Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 15: Hàm Số

by Thầy Đông · January 6, 2026

Rate this post

Chào mừng các em học sinh đến với bài viết giải toán 10 bài hàm số thuộc bộ sách Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức chi tiết, cách giải bài tập toán học một cách khoa học và dễ hiểu, giúp các em nắm vững khái niệm về hàm số, đồ thị của hàm số và tính đồng biến, nghịch biến. Với mục tiêu giúp học sinh giải toán 10 bài hàm số hiệu quả, chúng tôi đã tổng hợp và trình bày lại kiến thức một cách hệ thống, kèm theo các ví dụ minh họa sinh động.

Đề Bài

Dựa trên thông tin được cung cấp, bài viết gốc có cấu trúc trang web với các liên kết điều hướng và quảng cáo, chứ không chứa đề bài cụ thể cho một bài tập hay một dạng bài tập nào về hàm số. Nội dung chính của bài gốc giới thiệu các phần của bài học “Hàm số” trong sách Toán 10, bao gồm: Mở đầu, Khái niệm hàm số, Đồ thị của hàm số, Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, và phần Bài tập.

Phân Tích Yêu Cầu

Nội dung gốc tập trung vào việc giới thiệu cấu trúc bài học “Hàm số” trong sách Toán 10 (Kết nối tri thức). Bài viết này có mục tiêu cung cấp tài liệu học tập, hướng dẫn học sinh tiếp cận các khái niệm cơ bản về hàm số. Yêu cầu chính là trình bày rõ ràng các phần của bài học, bao gồm khái niệm, đồ thị và tính đơn điệu của hàm số.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số, chúng ta cần nắm vững các kiến thức nền tảng sau:

1. Khái niệm hàm số:
Một hàm số $f$ từ tập $X$ đến tập $Y$ (ký hiệu $f: X to Y$) là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử $x in X$ với duy nhất một phần tử $y in Y$, ký hiệu là $y = f(x)$ . Tập $X$ được gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số $f$, ký hiệu là $D(f)$.

Trong chương trình Toán 10, chúng ta thường xét các hàm số mà tập xác định và tập giá trị là tập con của tập số thực $mathbb{R}$ .

Tập xác định: Là tập hợp tất cả các giá trị của biến $x$ mà tại đó biểu thức xác định hàm số có nghĩa.
Giá trị của hàm số: Với mỗi $x$ thuộc tập xác định, $f(x)$ là giá trị tương ứng của hàm số tại $x$.

Ví dụ: Xét hàm số $y = 2x + 1$ .
Tập xác định của hàm số này là $D(f) = mathbb{R}$ vì biểu thức $2x+1$ có nghĩa với mọi số thực $x$.
Nếu $x = 3$ , thì giá trị của hàm số là $y = f(3) = 2(3) + 1 = 7$ .

2. Đồ thị của hàm số:
Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ trên tập $D(f)$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x, f(x))$ trên mặt phẳng tọa độ, với mọi $x in D(f)$.

Việc vẽ đồ thị giúp chúng ta hình dung một cách trực quan về mối quan hệ giữa biến số và giá trị của hàm số.

3. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số $y = f(x)$ có tập xác định $D$.

Hàm số $f$ được gọi là đồng biến trên $D$ nếu với mọi $x_1, x_2 in D$ và $x_1 < x_2[/katex], ta luôn có [katex]f(x_1) < f(x_2)[/katex].</li> <li>Hàm số $f$ được gọi là nghịch biến trên $D$ nếu với mọi [katex]x_1, x_2 in D$ và $x_1 < x_2[/katex], ta luôn có [katex]f(x_1) > f(x_2)$ .

Tính chất đồng biến hay nghịch biến cho biết khi biến $x$ tăng thì giá trị của hàm số $y$ tăng hay giảm.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về ba khía cạnh chính của hàm số đã được giới thiệu ở phần Kiến thức nền tảng.

1. Khái niệm hàm số và Tập xác định

Định nghĩa:
Hàm số $y = f(x)$ trên tập $D$ là một quy tắc đặt tương ứng mỗi giá trị $x$ với một số thực $y$ duy nhất.

$x$: biến số (biến độc lập).
$y$: giá trị của hàm số tương ứng với $x$.
$D$: tập xác định của hàm số.

Để xác định tập xác định $D$ của một hàm số cho bởi công thức $y = f(x)$ , ta cần tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.

Các trường hợp thường gặp:

Hàm đa thức: Ví dụ: y = ax^n + bx^{n-1} + \ldots + c. Tập xác định là D = mathbb{R}.
- Ví dụ: $f(x) = x^2 - 3x + 2$ . Tập xác định là $D = mathbb{R}$ .
Hàm phân thức: Ví dụ: y = \frac{P(x)}{Q(x)}, với $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức. Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ sao cho Q(x) \ne 0.
- Ví dụ: $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ . Điều kiện xác định là $x-2 \ne 0$ , tức là $x \ne 2$ . Tập xác định là $D = mathbb{R} setminus {2}$ .
Hàm chứa căn bậc hai: Ví dụ: y = \sqrt{A(x)}. Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ sao cho A(x) \ge 0.
- Ví dụ: $f(x) = \sqrt{x-3}$ . Điều kiện xác định là $x-3 \ge 0$ , tức là $x \ge 3$ . Tập xác định là $D = [3, +\infty)$ .
Hàm chứa căn bậc hai ở mẫu: Ví dụ: y = \frac{1}{\sqrt{A(x)}}. Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ sao cho $A(x) > 0$.
- Ví dụ: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$ . Điều kiện xác định là $x+1 > 0$ , tức là $x > -1$ . Tập xác định là $D = (-1, +\infty)$ .
Kết hợp các điều kiện: Khi hàm số có nhiều biểu thức phức tạp, tập xác định là giao của các điều kiện xác định cho từng biểu thức.
- Ví dụ: $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$ .
  Điều kiện 1: $x-1 \ge 0 implies x \ge 1$ .
  Điều kiện 2: $x-3 \ne 0 implies x \ne 3$ .
  Kết hợp hai điều kiện, tập xác định là $D = [1, 3) cup (3, +\infty)$ .

Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được tập xác định, hãy thử thay các giá trị thuộc tập xác định và các giá trị không thuộc tập xác định vào biểu thức của hàm số để kiểm tra xem kết quả có hợp lý hay không.

Lỗi hay gặp:

Quên điều kiện mẫu khác 0 khi có phân thức.
Quên điều kiện biểu thức dưới căn không âm khi có căn bậc hai.
Nhầm lẫn giữa $A(x) \ge 0$ và $A(x) > 0$ khi có căn ở mẫu.

2. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ là tập hợp các điểm có tọa độ $(x, y)$ trên mặt phẳng tọa độ, trong đó $x$ thuộc tập xác định $D(f)$ và $y = f(x)$ .

Các bước vẽ đồ thị:

Tìm tập xác định $D(f)$ của hàm số.
Tính toán các điểm đặc biệt:
- Giao điểm với trục tung (nếu có): Cho $x = 0$ , tính $y = f(0)$ . Điểm là $(0, f(0))$.
- Giao điểm với trục hoành (nếu có): Cho $y = 0$ , giải phương trình $f(x) = 0$ để tìm $x$. Các điểm là $(x_i, 0)$ .
- Chọn một vài giá trị $x$ khác thuộc $D(f)$ và tính các giá trị $y$ tương ứng để có thêm các điểm thuộc đồ thị. Nên chọn các giá trị $x$ dễ tính toán hoặc là các mốc quan trọng (như điểm chia của tập xác định).
Vẽ các điểm đã tính: Đặt các điểm này lên mặt phẳng tọa độ.
Nối các điểm: Dùng thước kẻ hoặc đường cong để nối các điểm đã vẽ, tuân theo quy luật biến thiên của hàm số. Với các hàm cơ bản như hàm bậc nhất, bậc hai, đồ thị sẽ có dạng đường thẳng hoặc parabol.

Ví dụ minh họa: Vẽ đồ thị hàm số $y = x^2 - 2x + 1$ .

Tập xác định: Hàm số là đa thức, nên $D(f) = mathbb{R}$ .
Tính toán các điểm đặc biệt:
- Giao trục tung: Cho $x = 0$ , ta có $y = 0^2 - 2(0) + 1 = 1$ . Điểm $(0, 1)$.
- Giao trục hoành: Cho $y = 0$ , ta có $x^2 - 2x + 1 = 0$ . Phương trình này tương đương $(x-1)^2 = 0$ , có nghiệm duy nhất $x=1$ . Điểm $(1, 0)$.
- Chọn thêm điểm:
  - Nếu $x = 2$ , $y = 2^2 - 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$ . Điểm $(2, 1)$.
  - Nếu $x = -1$ , $y = (-1)^2 - 2(-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$ . Điểm $(-1, 4)$ .
Vẽ các điểm: Đánh dấu các điểm $(0, 1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(-1, 4)$ trên mặt phẳng tọa độ.
Nối các điểm: Nhận thấy $y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ . Đây là một parabol có đỉnh tại $(1, 0)$, bề lõm quay lên trên. Nối các điểm để tạo thành một đường cong parabol đi qua các điểm đã xác định.

Mẹo kiểm tra: Đồ thị có đối xứng qua trục tung hay trục hoành không? Đồ thị có bị "gãy khúc" ở đâu không (trừ khi hàm số có dạng piecewise)? Các điểm đặc biệt (như đỉnh, giao điểm) có nằm trên đồ thị không?

Lỗi hay gặp:

Vẽ sai tập xác định (ví dụ: vẽ đồ thị cho cả những giá trị $x$ mà hàm số không xác định).
Nhầm lẫn tọa độ các điểm.
Nối các điểm bằng đường thẳng thay vì đường cong phù hợp với dạng hàm số.

3. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số đồng biến và nghịch biến mô tả xu hướng thay đổi của giá trị hàm số khi biến số thay đổi.

Hàm số đồng biến: Khi $x$ tăng, $y$ cũng tăng.
Hàm số nghịch biến: Khi $x$ tăng, $y$ giảm.

Trong chương trình Toán 10, chúng ta thường xét tính đơn điệu của các hàm số cơ bản trên từng khoảng xác định.

Ví dụ về các hàm số cơ bản:

Hàm hằng: $y = c$ (với $c$ là hằng số).
Hàm này không đồng biến cũng không nghịch biến. Với mọi $x_1 < x_2[/katex], ta luôn có [katex]f(x_1) = f(x_2) = c[/katex]. </li> <li> Hàm số bậc nhất: [katex]y = ax + b$ , với $a \ne 0$ .
- Nếu $a > 0$, hàm số đồng biến trên $mathbb{R}$ .
 Ví dụ: $y = 2x + 3$ . Nếu $x_1 < x_2[/katex], thì [katex]2x_1 < 2x_2[/katex], suy ra [katex]2x_1 + 3 < 2x_2 + 3[/katex], tức là [katex]f(x_1) < f(x_2)[/katex].</li> <li>Nếu $a < 0$, hàm số nghịch biến trên [katex]mathbb{R}$ .
 Ví dụ: $y = -x + 1$ . Nếu $x_1 < x_2[/katex], thì [katex]-x_1 > -x_2$ , suy ra $-x_1 + 1 > -x_2 + 1$ , tức là $f(x_1) > f(x_2)$ .
Hàm số bậc hai: $y = ax^2 + bx + c$ , với $a \ne 0$ .
Đồ thị là một parabol có đỉnh tại $x = -\frac{b}{2a}$ .
- Nếu $a > 0$: Parabol có bề lõm quay lên.
 Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, -\frac{b}{2a}]$ .
 Hàm số đồng biến trên khoảng $[-\frac{b}{2a}, +\infty)$ .
 Ví dụ: $y = x^2$ . Nghịch biến trên $(-\infty, 0]$ và đồng biến trên $[0, +\infty)$ .
- Nếu $a < 0$: Parabol có bề lõm quay xuống.
 Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, -\frac{b}{2a}]$ .
 Hàm số nghịch biến trên khoảng $[-\frac{b}{2a}, +\infty)$ .
 Ví dụ: $y = -x^2$ . Đồng biến trên $(-\infty, 0]$ và nghịch biến trên $[0, +\infty)$ .

Quy tắc để xác định tính đơn điệu (sử dụng định nghĩa):
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $D$. Xét hai giá trị $x_1, x_2 in D$ với $x_1 < x_2[/katex]. Tính hiệu [katex]f(x_2) - f(x_1)[/katex] hoặc tỉ số [katex]\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}[/katex]. <ul> <li>Nếu [katex]f(x_2) - f(x_1) > 0$ (hoặc $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0$ ) thì hàm số đồng biến.

Nếu

f(x_2) - f(x_1) < 0[/katex] (hoặc [katex]\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < 0[/katex]) thì hàm số nghịch biến.</li> </ul> <p><strong>Ví dụ áp dụng quy tắc:</strong> Chứng minh hàm số [katex]f(x) = x^2

đồng biến trên khoảng

[0, +\infty)

.
Cho

x_1, x_2 in [0, +\infty)

và

x_1 < x_2[/katex]. Ta có [katex]f(x_2) - f(x_1) = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)[/katex]. Vì [katex]x_1 < x_2[/katex] nên [katex]x_2 - x_1 > 0

.
Vì

x_1, x_2 in [0, +\infty)

và

x_1 < x_2[/katex], ta có [katex]x_1 \ge 0[/katex] và [katex]x_2 > 0

. Do đó

x_1 + x_2 > 0

.
Suy ra

(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) > 0

.
Vậy

f(x_2) - f(x_1) > 0

, hay

f(x_1) < f(x_2)[/katex]. Do đó, hàm số [katex]f(x) = x^2[/katex] đồng biến trên khoảng [katex][0, +\infty)[/katex].</p> <p><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Dùng đồ thị để hình dung. Nếu đồ thị đi lên từ trái sang phải, hàm số đồng biến. Nếu đồ thị đi xuống từ trái sang phải, hàm số nghịch biến.</p> <p><strong>Lỗi hay gặp:</strong></p> <ul> <li>Nhầm lẫn khoảng đồng biến và nghịch biến đối với hàm bậc hai (đặc biệt là dấu của hệ số $a$).</li> <li>Không xét [katex]x_1 < x_2[/katex] mà chỉ xét [katex]f(x_1)[/katex] và [katex]f(x_2)[/katex] một cách tùy tiện.</li> <li>Quên điều kiện [katex]x_1, x_2

phải thuộc cùng một khoảng xác định.

Đáp Án/Kết Quả

Bài học này cung cấp nền tảng kiến thức về ba khía cạnh cốt lõi của hàm số:

Khái niệm hàm số và tập xác định: Giúp học sinh xác định được phạm vi các giá trị mà biến số có thể nhận và quy tắc tương ứng với giá trị của hàm số.
Đồ thị của hàm số: Cung cấp công cụ trực quan để hiểu mối quan hệ giữa biến và giá trị hàm số, từ đó phân tích các tính chất của hàm số.
Sự đồng biến, nghịch biến: Giúp mô tả xu hướng thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi, là cơ sở để khảo sát và phân tích sâu hơn.

Nắm vững các khái niệm này là bước đầu tiên và quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn liên quan đến hàm số trong chương trình Toán 10 và các lớp học tiếp theo.

Kết Luận

Tổng kết lại, bài viết giải toán 10 bài hàm số đã trình bày một cách có hệ thống các khái niệm cơ bản về hàm số, bao gồm định nghĩa, tập xác định, cách vẽ đồ thị và phương pháp xác định tính đồng biến, nghịch biến. Việc hiểu rõ các kiến thức này là vô cùng cần thiết để học sinh có thể tự tin giải quyết các dạng bài tập khác nhau trong chương trình Toán 10, đặc biệt là các bài toán liên quan đến hàm số trong sách giáo khoa Kết nối tri thức.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.