Giải Toán 9 KNTT Bài 9: Các Phép Toán Với Căn Bậc Hai

Chào mừng các em đến với bài viết chi tiết hướng dẫn giải các bài tập Toán 9 thuộc chương trình “Kết nối tri thức” (KNTT), tập trung vào chủ đề các phép toán với căn bậc hai. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải cụ thể, phân tích sâu sắc các dạng bài tập, đồng thời trang bị cho các em kiến thức nền tảng vững chắc để tự tin chinh phục mọi dạng toán liên quan.

Đề Bài

Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Tính và so sánh (sqrt {{{left( { – 3} right)}^2}.25}) với (left| { – 3} right|.sqrt {25})

Luyện tập 1 trang 54 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
a) (sqrt {12})
b) (3sqrt {27})
c) (5sqrt {48})

Luyện tập 2 trang 55 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Khử mẫu của biểu thức lấy căn (sqrt {frac{3}{5}})

Hoạt động 2 trang 55 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Tính và so sánh:
a) (5.sqrt 4) với (sqrt {{5^2}.4})
b) -(5.sqrt 4) với ( – sqrt {{{left( { – 5} right)}^2}.4})

Luyện tập 3 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Đưa thừa số vào trong dấu căn:
a) (3sqrt 5)
b) ( – 2sqrt 7)

Hoạt động 3 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức (frac{{3a}}{{2sqrt 2 }}) với (sqrt 2) và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

Hoạt động 4 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho hai biểu thức (frac{{ – 2}}{{sqrt 3 + 1}}) và (frac{1}{{sqrt 3 – sqrt 2 }}). Hãy thực hiện các yêu cầu sau để viết các biểu thức đó dưới dạng không có căn thức ở mẫu:
a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu.
b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.
c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu của biểu thức nhận được.

Luyện tập 4 trang 57 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
a) (frac{{ – 5sqrt {{x^2} + 1} }}{{2sqrt 3 }})
b) (frac{{{a^2} – 2a}}{{sqrt a + sqrt 2 }}) ((a ge 0, a ne 2))

Luyện tập 5 trang 58 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Rút gọn biểu thức sau:
(left( {frac{{sqrt {22} – sqrt {11} }}{{1 – sqrt 2 }} + frac{{sqrt {21} – sqrt 7 }}{{1 – sqrt 3 }}} right)left( {sqrt 7 – sqrt {11} } right))

Vận dụng trang 58 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ v (m/s) được cho bởi công thức (m = frac{{{m_0}}}{{sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }},) trong đó (m_0) (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là tốc độ của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016)
a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu.
b) Tính khối lượng m theo (m_0) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với tốc độ (v = frac{1}{{10}}c.)

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trong phần này chủ yếu xoay quanh việc biến đổi các biểu thức chứa căn bậc hai. Chúng ta cần thực hiện các thao tác như: tính giá trị biểu thức có chứa căn bậc hai, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn (trục căn thức ở mẫu), và rút gọn các biểu thức phức tạp hơn. Yêu cầu chung là sử dụng các quy tắc và hằng đẳng thức liên quan đến căn bậc hai để đưa các biểu thức về dạng đơn giản nhất, thường là dạng không chứa căn ở mẫu hoặc dạng rút gọn nhất có thể.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, các em cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Định nghĩa căn bậc hai số học: Với số dương a, (sqrt a) là số dương mà bình phương lên bằng a.
2. Hằng đẳng thức căn bậc hai:
   • (sqrt {{a^2}} = |a|) với mọi số thực a.
   • (sqrt {AB} = sqrt A sqrt B) với A, B không âm.
   • (sqrt {frac{A}{B}} = frac{{sqrt A }}{{sqrt B }}) với A không âm, B dương.
3. Các phép toán với căn bậc hai:
   • Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Nếu muốn đưa thừa số a (với (a ge 0)) vào trong dấu căn (sqrt{…}), ta thực hiện (asqrt{b} = sqrt{a^2 b}). Nếu a âm, ta có (asqrt{b} = -(-a)sqrt{b} = -sqrt{(-a)^2 b} = -sqrt{a^2 b}).
   • Khử mẫu của biểu thức lấy căn (trục căn thức ở mẫu):
     • Dạng (frac{A}{sqrt B}): Nhân cả tử và mẫu với (sqrt B). (frac{A}{sqrt B} = frac{Asqrt B}{{sqrt B sqrt B}} = frac{Asqrt B}{B}).
     • Dạng (frac{A}{sqrt B pm sqrt C}) hoặc (frac{A}{a pm sqrt B}): Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.
       • Biểu thức liên hợp của (sqrt B + sqrt C) là (sqrt B – sqrt C) và ngược lại.
       • Biểu thức liên hợp của (a + sqrt B) là (a – sqrt B) và ngược lại.
       • Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: ((sqrt B + sqrt C)(sqrt B – sqrt C) = (sqrt B)^2 – (sqrt C)^2 = B – C), và ((a + sqrt B)(a – sqrt B) = a^2 – (sqrt B)^2 = a^2 – B).
4. Rút gọn biểu thức: Kết hợp các phép toán trên, áp dụng các hằng đẳng thức và quy tắc để biểu thức trở nên đơn giản nhất.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Yêu cầu: Tính và so sánh (sqrt {{{left( { – 3} right)}^2}.25}) với (left| { – 3} right|.sqrt {25}).

Phân tích:
Bài này kiểm tra hiểu biết về (sqrt{a^2}=|a|) và các phép nhân cơ bản với căn bậc hai.

Các bước giải:

1. Tính giá trị biểu thức thứ nhất: (sqrt {{{left( { – 3} right)}^2}.25}).
   • Ta có ((-3)^2 = 9).
   • Vậy, (sqrt {{{left( { – 3} right)}^2}.25} = sqrt{9 times 25} = sqrt{225}).
   • Số nào bình phương lên bằng 225? Đó là 15. Vậy (sqrt{225} = 15).
2. Tính giá trị biểu thức thứ hai: (left| { – 3} right|.sqrt {25}).
   • Giá trị tuyệt đối của -3 là 3: (left| { – 3} right| = 3).
   • Căn bậc hai số học của 25 là 5: (sqrt {25} = 5).
   • Vậy, (left| { – 3} right|.sqrt {25} = 3 times 5 = 15).
3. So sánh hai kết quả.
   • Ta thấy (15 = 15).

Đáp án:
(sqrt {{{left( { – 3} right)}^2}.25} = 15)
(left| { – 3} right|.sqrt {25} = 15)
Do đó, (sqrt {{{left( { – 3} right)}^2}.25}) = (left| { – 3} right|.sqrt {25}).

Mẹo kiểm tra:
Luôn nhớ rằng (sqrt{a^2}) không phải lúc nào cũng bằng (a). Nó bằng (|a|). Trong trường hợp này, ((-3)^2) là 9, và (sqrt{9}) là 3.

Luyện tập 1 trang 54 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Yêu cầu: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn các biểu thức: a) (sqrt {12}); b) (3sqrt {27}); c) (5sqrt {48}).

Phân tích:
Dạng bài này yêu cầu tách các thừa số là số chính phương ra khỏi dấu căn.

Các bước giải:

a) (sqrt {12})

• Phân tích số 12 thành tích các thừa số, trong đó có thừa số chính phương. Số chính phương gần nhất và nhỏ hơn 12 là 4.
• Ta có (12 = 4 times 3).
• Áp dụng quy tắc (sqrt{AB} = sqrt A sqrt B): (sqrt{12} = sqrt{4 times 3} = sqrt{4} times sqrt{3}).
• Tính (sqrt{4} = 2).
• Kết quả: (sqrt{12} = 2sqrt{3}).

b) (3sqrt {27})

• Đầu tiên, xử lý phần thừa số đã ở ngoài dấu căn là 3.
• Phân tích số 27 thành tích các thừa số, tìm thừa số chính phương. Số chính phương lớn nhất chia hết 27 là 9.
• Ta có (27 = 9 times 3).
• Áp dụng quy tắc (sqrt{AB} = sqrt A sqrt B): (3sqrt{27} = 3 times sqrt{9 times 3} = 3 times (sqrt{9} times sqrt{3})).
• Tính (sqrt{9} = 3).
• Nhân các thừa số lại: (3 times 3 times sqrt{3} = 9sqrt{3}).

c) (5sqrt {48})

• Thừa số bên ngoài dấu căn là 5.
• Phân tích số 48. Thừa số chính phương lớn nhất chia hết 48 là 16.
• Ta có (48 = 16 times 3).
• Áp dụng quy tắc (sqrt{AB} = sqrt A sqrt B): (5sqrt{48} = 5 times sqrt{16 times 3} = 5 times (sqrt{16} times sqrt{3})).
• Tính (sqrt{16} = 4).
• Nhân các thừa số lại: (5 times 4 times sqrt{3} = 20sqrt{3}).

Đáp án:
a) (sqrt {12} = 2sqrt 3)
b) (3sqrt {27} = 9sqrt 3)
c) (5sqrt {48} = 20sqrt 3)

Lỗi hay gặp:
Khi phân tích số dưới dấu căn, học sinh có thể chọn thừa số chính phương không lớn nhất (ví dụ: (sqrt{12} = sqrt{4 times 3}) là đúng, nhưng nếu ghi (sqrt{12} = sqrt{2 times 6}) thì không đưa được thừa số ra ngoài ở bước đầu). Luôn ưu tiên thừa số chính phương lớn nhất.

Luyện tập 2 trang 55 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Yêu cầu: Khử mẫu của biểu thức lấy căn (sqrt {frac{3}{5}}).

Phân tích:
Bài tập này yêu cầu sử dụng quy tắc chia hai căn thức (sqrt {frac{A}{B}} = frac{{sqrt A }}{{sqrt B }}) và sau đó trục căn thức ở mẫu.

Các bước giải:

1. Áp dụng quy tắc (sqrt {frac{A}{B}} = frac{{sqrt A }}{{sqrt B }}) cho biểu thức ban đầu:
   (sqrt {frac{3}{5}} = frac{{sqrt 3 }}{{sqrt 5 }}).
2. Bây giờ, ta cần khử mẫu (sqrt 5). Ta nhân cả tử và mẫu với (sqrt 5):
   (frac{{sqrt 3 }}{{sqrt 5 }} = frac{{sqrt 3 times sqrt 5 }}{{sqrt 5 times sqrt 5 }}).
3. Thực hiện phép nhân ở tử và mẫu:
   • Tử số: (sqrt 3 times sqrt 5 = sqrt{3 times 5} = sqrt{15}).
   • Mẫu số: (sqrt 5 times sqrt 5 = (sqrt 5)^2 = 5).
4. Kết hợp lại, ta được biểu thức mới: (frac{{sqrt {15} }}{5}).

Đáp án:
(sqrt {frac{3}{5}} = frac{{sqrt {15} }}{5})

Mẹo kiểm tra:
Cách làm này còn gọi là “trục căn thức ở mẫu”. Mục tiêu là đưa mẫu về dạng số nguyên hoặc biểu thức không chứa căn.

Hoạt động 2 trang 55 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Yêu cầu: Tính và so sánh: a) (5.sqrt 4) với (sqrt {{5^2}.4}); b) ( – 5.sqrt 4) với ( – sqrt {{{left( { – 5} right)}^2}.4}).

Phân tích:
Bài tập này tiếp tục kiểm tra quy tắc (sqrt{a^2}=|a|) và việc đưa thừa số vào trong dấu căn.

Các bước giải:

a) (5.sqrt 4) với (sqrt {{5^2}.4})

• Tính biểu thức thứ nhất: (5.sqrt 4).
  • (sqrt 4 = 2).
  • Vậy (5.sqrt 4 = 5 times 2 = 10).
• Tính biểu thức thứ hai: (sqrt {{5^2}.4}).
  • (5^2 = 25).
  • (25 times 4 = 100).
  • Vậy (sqrt {{5^2}.4} = sqrt{100} = 10).
• So sánh: (10 = 10).

b) ( – 5.sqrt 4) với ( – sqrt {{{left( { – 5} right)}^2}.4})

• Tính biểu thức thứ nhất: ( – 5.sqrt 4).
  • (sqrt 4 = 2).
  • Vậy ( – 5.sqrt 4 = – 5 times 2 = – 10).
• Tính biểu thức thứ hai: ( – sqrt {{{left( { – 5} right)}^2}.4}).
  • ((-5)^2 = 25).
  • (25 times 4 = 100).
  • Vậy ( – sqrt {{{left( { – 5} right)}^2}.4} = – sqrt{100}).
  • (sqrt{100} = 10).
  • Do đó, ( – sqrt{100} = -10).
• So sánh: ( – 10 = – 10).

Đáp án:
a) (5.sqrt 4 = sqrt {{5^2}.4})
b) ( – 5.sqrt 4 = – sqrt {{{left( { – 5} right)}^2}.4})

Nhận xét:
Phần b cho thấy khi thừa số mang dấu âm (a), việc đưa vào trong dấu căn phải cẩn thận: (asqrt{b} = -sqrt{a^2 b}) nếu (a < 0).

Luyện tập 3 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Yêu cầu: Đưa thừa số vào trong dấu căn: a) (3sqrt 5); b) ( – 2sqrt 7).

Phân tích:
Bài tập này là bài toán ngược lại với Luyện tập 1. Chúng ta cần đưa thừa số từ bên ngoài vào bên trong dấu căn.

Các bước giải:

a) (3sqrt 5)

• Thừa số đưa vào trong dấu căn là 3 (số dương).
• Ta bình phương thừa số đó lên rồi nhân với biểu thức dưới dấu căn: (3sqrt 5 = sqrt {3^2} times sqrt 5).
• Áp dụng quy tắc nhân căn thức: (sqrt {3^2} times sqrt 5 = sqrt {3^2 times 5}).
• Tính toán: (3^2 = 9), (9 times 5 = 45).
• Kết quả: (sqrt{45}).

b) ( – 2sqrt 7)

• Thừa số đưa vào trong dấu căn là -2 (số âm).
• Khi thừa số bên ngoài là số âm, ta giữ nguyên dấu trừ ở ngoài, sau đó đưa phần giá trị tuyệt đối của thừa số đó vào trong dấu căn.
• Ta có ( – 2sqrt 7 = – (2sqrt 7)).
• Bây giờ, đưa số 2 vào trong dấu căn: (2sqrt 7 = sqrt {2^2} times sqrt 7 = sqrt {2^2 times 7}).
• Tính toán: (2^2 = 4), (4 times 7 = 28).
• Vậy (2sqrt 7 = sqrt{28}).
• Kết hợp với dấu trừ ban đầu: ( – 2sqrt 7 = – sqrt{28}).

Đáp án:
a) (3sqrt 5 = sqrt {45})
b) ( – 2sqrt 7 = – sqrt {28})

Lỗi hay gặp:
Nhiều em khi gặp bài ( – 2sqrt 7) sẽ đưa trực tiếp -2 vào trong dấu căn thành (sqrt {(-2)^2 times 7}), điều này sai vì quy tắc đưa vào là (sqrt{a^2 b}) chỉ áp dụng khi ta muốn đưa (a) vào, còn dấu trừ đứng riêng thì giữ nguyên. Hoặc tệ hơn, có thể viết thành (sqrt{(-2)^2 times 7}) = (sqrt{28}) và bỏ quên dấu trừ, dẫn đến kết quả sai.

Hoạt động 3 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Yêu cầu: Nhân cả tử và mẫu của biểu thức (frac{{3a}}{{2sqrt 2 }}) với (sqrt 2) và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

Phân tích:
Đây là bài toán “khử mẫu của biểu thức lấy căn” với dạng đơn giản (frac{A}{sqrt B}).

Các bước giải:

1. Xác định biểu thức: (frac{{3a}}{{2sqrt 2 }}).
2. Xác định thừa số cần nhân vào cả tử và mẫu: (sqrt 2).
3. Thực hiện phép nhân:
   • Tử số: (3a times sqrt 2 = 3asqrt 2).
   • Mẫu số: (2sqrt 2 times sqrt 2).
4. Tính toán mẫu số: (2sqrt 2 times sqrt 2 = 2 times (sqrt 2 times sqrt 2) = 2 times (sqrt 2)^2 = 2 times 2 = 4).
5. Kết hợp tử và mẫu để có biểu thức mới: (frac{{3asqrt 2 }}{4}).

Đáp án:
(frac{{3a}}{{2sqrt 2 }} = frac{{3asqrt 2 }}{4})

Mẹo kiểm tra:
Dạng này rất phổ biến. Luôn nhớ (sqrt{x} times sqrt{x} = x).

Hoạt động 4 trang 56 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Yêu cầu: Cho hai biểu thức (frac{{ – 2}}{{sqrt 3 + 1}}) và (frac{1}{{sqrt 3 – sqrt 2 }}). Thực hiện các bước để viết các biểu thức đó dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

Phân tích:
Đây là dạng toán trục căn thức ở mẫu với biểu thức liên hợp.

Các bước giải:

Đối với biểu thức (frac{{ – 2}}{{sqrt 3 + 1}}):

• a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu:
  • Mẫu là (sqrt 3 + 1). Biểu thức liên hợp của nó là (sqrt 3 – 1).
• b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp:
  • (frac{{ – 2}}{{sqrt 3 + 1}} = frac{{ – 2 times (sqrt 3 – 1)}}{{left( {sqrt 3 + 1} right) times (sqrt 3 – 1)}}).
• c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu:
  • Mẫu số: ((sqrt 3 + 1)(sqrt 3 – 1)) áp dụng ((a+b)(a-b) = a^2 – b^2).
  • Ta có (a = sqrt 3) và (b = 1).
  • Mẫu số trở thành: ((sqrt 3)^2 – 1^2 = 3 – 1 = 2).
  • Tử số: ( – 2 times (sqrt 3 – 1) = -2sqrt 3 + 2).
• Kết hợp lại: (frac{{ – 2sqrt 3 + 2}}{2}).
• Rút gọn phân số: (frac{{2( – sqrt 3 + 1)}}{2} = – sqrt 3 + 1).

Đối với biểu thức (frac{1}{{sqrt 3 – sqrt 2 }}):

• a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu:
  • Mẫu là (sqrt 3 – sqrt 2). Biểu thức liên hợp của nó là (sqrt 3 + sqrt 2).
• b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp:
  • (frac{1}{{sqrt 3 – sqrt 2 }} = frac{{1 times (sqrt 3 + sqrt 2)}}{{left( {sqrt 3 – sqrt 2} right) times (sqrt 3 + sqrt 2)}}).
• c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu:
  • Mẫu số: ((sqrt 3 – sqrt 2)(sqrt 3 + sqrt 2)) áp dụng ((a-b)(a+b) = a^2 – b^2).
  • Ta có (a = sqrt 3) và (b = sqrt 2).
  • Mẫu số trở thành: ((sqrt 3)^2 – (sqrt 2)^2 = 3 – 2 = 1).
  • Tử số: (1 times (sqrt 3 + sqrt 2) = sqrt 3 + sqrt 2).
• Kết hợp lại: (frac{{sqrt 3 + sqrt 2 }}{1}).
• Rút gọn: (sqrt 3 + sqrt 2).

Đáp án:
(frac{{ – 2}}{{sqrt 3 + 1}} = 1 – sqrt 3)
(frac{1}{{sqrt 3 – sqrt 2 }} = sqrt 3 + sqrt 2)

Mẹo kiểm tra:
Luôn kiểm tra lại phép nhân ở tử và phép rút gọn ở mẫu. Đảm bảo bạn đã áp dụng đúng hằng đẳng thức (a^2 – b^2).

Luyện tập 4 trang 57 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Yêu cầu: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức: a) (frac{{ – 5sqrt {{x^2} + 1} }}{{2sqrt 3 }}); b) (frac{{{a^2} – 2a}}{{sqrt a + sqrt 2 }}) ((a ge 0, a ne 2)).

Phân tích:
Bài tập này kết hợp cả hai dạng trục căn thức ở mẫu đã học.

Các bước giải:

a) (frac{{ – 5sqrt {{x^2} + 1} }}{{2sqrt 3 }})

• Đây là dạng (frac{A}{sqrt B}). Ta nhân cả tử và mẫu với (sqrt 3).
• Tử số: ( – 5sqrt {{x^2} + 1} times sqrt 3 = – 5sqrt {3({x^2} + 1)}).
• Mẫu số: (2sqrt 3 times sqrt 3 = 2 times (sqrt 3)^2 = 2 times 3 = 6).
• Kết quả: (frac{{ – 5sqrt {3({x^2} + 1)} }}{6}).

b) (frac{{{a^2} – 2a}}{{sqrt a + sqrt 2 }}) ((a ge 0, a ne 2))

• Đây là dạng (frac{A}{sqrt B + sqrt C}). Ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu là (sqrt a – sqrt 2).
• Tử số: (({a^2} – 2a) times (sqrt a – sqrt 2)).
  • Ta có (a^2 – 2a = a(a-2)).
  • Vậy tử số là (a(a-2)(sqrt a – sqrt 2)).
• Mẫu số: ((sqrt a + sqrt 2) times (sqrt a – sqrt 2)).
  • Áp dụng hằng đẳng thức ((x+y)(x-y) = x^2 – y^2).
  • Mẫu số trở thành: ((sqrt a)^2 – (sqrt 2)^2 = a – 2).
• Kết hợp lại: (frac{{a(a-2)(sqrt a – sqrt 2)}}{{a – 2}}).
• Do điều kiện (a ne 2), ta có thể rút gọn ((a-2)) ở tử và mẫu.
• Kết quả: (a(sqrt a – sqrt 2)).

Đáp án:
a) (frac{{ – 5sqrt {{x^2} + 1} }}{{2sqrt 3 }} = frac{{ – 5sqrt {3({x^2} + 1)} }}{6})
b) (frac{{{a^2} – 2a}}{{sqrt a + sqrt 2 }} = a(sqrt a – sqrt 2))

Lỗi hay gặp:
Ở phần b, học sinh có thể quên phân tích (a^2 – 2a) thành (a(a-2)), hoặc khi nhân tử số, có thể nhân sai. Điều quan trọng là nhận ra có thể rút gọn ((a-2)) sau khi trục căn ở mẫu.

Luyện tập 5 trang 58 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Yêu cầu: Rút gọn biểu thức (left( {frac{{sqrt {22} – sqrt {11} }}{{1 – sqrt 2 }} + frac{{sqrt {21} – sqrt 7 }}{{1 – sqrt 3 }}} right)left( {sqrt 7 – sqrt {11} } right)).

Phân tích:
Biểu thức này phức tạp hơn, yêu cầu kết hợp nhiều kỹ năng: phân tích thừa số chung trong căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, rút gọn phân số và cuối cùng là nhân hai biểu thức.

Các bước giải:

1. Xử lý từng phân số trong ngoặc:
   • Phân số thứ nhất: (frac{{sqrt {22} – sqrt {11} }}{{1 – sqrt 2 }})
     • Tử số: (sqrt {22} – sqrt {11} = sqrt{11 times 2} – sqrt {11} = sqrt {11} times sqrt 2 – sqrt {11} = sqrt {11}(sqrt 2 – 1)).
     • Mẫu số: (1 – sqrt 2 = – (sqrt 2 – 1)).
     • Vậy phân số thứ nhất là: (frac{{sqrt {11}(sqrt 2 – 1)}}{{ – (sqrt 2 – 1)}}).
     • Rút gọn ((sqrt 2 – 1)) (với (sqrt 2 – 1 ne 0)), ta được: (frac{{sqrt {11}}}{{-1}} = -sqrt {11}).
   • Phân số thứ hai: (frac{{sqrt {21} – sqrt 7 }}{{1 – sqrt 3 }})
     • Tử số: (sqrt {21} – sqrt 7 = sqrt {7 times 3} – sqrt 7 = sqrt 7 times sqrt 3 – sqrt 7 = sqrt 7 (sqrt 3 – 1)).
     • Mẫu số: (1 – sqrt 3 = – (sqrt 3 – 1)).
     • Vậy phân số thứ hai là: (frac{{sqrt 7 (sqrt 3 – 1)}}{{ – (sqrt 3 – 1)}}).
     • Rút gọn ((sqrt 3 – 1)) (với (sqrt 3 – 1 ne 0)), ta được: (frac{{sqrt 7 }}{{-1}} = -sqrt 7).
2. Thay các kết quả rút gọn vào biểu thức ban đầu:
   • Biểu thức trở thành: ((-sqrt {11} + (-sqrt 7))left( {sqrt 7 – sqrt {11} } right)).
   • Hay: ((-sqrt {11} – sqrt 7)left( {sqrt 7 – sqrt {11} } right)).
3. Thực hiện phép nhân hai biểu thức còn lại:
   • Ta có thể viết lại: ( – (sqrt {11} + sqrt 7) times (sqrt 7 – sqrt {11})).
   • Hoặc sắp xếp lại cho dễ nhìn: ( – (sqrt 7 + sqrt {11}) times (-sqrt {11} + sqrt 7) = – (sqrt 7 + sqrt {11}) times (sqrt 7 – sqrt {11})).
   • Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ((a+b)(a-b) = a^2 – b^2), với (a = sqrt 7) và (b = sqrt {11}).
   • Ta có: ( – [(sqrt 7)^2 – (sqrt {11})^2]).
   • Tính toán: ( – [7 – 11]).
   • ( – [-4]).
   • Kết quả: (4).

Đáp án:
(left( {frac{{sqrt {22} – sqrt {11} }}{{1 – sqrt 2 }} + frac{{sqrt {21} – sqrt 7 }}{{1 – sqrt 3 }}} right)left( {sqrt 7 – sqrt {11} } right) = 4)

Lỗi hay gặp:
Sai sót phổ biến là ở bước rút gọn phân số do nhầm lẫn dấu hoặc khi áp dụng hằng đẳng thức nhân hai biểu thức cuối cùng. Cần cẩn thận với các dấu trừ.

Vận dụng trang 58 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Yêu cầu:
a) Viết lại công thức khối lượng (m = frac{{{m_0}}}{{sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}) dưới dạng không có căn thức ở mẫu.
b) Tính khối lượng m theo (m_0) khi (v = frac{1}{{10}}c), làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.

Phân tích:
Phần a là bài toán trục căn thức ở mẫu với dạng phức tạp hơn, có biến số và phân số trong căn. Phần b yêu cầu thay số và tính toán, có làm tròn.

Các bước giải:

a) Viết lại công thức không có căn ở mẫu:

• Biểu thức dưới mẫu là (sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}).
• Để trục căn, ta nhân cả tử và mẫu với chính biểu thức đó (vì nó là dạng (sqrt A)).
  • Tử số: (m_0 times sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} = m_0sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}).
  • Mẫu số: (sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} times sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} = left(sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}right)^2 = 1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}).
• Biểu thức mới là: (m = frac{{{m_0}sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}).
• Để mẫu số không còn phân số, ta quy đồng mẫu số ở phần (1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}):
  • (1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} = frac{{{c^2}}}{{{c^2}}} – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} = frac{{{c^2} – {v^2}}}{{{c^2}}}).
• Vậy, công thức trở thành: (m = frac{{{m_0}sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{frac{{{c^2} – {v^2}}}{{{c^2}}}}}).
• Chia hai phân số: (m = m_0sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} times frac{{{c^2}}}{{{c^2} – {v^2}}}).
• Ta có thể đưa (sqrt{1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}) về dạng (sqrt{frac{c^2-v^2}{c^2}} = frac{sqrt{c^2-v^2}}{sqrt{c^2}} = frac{sqrt{c^2-v^2}}{c}) (vì (c>0)).
• Thay vào: (m = m_0 times frac{{sqrt {{c^2} – {v^2}} }}{c} times frac{{{c^2}}}{{{c^2} – {v^2}}}).
• Rút gọn (c): (m = m_0 times sqrt {{c^2} – {v^2}} times frac{c}{{{c^2} – {v^2}}}).
• Ta biết (c^2 – v^2 = (sqrt{c^2-v^2})^2).
• Vậy (m = m_0 times sqrt {{c^2} – {v^2}} times frac{c}{{(sqrt {{c^2} – {v^2}} )^2}}).
• Rút gọn (sqrt{c^2-v^2}): (m = m_0 times frac{c}{sqrt {{c^2} – {v^2}}}).
• Đây là dạng có căn ở tử. Nếu muốn không có căn ở mẫu, ta đã có (m = frac{{{m_0}sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }) hoặc (m = frac{{{m_0}sqrt {{c^2} – {v^2}} }}{{c}}). Có thể viết lại mẫu thành (frac{{{c^2} – {v^2}}}{{{c^2}}}).
  • Ta có (m = frac{{{m_0}sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}).

b) Tính khối lượng m khi (v = frac{1}{{10}}c):

• Thay (v = frac{1}{{10}}c) vào biểu thức (1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}).
• (frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} = frac{{{{left( {frac{1}{{10}}c} right)}^2}}}{{{c^2}}} = frac{{frac{1}{{100}}{c^2}}}{{{c^2}}} = frac{1}{{100}}).
• Vậy (1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}} = 1 – frac{1}{{100}} = frac{99}{100}).
• Sử dụng công thức đã rút gọn ở phần a:
  (m = frac{{{m_0}sqrt {frac{99}{100}} }}{1 – frac{1}{{100}}}).
  (m = frac{{{m_0} frac{sqrt{99}}{sqrt{100}} }}{{frac{99}{100}}}).
  (m = frac{{{m_0} frac{sqrt{9 times 11}}{10} }}{{frac{99}{100}}}).
  (m = frac{{{m_0} frac{3sqrt{11}}{10} }}{{frac{99}{100}}}).
  (m = {m_0} times frac{{3sqrt{11}}}{10} times frac{100}{99}).
  (m = {m_0} times frac{{3sqrt{11} times 100}}{{10 times 99}}).
  (m = {m_0} times frac{{30sqrt{11}}}{99}).
  Rút gọn (30) và (99) cho (3): (m = {m_0} times frac{{10sqrt{11}}}{33}).
• Tính giá trị số: (sqrt{11} approx 3.31662479).
  (m approx {m_0} times frac{{10 times 3.31662479}}{{33}}).
  (m approx {m_0} times frac{{33.1662479}}{{33}}).
  (m approx {m_0} times 1.005037815).
• Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba: (1.005).
• Vậy (m approx 1.005 m_0).

Đáp án:
a) (m = frac{{{m_0}sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}) hoặc (m = frac{{{m_0}sqrt {{c^2} – {v^2}} }}{{c}})
b) (m approx 1.005 m_0)

Mẹo kiểm tra:
Công thức Einstein (m = frac{{{m_0}}}{{sqrt {1 – frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}) là một công thức nổi tiếng trong vật lý. Khi (v) tiến gần (c), mẫu số tiến về 0, làm cho (m) tiến ra vô cùng, cho thấy không có vật thể nào có khối lượng nghỉ (m_0 > 0) có thể đạt tốc độ ánh sáng.

Đáp Án/Kết Quả

Các bài tập đã giải bao gồm các dạng toán biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai:

• Hoạt động 1, Hoạt động 2: Kiểm tra hiểu biết về (sqrt{a^2}=|a|) và so sánh giá trị.
• Luyện tập 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
• Luyện tập 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn (dạng (sqrt{A/B})).
• Luyện tập 3: Đưa thừa số vào trong dấu căn.
• Hoạt động 3, Hoạt động 4: Trục căn thức ở mẫu với các dạng cơ bản và dạng có biểu thức liên hợp.
• Luyện tập 4: Trục căn thức ở mẫu kết hợp biến số.
• Luyện tập 5: Rút gọn biểu thức phức tạp bằng cách phân tích thừa số chung và áp dụng các quy tắc.
• Vận dụng: Áp dụng kiến thức trục căn thức vào một công thức vật lý thực tế.

Conclusion

Các bài tập trong phần này là nền tảng quan trọng để học sinh nắm vững các kỹ năng biến đổi đại số với căn bậc hai. Bằng việc hiểu rõ các quy tắc (sqrt{a^2}=|a|), phép nhân, chia căn, đưa thừa số vào/ra, và đặc biệt là kỹ thuật trục căn thức ở mẫu bằng biểu thức liên hợp, các em có thể giải quyết hầu hết các bài toán liên quan. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em làm quen và thành thạo các kỹ năng này, từ đó tự tin chinh phục các bài toán khó hơn trong chương trình Toán 9 KNTT.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất Tháng 1 8, 2026 by Thầy Đông