Phân Tích Chi Tiết và Hướng Dẫn giải toán lớp 6 trang 87 Sách Cánh Diều: Phép Chia Hết Trong Tập Hợp Số Nguyên
Mục tiêu cốt lõi của bài viết này là cung cấp nguồn tài liệu giải toán lớp 6 trang 87 toàn diện và chính xác, tập trung vào Bài 6: Phép chia hết hai số nguyên và quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên thuộc sách giáo khoa Toán lớp 6 Cánh Diều. Việc nắm vững phép chia hết trong tập hợp $mathbb{Z}$ là nền tảng quan trọng. Bài viết sẽ đi sâu vào lý thuyết, phương pháp giải từng dạng bài tập, đồng thời mở rộng các kiến thức liên quan giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và nâng cao kỹ năng tư duy logic.
Tổng Quan Về Bài 6: Phép Chia Hết và Quan Hệ Chia Hết Trong Tập Hợp Số Nguyên
Bài 6 trang 87 trong chương trình Toán lớp 6, sách Cánh Diều, giới thiệu về phép chia mở rộng. Khác với phép chia số tự nhiên, tập hợp số nguyên $mathbb{Z}$ bao gồm cả số nguyên âm. Điều này đòi hỏi học sinh phải làm quen với các quy tắc dấu mới trong phép tính. Việc mở rộng kiến thức này là bước đệm quan trọng để tiến tới các chương trình toán học phức tạp hơn sau này.
Định Nghĩa và Quy Tắc Phép Chia Hai Số Nguyên
Phép chia hai số nguyên $a$ và $b$ (với $b neq 0$) là tìm số nguyên $q$ sao cho $a = b cdot q$. Số $q$ này, nếu tồn tại, được gọi là thương của phép chia. Quy tắc dấu là yếu tố then chốt cần ghi nhớ.
Quy Tắc Dấu Trong Phép Chia
- Chia hai số nguyên cùng dấu: Thương của hai số nguyên cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm) luôn là một số nguyên dương. Giá trị tuyệt đối của thương bằng thương của hai giá trị tuyệt đối.
- Chia hai số nguyên khác dấu: Thương của hai số nguyên khác dấu (một số dương và một số âm) luôn là một số nguyên âm. Giá trị tuyệt đối của thương bằng thương của hai giá trị tuyệt đối.
Việc hiểu và vận dụng thành thạo hai quy tắc này là điều kiện tiên quyết để thực hiện chính xác các bài tập liên quan đến phép chia số nguyên. Sai sót trong việc xác định dấu là lỗi phổ biến nhất.
Khái Niệm Ước và Bội Của Một Số Nguyên
Trong tập hợp số nguyên $mathbb{Z}$, khái niệm ước và bội được mở rộng. Số nguyên $a$ được gọi là chia hết cho số nguyên $b$ ($b neq 0$) nếu có số nguyên $q$ sao cho $a = b cdot q$.
Định Nghĩa Ước và Bội
- Nếu $a$ chia hết cho $b$, ta nói $a$ là bội của $b$, và $b$ là ước của $a$.
- Quan hệ chia hết trong $mathbb{Z}$ có tính chất tương tự như trong $mathbb{N}$ nhưng cần xét thêm các trường hợp dấu.
Một số nguyên $a$ luôn có các ước là $1$, $-1$, $a$, và $-a$. Tập hợp ước của một số nguyên là hữu hạn. Ngược lại, tập hợp bội của một số nguyên khác 0 là vô hạn.
Hướng Dẫn Chi Tiết giải toán lớp 6 trang 87 (Bài Tập Từ 1 Đến 8)
Các bài tập trang 87 được thiết kế để kiểm tra khả năng vận dụng các quy tắc về phép chia hết và quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên. Sau đây là phân tích chi tiết từng dạng bài, đi kèm lời giải mở rộng.
Dạng 1: Thực Hiện Phép Chia Hai Số Nguyên (Bài 1)
Bài tập này kiểm tra trực tiếp khả năng áp dụng quy tắc dấu trong phép chia. Mục tiêu là tính nhanh và chính xác thương của các cặp số nguyên.
Bài 1 trang 87 Toán lớp 6 Tập 1: Tính: a) (– 45) : 5; b) 56 : (– 7); c) 75 : 25; d) (– 207) : (– 9).
Phương pháp giải và lời giải mở rộng
Đối với phép chia hai số khác dấu, ta lấy giá trị tuyệt đối của số bị chia chia cho giá trị tuyệt đối của số chia, sau đó đặt dấu trừ vào kết quả. Ngược lại, chia hai số cùng dấu, ta chỉ cần chia các giá trị tuyệt đối và kết quả là số dương.
a) (– 45) : 5. Đây là phép chia hai số khác dấu (âm chia dương). Ta lấy $45 : 5 = 9$. Kết quả cần đặt dấu trừ. $rightarrow$ Lời giải: $(– 45) : 5 = – (45 : 5) = – 9$.
b) 56 : (– 7). Đây cũng là phép chia hai số khác dấu (dương chia âm). Ta lấy $56 : 7 = 8$. Kết quả là số âm. $rightarrow$ Lời giải: $56 : (– 7) = – (56 : 7) = – 8$.
c) 75 : 25. Đây là phép chia hai số tự nhiên (số nguyên dương). Kết quả là số dương. $rightarrow$ Lời giải: $75 : 25 = 3$.
d) (– 207) : (– 9). Đây là phép chia hai số cùng dấu (âm chia âm). Kết quả là số dương. Ta cần thực hiện phép chia số tự nhiên $207 : 9 = 23$. $rightarrow$ Lời giải: $(– 207) : (– 9) = 207 : 9 = 23$.
Dạng 2: So Sánh Kết Quả Phép Chia (Bài 2)
Dạng bài này không chỉ yêu cầu tính toán mà còn kiểm tra khả năng sử dụng nhận xét về dấu của thương để so sánh nhanh chóng. Đây là kỹ năng tư duy cần thiết trong toán học.
Bài 2 trang 87 Toán lớp 6 Tập 1: So sánh: a) 36 : (– 6) và 0; b) (– 15) : (– 3) và (– 63) : 7.
Phân tích và nhận xét tổng quát
Khi thực hiện phép chia hai số nguyên, dấu của thương quyết định mối quan hệ của nó với số 0. Thương âm thì nhỏ hơn 0, thương dương thì lớn hơn 0.
a) Phép tính 36 : (– 6) là thương của hai số nguyên khác dấu. Theo quy tắc, thương này phải là một số nguyên âm. Vì số nguyên âm luôn nhỏ hơn 0, nên không cần tính toán chi tiết ta cũng có thể kết luận ngay. Lời giải: $36 : (– 6) = – 6 < 0$. Vậy $36 : (– 6) < 0$.
b) Cần so sánh hai thương: $(– 15) : (– 3)$ và $(– 63) : 7$. Thương thứ nhất là chia hai số cùng dấu (âm). Kết quả là số dương. Thương thứ hai là chia hai số khác dấu. Kết quả là số âm. Số dương luôn lớn hơn số âm. Lời giải: $(– 15) : (– 3) = 5$. $(– 63) : 7 = – 9$. Do $5 > – 9$. Vậy $(– 15) : (– 3) > (– 63) : 7$.
Dạng 3: Tìm Số Nguyên $x$ Trong Đẳng Thức (Bài 3)
Đây là dạng bài toán tìm thành phần chưa biết trong phép tính, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt phép nhân và phép chia số nguyên, cùng với quy tắc chuyển vế.
Bài 3 trang 87 Toán lớp 6 Tập 1: Tìm số nguyên x, biết: a) (– 3) . x = 36; b) (– 100) : (x + 5) = – 5.
Hướng dẫn giải phương trình cơ bản
a) Trong phép nhân $(– 3) cdot x = 36$, $x$ đóng vai trò là thừa số chưa biết. Ta tìm $x$ bằng cách lấy tích chia cho thừa số đã biết. Lời giải: $x = 36 : (– 3)$. Áp dụng quy tắc chia hai số khác dấu. $x = – (36 : 3) = – 12$. Vậy $x = – 12$.
b) Trong phép chia $(– 100) : (x + 5) = – 5$, $(x+5)$ là số chia chưa biết. Số chia bằng số bị chia chia cho thương. Lời giải: $x + 5 = (– 100) : (– 5)$. Áp dụng quy tắc chia hai số cùng dấu. $x + 5 = 100 : 5 = 20$. Tiếp theo, tìm $x$ bằng cách chuyển $5$ sang vế phải và đổi dấu. $x = 20 – 5 = 15$. Vậy $x = 15$.
Dạng 4: Bài Toán Thực Tế Về Nhiệt Độ Trung Bình (Bài 4)
Dạng toán ứng dụng thực tế này giúp học sinh thấy được giá trị của số nguyên trong đời sống. Nó yêu cầu tính tổng các số nguyên, sau đó thực hiện phép chia để tìm giá trị trung bình.
Bài 4 trang 87 Toán lớp 6 Tập 1: Nhiệt độ lúc 8 giờ sáng trong 5 ngày liên tiếp là – 6 °C, – 5 °C, – 4 °C, 2 °C, 3 °C. Tính nhiệt độ trung bình lúc 8 giờ sáng của 5 ngày đó.
Phương pháp tính nhiệt độ trung bình
Nhiệt độ trung bình được tính bằng tổng tất cả các nhiệt độ chia cho số ngày. Việc cộng các số nguyên khác dấu cần được thực hiện cẩn thận. Lời giải: Nhiệt độ trung bình là $left[ (– 6) + (– 5) + (– 4) + 2 + 3 right] : 5$. Tính tổng trước: $left[ (– 6) + (– 5) + (– 4) right] + (2 + 3) = (– 15) + 5 = – 10$. Sau đó thực hiện phép chia: $(– 10) : 5 = – 2$ (°C). Vậy nhiệt độ trung bình lúc 8 giờ sáng của 5 ngày liên tiếp đã cho là – 2 °C.
Dạng 5: Khẳng Định Tính Chia Hết (Đúng/Sai) (Bài 5)
Bài tập này củng cố định nghĩa về quan hệ chia hết trong $mathbb{Z}$. Phép chia hết xảy ra khi và chỉ khi thương là một số nguyên.
Bài 5 trang 87 Toán lớp 6 Tập 1: Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? Giải thích. a) – 36 chia hết cho – 9, b) – 18 chia hết cho 5.
Định nghĩa chính xác về tính chia hết
a) Ta xét thương $(– 36) : (– 9)$. Đây là phép chia hai số cùng dấu. Kết quả là $36 : 9 = 4$. Vì $4$ là số nguyên nên phát biểu $– 36$ chia hết cho $– 9$ là đúng. Ta có $– 36 = (– 9) cdot 4$.
b) Ta xét thương $(– 18) : 5$. Đây là phép chia hai số khác dấu. Kết quả là $– (18 : 5) = – 3.6$. Vì $– 3.6$ không phải là số nguyên nên phát biểu $– 18$ chia hết cho $5$ là sai. Phép chia $– 18$ cho $5$ có số dư là $– 3$.
Dạng 6: Tìm Ước Của Một Số Nguyên (Bài 6)
Dạng bài này là ứng dụng trực tiếp của khái niệm ước và bội trong $mathbb{Z}$. Điều quan trọng là không được quên các ước số âm. Việc tìm ước của một số nguyên luôn phải đi kèm với cặp dấu $pm$.
Bài 6 trang 87 Toán lớp 6 Tập 1: Tìm số nguyên x, biết: a) 4 chia hết cho x; b) – 13 chia hết cho x + 2.
Quy trình tìm tất cả ước của một số nguyên
a) Vì 4 chia hết cho $x$, nên $x$ là các ước của 4. Ta liệt kê các ước dương của 4 là 1, 2, 4. Sau đó bổ sung các ước âm tương ứng là $-1$, $-2$, $-4$. Lời giải: Các ước của 4 là $pm 1, pm 2, pm 4$. Vậy $x in { – 4; – 2; – 1; 1; 2; 4 }$.
b) Vì – 13 chia hết cho $x + 2$, nên $x + 2$ là ước của – 13. Ta tìm các ước của – 13, bao gồm $pm 1$ và $pm 13$ (vì 13 là số nguyên tố). Lời giải: Ta có 4 trường hợp để tìm $x$:
- TH1: $x + 2 = – 1 rightarrow x = – 3$
- TH2: $x + 2 = 1 rightarrow x = – 1$
- TH3: $x + 2 = 13 rightarrow x = 11$
- TH4: $x + 2 = – 13 rightarrow x = – 15$
Vậy $x in { – 15; – 3; – 1; 11 }$.
Dạng 7: Bài Toán Thực Tế Về Quãng Đường (Bài 7 – Ốc Sên)
Bài toán ốc sên leo cây là một ví dụ kinh điển về việc sử dụng số nguyên âm để biểu thị chuyển động ngược chiều (tụt xuống). Phân tích logic là chìa khóa để tránh bẫy logic thường gặp.
Bài 7 trang 87 Toán lớp 6 Tập 1: Một con ốc sên leo lên một cây cao 8 m. Trong mỗi ngày (24 giờ), 12 giờ đầu tiên ốc sên leo lên được 3 m, rồi 12 giờ sau nó lại tụt xuống 2 m. Quy ước quãng đường mà ốc sên leo lên 3 m là 3 m, quãng đường ốc sên tụt xuống 2 m là – 2 m.
a) Viết phép tính biểu thị quãng đường mà ốc sên leo được sau 2 ngày.
b) Sau 5 ngày thì ốc sên leo được bao nhiêu mét?
c) Sau bao nhiêu giờ thì ốc sên chạm đến ngọn cây?
Phân tích bài toán vận dụng
a) Quãng đường leo được trong một ngày là $3 + (– 2) = 1$ (m). Quãng đường sau 2 ngày là: $left[ 3 + (– 2) right] cdot 2$ (m).
b) Sau 5 ngày, ốc sên leo được: $left[ 3 + (– 2) right] cdot 5 = 1 cdot 5 = 5$ (m).
c) Phân tích bẫy logic: Mặc dù mỗi ngày ốc sên chỉ tiến 1m, nhưng ngày cuối cùng, khi đã leo đến một độ cao nhất định, nó chỉ cần leo thêm một đoạn ngắn là đạt đỉnh và sẽ không bị tụt xuống nữa.
Đến hết ngày thứ 5 (120 giờ), ốc sên leo được 5m.
Đến hết ngày thứ 6 (144 giờ), ốc sên leo được 6m.
Đến hết ngày thứ 7 (168 giờ), ốc sên leo được 7m.
Cây cao 8m. Tức là ốc sên cần thêm $8 – 7 = 1$ (m) nữa.
Sang ngày thứ 8 (tức giờ thứ 168+), trong 12 giờ đầu, ốc sên leo được 3m. Để leo được 1m, ốc sên cần thời gian là: $12 text{ giờ} : 3 text{ m/12h} = 4$ (giờ/m).
Thời gian để ốc sên leo thêm 1m là 4 giờ.
Tổng số giờ: $168 + 4 = 172$ giờ.
Lời giải: Vậy sau 172 giờ leo cây thì ốc sên chạm đến ngọn cây.
Dạng 8: Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay (Bài 8)
Đây là dạng bài tập nhằm khuyến khích học sinh sử dụng công cụ tính toán hiện đại. Tuy nhiên, nó vẫn yêu cầu sự hiểu biết về quy tắc dấu để nhập liệu chính xác.
Bài 8 trang 87 Toán lớp 6 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay. Dùng máy tính cầm tay để tính: (– 252) : 21; 253 : (– 11); (– 645) : (– 15).
Hướng dẫn sử dụng công cụ tính toán
Học sinh cần biết cách nhập dấu âm ($–$) trên máy tính. Kết quả phải được kiểm tra lại về dấu theo quy tắc phép chia số nguyên để đảm bảo không sai sót trong quá trình nhập liệu.
Lời giải: Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:
- $(– 252) : 21 = – 12$. (Kết quả âm vì khác dấu).
- $253 : (– 11) = – 23$. (Kết quả âm vì khác dấu).
- $(– 645) : (– 15) = 43$. (Kết quả dương vì cùng dấu).
Sử dụng máy tính cầm tay để giải các bài toán phép chia hết hai số nguyên lớp 6
Mở Rộng Kiến Thức: Quan Hệ Chia Hết và Ứng Dụng
Nắm vững các giải pháp chi tiết trong phần giải toán lớp 6 trang 87 chỉ là bước khởi đầu. Để thực sự giỏi Toán, học sinh cần hiểu rõ quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên. Đây là nền tảng của Lý thuyết Số (Number Theory).
Các Tính Chất Cơ Bản Của Quan Hệ Chia Hết Trong $mathbb{Z}$
Quan hệ chia hết có nhiều tính chất quan trọng mà học sinh cần biết. Những tính chất này giúp giải quyết các bài toán chứng minh hoặc tìm ước/bội phức tạp hơn.
Tính Chất Phản Xạ và Bắc Cầu
- Tính Phản Xạ: Mọi số nguyên $a neq 0$ luôn chia hết cho chính nó ($a$ chia hết cho $a$).
- Tính Bắc Cầu: Nếu $a$ chia hết cho $b$ và $b$ chia hết cho $c$, thì $a$ cũng chia hết cho $c$. Tính chất này rất hữu ích trong các bài toán chứng minh tính chia hết.
Tính Chất Về Tổng và Hiệu
Nếu $a$ chia hết cho $m$ và $b$ chia hết cho $m$, thì tổng $(a + b)$ và hiệu $(a – b)$ cũng chia hết cho $m$. Tính chất này cho phép tách hoặc gộp các thành phần để kiểm tra tính chia hết. Đây là công cụ mạnh mẽ để rút gọn các biểu thức phức tạp.
Tính Chất Về Tích
Nếu $a$ chia hết cho $b$, thì tích của $a$ với một số nguyên bất kỳ $c$ ($a cdot c$) cũng chia hết cho $b$. Ví dụ, nếu $6$ chia hết cho $3$, thì $6 cdot 5 = 30$ cũng chia hết cho $3$.
Sai Lầm Thường Gặp Khi Thực Hiện Phép Chia Số Nguyên
Phép chia hết trong $mathbb{Z}$ đôi khi gây nhầm lẫn do sự xuất hiện của số âm. Học sinh thường mắc lỗi ở hai khía cạnh chính.
- Quên Ước Âm: Khi tìm ước của một số, nhiều học sinh chỉ liệt kê các ước dương mà bỏ qua các ước âm tương ứng. Ví dụ, ước của 12 phải là $pm 1, pm 2, pm 3, pm 4, pm 6, pm 12$. Việc tìm đầy đủ là yêu cầu bắt buộc của chương này.
- Lỗi Dấu Phép Tính: Đây là lỗi phổ biến nhất. Học sinh cần rèn luyện phản xạ với quy tắc “cùng dấu ra dương, khác dấu ra âm” cho đến khi trở thành bản năng.
Lời Khuyên Chuyên Gia Để Học Tốt Chương Này
Để làm chủ chương Phép chia hết hai số nguyên, học sinh nên tập trung vào ba chiến lược học tập sau.
1. Xây Dựng Bản Đồ Tư Duy Lý Thuyết
Thay vì học thuộc lòng, hãy xây dựng một bản đồ tư duy (mind map) về mối quan hệ giữa phép nhân và phép chia số nguyên. Bản đồ này nên bao gồm sơ đồ quy tắc dấu, định nghĩa ước/bội và các tính chất cơ bản. Học sinh sẽ có cái nhìn tổng quan và logic hơn.
2. Luyện Tập Đa Dạng Bài Tập Ứng Dụng
Sau khi hoàn thành các bài tập cơ bản từ giải toán lớp 6 trang 87, học sinh nên tìm thêm các bài toán ứng dụng thực tế. Ví dụ, bài toán về sự thay đổi mực nước biển hoặc biến động tài khoản ngân hàng. Điều này giúp củng cố kiến thức và thấy được tính hữu ích của số nguyên.
3. Kỹ Năng Tìm Ước và Bội Nâng Cao
Học sinh cần thành thạo việc tìm ước của các số nguyên lớn bằng cách phân tích thành thừa số nguyên tố. Phân tích này sẽ giúp đảm bảo liệt kê đầy đủ tất cả các ước, cả dương và âm. Ví dụ, tìm ước của 30.
Việc nắm vững kiến thức và thành thạo các kỹ năng này sẽ giúp học sinh lớp 6 tự tin hơn trong các kỳ thi. Nó cũng tạo cơ sở vững chắc cho việc tiếp thu các kiến thức toán học ở các cấp lớp cao hơn, nơi mà số nguyên, số hữu tỉ và số thực được sử dụng rộng rãi.
Bài viết này đã cung cấp một nguồn tham khảo chi tiết và nâng cao, vượt xa việc chỉ đưa ra đáp án cho giải toán lớp 6 trang 87. Bằng cách kết hợp lý thuyết nền tảng, phân tích chuyên sâu từng dạng bài, và mở rộng kiến thức liên quan, chúng tôi mong muốn giúp các em học sinh không chỉ giải đúng bài tập mà còn thực sự hiểu và làm chủ kiến thức Phép chia hết và Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên. Đây chính là chìa khóa để đạt được sự tiến bộ vững chắc trong môn Toán.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 27, 2025 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
