Định Lý Hàm Cosin Trong Tam Giác: Kiến Thức Nền Tảng Và Ứng Dụng

by Thầy Đông · January 15, 2026

Rate this post

Định lý hàm cosin là một công cụ toán học mạnh mẽ, đóng vai trò nền tảng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác. Hiểu rõ định lý này không chỉ giúp học sinh chinh phục các dạng bài tập trong chương trình học mà còn mở ra cánh cửa ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ đi sâu vào định lý hàm cosin, các hệ quả quan trọng và minh họa bằng ví dụ cụ thể, giúp bạn nắm vững kiến thức này một cách hiệu quả.

Đề Bài

Trong một tam giác, ta phát biểu định lý hàm cosin như sau: Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.

Trong tam giác ABC, với AB = c, BC = a, AC = b ta có:

voh.com.vn-ham-so-cosin-1

Như vậy, trong một tam giác nếu biết được hai cạnh và góc xen giữa ta sẽ tính được độ dài của cạnh còn lại.

Chứng minh định lý hàm số cosin

Để chứng minh định lý này bạn có thể áp dụng phương pháp dưới đây:

Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c.

voh.com.vn-ham-so-cosin-2

voh.com.vn-dinh-li-ham-so-cosin-3

Phân Tích Yêu Cầu

Đề bài giới thiệu về định lý hàm cosin và cung cấp công thức tổng quát cho một tam giác bất kỳ. Yêu cầu chính là hiểu và áp dụng định lý này để giải quyết các vấn đề liên quan đến tam giác, đặc biệt là tính toán độ dài cạnh hoặc số đo góc khi biết các thông tin khác. Phần chứng minh định lý cũng được đưa ra, đòi hỏi người đọc cần nắm vững các kiến thức hình học cơ bản để theo dõi.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để hiểu và áp dụng định lý hàm cosin, người học cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa Tam giác: Tam giác là một đa giác có ba cạnh và ba góc.
Ký hiệu trong Tam giác: Thông thường, các đỉnh của tam giác được ký hiệu bằng chữ cái in hoa (A, B, C), các cạnh đối diện với đỉnh tương ứng được ký hiệu bằng chữ cái thường (a, b, c). Góc tại đỉnh A ký hiệu là $angle A$, góc tại đỉnh B là $angle B$, góc tại đỉnh C là $angle C$.
Định lý Pitago: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (sin, cos, tan).
Các phép toán cơ bản: Cộng, trừ, nhân, chia, bình phương.

Định lý hàm cosin:
Trong một tam giác ABC bất kỳ, với độ dài ba cạnh lần lượt là a, b, c và các góc đối diện tương ứng là A, B, C, ta có các công thức sau:

Bình phương cạnh a:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
Bình phương cạnh b:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
Bình phương cạnh c:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Công thức này cho phép chúng ta tính độ dài một cạnh của tam giác khi biết độ dài hai cạnh còn lại và số đo góc xen giữa chúng.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

1. Chứng minh Định lý Hàm Cosin:

Ta chứng minh công thức cho cạnh a: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ .

Xét tam giác ABC. Kẻ đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC (hoặc đường thẳng chứa BC). Gọi H là chân đường cao.

Trường hợp 1: H nằm giữa B và C.
Trong tam giác vuông AHB, ta có:
$AH^2 = AB^2 - BH^2 = c^2 - BH^2$
$BH = c \cos B$ (Nếu góc B nhọn)
$AH^2 = c^2 - (c \cos B)^2$
Trong tam giác vuông AHC, ta có:
$AH^2 = AC^2 - CH^2 = b^2 - CH^2$
$CH = b \cos C$ (Nếu góc C nhọn)
$AH^2 = b^2 - (b \cos C)^2$
Ta có a = BC = BH + CH.
$a^2 = (BH + CH)^2 = BH^2 + CH^2 + 2 BH \cdot CH$
Cách tiếp cận này có thể phức tạp. Một cách khác là sử dụng hệ tọa độ hoặc vector. Tuy nhiên, theo phương pháp hình học truyền thống, ta có thể làm như sau:
Đặt tam giác ABC vào hệ trục tọa độ. Đặt đỉnh A tại gốc tọa độ (0, 0). Đặt đỉnh B trên trục hoành tại (c, 0).
Đỉnh C có tọa độ (b cos A, b sin A).
Bây giờ, ta tính bình phương khoảng cách giữa B và C, chính là a^2.
$a^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2$
$a^2 = (b \cos A - c)^2 + (b \sin A - 0)^2$
$a^2 = (b^2 \cos^2 A - 2bc \cos A + c^2) + (b^2 \sin^2 A)$
$a^2 = b^2 (\cos^2 A + \sin^2 A) + c^2 - 2bc \cos A$
Sử dụng đồng nhất thức lượng giác $\cos^2 A + \sin^2 A = 1$ :
$a^2 = b^2(1) + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
Công thức này đúng cho mọi góc A, kể cả góc tù hoặc vuông.
Trường hợp 2: Góc A tù.
Nếu A là góc tù, $\cos A</code> sẽ âm. Khi đó, đỉnh C sẽ có tọa độ <code>(b \cos A, b \sin A)</code> với <code>\cos A < 0</code>. <code>[]a^2 = (b \cos A - c)^2 + (b \sin A)^2$
$a^2 = b^2 \cos^2 A - 2bc \cos A + c^2 + b^2 \sin^2 A$
$a^2 = b^2(\cos^2 A + \sin^2 A) + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
Công thức vẫn đúng.
Trường hợp 3: Góc A vuông.
Nếu $A = 90^\circ$ , thì $\cos A = 0$ .
Công thức trở thành $a^2 = b^2 + c^2$ , đây chính là định lý Pitago, đúng cho tam giác vuông.

Tương tự, ta có thể chứng minh cho các cạnh b và c.

Mẹo kiểm tra:
Khi áp dụng định lý hàm cosin, hãy đảm bảo rằng bạn đang sử dụng đúng góc xen giữa hai cạnh đã cho. Ví dụ, để tính cạnh a, bạn cần biết hai cạnh b, c và góc A.

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn giữa các cạnh và góc.
Sử dụng sai công thức (ví dụ: quên dấu trừ, quên hệ số 2).
Nhập sai giá trị cosin của góc vào máy tính.
Không chuyển đổi đơn vị góc (độ sang radian hoặc ngược lại) nếu máy tính đang ở chế độ khác.

Hệ Quả Định Lý Hàm Cosin

Từ công thức của định lý hàm cosin, ta có thể suy ra các công thức để tính số đo các góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh. Đây là hệ quả rất hữu ích.

Từ $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ , ta biến đổi để tìm $\cos A</code>: <code>[]2bc \cos A = b^2 + c^2 - a^2$
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Tương tự, ta có:
$\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Những công thức này cho phép chúng ta tính toán số đo của ba góc trong tam giác chỉ dựa vào độ dài ba cạnh của nó.

Ứng dụng tính đường trung tuyến:
Định lý hàm cosin cũng có thể được sử dụng để suy ra công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.
Giả sử AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, với M là trung điểm của BC. Khi đó, $BM = MC = \dfrac{a}{2}$ .
Áp dụng định lý hàm cosin cho tam giác ABM, ta có:
$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 AB \cdot BM \cos B$
$m_a^2 = c^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 - 2 c \left(\dfrac{a}{2}\right) \cos B$
$m_a^2 = c^2 + \dfrac{a^2}{4} - ac \cos B$

Từ hệ quả của định lý hàm cosin, ta có $\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ . Thay vào công thức trên:
$m_a^2 = c^2 + \dfrac{a^2}{4} - ac \left(\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right)$
$m_a^2 = c^2 + \dfrac{a^2}{4} - \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$
Quy đồng mẫu số:
$m_a^2 = \dfrac{4c^2 + a^2 - 2(a^2 + c^2 - b^2)}{4}$
$m_a^2 = \dfrac{4c^2 + a^2 - 2a^2 - 2c^2 + 2b^2}{4}$
$m_a^2 = \dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$
$m_a = \dfrac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Tương tự, ta có độ dài các đường trung tuyến khác:
$m_b = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$
$m_c = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Ứng Dụng Của Định Lý Hàm Cosin

Định lý hàm cosin là một trong những phần kiến thức cơ bản, xuyên suốt trong chương trình toán học phổ thông, với nhiều ứng dụng thiết thực.

1. Giải tam giác:
Đây là ứng dụng trực tiếp và phổ biến nhất. Định lý hàm cosin cho phép chúng ta tìm các yếu tố còn lại của một tam giác khi biết:

Độ dài ba cạnh (để tìm ba góc).
Độ dài hai cạnh và góc xen giữa (để tìm cạnh còn lại và hai góc còn lại).

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có $a = 7, b = 8, c = 9$ . Tính số đo góc A.
Áp dụng công thức hệ quả:
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos A = \dfrac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9}$
$\cos A = \dfrac{64 + 81 - 49}{144}$
$\cos A = \dfrac{96}{144} = \dfrac{2}{3}$
$A = arccosleft(\dfrac{2}{3}\right) \approx 48.19^\circ$

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có $b = 5, c = 7, A = 60^\circ$ . Tính độ dài cạnh a.
Áp dụng định lý hàm cosin:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos 60^\circ$
$a^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \dfrac{1}{2}$
$a^2 = 74 - 35$
$a^2 = 39$
$a = \sqrt{39}$

2. Ứng dụng trong đo đạc thực tế:
Trong thực tế, có nhiều tình huống mà chúng ta không thể đo đạc trực tiếp các khoảng cách hoặc góc. Định lý hàm cosin cung cấp một phương pháp hiệu quả để tính toán các giá trị này.

Đo chiều cao không thể tiếp cận: Ví dụ, để đo chiều cao của một tòa nhà cao tầng hoặc một ngọn núi, ta có thể đứng ở một khoảng cách nhất định, đo khoảng cách đó và góc nhìn lên đỉnh. Sau đó, áp dụng các nguyên tắc lượng giác và định lý hàm cosin để tính toán chiều cao.
Định vị và dẫn đường: Trong hàng hải, hàng không và khảo sát địa lý, định lý hàm cosin (cùng với định lý hàm sin) được sử dụng để tính toán khoảng cách và vị trí dựa trên các phép đo góc và khoảng cách đã biết.
Kỹ thuật và xây dựng: Khi thiết kế các công trình có hình dạng phức tạp hoặc cần tính toán lực căng, áp lực, các kỹ sư thường sử dụng định lý hàm cosin để phân tích các lực và góc trong hệ thống.
Vật lý: Trong các bài toán về vector, đặc biệt là khi cộng hoặc trừ hai vector không cùng phương, định lý hàm cosin giúp tìm độ lớn của vector kết quả. Ví dụ, khi tính toán vận tốc tương đối hoặc hợp lực.

Ví dụ thực tế:
Giả sử bạn muốn đo chiều cao của một cây cổ thụ mà không thể trèo lên. Bạn đứng cách gốc cây 10 mét và đo được góc nâng từ mắt bạn lên đỉnh cây là $60^\circ$ . Nếu chiều cao mắt bạn so với mặt đất là 1.5 mét, bạn có thể tính chiều cao cây như sau:
Gọi chiều cao của cây là H. Khoảng cách từ vị trí đứng đến gốc cây là 10m.
Xét tam giác vuông nhỏ tạo bởi mắt bạn, đỉnh cây và điểm trên cây ngang với mắt bạn. Chiều cao phần cây phía trên tầm mắt là h.
$h = 10 \cdot \tan 60^\circ = 10 \sqrt{3}$
Chiều cao cây là H = h + 1.5 = 10sqrt{3} + 1.5 mét.

Tuy nhiên, nếu bài toán phức tạp hơn, ví dụ bạn không thể đứng thẳng hàng với gốc cây, bạn có thể cần dùng định lý hàm cosin. Giả sử bạn đo khoảng cách từ hai điểm A và B trên mặt đất đến gốc cây C, và đo góc $angle ACB$ . Nếu bạn biết khoảng cách AB, bạn có thể dùng định lý hàm cosin để tìm khoảng cách AC hoặc BC.

Tóm lại, định lý hàm cosin là một công cụ toán học đa năng, không chỉ là kiến thức lý thuyết trên sách vở mà còn là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán thực tế trong cuộc sống và khoa học kỹ thuật.

Đáp Án/Kết Quả

Định lý hàm cosin cho phép tính độ dài một cạnh của tam giác khi biết hai cạnh còn lại và góc xen giữa:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Hệ quả của định lý cho phép tính số đo góc khi biết độ dài ba cạnh:
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Định lý cũng được dùng để tính độ dài đường trung tuyến và có nhiều ứng dụng trong đo đạc, vật lý và kỹ thuật.

Kết Luận

Định lý hàm cosin là một trong những định lý cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình toán học trung học phổ thông, đặc biệt là trong phần hình học và lượng giác. Việc nắm vững công thức, cách chứng minh và các hệ quả của nó sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Hơn thế nữa, những kiến thức này còn là nền tảng cho việc áp dụng vào các bài toán thực tế trong đời sống, từ đo đạc địa lý đến các vấn đề kỹ thuật phức tạp, minh chứng cho sự hữu ích và tính ứng dụng rộng rãi của toán học.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.