Giải Toán Lớp 7 Trang 14 Tập 1: Lũy Thừa Của Một Số Hữu Tỉ (SBT)

Để nắm vững kiến thức về lũy thừa của một số hữu tỉ, việc thực hành các bài tập trong Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 là vô cùng quan trọng. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập từ trang 14 đến trang 16, tập 1, giúp các em học sinh củng cố và nâng cao kỹ năng giải toán. Giải toán lớp 7 trang 14 tập 1 sẽ giúp bạn làm chủ các dạng bài liên quan đến lũy thừa.

Đề Bài

Dưới đây là các bài tập được trích nguyên văn từ Sách Bài Tập Toán lớp 7, tập 1:

Bài 39 trang 14 SBT Toán lớp 7 tập 1

Tính các giá trị sau:

1. 5^3
2. (-2)^3
3. 10^4
4. (-10)^4
5. (-a)^3
6. (-a)^4 (với a là số hữu tỉ)

Bài 40 SBT Toán lớp 7 trang 15 tập 1

Viết các số sau dưới dạng lũy thừa với số mũ khác 1:

1. 125
2. -125
3. 27
4. -27

Bài 41 Toán lớp 7 SBT trang 15 tập 1

Tìm số 25 dưới dạng lũy thừa. Tìm tất cả các cách viết.

Bài 42 tập 1 trang 15 Toán lớp 7

Tìm số hữu tỉ $x$, biết rằng:
a. (x - \frac{1}{2})^2 = 0
b. (x - 2)^2 = 1
c. (2x - 1)^3 = -8
d. (x + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{16}

Bài 43 trang 15 Toán lớp 7 SBT tập 1

So sánh hai số sau: 2^{225} và 3^{150}.

Bài 44 SBT Toán lớp 7 tập 1 trang 15

Tính các giá trị sau:

1. (-1)^3
2. (-1)^4
3. (-a)^3
4. (-a)^4 (với a là số hữu tỉ)

Bài 45 SBT Toán lớp 7 tập 1 trang 15

Viết các biểu thức sau dưới dạng a^n (với $a$ là số hữu tỉ, $n$ là số tự nhiên):

1. 27.3^3
2. 2.8.2^3.2^2
3. 125:5^3
4. 8:2^3

Bài 46 trang 15 SBT Toán lớp 7 tập 1

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho:
a) 2.16 \ge 2^n > 4
b) 9.27 \le 3^n \le 243

Bài 47 trang 16 SBT Toán lớp 7 tập 1

Chứng minh rằng: 8^7 - 2^{18} chia hết cho 14.

Bài 48 trang 16 tập 1 SBT Toán lớp 7

So sánh hai số: 2^{91} và 5^{35}.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập từ SBT Toán lớp 7 trang 14, 15, 16 tập 1 chủ yếu xoay quanh khái niệm lũy thừa của một số hữu tỉ. Yêu cầu của từng bài tập rất đa dạng:

• Bài 39, 44: Yêu cầu tính giá trị của biểu thức lũy thừa với cơ số là số hữu tỉ (số nguyên hoặc có thể là phân số) và số mũ nguyên. Cần áp dụng định nghĩa lũy thừa để tính toán.
• Bài 40, 41: Yêu cầu biểu diễn một số dưới dạng lũy thừa. Điều này đòi hỏi khả năng phân tích số ra thừa số nguyên tố hoặc tìm các lũy thừa thích hợp.
• Bài 42: Dạng bài tìm $x$ là số hữu tỉ, trong đó $x$ xuất hiện trong cơ số hoặc số mũ của một biểu thức lũy thừa. Các bài toán này thường dựa vào tính chất của lũy thừa với số mũ chẵn/lẻ hoặc giải phương trình liên quan.
• Bài 43, 48: Yêu cầu so sánh hai lũy thừa. Thông thường, để so sánh hai lũy thừa có cơ số khác nhau và số mũ khác nhau, ta cần đưa chúng về cùng cơ số hoặc cùng số mũ (hoặc ước lượng để so sánh).
• Bài 45: Viết các biểu thức kết hợp phép nhân, chia số hữu tỉ và lũy thừa về dạng lũy thừa đơn a^n. Cần vận dụng các quy tắc về lũy thừa.
• Bài 46: Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn một bất đẳng thức chứa lũy thừa. Cần biến đổi các số trong bất đẳng thức về cùng cơ số rồi so sánh số mũ.
• Bài 47: Chứng minh một biểu thức có chứa lũy thừa chia hết cho một số. Phương pháp phổ biến là phân tích biểu thức thành nhân tử, trong đó có chứa ước số đã cho.

Nhìn chung, các bài tập này đều kiểm tra sự hiểu biết về định nghĩa, tính chất của lũy thừa và khả năng áp dụng chúng vào giải quyết các vấn đề toán học cụ thể.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau về lũy thừa của một số hữu tỉ:

1. Định nghĩa lũy thừa:

   • Lũy thừa bậc $n$ của một số hữu tỉ $a$, kí hiệu a^n, là tích của $n$ thừa số $a$:
     a^n = underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ thừa số}} (với $n$ là số tự nhiên, $n > 1$).
   • Quy ước: a^1 = a; a^0 = 1 (với a \ne 0).
   • Nếu a=0, 0^n = 0 với $n > 0$. 0^0 không xác định.

2. Lũy thừa với cơ số hữu tỉ và số mũ nguyên:

   • Lũy thừa của một số hữu tỉ $a$ với số mũ nguyên âm: a^{-n} = \frac{1}{a^n} (với a \ne 0 và $n$ là số tự nhiên).

3. Quy tắc về lũy thừa: Cho $a, b$ là các số hữu tỉ, $m, n$ là các số tự nhiên:

   • Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: a^m \cdot a^n = a^{m+n}
   • Chia hai lũy thừa cùng cơ số: a^m : a^n = a^{m-n} (với a \ne 0)
   • Lũy thừa của lũy thừa: (a^m)^n = a^{m \cdot n}
   • Lũy thừa của một tích: (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
   • Lũy thừa của một thương: (a : b)^n = a^n : b^n (với b \ne 0)
   • Lũy thừa với số mũ 0: a^0 = 1 (với a \ne 0)
   • Lũy thừa với số mũ 1: a^1 = a

4. Lũy thừa với cơ số âm:

   • Nếu cơ số là số âm và số mũ là số lẻ thì lũy thừa mang dấu âm: (-a)^n = -a^n với $n$ lẻ.
   • Nếu cơ số là số âm và số mũ là số chẵn thì lũy thừa mang dấu dương: (-a)^n = a^n với $n$ chẵn.
   • Ví dụ: (-5)^3 = -5^3 = -125, nhưng (-5)^2 = 5^2 = 25.

5. So sánh hai lũy thừa:

   • Cùng cơ số: Nếu $a > 1$ thì a^m > a^n khi $m > n$. Nếu $0 < a < 1$ thì a^m < a^n[/katex] khi $m > n$.</li> <li>Cùng số mũ: Nếu $m > 0$ thì [katex]a^m > b^m khi $a > b$.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng bài tập theo đúng thứ tự đã cho.

Bài 39 trang 14 SBT Toán lớp 7 tập 1: Tính giá trị của lũy thừa

Đây là bài tập cơ bản để kiểm tra định nghĩa lũy thừa.

1. 5^3: Cơ số là 5, số mũ là 3. Ta nhân 5 với chính nó 3 lần.
   5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125.
2. (-2)^3: Cơ số là -2, số mũ là 3 (lẻ). Lũy thừa của một số âm với số mũ lẻ là một số âm.
   (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times (-2) = -8.
3. 10^4: Cơ số là 10, số mũ là 4.
   10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000.
4. (-10)^4: Cơ số là -10, số mũ là 4 (chẵn). Lũy thừa của một số âm với số mũ chẵn là một số dương.
   (-10)^4 = (-10) \times (-10) \times (-10) \times (-10) = 100 \times 100 = 10000.
5. (-a)^3: Với $a$ là số hữu tỉ, cơ số là -a, số mũ là 3 (lẻ).
   (-a)^3 = (-a) \times (-a) \times (-a) = a^2 \times (-a) = -a^3.
6. (-a)^4: Với $a$ là số hữu tỉ, cơ số là -a, số mũ là 4 (chẵn).
   (-a)^4 = (-a) \times (-a) \times (-a) \times (-a) = a^2 \times a^2 = a^4.

Mẹo kiểm tra: Luôn chú ý dấu của cơ số và tính chẵn lẻ của số mũ. Nếu cơ số âm và số mũ lẻ, kết quả âm. Nếu cơ số âm và số mũ chẵn, kết quả dương.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu khi tính toán với cơ số âm, đặc biệt là khi nhân các số âm liên tiếp.

Bài 40 SBT Toán lớp 7 trang 15 tập 1: Viết số dưới dạng lũy thừa

Bài tập này yêu cầu phân tích số cho trước thành tích của các thừa số giống nhau.

1. 125: Ta tìm xem có số nào nhân với chính nó bao nhiêu lần thì bằng 125.
   125 = 5 \times 25 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3.
2. -125: Ta biết 125 = 5^3. Với cơ số âm, ta thử với -5:
   (-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = -125. Vậy -125 = (-5)^3.
3. 27:
   27 = 3 \times 9 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3.
4. -27: Tương tự, ta thử với -3:
   (-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times (-3) = -27. Vậy -27 = (-3)^3.

Lời giải:

1. 125 = 5^3
2. -125 = (-5)^3
3. 27 = 3^3
4. -27 = (-3)^3

Mẹo kiểm tra: Sau khi viết dưới dạng lũy thừa, hãy tính ngược lại để kiểm tra xem có đúng với số ban đầu không.

Lỗi hay gặp: Quên trường hợp cơ số âm khi làm với các số âm.

Bài 41 Toán lớp 7 SBT trang 15 tập 1: Tìm tất cả các cách viết số 25 dưới dạng lũy thừa

Bài này yêu cầu tìm các cặp $(a, n)$ sao cho a^n = 25.

Ta biết rằng $25$ là một số dương. Có thể là lũy thừa của một số dương hoặc một số âm với số mũ chẵn.

• Cách 1: Tìm cơ số và số mũ mà tích của chúng bằng 25.
  25 = 5 \times 5 = 5^2. Đây là cách viết phổ biến nhất.
• Cách 2: Xét cơ số âm. Ta cần số mũ chẵn để kết quả dương.
  Số đối của 5 là -5. Ta thử với (-5)^2:
  (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25.
• Cách 3: Xét số mũ khác. Với số mũ là 1, ta có thể viết bất kỳ số nào là a^1.
  25 = 25^1.

Lời giải:
Các cách viết số 25 dưới dạng lũy thừa là:
25 = 25^1
25 = 5^2
25 = (-5)^2

Mẹo kiểm tra: Đối với mỗi cách viết, hãy tính lại giá trị để đảm bảo nó bằng 25.

Lỗi hay gặp: Chỉ tìm được một cách viết duy nhất (ví dụ: chỉ 5^2) mà bỏ qua các trường hợp khác như số mũ 1 hoặc cơ số âm với số mũ chẵn.

Bài 42 tập 1 trang 15 Toán lớp 7: Tìm x là số hữu tỉ

Đây là dạng phương trình lũy thừa cơ bản.

a. (x - \frac{1}{2})^2 = 0

• Phân tích: Một lũy thừa với số mũ chẵn bằng 0 khi và chỉ khi cơ số của nó bằng 0.
• Kiến thức cần dùng: A^2 = 0 Leftrightarrow A = 0.
• Giải: Ta có x - \frac{1}{2} = 0.
  Chuyển vế, ta được x = \frac{1}{2}.
• Kiểm tra: (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 = 0^2 = 0. Đúng.
• Đáp án: x = \frac{1}{2}.

b. (x - 2)^2 = 1

• Phân tích: Một lũy thừa với số mũ chẵn bằng 1 khi và chỉ khi cơ số của nó bằng 1 hoặc -1.
• Kiến thức cần dùng: A^2 = 1 Leftrightarrow A = 1 hoặc A = -1.
• Giải: Ta có hai trường hợp:
  Trường hợp 1: x - 2 = 1 Rightarrow x = 1 + 2 Rightarrow x = 3.
  Trường hợp 2: x - 2 = -1 Rightarrow x = -1 + 2 Rightarrow x = 1.
• Kiểm tra:
  Với x=3: (3-2)^2 = 1^2 = 1. Đúng.
  Với x=1: (1-2)^2 = (-1)^2 = 1. Đúng.
• Đáp án: x = 3 hoặc x = 1.

c. (2x - 1)^3 = -8

• Phân tích: Ta cần biểu diễn -8 dưới dạng lũy thừa. Ta biết rằng -8 = (-2)^3.
• Kiến thức cần dùng: A^3 = B^3 Leftrightarrow A = B.
• Giải: Ta có (2x - 1)^3 = (-2)^3.
  Do đó, 2x - 1 = -2.
  2x = -2 + 1 Rightarrow 2x = -1.
  x = -\frac{1}{2}.
• Kiểm tra: (2(-\frac{1}{2}) - 1)^3 = (-1 - 1)^3 = (-2)^3 = -8. Đúng.
• Đáp án: x = -\frac{1}{2}.

d. (x + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{16}

• Phân tích: Ta cần biểu diễn \frac{1}{16} dưới dạng lũy thừa bậc 2. Ta biết 16 = 4^2, vậy \frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = (\frac{1}{4})^2.
• Kiến thức cần dùng: A^2 = B^2 Leftrightarrow A = B hoặc A = -B.
• Giải: Ta có (x + \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{4})^2.
  Do đó, có hai trường hợp:
  Trường hợp 1: x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
  x = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}.
  Trường hợp 2: x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}.
  x = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{3}{4}.
• Kiểm tra:
  Với x = -\frac{1}{4}: (-\frac{1}{4} + \frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{4} + \frac{2}{4})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}. Đúng.
  Với x = -\frac{3}{4}: (-\frac{3}{4} + \frac{1}{2})^2 = (-\frac{3}{4} + \frac{2}{4})^2 = (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}. Đúng.
• Đáp án: x = -\frac{1}{4} hoặc x = -\frac{3}{4}.

Mẹo kiểm tra: Luôn thay giá trị $x$ tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn.

Lỗi hay gặp:

• Với dạng A^2=1, chỉ xét A=1 mà quên trường hợp A=-1.
• Với dạng A^3=B^3, chỉ xét A=B là đúng, nhưng với A^2=B^2 thì phải xét cả A=B và A=-B.
• Sai sót trong quy đồng mẫu số hoặc đổi dấu khi giải phương trình bậc nhất.

Bài 43 trang 15 Toán lớp 7 SBT tập 1: So sánh lũy thừa

Bài tập này yêu cầu so sánh hai số rất lớn, việc tính trực tiếp là không khả thi. Ta cần sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

Yêu cầu: So sánh 2^{225} và 3^{150}.

• Phân tích: Cơ số khác nhau (2 và 3), số mũ khác nhau (225 và 150). Ta thử tìm ước chung lớn nhất của 225 và 150 để đưa về cùng số mũ.

  • 225 = 3 \times 75
  • 150 = 2 \times 75
    Ước chung lớn nhất là 75.

• Kiến thức cần dùng: Quy tắc (a^m)^n = a^{m \cdot n}.

• Giải:
  Ta viết lại hai số dưới dạng lũy thừa với số mũ 75:
  2^{225} = 2^{3 \times 75} = (2^3)^{75} = 8^{75}.
  3^{150} = 3^{2 \times 75} = (3^2)^{75} = 9^{75}.

  Bây giờ ta so sánh hai số 8^{75} và 9^{75}.
  Vì cơ số $8 < 9$ và số mũ $75 > 0$ nên 8^{75} < 9^{75}[/katex]. Do đó, [katex]2^{225} < 3^{150}[/katex].</p> </li> <li> <p><strong>Đáp án:</strong> [katex]2^{225} < 3^{150}[/katex].</p> </li> </ul> <p><strong>Mẹo kiểm tra:</strong> Sau khi đưa về cùng số mũ, hãy so sánh các cơ số. Nếu cơ số lớn hơn 1, lũy thừa nào có cơ số lớn hơn thì giá trị lớn hơn.</p> <p><strong>Lỗi hay gặp:</strong></p> <ul> <li>Tính sai ước chung lớn nhất của các số mũ.</li> <li>Tính sai giá trị của cơ số mới (ví dụ: [katex]2^3=6 thay vì 8, 3^2=6 thay vì 9).

• Nhầm lẫn quy tắc (a^m)^n = a^{m+n} thay vì a^{m \cdot n}.

Bài 44 SBT Toán lớp 7 trang 15 tập 1: Tính giá trị của lũy thừa (cơ số âm)

Đây là bài tập tương tự Bài 39, tập trung vào trường hợp cơ số âm.

1. (-1)^3: Cơ số là -1, số mũ là 3 (lẻ).
   (-1)^3 = (-1) \times (-1) \times (-1) = 1 \times (-1) = -1.
2. (-1)^4: Cơ số là -1, số mũ là 4 (chẵn).
   (-1)^4 = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) = 1 \times 1 = 1.
3. (-a)^3: Với $a$ là số hữu tỉ, cơ số là -a, số mũ là 3 (lẻ).
   (-a)^3 = (-a) \times (-a) \times (-a) = a^2 \times (-a) = -a^3.
4. (-a)^4: Với $a$ là số hữu tỉ, cơ số là -a, số mũ là 4 (chẵn).
   (-a)^4 = (-a) \times (-a) \times (-a) \times (-a) = a^2 \times a^2 = a^4.

Lưu ý: Với cơ số là -1: (-1)^n = -1 nếu $n$ lẻ, và (-1)^n = 1 nếu $n$ chẵn.

Mẹo kiểm tra: Đối với cơ số âm, quy tắc "lũy thừa số mũ chẵn ra dương, số mũ lẻ ra âm" rất quan trọng.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu khi nhân nhiều số âm.

Bài 45 SBT Toán lớp 7 tập 1 trang 15: Viết biểu thức dưới dạng a^n

Các bài tập này đòi hỏi áp dụng các quy tắc nhân, chia lũy thừa cùng cơ số và lũy thừa của lũy thừa.

1. 27.3^3

   • Phân tích: Ta cần đưa 27 về dạng lũy thừa của 3. Ta biết 27 = 3^3.
   • Kiến thức cần dùng: a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
   • Giải: 27 \cdot 3^3 = 3^3 \cdot 3^3 = 3^{3+3} = 3^6.

2. 2.8.2^3.2^2

   • Phân tích: Ta đưa 8 về dạng lũy thừa của 2. Ta biết 8 = 2^3.
   • Kiến thức cần dùng: a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
   • Giải: 2 \cdot 8 \cdot 2^3 \cdot 2^2 = 2^1 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^2 = 2^{1+3+3+2} = 2^9.

3. 125:5^3

   • Phân tích: Ta đưa 125 về dạng lũy thừa của 5. Ta biết 125 = 5^3.
   • Kiến thức cần dùng: a^m : a^n = a^{m-n}.
   • Giải: 125 : 5^3 = 5^3 : 5^3 = 5^{3-3} = 5^0 = 1.
     (Lưu ý: Kết quả là 1 vì bất kỳ số khác 0 nào chia cho chính nó cũng bằng 1).

4. 8:2^3

   • Phân tích: Ta đưa 8 về dạng lũy thừa của 2. Ta biết 8 = 2^3.
   • Kiến thức cần dùng: a^m : a^n = a^{m-n}.
   • Giải: 8 : 2^3 = 2^3 : 2^3 = 2^{3-3} = 2^0 = 1.

Lời giải:

1. 27.3^3 = 3^3.3^3 = 3^6
2. 2.8.2^3.2^2 = 2^1.2^3.2^3.2^2 = 2^9
3. 125:5^3 = 5^3:5^3 = 5^0 = 1
4. 8:2^3 = 2^3:2^3 = 2^0 = 1

Mẹo kiểm tra: Luôn chuyển đổi các số hạng về cùng cơ số trước khi áp dụng quy tắc.

Lỗi hay gặp: Áp dụng sai quy tắc cộng/trừ số mũ, hoặc nhầm lẫn a^m \cdot a^n với a^m \cdot b^m.

Bài 46 trang 15 SBT Toán lớp 7 tập 1: Tìm số tự nhiên n

Bài tập này yêu cầu tìm $n$ thỏa mãn bất đẳng thức chứa lũy thừa.

a) 2.16 \ge 2^n > 4

• Phân tích: Ta cần đưa tất cả các số trong bất đẳng thức về dạng lũy thừa của 2.
  16 = 2^4.
  4 = 2^2.
• Kiến thức cần dùng: Quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: a^m \cdot a^n = a^{m+n}. So sánh lũy thừa cùng cơ số: Nếu $a > 1$ thì a^m > a^n Leftrightarrow m > n.
• Giải:
  Bất đẳng thức trở thành: 2^1 \cdot 2^4 \ge 2^n > 2^2.
  2^{1+4} \ge 2^n > 2^2.
  2^5 \ge 2^n > 2^2.
  Vì cơ số $2 > 1$, ta có thể so sánh các số mũ:
  5 \ge n > 2.
  Các số tự nhiên $n$ thỏa mãn điều kiện này là n=3, 4, 5.
• Lời giải: n in {3; 4; 5}.

b) 9.27 \le 3^n \le 243

• Phân tích: Ta cần đưa tất cả các số về dạng lũy thừa của 3.
  9 = 3^2.
  27 = 3^3.
  243 = 3^5. (Ta có thể nhẩm hoặc phân tích: 243 = 3 \times 81 = 3 \times 3^4 = 3^5).
• Kiến thức cần dùng: Tương tự như trên, quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số và so sánh lũy thừa cùng cơ số.
• Giải:
  Bất đẳng thức trở thành: 3^2 \cdot 3^3 \le 3^n \le 3^5.
  3^{2+3} \le 3^n \le 3^5.
  3^5 \le 3^n \le 3^5.
  Vì cơ số $3 > 1$, ta so sánh các số mũ: 5 \le n \le 5.
  Số tự nhiên duy nhất thỏa mãn điều kiện này là n=5.
• Lời giải: n=5.

Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được $n$, hãy thử lại các giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xem kết quả có đúng không.

Lỗi hay gặp:

• Chuyển đổi các số về lũy thừa của cùng cơ số sai.
• Nhầm lẫn dấu của bất đẳng thức khi so sánh số mũ.

Bài 47 trang 16 SBT Toán lớp 7 tập 1: Chứng minh chia hết

Đây là bài toán chứng minh chia hết liên quan đến lũy thừa.

Yêu cầu: Chứng minh rằng 8^7 - 2^{18} chia hết cho 14.

• Phân tích: Để chứng minh một biểu thức chia hết cho 14, ta cần biến đổi biểu thức đó thành dạng $14 times k$ (với $k$ là một số nguyên hoặc biểu thức có thể tính ra số nguyên). Ta cần đưa các lũy thừa về cùng cơ số. Cơ số 8 có thể viết lại thành 2^3.

• Kiến thức cần dùng: Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: (a^m)^n = a^{m \cdot n}. Quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: a^m \cdot a^n = a^{m+n}. Phân tích đa thức thành nhân tử.

• Giải:
  Ta có 8 = 2^3. Thay vào biểu thức ban đầu:
  8^7 - 2^{18} = (2^3)^7 - 2^{18}.
  Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa:
  (2^3)^7 = 2^{3 \times 7} = 2^{21}.
  Vậy biểu thức trở thành: 2^{21} - 2^{18}.

  Bây giờ, ta cần phân tích 2^{21} - 2^{18}. Ta lấy thừa số chung là lũy thừa có số mũ nhỏ nhất, ở đây là 2^{18}.
  2^{21} - 2^{18} = 2^{18} \cdot (2^{21-18} - 1)
  = 2^{18} \cdot (2^3 - 1).
  Ta tính giá trị trong ngoặc: 2^3 = 8.
  = 2^{18} \cdot (8 - 1)
  = 2^{18} \cdot 7.

  Ta muốn chứng minh biểu thức này chia hết cho 14. Ta biết 14 = 2 \times 7.
  Ta có 2^{18} \cdot 7 = (2^{17} \cdot 2) \cdot 7 = 2^{17} \cdot (2 \cdot 7) = 2^{17} \cdot 14.

  Vì 2^{17} \cdot 14 là một số nguyên nhân với 14, nên nó chia hết cho 14.
  Vậy 8^7 - 2^{18} chia hết cho 14.

• Lời giải:
  Ta có 8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}.
  Do đó, 8^7 - 2^{18} = 2^{21} - 2^{18} = 2^{18} \cdot (2^{21-18} - 1) = 2^{18} \cdot (2^3 - 1) = 2^{18} \cdot (8 - 1) = 2^{18} \cdot 7.
  Ta thấy 2^{18} \cdot 7 = 2^{17} \cdot (2 \cdot 7) = 2^{17} \cdot 14.
  Vì 2^{17} \cdot 14 chia hết cho 14, nên 8^7 - 2^{18} chia hết cho 14. (Đpcm)

Mẹo kiểm tra: Hãy phân tích các cơ số về thừa số nguyên tố chung. Sau đó, tìm thừa số chung nhỏ nhất để tách ra. Cuối cùng, kiểm tra xem biểu thức còn lại có chứa ước số cần chứng minh hay không.

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn quy tắc lũy thừa (a^m)^n = a^{m+n} thay vì a^{m \cdot n}.
• Phân tích thừa số chung sai, ví dụ lấy 2^{21} làm thừa số chung thay vì 2^{18}.

Bài 48 trang 16 tập 1 SBT Toán lớp 7: So sánh lũy thừa

Bài tập này yêu cầu so sánh hai lũy thừa với cơ số và số mũ khác nhau.

Yêu cầu: So sánh 2^{91} và 5^{35}.

• Phân tích: Cơ số khác nhau (2 và 5), số mũ khác nhau (91 và 35). Ta cần đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Tìm ước chung lớn nhất của 91 và 35.

  • 35 = 5 \times 7.
  • 91 = 7 \times 13.
    Ước chung lớn nhất là 7.

• Kiến thức cần dùng: Quy tắc (a^m)^n = a^{m \cdot n}. So sánh hai lũy thừa cùng số mũ: Nếu $m>0$ thì a^m > b^m khi $a>b$.

• Giải:
  Ta viết lại các số dưới dạng lũy thừa với số mũ 7:
  2^{91} = 2^{13 \times 7} = (2^{13})^7.
  5^{35} = 5^{5 \times 7} = (5^5)^7.

  Bây giờ ta cần so sánh hai cơ số 2^{13} và 5^5.
  Tính 2^{13}:
  2^{10} = 1024.
  2^{13} = 2^{10} \times 2^3 = 1024 \times 8 = 8192.

  Tính 5^5:
  5^1 = 5
  5^2 = 25
  5^3 = 125
  5^4 = 625
  5^5 = 625 \times 5 = 3125.

  Ta có 2^{13} = 8192 và 5^5 = 3125.
  Vì $8192 > 3125$, nên 2^{13} > 5^5.
  Do đó, (2^{13})^7 > (5^5)^7.
  Vậy 2^{91} > 5^{35}.

• Lời giải:
  Ta có 2^{91} = 2^{13 \times 7} = (2^{13})^7.
  Ta có 5^{35} = 5^{5 \times 7} = (5^5)^7.
  Ta cần so sánh 2^{13} và 5^5.
  2^{13} = 8192.
  5^5 = 3125.
  Vì $8192 > 3125$ nên 2^{13} > 5^5.
  Do đó, (2^{13})^7 > (5^5)^7, suy ra 2^{91} > 5^{35}.

Mẹo kiểm tra: Cẩn thận khi tính toán các lũy thừa có số mũ lớn. Ước lượng hoặc kiểm tra lại các phép nhân.

Lỗi hay gặp:

• Tìm sai ước chung lớn nhất của các số mũ.
• Tính toán sai giá trị của cơ số mới (ví dụ: 2^{13} hoặc 5^5).
• Nhầm lẫn quy tắc so sánh lũy thừa cùng cơ số và cùng số mũ. Bài này yêu cầu so sánh cùng số mũ nên cần so sánh cơ số.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi đi qua các bài tập, chúng ta có các kết quả chính như sau:

• Bài 39 & 44: Tính toán giá trị lũy thừa với cơ số hữu tỉ, chú ý đến dấu khi cơ số âm.
• Bài 40 & 41: Biểu diễn số dưới dạng lũy thừa, tìm các cách viết khác nhau.
• Bài 42: Tìm giá trị $x$ bằng cách giải phương trình lũy thừa, dựa vào tính chất của số mũ chẵn/lẻ và lũy thừa bằng 0, 1.
• Bài 43 & 48: So sánh hai lũy thừa bằng cách đưa chúng về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
• Bài 45: Rút gọn biểu thức về dạng lũy thừa đơn a^n bằng cách áp dụng các quy tắc về lũy thừa.
• Bài 46: Tìm số tự nhiên $n$ bằng cách biến đổi bất đẳng thức về lũy thừa cùng cơ số rồi so sánh số mũ.
• Bài 47: Chứng minh tính chia hết bằng cách phân tích biểu thức lũy thừa thành nhân tử.

Việc nắm vững các dạng bài tập này là nền tảng quan trọng để học tốt chương Lũy thừa trong chương trình Toán lớp 7.

Conclusion

Việc chinh phục các bài tập từ giải toán lớp 7 trang 14 tập 1 và các trang lân cận trong Sách Bài Tập Toán lớp 7 là bước đi vững chắc để học sinh làm chủ kiến thức về lũy thừa của một số hữu tỉ. Qua việc phân tích chi tiết từng bài tập, từ định nghĩa cơ bản đến các bài toán nâng cao về so sánh, tìm $x$ hay chứng minh chia hết, chúng ta đã thấy được tầm quan trọng của việc nắm vững các quy tắc và tính chất của lũy thừa. Hy vọng với hướng dẫn này, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và giải toán.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.