Giải Toán Lớp 9 Tập 2 Trang 79: Tổng Hợp Chuyên Sâu Lời Giải Bài Tập Luyện Tập

by Thầy Đông · November 30, 2025

Rate this post

Nội dung bài viết này trình bày lời giải toán lớp 9 tập 2 trang 79 và các bài tập tiếp theo. Đây là phần luyện tập quan trọng nằm trong Chương III: Góc với đường tròn của Hình học 9. Việc nắm vững các định lý về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng với hệ thức giữa tiếp tuyến và cát tuyến là điều hết sức cần thiết. Bài viết tập trung phân tích chuyên sâu các phương pháp chứng minh và áp dụng kiến thức để củng cố nền tảng Hình học phẳng cho học sinh. Các bài tập rèn luyện kỹ năng tư duy logic và khả năng vận dụng kiến thức vào bài toán thực tế.

Tổng Quan Kiến Thức Nền Tảng: Chương III Hình Học 9

Chương “Góc với đường tròn” là một trong những nội dung trọng tâm nhất của chương trình Toán lớp 9. Nó đòi hỏi học sinh phải thành thạo các khái niệm cơ bản về đường tròn và các loại góc liên quan. Các định lý trong chương này là chìa khóa để giải quyết hầu hết các bài toán chứng minh và tính toán.

Tầm Quan Trọng Của Các Loại Góc Với Đường Tròn

Việc nhận diện và xác định mối quan hệ giữa các loại góc trong đường tròn là bước đầu tiên để giải bài tập. Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, hay góc có đỉnh ở bên trong hoặc bên ngoài đường tròn đều có những công thức tính toán riêng biệt. Nắm vững các công thức này giúp chuyển đổi giữa số đo góc và số đo cung một cách chính xác.

Các bài toán trang 79, 80 này chủ yếu xoay quanh định lý về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Định lý này khẳng định số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm bằng nửa số đo cung bị chắn. Đây là một công cụ mạnh mẽ trong các bài toán chứng minh góc bằng nhau và đồng dạng.

Các Định Lý Cơ Bản Cần Nắm Vững Trong Luyện Tập

Để tiếp cận hiệu quả phần giải toán lớp 9 tập 2 trang 79, học sinh cần ôn tập lại các định lý cơ bản. Bao gồm định lý về tiếp tuyến và bán kính đi qua tiếp điểm, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. Đồng thời, kiến thức về tam giác đều, tam giác vuông và các trường hợp đồng dạng của tam giác cũng được áp dụng rộng rãi.

Hệ thức về tiếp tuyến và cát tuyến là một nội dung nâng cao, thường được dùng để chứng minh các hệ thức về tích độ dài đoạn thẳng. Đây là một ví dụ điển hình cho việc áp dụng hình học vào các bài toán thực tế phức tạp.

Phân Tích Chuyên Sâu Lời Giải Bài 31 (Trang 79 SGK)

Bài 31 là một bài tập cơ bản, giúp củng cố kiến thức về tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Đề bài yêu cầu tính số đo góc $widehat{ABC}$ và $widehat{BAC}$ khi biết dây cung $BC$ bằng bán kính $R$.

Phương Pháp Giải và Kiến Thức Áp Dụng

Mấu chốt của bài toán này nằm ở việc xác định loại tam giác $triangle OBC$. Với $OB = OC = R$ và $BC = R$, ta suy ra ngay $triangle OBC$ là tam giác đều. Điều này cho phép xác định số đo góc ở tâm $widehat{BOC} = 60^circ$.

Sau khi có số đo góc ở tâm, ta sử dụng tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để tính $widehat{ABC}$. Cuối cùng, áp dụng tính chất tổng các góc trong tứ giác $ABOC$ hoặc tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để tìm $widehat{BAC}$.

Trình Bày Lời Giải Chi Tiết Bài 31

Bước 1: Chứng minh $triangle OBC$ là tam giác đều.
Ta có $OB = R$ (bán kính), $OC = R$ (bán kính), và $BC = R$ (theo giả thiết).
Suy ra $OB = OC = BC$.
Vậy $triangle OBC$ là tam giác đều.
Do đó, $widehat{BOC} = 60^circ$.

Bước 2: Tính số đo góc $widehat{ABC}$ và $widehat{ACB}$.
Vì $AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$, nên $AB perp OB$. Suy ra $widehat{ABO} = 90^circ$.
Vì $triangle OBC$ là tam giác đều, nên $widehat{OBC} = 60^circ$.
Góc $widehat{ABC}$ bằng hiệu số giữa $widehat{ABO}$ và $widehat{OBC}$.
$widehat{ABC} = widehat{ABO} – widehat{OBC} = 90^circ – 60^circ = 30^circ$.
Tương tự, $AC$ là tiếp tuyến tại $C$ nên $widehat{ACO} = 90^circ$.
Góc $widehat{ACB} = widehat{ACO} – widehat{OCB} = 90^circ – 60^circ = 30^circ$.

Giải bài 31 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Bước 3: Tính số đo góc $widehat{BAC}$.
$AB$ và $AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$.
Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $AB = AC$.
Suy ra $triangle ABC$ là tam giác cân tại $A$.
Ta đã tính được $widehat{ABC} = 30^circ$ và $widehat{ACB} = 30^circ$.
Tổng ba góc trong $triangle ABC$ bằng $180^circ$.
$widehat{BAC} = 180^circ – (widehat{ABC} + widehat{ACB}) = 180^circ – (30^circ + 30^circ) = 120^circ$.

Hoặc, xét tứ giác $ABOC$:
Tổng bốn góc bằng $360^circ$.
$widehat{BAC} = 360^circ – (widehat{ABO} + widehat{ACO} + widehat{BOC}) = 360^circ – (90^circ + 90^circ + 60^circ) = 120^circ$.

Giải bài 31 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Phương Pháp Chứng Minh Hệ Thức Góc (Bài 32 – Trang 80 SGK)

Bài 32 yêu cầu chứng minh một mối quan hệ góc trong hình học. Cụ thể là chứng minh mối quan hệ giữa góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp. Đây là một bài toán tiêu biểu cho việc vận dụng linh hoạt các định lý về góc trong đường tròn.

Phân Tích Yêu Cầu Đề Bài và Định Hướng Chứng Minh

Đề bài cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, tiếp tuyến tại $P$ cắt $AB$ tại $T$. Yêu cầu chứng minh mối quan hệ góc (thường là chứng minh hai góc bằng nhau hoặc một mối liên hệ cộng góc). Để giải quyết bài này, ta cần tận dụng tối đa tính chất của tiếp tuyến $PT$ và đường kính $AB$.

Tính chất $PT$ là tiếp tuyến tại $P$ suy ra $PT perp OP$, tức $triangle OPT$ vuông tại $P$. Tính chất $AB$ là đường kính gợi ý cho ta các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là $90^circ$.

Lời Giải Chi Tiết Theo Các Bước Logic Bài 32

Bước 1: Xác định mối quan hệ góc cơ bản.
Xét góc $widehat{TPB}$. Đây là góc tạo bởi tiếp tuyến $PT$ và dây cung $PB$.
Theo định lý về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, số đo của $widehat{TPB}$ bằng nửa số đo cung $widehat{PB}$. $widehat{TPB} = frac{1}{2} text{sđ} widehat{PB}$.

Bước 2: Liên hệ với góc nội tiếp và góc ở tâm.
Góc $widehat{PAB}$ (hay $widehat{PAB}$) là góc nội tiếp chắn cung $widehat{PB}$.
Theo định lý góc nội tiếp, số đo của $widehat{PAB}$ cũng bằng nửa số đo cung $widehat{PB}$.
$widehat{PAB} = frac{1}{2} text{sđ} widehat{PB}$.
Từ đó suy ra $widehat{TPB} = widehat{PAB}$. (Đây là mối quan hệ góc cơ bản, thường là kết quả cần chứng minh).

Giải bài 32 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Bước 3: Sử dụng tính chất tam giác vuông (Cách 1).
Vì $PT$ là tiếp tuyến tại $P$, nên $triangle OPT$ vuông tại $P$.
Trong tam giác vuông $triangle OPT$, ta có $widehat{POT} + widehat{PTO} = 90^circ$.
Góc $widehat{POT}$ là góc ở tâm chắn cung $widehat{PB}$. $widehat{POT} = text{sđ} widehat{PB}$.
Góc $widehat{PBA}$ là góc nội tiếp chắn cung $widehat{PA}$.
Góc $widehat{APO}$ là góc trong tam giác cân $triangle APO$ (vì $OA=OP=R$).

Giải bài 32 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Nếu đề bài là chứng minh $widehat{TPB} = widehat{PAB}$ thì đã hoàn thành ở Bước 2.

Nếu đề bài yêu cầu chứng minh $widehat{TPB} = widehat{TOP}$ (một yêu cầu thường thấy) thì cần sử dụng mối quan hệ góc ngoài.

Bước 4: Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác (Cách 2).
Xét $triangle APB$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$. Suy ra $widehat{APB} = 90^circ$.
Góc $widehat{OPB}$ là góc trong $triangle OPB$ cân tại $O$ ($OP=OB=R$).
Góc $widehat{POA}$ là góc ngoài tại $O$ của $triangle OPT$.
Góc $widehat{TPB}$ đã chứng minh bằng $widehat{PAB}$.

Việc sử dụng các hình ảnh và phương pháp giải trong bài gốc cần được làm rõ hơn để đạt được sự chính xác. Do bài gốc thiếu kết quả chứng minh cuối cùng, ta cần giả định yêu cầu là $widehat{TPB} = widehat{PAB}$ hoặc một mối quan hệ khác để đảm bảo tính toàn vẹn.

Giải bài 32 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Chứng Minh Hệ Thức Tích: Bài 33 (Trang 80 SGK)

Bài 33 là một ví dụ điển hình về việc áp dụng sự đồng dạng của tam giác để chứng minh hệ thức tích. Đề bài yêu cầu chứng minh $AB cdot AM = AC cdot AN$ với $At$ là tiếp tuyến tại $A$, và $MN$ song song với $At$.

Mối Quan Hệ Giữa Góc Tạo Bởi Tiếp Tuyến Và Dây Cung

Để chứng minh hệ thức tích, ta cần tìm các cặp tam giác đồng dạng mà các cạnh của chúng liên quan đến $AB, AM, AC, AN$. Từ hệ thức cần chứng minh $AB cdot AM = AC cdot AN$, ta biến đổi thành tỷ lệ thức $frac{AB}{AN} = frac{AC}{AM}$ (hoặc $frac{AB}{AC} = frac{AN}{AM}$).

Ta sẽ tìm kiếm sự đồng dạng giữa $triangle ABN$ và $triangle AMC$ (nếu dùng tỷ lệ đầu tiên) hoặc $triangle ABM$ và $triangle ANC$ (nếu dùng tỷ lệ thứ hai).

Tính chất quan trọng nhất để thiết lập sự đồng dạng là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Góc $widehat{tAB}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến $At$ và dây cung $AB$. Góc $widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung $widehat{AB}$. Theo định lý, $widehat{tAB} = widehat{ACB}$.

Chứng Minh Hai Tam Giác Đồng Dạng Bài 33

Bước 1: Sử dụng tính chất song song để tìm góc bằng nhau.
Vì $MN // At$ (theo giả thiết), và $AM$ là cát tuyến cắt hai đường thẳng song song đó.
Nên ta có $widehat{tAM} = widehat{AMN}$ (hai góc so le trong).
Tuy nhiên, $M$ nằm trên $AB$ và $N$ nằm trên $AC$. Góc $widehat{tAC}$ và $widehat{ANC}$ là góc so le trong.
Ta có $widehat{tAC}$ và $widehat{ANC}$ không phải là góc so le trong.

Sử dụng mối quan hệ của $MN // At$ với góc tạo bởi tiếp tuyến $At$:
Ta có $widehat{tAB} = widehat{AMN}$ (hai góc đồng vị) – KHÔNG ĐÚNG vì $MN$ không phải đường thẳng.
Ta có $widehat{tAC} = widehat{ANC}$ (hai góc đồng vị) – KHÔNG ĐÚNG.

Ta sử dụng $widehat{tAC} = widehat{ANM}$ (hai góc đồng vị) – KHÔNG ĐÚNG.
Ta cần dùng $MN // At$ để suy ra $widehat{tAC} = widehat{ANM}$ (so le trong) – KHÔNG ĐÚNG.

Ta có $MN // At$. Ta xét góc ngoài:
$widehat{tAB} = widehat{AMN}$ (hai góc đồng vị) – SỬ DỤNG $AB$ là cát tuyến.
$widehat{tAC} = widehat{ANC}$ (hai góc đồng vị) – SỬ DỤNG $AC$ là cát tuyến.

Bước 2: Thiết lập sự đồng dạng.
Ta sử dụng $widehat{tAB} = widehat{AMN}$ (hai góc đồng vị) và $widehat{tAC} = widehat{ANM}$ (hai góc đồng vị).
Và $widehat{tAB} = widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$).
Từ đó suy ra $widehat{ANM} = widehat{ACB}$.

Tương tự, ta có $widehat{tAC} = widehat{ABC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$).
Từ $widehat{tAC} = widehat{ANM}$ (đồng vị), suy ra $widehat{ANM} = widehat{ABC}$.

Ta cần chứng minh $triangle ABM sim triangle ANC$. (Tỷ lệ $frac{AB}{AN} = frac{AM}{AC}$) $rightarrow$ SAI.
Ta cần chứng minh $triangle ABM sim triangle ACN$. (Tỷ lệ $frac{AB}{AC} = frac{AM}{AN}$) $rightarrow$ SAI.
Ta cần chứng minh $triangle ABN sim triangle AMC$. (Tỷ lệ $frac{AB}{AC} = frac{AN}{AM}$) $rightarrow$ SAI.

Ta chứng minh $triangle AMN sim triangle ACB$. (Tỉ lệ $frac{AM}{AC} = frac{AN}{AB}$)
Xét $triangle AMN$ và $triangle ACB$:

Góc $widehat{MAN} = widehat{CAB}$ (Góc chung).
Ta có $widehat{tAC} = widehat{ABC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).
Vì $MN // At$, nên $widehat{AMN} = widehat{tAB}$ (đồng vị).
Ta lại có $widehat{tAB} = widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).
Suy ra $widehat{AMN} = widehat{ACB}$.
Vậy $triangle AMN sim triangle ACB$ (g.g).

Bước 3: Suy ra hệ thức tích.
Do $triangle AMN sim triangle ACB$, ta có tỉ số đồng dạng:
$$frac{AM}{AC} = frac{AN}{AB}$$
Nhân chéo ta được: $AM cdot AB = AN cdot AC$.
Vậy $AB cdot AM = AC cdot AN$. (Điều phải chứng minh).

Giải bài 33 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9Giải bài 33 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Định Lý Về Tiếp Tuyến Và Cát Tuyến (Bài 34 – Trang 80 SGK)

Bài 34 là một bài toán cơ bản và rất quan trọng. Nó dẫn đến việc hình thành một định lý nổi tiếng trong hình học về hệ thức giữa tiếp tuyến và cát tuyến. Yêu cầu chứng minh $MT^2 = MA cdot MB$.

Cơ Sở Lý Thuyết Của Hệ Thức $MT^2 = MA cdot MB$

Định lý này phát biểu rằng: Nếu từ một điểm $M$ bên ngoài đường tròn, ta kẻ một tiếp tuyến $MT$ và một cát tuyến $MAB$, thì bình phương độ dài đoạn tiếp tuyến $MT$ bằng tích độ dài của đoạn cát tuyến $MA$ và $MB$. Đây là một hệ quả trực tiếp từ việc chứng minh tam giác đồng dạng.

Để chứng minh, ta cần tìm hai tam giác chứa các đoạn thẳng $MT, MA, MB$ sao cho chúng đồng dạng. Cặp tam giác thích hợp là $triangle MTA$ và $triangle MBT$.

Phân Tích Các Cặp Tam Giác Đồng Dạng Bài 34

Xét $triangle MTA$ và $triangle MBT$:

Góc $widehat{TMB} = widehat{TMA}$ (Góc chung, tức góc $M$).
Ta cần chứng minh thêm một cặp góc bằng nhau nữa.
Góc $widehat{MT A}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến $MT$ và dây cung $TA$.
Góc $widehat{MBT}$ là góc nội tiếp chắn cung $TA$.
Theo định lý, $widehat{MT A} = widehat{MBT}$.

Giải bài 34 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Lời Giải Chi Tiết Chứng Minh Hệ Thức Tích

Bước 1: Thiết lập sự đồng dạng.
Xét $triangle MTA$ và $triangle MBT$ có:
begin{itemize}
item $widehat{AMT}$ chung.
item $widehat{MT A} = widehat{MBT}$ (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến $MT$ và dây cung $TA$ bằng góc nội tiếp $widehat{MBT}$ cùng chắn cung $TA$).
end{itemize}
Vậy $triangle MTA sim triangle MBT$ (g.g).

Bước 2: Suy ra tỉ số đồng dạng và hệ thức tích.
Do hai tam giác đồng dạng, ta có tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau:
$$frac{MT}{MB} = frac{MA}{MT} = frac{TA}{BT}$$
Từ tỉ số $frac{MT}{MB} = frac{MA}{MT}$, ta nhân chéo:
$$MT cdot MT = MA cdot MB$$
$$MT^2 = MA cdot MB$$
(Điều phải chứng minh).

Giải bài 34 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9Giải bài 34 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Ứng Dụng Thực Tế Của Hình Học: Bài 35 (Trang 80 SGK)

Bài 35 là một bài toán thực tế thú vị, ứng dụng trực tiếp kết quả của Bài 34 để tính toán khoảng cách. Đây là một minh họa rõ ràng về tính ứng dụng của Hệ thức giữa tiếp tuyến và cát tuyến trong đời sống.

Phân Tích Mô Hình Toán Học Cho Bài Toán Ngọn Hải Đăng

Mô hình hóa bài toán:

Đường tròn $(O)$ đại diện cho Trái Đất, với bán kính $R = 6400 text{ km}$.
Ngọn hải đăng được đặt tại điểm $A$, với chiều cao $MA = 40 text{m} = 0,04 text{ km}$.
Mắt người quan sát trên tàu ở độ cao $M’A’ = 10 text{m} = 0,01 text{ km}$.
Khoảng cách xa nhất mà người quan sát có thể trông thấy ngọn đèn là tổng khoảng cách $MM’$ theo đường thẳng tiếp tuyến với bề mặt Trái Đất.
$MT$ là đoạn tiếp tuyến kẻ từ đỉnh hải đăng $M$. $M’T’$ là đoạn tiếp tuyến kẻ từ mắt người quan sát $M’$. $T$ và $T’$ là tiếp điểm.
Khoảng cách cần tìm là $MM’ = MT + M’T’$.

Giải bài 35 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Ứng Dụng Công Thức $MT^2 = MA cdot MB$

Áp dụng kết quả của Bài 34: $MT^2 = MA cdot MB$.

Phần 1: Tính khoảng cách $MT$ từ đỉnh hải đăng.

$MA = 40 text{ m} = 0,04 text{ km}$ (Chiều cao hải đăng).
$MB = MA + AB$, với $AB$ là đường kính Trái Đất.
$AB = 2R = 2 cdot 6400 = 12800 text{ km}$.
$MB = 0,04 + 12800 = 12800,04 text{ km}$.
$MT^2 = MA cdot MB = 0,04 cdot 12800,04 approx 512,0016$.
$MT = sqrt{512,0016} approx 22,63 text{ km}$.

Phần 2: Tính khoảng cách $M’T’$ từ mắt người quan sát.

$M’A’ = 10 text{ m} = 0,01 text{ km}$ (Độ cao mắt).
$M’B’ = M’A’ + A’B’$, với $A’B’$ là đường kính Trái Đất.
$M’B’ = 0,01 + 12800 = 12800,01 text{ km}$.
$M’T’^2 = M’A’ cdot M’B’ = 0,01 cdot 12800,01 approx 128,0001$.
$M’T’ = sqrt{128,0001} approx 11,31 text{ km}$.

Giải bài 35 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Các Bước Tính Toán Khoảng Cách Chi Tiết

Bước 3: Tính tổng khoảng cách $MM’$.
Khoảng cách lớn nhất mà người quan sát thấy được là tổng hai đoạn tiếp tuyến.
$MM’ = MT + M’T’$.
$MM’ approx 22,63 text{ km} + 11,31 text{ km} = 33,94 text{ km}$.
Làm tròn số, khoảng cách xấp xỉ là $34 text{ km}$.

Vậy, khi cách ngọn hải đăng khoảng $34 text{ km}$ thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng. Bài toán này không chỉ là lời giải toán lớp 9 tập 2 trang 79 mà còn là một bài học về ứng dụng thực tế. Nó cho thấy hình học không chỉ là lý thuyết khô khan mà còn giải quyết được các vấn đề đo đạc trong thế giới thực.

Các bài tập luyện tập từ Bài 31 đến Bài 35 trong sách giáo khoa Toán lớp 9, tập 2, trang 79, 80 đều là những bài toán cốt lõi củng cố kiến thức về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng với định lý hệ thức giữa tiếp tuyến và cát tuyến. Việc hoàn thành và hiểu sâu các lời giải toán lớp 9 tập 2 trang 79 này giúp học sinh có một nền tảng vững chắc. Đây là bước đệm quan trọng để tiếp tục chinh phục các dạng bài tập hình học nâng cao hơn trong chương trình.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 30, 2025 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.