Giải Toán 8 SGK Trang 22 Chân Trời Sáng Tạo: Hướng Dẫn Chi Tiết & Áp Dụng Hằng Đẳng Thức

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Giới Thiệu

Chào mừng bạn đến với bài viết chi tiết về giải toán 8 SGK trang 22 thuộc bộ sách Chân Trời Sáng Tạo. Trang này tập trung vào việc củng cố và vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong chương trình Đại số lớp 8. Chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào từng bài tập, phân tích yêu cầu, nắm vững kiến thức nền tảng và áp dụng linh hoạt các công thức để tìm ra lời giải chính xác. Bài viết này không chỉ cung cấp đáp án mà còn hướng dẫn bạn cách tư duy, phương pháp giải và những lỗi sai thường gặp, giúp bạn tự tin chinh phục các dạng bài tập tương tự.

Đề Bài

Bài 1 trang 22 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Tính:
a) ({left( {3x + 4} right)^2})
b) ({left( {5x – y} right)^2})
c) ({left( {xy – dfrac{1}{2}y} right)^2})

Bài 2 trang 22 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) (x^2 + 2x + 1)
b) (9 – 24x + 16x^2)
c) (4x^2 + dfrac{1}{4} + 2x)

Bài 3 trang 22 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (left( {3x – 5} right)left( {3x + 5} right))
b) (left( {x – 2y} right)left( {x + 2y} right))
c) (left( { – x – dfrac{1}{2}y} right)left( { – x + dfrac{1}{2}y} right))

Bài 4 trang 22 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng (2x + 3) dưới dạng đa thức
b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng (3x – 2) dưới dạng đa thức.

Bài 5 trang 22 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Tính nhanh:
a) (38.42)
b) (102^2)
c) (198^2)
d) (75^2 – 25^2)

Bài 6 trang 22 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) ({left( {2x – 3} right)^3})
b) ({left( {a + 3b} right)^3})
c) ({left( {xy – 1} right)^3})

Bài 7 trang 22 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (left( {a – 5} right)left( {{a^2} + 5a + 25} right))
b) (left( {x + 2y} right)left( {{x^2} – 2xy + 4{y^2}} right))

Bài 8 trang 22 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) (left( {a – 1} right)left( {a + 1} right)left( {{a^2} + 1} right))
b) ({left( {xy + 1} right)^2} – {left( {xy – 1} right)^2})

Bài 9 trang 22 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

a) Cho (x + y = 12) và (xy = 35). Tính ({left( {x – y} right)^2})
b) Cho (x – y = 8) và (xy = 20). Tính ({left( {x + y} right)^2})
c) Cho (x + y = 5) và (xy = 6). Tính ({x^3} + {y^3})
d) Cho (x – y = 3) và (xy = 40). Tính ({x^3} – {y^3})

Bài 10 trang 22 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng (5)cm. Thể tích của hình hộp chữ nhật sẽ tăng bao nhiêu nếu:
a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm (a) cm?
b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm (a) cm?

Phân Tích Yêu Cầu

Trang 22 SGK Toán 8 tập 1 cung cấp một loạt các bài tập ứng dụng hằng đẳng thức, bao gồm: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, và các bài toán kết hợp nhiều hằng đẳng thức để tính toán hoặc rút gọn biểu thức.

Yêu cầu chung là biến đổi các biểu thức đã cho về dạng đa thức hoặc tính giá trị nhanh chóng, yêu cầu sự hiểu biết và khả năng vận dụng linh hoạt các quy tắc của hằng đẳng thức.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập trên trang 22 SGK Toán 8, chúng ta cần nắm vững các hằng đẳng thức sau:

Bình phương của một tổng:
({left( {A + B} right)^2 = A^2 + 2AB + B^2})
- Công thức này dùng để khai triển một biểu thức dạng ({(A+B)^2}) thành (A^2 + 2AB + B^2).
Bình phương của một hiệu:
({left( {A – B} right)^2 = A^2 – 2AB + B^2})
- Công thức này dùng để khai triển một biểu thức dạng ({(A-B)^2}) thành (A^2 – 2AB + B^2).
Hiệu hai bình phương:
(A^2 – B^2 = left( {A – B} right)left( {A + B} right))
- Công thức này dùng để biến đổi một biểu thức dạng (A^2 – B^2) thành tích ((A-B)(A+B)), hoặc ngược lại, biến đổi tích ((A-B)(A+B)) thành (A^2 – B^2).
Lập phương của một tổng:
({left( {A + B} right)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3})
- Công thức này dùng để khai triển ({(A+B)^3}).
Lập phương của một hiệu:
({left( {A – B} right)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3})
- Công thức này dùng để khai triển ({(A-B)^3}).
Tổng hai lập phương:
(A^3 + B^3 = left( {A + B} right)left( {{A^2} – AB + {B^2}} right))
- Công thức này dùng để phân tích (A^3 + B^3) thành nhân tử hoặc biến đổi tích tương ứng về dạng tổng hai lập phương.
Hiệu hai lập phương:
(A^3 – B^3 = left( {A – B} right)left( {{A^2} + AB + {B^2}} right))
- Công thức này dùng để phân tích (A^3 – B^3) thành nhân tử hoặc biến đổi tích tương ứng về dạng hiệu hai lập phương.

Lưu ý quan trọng: Khi áp dụng các hằng đẳng thức, cần xác định đúng vai trò của A và B trong từng trường hợp. Đối với các biến số, hệ số, hoặc các biểu thức phức tạp hơn, cần phân tích cẩn thận.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 1: Khai triển bình phương

Yêu cầu: Tính giá trị của các biểu thức dạng bình phương.
Phương pháp: Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

a) ({left( {3x + 4} right)^2})

Xác định (A = 3x) và (B = 4).
Áp dụng công thức ({(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2}).
Thay thế: ({(3x)^2 + 2 cdot (3x) cdot 4 + 4^2}).
Tính toán: (9x^2 + 24x + 16).

b) ({left( {5x – y} right)^2})

Xác định (A = 5x) và (B = y).
Áp dụng công thức ({(A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2}).
Thay thế: ({(5x)^2 – 2 cdot (5x) cdot y + y^2}).
Tính toán: (25x^2 – 10xy + y^2).

c) ({left( {xy – dfrac{1}{2}y} right)^2})

Xác định (A = xy) và (B = dfrac{1}{2}y).
Áp dụng công thức ({(A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2}).
Thay thế: ({(xy)^2 – 2 cdot (xy) cdot left(dfrac{1}{2}yright) + left(dfrac{1}{2}yright)^2}).
Tính toán: (x^2y^2 – xy^2 + dfrac{1}{4}y^2).

Mẹo kiểm tra: Sau khi khai triển, kiểm tra lại các số mũ và hệ số. Đảm bảo bạn đã bình phương đúng các thành phần, đặc biệt là các biểu thức có chứa cả chữ và số.

Lỗi hay gặp:

Quên bình phương cả hệ số và biến số, ví dụ ((3x)^2) thành (3x^2) thay vì (9x^2).
Sai dấu ở hạng tử thứ hai trong khai triển ((A-B)^2).
Sai sót khi bình phương các phân số hoặc có lẫn biến số trong (B).

Bài 2: Biến đổi về bình phương

Yêu cầu: Viết các biểu thức đã cho thành dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu.
Phương pháp: Nhận dạng cấu trúc (A^2 pm 2AB + B^2) và áp dụng ngược hằng đẳng thức.

a) (x^2 + 2x + 1)

Nhận thấy (x^2) là ({A^2}) với (A=x), và (1) là ({B^2}) với (B=1).
Kiểm tra hạng tử giữa: (2AB = 2 cdot x cdot 1 = 2x). Hạng tử này trùng khớp với biểu thức đã cho.
Áp dụng công thức ({A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2}).
Kết quả: ((x+1)^2).

b) (9 – 24x + 16x^2)

Đảo thứ tự các hạng tử cho dễ nhìn: (16x^2 – 24x + 9).
Nhận thấy (16x^2 = (4x)^2) (với (A=4x)) và (9 = 3^2) (với (B=3)).
Kiểm tra hạng tử giữa: (2AB = 2 cdot (4x) cdot 3 = 24x). Dạng của biểu thức là (A^2 – 2AB + B^2) nên ta có dấu trừ.
Áp dụng công thức ({A^2 – 2AB + B^2 = (A-B)^2}).
Kết quả: ((4x – 3)^2).
Lưu ý: Ta cũng có thể coi (A=3) và (B=4x), khi đó ({(3-4x)^2}). Cả hai kết quả đều đúng vì ((3-4x)^2 = (-(4x-3))^2 = (4x-3)^2).

c) (4x^2 + dfrac{1}{4} + 2x)

Sắp xếp lại: (4x^2 + 2x + dfrac{1}{4}).
Nhận thấy (4x^2 = (2x)^2) (với (A=2x)) và (dfrac{1}{4} = left(dfrac{1}{2}right)^2) (với (B=dfrac{1}{2})).
Kiểm tra hạng tử giữa: (2AB = 2 cdot (2x) cdot left(dfrac{1}{2}right) = 2x). Hạng tử này trùng khớp.
Áp dụng công thức ({A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2}).
Kết quả: (left(2x + dfrac{1}{2}right)^2).

Mẹo kiểm tra: Sau khi viết lại dưới dạng bình phương, thử khai triển ngược lại để xem có khớp với biểu thức ban đầu không.

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn giữa công thức bình phương tổng và bình phương hiệu.
Không nhận ra được A hoặc B khi chúng là các biểu thức phức tạp hoặc chứa phân số.
Sai sót khi xác định dấu của hạng tử giữa.

Bài 3: Khai triển hiệu hai bình phương

Yêu cầu: Viết các tích của hai biểu thức liên hợp thành đa thức.
Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương (A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)) hoặc ((A-B)(A+B) = A^2 – B^2).

a) (left( {3x – 5} right)left( {3x + 5} right))

Nhận dạng đây là dạng ((A-B)(A+B)) với (A = 3x) và (B = 5).
Áp dụng công thức ((A-B)(A+B) = A^2 – B^2).
Thay thế: ((3x)^2 – 5^2).
Tính toán: (9x^2 – 25).

b) (left( {x – 2y} right)left( {x + 2y} right))

Nhận dạng đây là dạng ((A-B)(A+B)) với (A = x) và (B = 2y).
Áp dụng công thức ((A-B)(A+B) = A^2 – B^2).
Thay thế: (x^2 – (2y)^2).
Tính toán: (x^2 – 4y^2).

c) (left( { – x – dfrac{1}{2}y} right)left( { – x + dfrac{1}{2}y} right))

Nhận dạng đây là dạng ((A-B)(A+B)) với (A = -x) và (B = dfrac{1}{2}y).
Áp dụng công thức ((A-B)(A+B) = A^2 – B^2).
Thay thế: ((-x)^2 – left(dfrac{1}{2}yright)^2).
Tính toán: (x^2 – dfrac{1}{4}y^2).
Cách khác: Có thể biến đổi (left( { – x – dfrac{1}{2}y} right) = -left(x + dfrac{1}{2}yright)) và (left( { – x + dfrac{1}{2}y} right) = -left(x – dfrac{1}{2}yright)). Khi đó tích trở thành (-left(x + dfrac{1}{2}yright) cdot -left(x – dfrac{1}{2}yright) = left(x + dfrac{1}{2}yright) left(x – dfrac{1}{2}yright)). Áp dụng hằng đẳng thức (A=x, B=dfrac{1}{2}y) cho ((A+B)(A-B)) ta được (x^2 – left(dfrac{1}{2}yright)^2 = x^2 – dfrac{1}{4}y^2).

Mẹo kiểm tra:

Luôn đảm bảo hai biểu thức trong ngoặc chỉ khác nhau ở dấu của hạng tử thứ hai.
Kiểm tra xem A và B đã được xác định đúng chưa, đặc biệt khi có dấu âm hoặc các hệ số đi kèm.

Lỗi hay gặp:

Sai khi bình phương một số hạng, ví dụ ((2y)^2) thành (2y^2) thay vì (4y^2).
Nhầm lẫn dấu hoặc không nhận ra cấu trúc của hằng đẳng thức.
Sử dụng sai hằng đẳng thức, ví dụ nhầm lẫn với bình phương của tổng/hiệu.

Bài 4: Ứng dụng hình học

Yêu cầu: Thiết lập biểu thức tính diện tích/thể tích dưới dạng đa thức.
Phương pháp: Kết hợp công thức hình học với hằng đẳng thức.

a) Diện tích hình vuông có cạnh (2x + 3).

Công thức diện tích hình vuông: (S = text{cạnh}^2).
Thay cạnh vào: (S = (2x + 3)^2).
Đây là dạng bình phương của một tổng. Xác định (A = 2x) và (B = 3).
Áp dụng ({(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2}).
Tính toán: ((2x)^2 + 2 cdot (2x) cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9).
Vậy, diện tích hình vuông dưới dạng đa thức là (4x^2 + 12x + 9).

b) Thể tích khối lập phương có cạnh (3x – 2).

Công thức thể tích khối lập phương: (V = text{cạnh}^3).
Thay cạnh vào: (V = (3x – 2)^3).
Đây là dạng lập phương của một hiệu. Xác định (A = 3x) và (B = 2).
Áp dụng ({(A-B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3}).
Thay thế: ((3x)^3 – 3 cdot (3x)^2 cdot 2 + 3 cdot (3x) cdot 2^2 – 2^3).
Tính toán: (27x^3 – 3 cdot 9x^2 cdot 2 + 9x cdot 4 – 8).
Rút gọn: (27x^3 – 54x^2 + 36x – 8).
Vậy, thể tích khối lập phương dưới dạng đa thức là (27x^3 – 54x^2 + 36x – 8).

Mẹo kiểm tra: Đảm bảo bạn nhớ đúng công thức diện tích/thể tích cơ bản và áp dụng đúng hằng đẳng thức tương ứng.

Lỗi hay gặp:

Quên bình phương/lập phương cả hệ số và biến số.
Sai sót trong quá trình nhân và tính toán các hạng tử, đặc biệt là với lập phương.

Bài 5: Tính nhanh

Yêu cầu: Sử dụng hằng đẳng thức để tính các giá trị số học một cách nhanh chóng.
Phương pháp: Nhận dạng cấu trúc của các số để áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương của tổng hoặc hiệu.

a) (38 cdot 42)

Quan sát thấy 38 và 42 cách đều 40. Ta có thể viết lại là ((40 – 2)) và ((40 + 2)).
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: ({(A-B)(A+B) = A^2 – B^2}) với (A=40, B=2).
Tính toán: (40^2 – 2^2 = 1600 – 4 = 1596).

b) (102^2)

Quan sát thấy 102 gần với 100. Ta có thể viết lại là ((100 + 2)).
Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: ({(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2}) với (A=100, B=2).
Tính toán: (100^2 + 2 cdot 100 cdot 2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404).

c) (198^2)

Quan sát thấy 198 gần với 200. Ta có thể viết lại là ((200 – 2)).
Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: ({(A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2}) với (A=200, B=2).
Tính toán: (200^2 – 2 cdot 200 cdot 2 + 2^2 = 40000 – 800 + 4 = 39204).

d) (75^2 – 25^2)

Đây là dạng hiệu hai bình phương. Áp dụng hằng đẳng thức ({A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)}) với (A=75, B=25).
Tính toán: ((75 – 25)(75 + 25) = 50 cdot 100 = 5000).

Mẹo kiểm tra: Các phương pháp này giúp tránh phép nhân số lớn phức tạp, giảm thiểu sai sót. Hãy chọn cách biến đổi mà bạn thấy thuận tiện nhất với các số tròn chục, tròn trăm.

Lỗi hay gặp:

Chọn sai cách phân tích số, dẫn đến phép tính vẫn phức tạp.
Áp dụng sai công thức hoặc nhầm lẫn dấu trong quá trình tính toán.

Bài 6: Khai triển lập phương

Yêu cầu: Viết các biểu thức dạng lập phương thành đa thức.
Phương pháp: Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

a) ({left( {2x – 3} right)^3})

Xác định (A = 2x) và (B = 3).
Áp dụng công thức ({(A-B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3}).
Thay thế: ((2x)^3 – 3(2x)^2(3) + 3(2x)(3)^2 – 3^3).
Tính toán: (8x^3 – 3(4x^2)(3) + 6x(9) – 27).
Rút gọn: (8x^3 – 36x^2 + 54x – 27).

b) ({left( {a + 3b} right)^3})

Xác định (A = a) và (B = 3b).
Áp dụng công thức ({(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3}).
Thay thế: (a^3 + 3(a^2)(3b) + 3(a)(3b)^2 + (3b)^3).
Tính toán: (a^3 + 9a^2b + 3a(9b^2) + 27b^3).
Rút gọn: (a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3).

c) ({left( {xy – 1} right)^3})

Xác định (A = xy) và (B = 1).
Áp dụng công thức ({(A-B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3}).
Thay thế: ((xy)^3 – 3(xy)^2(1) + 3(xy)(1)^2 – 1^3).
Tính toán: (x^3y^3 – 3(x^2y^2)(1) + 3xy(1) – 1).
Rút gọn: (x^3y^3 – 3x^2y^2 + 3xy – 1).

Mẹo kiểm tra: Chú ý đến hệ số và số mũ. Cần kiểm tra cẩn thận các hạng tử (3A^2B) và (3AB^2), đặc biệt khi A hoặc B là một biểu thức phức tạp.

Lỗi hay gặp:

Sai dấu ở các hạng tử trong khai triển lập phương của hiệu.
Quên lập phương cả hệ số và biến số, ví dụ ((3b)^3) thành (3b^3) thay vì (27b^3).
Sai sót trong tính toán (A^2B) hoặc (AB^2).

Bài 7: Biến đổi tổng/hiệu hai lập phương

Yêu cầu: Viết các tích thành đa thức bằng cách áp dụng hằng đẳng thức tổng/hiệu hai lập phương.
Phương pháp: Nhận dạng dạng ((A pm B)(A^2 mp AB + B^2)) và áp dụng công thức tương ứng.

a) (left( {a – 5} right)left( {{a^2} + 5a + 25} right))

Nhận dạng đây là dạng ((A-B)(A^2+AB+B^2)).
Xác định (A = a).
Với (B=5), ta có (B^2 = 5^2 = 25).
Hạng tử giữa là (AB = a cdot 5 = 5a).
Các thành phần khớp với hằng đẳng thức hiệu hai lập phương (A^3 – B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)).
Thay thế: (a^3 – 5^3).
Tính toán: (a^3 – 125).

b) (left( {x + 2y} right)left( {{x^2} – 2xy + 4{y^2}} right))

Nhận dạng đây là dạng ((A+B)(A^2-AB+B^2)).
Xác định (A = x).
Với (B=2y), ta có (B^2 = (2y)^2 = 4y^2).
Hạng tử giữa là (AB = x cdot (2y) = 2xy). Dấu của hạng tử giữa trong tích là trừ, phù hợp với hằng đẳng thức.
Các thành phần khớp với hằng đẳng thức tổng hai lập phương (A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)).
Thay thế: (x^3 + (2y)^3).
Tính toán: (x^3 + 8y^3).

Mẹo kiểm tra: Luôn đối chiếu cẩn thận từng thành phần của biểu thức với cấu trúc của hằng đẳng thức.

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn giữa dạng tổng và hiệu hai lập phương (dấu của A, B và dấu của hạng tử giữa).
Sai sót khi xác định (A), (B) hoặc khi tính (A^2, B^2, AB).

Bài 8: Kết hợp hằng đẳng thức

Yêu cầu: Viết các biểu thức phức tạp hơn thành đa thức bằng cách kết hợp các hằng đẳng thức.
Phương pháp: Áp dụng tuần tự các hằng đẳng thức, ưu tiên hằng đẳng thức hiệu hai bình phương nếu có thể.

a) (left( {a – 1} right)left( {a + 1} right)left( {{a^2} + 1} right))

Nhận thấy (left( {a – 1} right)left( {a + 1} right)) là dạng hiệu hai bình phương với (A=a, B=1).
Áp dụng ({(A-B)(A+B) = A^2 – B^2}): (left(a^2 – 1^2right) = a^2 – 1).
Biểu thức trở thành: (left( {a^2 – 1} right)left( {{a^2} + 1} right)).
Đây tiếp tục là dạng hiệu hai bình phương với (A=a^2, B=1).
Áp dụng ({(A-B)(A+B) = A^2 – B^2}): ((a^2)^2 – 1^2).
Tính toán: (a^4 – 1).

b) ({left( {xy + 1} right)^2} – {left( {xy – 1} right)^2})

Đây là dạng hiệu hai bình phương: (A^2 – B^2) với (A = (xy + 1)) và (B = (xy – 1)).
Áp dụng ({A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)}).
Ta có:
- (A – B = (xy + 1) – (xy – 1) = xy + 1 – xy + 1 = 2).
- (A + B = (xy + 1) + (xy – 1) = xy + 1 + xy – 1 = 2xy).
Kết hợp lại: ((A – B)(A + B) = 2 cdot (2xy)).
Tính toán: (4xy).

Mẹo kiểm tra: Luôn tìm kiếm các cặp biểu thức có thể áp dụng hằng đẳng thức ngay lập tức để đơn giản hóa bài toán.

Lỗi hay gặp:

Áp dụng sai hằng đẳng thức hoặc nhầm lẫn giữa các biến.
Sai sót trong quá trình rút gọn hoặc tính toán sau khi áp dụng hằng đẳng thức.

Bài 9: Ứng dụng tìm giá trị

Yêu cầu: Tính giá trị của một biểu thức liên quan đến (x, y) khi biết giá trị của (x+y), (x-y), (xy).
Phương pháp: Biến đổi biểu thức cần tính về dạng có chứa các giá trị đã cho bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.

a) Cho (x + y = 12) và (xy = 35). Tính ({left( {x – y} right)^2}).

Ta cần biểu thức ((x – y)^2). Khai triển: ((x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2).
Ta có (x^2 + y^2) và (xy). Ta muốn đưa về ((x+y)^2).
Ta biết ((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2). Từ đó suy ra (x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy).
Thay (x^2 + y^2) vào biểu thức ((x – y)^2): ((x – y)^2 = left((x + y)^2 – 2xyright) – 2xy = (x + y)^2 – 4xy).
Thay giá trị đã cho: ((x – y)^2 = 12^2 – 4 cdot 35 = 144 – 140 = 4).

b) Cho (x – y = 8) và (xy = 20). Tính ({left( {x + y} right)^2}).

Ta cần biểu thức ((x + y)^2). Khai triển: ((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2).
Ta có (x^2 + y^2) và (xy). Ta muốn đưa về ((x-y)^2).
Ta biết ((x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2). Từ đó suy ra (x^2 + y^2 = (x – y)^2 + 2xy).
Thay (x^2 + y^2) vào biểu thức ((x + y)^2): ((x + y)^2 = left((x – y)^2 + 2xyright) + 2xy = (x – y)^2 + 4xy).
Thay giá trị đã cho: ((x + y)^2 = 8^2 + 4 cdot 20 = 64 + 80 = 144).

c) Cho (x + y = 5) và (xy = 6). Tính ({x^3} + {y^3}).

Ta sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương: (x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 – xy + y^2)).
Ta cần (x^2 + y^2). Từ (x+y=5), bình phương hai vế: ((x+y)^2 = 5^2 Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = 25).
Suy ra (x^2 + y^2 = 25 – 2xy = 25 – 2 cdot 6 = 25 – 12 = 13).
Thay vào công thức (x^3 + y^3): (x^3 + y^3 = (x + y)((x^2 + y^2) – xy)).
Thay giá trị đã cho: (x^3 + y^3 = 5 cdot (13 – 6) = 5 cdot 7 = 35).
Cách khác: Sử dụng đồng nhất thức (x^3 + y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y)).
Thay giá trị đã cho: (x^3 + y^3 = 5^3 – 3 cdot 6 cdot 5 = 125 – 90 = 35).

d) Cho (x – y = 3) và (xy = 40). Tính ({x^3} – {y^3}).

Ta sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: (x^3 – y^3 = (x – y)(x^2 + xy + y^2)).
Ta cần (x^2 + y^2). Từ (x-y=3), bình phương hai vế: ((x-y)^2 = 3^2 Rightarrow x^2 – 2xy + y^2 = 9).
Suy ra (x^2 + y^2 = 9 + 2xy = 9 + 2 cdot 40 = 9 + 80 = 89).
Thay vào công thức (x^3 – y^3): (x^3 – y^3 = (x – y)((x^2 + y^2) + xy)).
Thay giá trị đã cho: (x^3 – y^3 = 3 cdot (89 + 40) = 3 cdot 129 = 387).
- Kiểm tra lại bài gốc: Bài gốc ghi đáp án là -555. Có vẻ có sai sót trong đề gốc hoặc cách giải của tôi.
- Kiểm tra lại cách giải khác: Sử dụng đồng nhất thức (x^3 – y^3 = (x-y)^3 + 3xy(x-y)).
- Thay giá trị đã cho: (x^3 – y^3 = 3^3 + 3 cdot 40 cdot 3 = 27 + 360 = 387).
- Dường như đề gốc có lỗi ở bài 9d khi tính (x^3 – y^3). Với (x-y=3) và (xy=40), kết quả là 387. Đáp án -555 của bài gốc có thể do sai số liệu đầu vào hoặc quy tắc tính.
- Phân tích thêm: Nếu đề bài là (x-y = -3) và (xy = 40), thì ((-3)^3 + 3 cdot 40 cdot (-3) = -27 – 360 = -387).
- Nếu (x-y = 3) và (xy = -40), thì (3^3 + 3 cdot (-40) cdot 3 = 27 – 360 = -333).
- Nếu (x-y = 10) và (xy = 25) (ví dụ khác), (10^3 + 3 cdot 25 cdot 10 = 1000 + 750 = 1750).
- Có lẽ (x, y) không phải là số thực. Ví dụ: (x = dfrac{3 pm sqrt{9 + 160}}{2} = dfrac{3 pm sqrt{169}}{2} = dfrac{3 pm 13}{2}). Nếu (x=8), (y=5), thì (x-y=3), (xy=40). (x^3 – y^3 = 8^3 – 5^3 = 512 – 125 = 387).
- Nếu (x = -5), (y = -8), thì (x-y = -5 – (-8) = 3), (xy = (-5)(-8)=40). (x^3 – y^3 = (-5)^3 – (-8)^3 = -125 – (-512) = -125 + 512 = 387).
- Kết luận: Đáp án -555 từ bài gốc có vẻ sai. Tôi sẽ giữ kết quả tính toán là 387.

Mẹo kiểm tra: Nhận dạng các mối liên hệ giữa (x+y), (x-y), (xy), (x^2+y^2), (x^3+y^3) qua các hằng đẳng thức. Biến đổi biểu thức cần tính về dạng chứa các đại lượng đã biết.

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn giữa ((x+y)^2) và ((x-y)^2), hoặc giữa tổng và hiệu hai lập phương.
Sai sót trong quá trình biến đổi hoặc tính toán các giá trị trung gian như (x^2+y^2).

Bài 10: Ứng dụng thực tế với hình hộp chữ nhật

Yêu cầu: Tính sự thay đổi thể tích của hình hộp chữ nhật khi các kích thước thay đổi.
Phương pháp: Sử dụng công thức thể tích và các hằng đẳng thức để tính toán.

Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm.

Thể tích ban đầu: (V_0 = 5 times 5 times 5 = 5^3 = 125) (cm³).

a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm (a) cm.

Chiều dài mới: (5 + a) (cm).
Chiều rộng mới: (5 + a) (cm).
Chiều cao giữ nguyên: (5) (cm).
Thể tích mới: (V_1 = (5 + a) times (5 + a) times 5 = (5 + a)^2 times 5).
Khai triển ((5+a)^2 = 5^2 + 2 cdot 5 cdot a + a^2 = 25 + 10a + a^2).
Thể tích mới: (V_1 = (25 + 10a + a^2) times 5 = 125 + 50a + 5a^2) (cm³).
Thể tích tăng thêm là (V_1 – V_0):
((125 + 50a + 5a^2) – 125 = 5a^2 + 50a) (cm³).

b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm (a) cm.

Chiều dài mới: (5 + a) (cm).
Chiều rộng mới: (5 + a) (cm).
Chiều cao mới: (5 + a) (cm).
Thể tích mới: (V_2 = (5 + a) times (5 + a) times (5 + a) = (5 + a)^3).
Khai triển ((5+a)^3) sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng ({(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3}) với (A=5, B=a).
(V_2 = 5^3 + 3 cdot 5^2 cdot a + 3 cdot 5 cdot a^2 + a^3).
(V_2 = 125 + 3 cdot 25 cdot a + 15a^2 + a^3 = 125 + 75a + 15a^2 + a^3) (cm³).
Thể tích tăng thêm là (V_2 – V_0):
((125 + 75a + 15a^2 + a^3) – 125 = a^3 + 15a^2 + 75a) (cm³).

Mẹo kiểm tra:

Đảm bảo xác định đúng các kích thước mới sau khi tăng.
Kiểm tra lại việc áp dụng đúng hằng đẳng thức, đặc biệt là các hệ số.

Lỗi hay gặp:

Tính sai thể tích ban đầu hoặc thể tích sau khi thay đổi.
Áp dụng sai hằng đẳng thức bình phương hoặc lập phương.
Quên nhân kết quả khai triển với hệ số còn lại (trong trường hợp chỉ thay đổi một hoặc hai kích thước).

Đáp Án/Kết Quả

Dưới đây là tóm tắt các đáp án cho các bài tập trên trang 22 SGK Toán 8 tập 1:

Bài 1:
a) (9x^2 + 24x + 16)
b) (25x^2 – 10xy + y^2)
c) (x^2y^2 – xy^2 + dfrac{1}{4}y^2)

Bài 2:
a) ((x + 1)^2)
b) ((4x – 3)^2) hoặc ((3 – 4x)^2)
c) (left(2x + dfrac{1}{2}right)^2)

Bài 3:
a) (9x^2 – 25)
b) (x^2 – 4y^2)
c) (x^2 – dfrac{1}{4}y^2)

Bài 4:
a) (4x^2 + 12x + 9)
b) (27x^3 – 54x^2 + 36x – 8)

Bài 5:
a) 1596
b) 10404
c) 39204
d) 5000

Bài 6:
a) (8x^3 – 36x^2 + 54x – 27)
b) (a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3)
c) (x^3y^3 – 3x^2y^2 + 3xy – 1)

Bài 7:
a) (a^3 – 125)
b) (x^3 + 8y^3)

Bài 8:
a) (a^4 – 1)
b) (4xy)

Bài 9:
a) ({left( {x – y} right)^2} = 4)
b) ({left( {x + y} right)^2} = 144)
c) ({x^3} + {y^3} = 35)
d) ({x^3} – {y^3} = 387) (Lưu ý: kết quả này khác với bài gốc có thể có sai sót)

Bài 10:
a) Thể tích tăng thêm (5a^2 + 50a) (cm³).
b) Thể tích tăng thêm (a^3 + 15a^2 + 75a) (cm³).

Kết Luận

Trang 22 SGK Toán 8 tập 1 là một phần quan trọng giúp học sinh làm quen và thành thạo việc áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Việc hiểu rõ từng hằng đẳng thức, nhận diện chúng trong các bài toán khác nhau và thực hành thường xuyên là chìa khóa để giải toán 8 SGK trang 22 cũng như các dạng bài tương tự. Hãy luôn chú ý đến việc xác định đúng các thành phần A và B, áp dụng đúng công thức, và kiểm tra lại kết quả cẩn thận. Chúc bạn học tốt và chinh phục thành công môn Toán!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.