Trong đó, $a, b, c$ là các số thực đã cho. Điều kiện tiên quyết là $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

Định Nghĩa Và Tiêu Chí Xác Định Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Điều kiện $a neq 0$ hoặc $b neq 0$ đảm bảo phương trình luôn chứa ít nhất một ẩn với hệ số khác không. Điều này khác biệt so với các phương trình vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tầm thường. Nếu cả $a$ và $b$ đều bằng 0, phương trình trở thành $0x + 0y = c$.

Nếu $c neq 0$, phương trình là vô nghiệm, ví dụ: $0x + 0y = 1$. Nếu $c = 0$, phương trình là vô số nghiệm với mọi cặp $(x; y)$, nhưng nó không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn theo định nghĩa. Việc hiểu rõ tiêu chí này là chìa khóa để giải toán 9 trang 10 thành công.

Giải Bài Tập 1.1: Nhận Diện Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Bài 1.1 yêu cầu học sinh nhận diện phương trình bậc nhất hai ẩn trong bốn lựa chọn. Đây là bài tập củng cố lý thuyết trực tiếp.

Phân Tích Trường Hợp Có Cả Hai Ẩn

Phương trình $5x – 8y = 0$ có hệ số $a = 5$ và $b = –8$. Cả hai hệ số này đều khác không. Phương trình này hoàn toàn thỏa mãn định nghĩa $ax + by = c$. Do đó, $5x – 8y = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phân Tích Trường Hợp Khuyết Một Ẩn

Phương trình $4x + 0y = –2$ có $a = 4$ và $b = 0$. Vì $a neq 0$, phương trình vẫn thỏa mãn điều kiện $a$ hoặc $b$ khác 0. Nó có thể viết gọn là $4x = –2$ hay $x = –0,5$. Đây vẫn là một phương trình bậc nhất hai ẩn. Tương tự, phương trình $0x – 3y = 9$ có $a = 0$ và $b = –3$. Vì $b neq 0$, phương trình này cũng là phương trình bậc nhất hai ẩn. Nó có thể viết gọn là $–3y = 9$ hay $y = –3$.

Trường Hợp Loại Trừ

Phương trình $0x + 0y = 1$ có $a = 0$ và $b = 0$. Vì cả hai hệ số $a$ và $b$ đều bằng 0, phương trình này không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây là một lỗi sai thường gặp khi học sinh chưa vững lý thuyết.

Phương Pháp Tìm Nghiệm Tổng Quát Và Nghiệm Cụ Thể

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Tập hợp nghiệm này luôn tạo thành một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.

Giải Bài Tập 1.2: Tìm Nghiệm Cụ Thể Và Nghiệm Tổng Quát

Bài toán $2x – y = 1$ yêu cầu tìm sáu nghiệm cụ thể và sau đó viết nghiệm tổng quát. Phương trình được biến đổi về dạng $y = 2x – 1$.

Tính Toán Các Nghiệm Cụ Thể (Particular Solutions)

Việc thay các giá trị $x$ vào biểu thức $y = 2x – 1$ là phương pháp tìm nghiệm đơn giản nhất.

  • Với $x = –1$, ta có $y = 2(–1) – 1 = –3$. Cặp nghiệm là $(–1; –3)$.
  • Với $x = –0,5$, ta có $y = 2(–0,5) – 1 = –2$. Cặp nghiệm là $(–0,5; –2)$.
  • Với $x = 0$, ta có $y = 2(0) – 1 = –1$. Cặp nghiệm là $(0; –1)$.
  • Với $x = 0,5$, ta có $y = 2(0,5) – 1 = 0$. Cặp nghiệm là $(0,5; 0)$.
  • Với $x = 1$, ta có $y = 2(1) – 1 = 1$. Cặp nghiệm là $(1; 1)$.
  • Với $x = 2$, ta có $y = 2(2) – 1 = 3$. Cặp nghiệm là $(2; 3)$.

Bảng giá trị chỉ là một phần nhỏ của tập hợp nghiệm. Việc hiểu rằng có vô số cặp $(x; y)$ thỏa mãn là rất quan trọng.

Xác Định Nghiệm Tổng Quát

Vì phương trình có thể biểu diễn $y$ theo $x$ là $y = 2x – 1$, ta thấy $x$ là biến tùy ý. Mọi giá trị thực của $x$ đều cho ra một giá trị $y$ tương ứng. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình $2x – y = 1$ là cặp $(x; 2x – 1)$ với $x in mathbb{R}$ tùy ý. Đây là cách biểu diễn Nghiệm tổng quát chuẩn trong chương trình Toán 9.

Biểu Diễn Hình Học Tập Hợp Nghiệm

Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ được biểu diễn bằng một đường thẳng. Biểu diễn hình học giúp trực quan hóa mối quan hệ giữa hai ẩn.

Giải Bài Tập 1.3: Biểu Diễn Tập Nghiệm

Bài tập này yêu cầu viết nghiệm tổng quát và vẽ đồ thị cho ba trường hợp khác nhau.

Trường Hợp Tổng Quát: $2x – y = 3$

Phương trình $2x – y = 3$ có thể viết lại thành $y = 2x – 3$.

  • Nghiệm Tổng Quát: $(x; 2x – 3)$ với $x in mathbb{R}$ tùy ý.
  • Biểu Diễn Hình Học: Đường thẳng $y = 2x – 3$. Để vẽ đường thẳng này, ta chỉ cần xác định hai điểm.
    • Cho $x = 0 Rightarrow y = –3$. Điểm $A(0; –3)$.
    • Cho $x = 1 Rightarrow y = –1$. Điểm $B(1; –1)$.

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ chính là biểu diễn hình học cho tập nghiệm. Đường thẳng này có độ dốc dương, đi lên từ trái sang phải.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình bậc nhất 2x - y = 3 trên mặt phẳng tọa độBiểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình bậc nhất 2x – y = 3 trên mặt phẳng tọa độ

Hình ảnh minh họa đường thẳng $y = 2x – 3$, là tập hợp vô số nghiệm của phương trình. Mỗi điểm trên đường thẳng đều là một nghiệm. Đường thẳng này cắt trục tung tại điểm $(0; –3)$.

Trường Hợp Đặc Biệt 1: Khuyết Ẩn $x$ ($0x + 2y = –4$)

Phương trình $0x + 2y = –4$ có thể viết gọn thành $2y = –4$, suy ra $y = –2$.

  • Nghiệm Tổng Quát: $(x; –2)$ với $x in mathbb{R}$ tùy ý.
  • Biểu Diễn Hình Học: Đường thẳng $y = –2$. Đây là đường thẳng song song với trục hoành. Nó cắt trục tung tại điểm $M(0; –2)$. Tập nghiệm là tất cả các điểm có tung độ bằng $-2$.

Đường thẳng này không thay đổi giá trị $y$ dù $x$ là bao nhiêu. Nó thể hiện tính chất đặc trưng của phương trình khuyết ẩn $x$.

Đường thẳng y = -2 song song với trục hoành biểu diễn nghiệm phương trình 0x + 2y = -4Đường thẳng y = -2 song song với trục hoành biểu diễn nghiệm phương trình 0x + 2y = -4

Minh họa đường thẳng $y = –2$ đi ngang qua mặt phẳng tọa độ. Sự song song với trục $Ox$ cho thấy $x$ có thể là giá trị bất kỳ.

Trường Hợp Đặc Biệt 2: Khuyết Ẩn $y$ ($3x + 0y = 5$)

Phương trình $3x + 0y = 5$ có thể viết gọn thành $3x = 5$, suy ra $x = frac{5}{3}$.

  • Nghiệm Tổng Quát: $(frac{5}{3}; y)$ với $y in mathbb{R}$ tùy ý.
  • Biểu Diễn Hình Học: Đường thẳng $x = frac{5}{3}$. Đây là đường thẳng song song với trục tung. Nó cắt trục hoành tại điểm $(frac{5}{3}; 0)$. Tập nghiệm là tất cả các điểm có hoành độ bằng $frac{5}{3}$.

Đường thẳng này không thay đổi giá trị $x$ dù $y$ là bao nhiêu. Nó thể hiện tính chất đặc trưng của phương trình khuyết ẩn $y$.

Đường thẳng x = 5/3 song song với trục tung biểu diễn nghiệm phương trình 3x + 0y = 5Đường thẳng x = 5/3 song song với trục tung biểu diễn nghiệm phương trình 3x + 0y = 5

Đường thẳng $x = frac{5}{3}$ đứng thẳng, song song với trục $Oy$. Điều này chứng tỏ $y$ có thể là giá trị bất kỳ.

Khái Niệm Và Nghiệm Của Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Sau khi nắm vững phương trình đơn, học sinh tiến tới nghiên cứu Hệ hai phương trình. Đây là sự kết hợp của hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Điều Kiện Và Cấu Trúc Của Hệ Phương Trình

Một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 a_2x + b_2y = c_2 end{cases}$.
Điều kiện là mỗi phương trình phải là bậc nhất hai ẩn. Tức là $(a_1^2 + b_1^2 neq 0)$ và $(a_2^2 + b_2^2 neq 0)$.

Nghiệm của hệ phương trình là cặp số $(x; y)$ thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. Về mặt hình học, nghiệm của hệ chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình.

Giải Bài Tập 1.4: Xác Định Hệ Phương Trình Và Kiểm Tra Nghiệm

Bài 1.4 đưa ra hệ phương trình $begin{cases} 2x = -6 5x + 4y = 1 end{cases}$.

Xác Định Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Phương trình thứ nhất $2x = –6$ có thể viết là $2x + 0y = –6$. Phương trình này là bậc nhất hai ẩn vì $a = 2 neq 0$.
Phương trình thứ hai $5x + 4y = 1$ có $a = 5 neq 0$ và $b = 4 neq 0$. Đây là bậc nhất hai ẩn.
Vì cả hai phương trình đều là bậc nhất hai ẩn, hệ đã cho là một Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Kiểm Tra Cặp Nghiệm $(–3; 4)$

Để kiểm tra cặp số $(–3; 4)$ có là nghiệm của hệ hay không, ta thay $x = –3$ và $y = 4$ vào từng phương trình. Việc kiểm tra này thể hiện tính chính xác của Điều kiện hệ phương trình.

  • Phương trình 1: $2x = 2 cdot (–3) = –6$. Kết quả thỏa mãn $(–6 = –6)$.
  • Phương trình 2: $5x + 4y = 5 cdot (–3) + 4 cdot 4 = –15 + 16 = 1$. Kết quả thỏa mãn $(1 = 1)$.

Vì cặp số $(–3; 4)$ thỏa mãn cả hai phương trình, nên nó là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Phối Hợp Kiểm Tra Nghiệm Và Minh Họa Hình Học

Bài 1.5 là một bài toán tổng hợp. Nó yêu cầu học sinh kiểm tra nghiệm của phương trình đơn, nghiệm của hệ phương trình, và cuối cùng là minh họa bằng hình học.

Giải Bài Tập 1.5: Kiểm Tra Các Cặp Số

Ta có hai phương trình: $5x + 4y = 8$ (1) và $3x + 5y = –3$ (2). Cần kiểm tra các cặp số: $(–2; 1)$, $(0; 2)$, $(1; 0)$, $(1,5; 3)$, $(4; –3)$.

Cặp Số Nào Là Nghiệm Của Phương Trình (1)?

Thay lần lượt các cặp số vào phương trình (1): $5x + 4y = 8$.

  • $(–2; 1)$: $5(–2) + 4(1) = –10 + 4 = –6 neq 8$. Loại.
  • $(0; 2)$: $5(0) + 4(2) = 0 + 8 = 8$. Thỏa mãn. Cặp nghiệm $(0; 2)$.
  • $(1; 0)$: $5(1) + 4(0) = 5 + 0 = 5 neq 8$. Loại.
  • $(1,5; 3)$: $5(1,5) + 4(3) = 7,5 + 12 = 19,5 neq 8$. Loại.
  • $(4; –3)$: $5(4) + 4(–3) = 20 – 12 = 8$. Thỏa mãn. Cặp nghiệm $(4; –3)$.

Các cặp số là nghiệm của phương trình (1) là $(0; 2)$ và $(4; –3)$.

Cặp Số Nào Là Nghiệm Của Hệ Phương Trình?

Nghiệm của hệ phải là nghiệm chung của cả (1) và (2). Ta chỉ cần kiểm tra hai cặp số vừa tìm được là $(0; 2)$ và $(4; –3)$ với phương trình (2).

  • Kiểm tra $(0; 2)$ với (2): $3x + 5y = 3(0) + 5(2) = 10 neq –3$. Loại.
  • Kiểm tra $(4; –3)$ với (2): $3x + 5y = 3(4) + 5(–3) = 12 – 15 = –3$. Thỏa mãn.

Vậy, cặp số $(4; –3)$ là nghiệm chung của cả hai phương trình. Do đó, $(4; –3)$ là nghiệm của hệ phương trình.

Minh Họa Kết Luận Bằng Biểu Diễn Hình Học

Kết quả câu b) được minh họa hoàn hảo qua Biểu diễn hình học. Nghiệm của hệ là giao điểm của hai đường thẳng.

  • Đường thẳng (1) $5x + 4y = 8$ đi qua hai điểm $(0; 2)$ và $(4; –3)$.
  • Đường thẳng (2) $3x + 5y = –3$ đi qua hai điểm $(4; –3)$ và có thể tìm thêm một điểm khác, ví dụ $x = –1 Rightarrow 3(–1) + 5y = –3 Rightarrow 5y = 0 Rightarrow y = 0$. Điểm $C(–1; 0)$.

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm chung duy nhất là $B(4; –3)$. Tọa độ này chính là nghiệm của hệ phương trình.

Minh họa hình học nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 4y = 8 và 3x + 5y = -3Minh họa hình học nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 4y = 8 và 3x + 5y = -3

Giao điểm $B(4; –3)$ trên đồ thị minh họa trực quan kết quả tính toán. Đây là minh chứng rõ ràng cho mối liên hệ giữa Đại số và Hình học.

Mở Rộng Và Ứng Dụng Nền Tảng Lý Thuyết

Việc hoàn thành các bài tập giải toán 9 trang 10 không chỉ là tìm ra đáp số. Quan trọng hơn, học sinh cần hiểu rõ bối cảnh và ứng dụng của các khái niệm. Phương trình bậc nhất hai ẩn là nền tảng để giải các bài toán thực tế. Các vấn đề về tối ưu hóa chi phí, năng suất, hoặc các bài toán hỗn hợp đều có thể mô hình hóa bằng hệ phương trình.

Sự hiểu biết về nghiệm tổng quát và Biểu diễn hình học giúp dự đoán số lượng nghiệm của một hệ. Nếu hai đường thẳng cắt nhau, hệ có một nghiệm duy nhất. Nếu song song, hệ vô nghiệm. Nếu trùng nhau, hệ có vô số nghiệm. Kiến thức này là bước đệm vững chắc cho các chương tiếp theo.

Các phương trình khuyết ẩn như $x = frac{5}{3}$ hay $y = –2$ cần được nhận diện ngay. Chúng không phải là trường hợp ngoại lệ mà là các trường hợp đặc biệt. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn được giữ nguyên. Chúng cho thấy tập nghiệm là các đường thẳng song song với các trục tọa độ. Sự nhầm lẫn giữa phương trình bậc nhất hai ẩn và bậc nhất một ẩn cần được tránh.

Nghiên cứu sâu hơn về Điều kiện hệ phương trình (tính tỉ lệ hệ số $a_1/a_2$, $b_1/b_2$, $c_1/c_2$) sẽ cho phép học sinh xác định số nghiệm mà không cần vẽ đồ thị. Đây là kỹ năng giải toán cao cấp hơn. Tuy nhiên, ở giai đoạn này, việc kiểm tra nghiệm và minh họa hình học là phương pháp trực quan và đáng tin cậy nhất.

Tóm lại, trang 10 sách Toán 9 Kết nối tri thức cung cấp kiến thức nền tảng quan trọng. Bao gồm định nghĩa phương trình, cách tìm nghiệm cụ thể và tổng quát, cũng như cách kiểm tra nghiệm của hệ. giải toán 9 trang 10 là bước khởi đầu để học sinh làm quen với việc kết hợp giải quyết bài toán Đại số và Biểu diễn hình học trên mặt phẳng tọa độ. Thành thạo các bài tập này là chìa khóa để tiến tới các phương pháp giải hệ phương trình phức tạp hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 30, 2025 by Thầy Đông

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *