Đề thi học sinh giỏi các môn - chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí

Hướng Dẫn Giải Bài Toán Vẽ Đồ Thị Và Xác Định Hình Tứ Giác Lớp 8 (Tập 2)

by · January 7, 2026

Rate this post

Nội dung này cung cấp lời giải chi tiết và đầy đủ cho giải toán 8 tập 2 bài 3, giúp học sinh nắm vững phương pháp vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và nhận dạng các hình tạo bởi các đường thẳng. Bài viết tập trung vào sự rõ ràng, chính xác và tuân thủ quy chuẩn trình bày công thức toán học chuẩn KaTeX, đảm bảo tính học thuật và dễ tiếp cận.

Đề Bài

Vẽ đồ thị các hàm số sau đây trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
a) (y = x); (y = x + 2); (y = – x); (y = – x + 2).
b) Bốn đồ thị nói trên cắt nhau tại các điểm (Oleft( {0;0} right),A,B,C). Tứ giác có bốn đỉnh (O;A;B;C) là hình gì? Giải thích.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán này gồm hai phần chính. Phần a yêu cầu vẽ đồng thời bốn đồ thị hàm số bậc nhất trên cùng một hệ trục tọa độ. Điều này đòi hỏi học sinh phải nắm vững cách xác định tọa độ hai điểm bất kỳ để vẽ một đường thẳng, cũng như hiểu mối quan hệ giữa các đường thẳng song song và cắt nhau. Phần b yêu cầu xác định loại hình tứ giác tạo bởi các giao điểm của các đường thẳng này. Để giải quyết phần này, chúng ta cần tính toán tọa độ các giao điểm, sau đó áp dụng các kiến thức về hình học để chứng minh tính chất của tứ giác (hình bình hành, hình thoi, hình vuông).

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán này, chúng ta cần ôn lại các kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất và hình học phẳng.

1. Đồ thị hàm số bậc nhất:

  • Dạng (y = ax) (với (a neq 0)): Đây là hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ (O(0;0)). Để vẽ đồ thị, ta chỉ cần xác định thêm một điểm bất kỳ khác gốc tọa độ. Ví dụ, cho (x = 1) thì (y = a), ta được điểm (M(1; a)). Đường thẳng đi qua (O) và (M) chính là đồ thị của hàm số.
  • Dạng (y = ax + b) (với (a neq 0)): Đây là hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng không đi qua gốc tọa độ. Để vẽ đồ thị, ta cần xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua. Cách phổ biến là:
    • Cho (x = 0) thì (y = b), ta được một điểm trên trục tung (A(0; b)).
    • Cho (y = 0) thì (ax = -b Rightarrow x = -b/a), ta được một điểm trên trục hoành (B(-b/a; 0)).
      Đường thẳng đi qua hai điểm (A) và (B) chính là đồ thị của hàm số.
  • Quan hệ giữa các đường thẳng:
    • Hai đường thẳng (y = ax + b) và (y = a’x + b’) song song với nhau khi và chỉ khi (a = a’) và (b neq b’).
    • Hai đường thẳng (y = ax + b) và (y = a’x + b’) trùng nhau khi và chỉ khi (a = a’) và (b = b’).
    • Hai đường thẳng (y = ax + b) và (y = a’x + b’) cắt nhau khi và chỉ khi (a neq a’).

2. Các tính chất hình học:

  • Hình bình hành: Là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
  • Hình thoi: Là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau, hoặc hai đường chéo vuông góc, hoặc một góc vuông.
  • Hình vuông: Là hình thoi có một góc vuông, hoặc là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
  • Độ dài đường chéo trong hệ tọa độ: Nếu (M(x_1; y_1)) và (N(x_2; y_2)) là hai điểm, độ dài đoạn thẳng MN là (sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

a) Vẽ đồ thị các hàm số

Chúng ta sẽ lần lượt vẽ đồ thị cho từng hàm số, xác định hai điểm thuộc mỗi đường thẳng rồi vẽ.

1. Vẽ đồ thị hàm số (y = x)

Đây là hàm số dạng (y = ax) với (a = 1). Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ (O(0;0)).
Ta chọn (x = 1) thì (y = 1). Suy ra đồ thị đi qua điểm (A(1;1)).
Đồ thị hàm số (y = x) là đường thẳng đi qua hai điểm (O(0;0)) và (A(1;1)).

2. Vẽ đồ thị hàm số (y = x + 2)

Đây là hàm số dạng (y = ax + b) với (a = 1), (b = 2).

  • Cho (x = 0) thì (y = 0 + 2 = 2). Ta được điểm (B(0;2)) trên trục (Oy).
  • Cho (y = 0) thì (x + 2 = 0 Rightarrow x = -2). Ta được điểm (M(-2;0)) trên trục (Ox).
    Đồ thị hàm số (y = x + 2) là đường thẳng đi qua hai điểm (B(0;2)) và (M(-2;0)).
    Quan sát: Đường thẳng này song song với đường thẳng (y = x) vì có cùng hệ số góc (a = 1) và tung độ gốc khác nhau (b=2) so với (b=0).

3. Vẽ đồ thị hàm số (y = – x)

Đây là hàm số dạng (y = ax) với (a = -1). Đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ (O(0;0)).
Ta chọn (x = 1) thì (y = -1). Suy ra đồ thị đi qua điểm (C(1;-1)). (Hoặc chọn (x=-1) thì (y=1) đi qua điểm (C'(-1;1)). Ta dùng (C'(-1;1)) để dễ hình dung hơn trên cùng mặt phẳng với các điểm đã có).
Đồ thị hàm số (y = – x) là đường thẳng đi qua hai điểm (O(0;0)) và (C'(-1;1)).

4. Vẽ đồ thị hàm số (y = – x + 2)

Đây là hàm số dạng (y = ax + b) với (a = -1), (b = 2).

  • Cho (x = 0) thì (y = -0 + 2 = 2). Ta được điểm (B(0;2)) trên trục (Oy). (Lưu ý: điểm (B) này đã được xác định ở hàm số (y = x + 2)).
  • Cho (y = 0) thì (-x + 2 = 0 Rightarrow x = 2). Ta được điểm (N(2;0)) trên trục (Ox).
    Đồ thị hàm số (y = – x + 2) là đường thẳng đi qua hai điểm (B(0;2)) và (N(2;0)).
    Quan sát: Đường thẳng này song song với đường thẳng (y = – x) vì có cùng hệ số góc (a = -1) và tung độ gốc khác nhau (b=2) so với (b=0).

Sau khi xác định các điểm, chúng ta tiến hành vẽ các đường thẳng (OA), (BM) (hoặc (BN) tùy cách chọn điểm M), (OC’), (BN) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Mẹo kiểm tra:

  • Kiểm tra xem các cặp đường thẳng có song song không.
  • Kiểm tra xem các điểm đã xác định có thuộc đồ thị không bằng cách thay tọa độ vào phương trình.
  • Đảm bảo đồ thị đi qua gốc tọa độ đối với các hàm (y=ax).

Lỗi hay gặp:

  • Nhầm lẫn giữa (y=ax) và (y=ax+b).
  • Chọn sai điểm hoặc tính toán sai tọa độ điểm.
  • Vẽ sai đường thẳng, không đi qua đúng hai điểm đã xác định.
  • Quên đặt tên cho các điểm hoặc đồ thị.
  • Không vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Xác định hình dạng tứ giác OABC

Trước hết, ta cần tìm tọa độ các đỉnh của tứ giác.

  • Đỉnh (O) là gốc tọa độ nên (O(0;0)).
  • Đỉnh (A) là giao điểm của (y = x) và (y = x + 2). Tuy nhiên, hai đường này song song nên không cắt nhau. Ta cần xác định đúng các đỉnh giao điểm. Dựa vào hình vẽ và đề bài, các đỉnh của tứ giác sẽ là các giao điểm của các cặp đường thẳng đã cho.
    • Giao điểm của (y = x) và (y = -x): (x = -x Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0), suy ra (y = 0). Giao điểm là (O(0;0)).
    • Giao điểm của (y = x) và (y = -x + 2): (x = -x + 2 Rightarrow 2x = 2 Rightarrow x = 1), suy ra (y = 1). Giao điểm là (A(1;1)).
    • Giao điểm của (y = x + 2) và (y = -x + 2): (x + 2 = -x + 2 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0), suy ra (y = 0 + 2 = 2). Giao điểm là (B(0;2)).
    • Giao điểm của (y = x + 2) và (y = -x): (x + 2 = -x Rightarrow 2x = -2 Rightarrow x = -1), suy ra (y = -(-1) = 1). Giao điểm là (C(-1;1)).

Vậy, các đỉnh của tứ giác là (O(0;0)), (A(1;1)), (B(0;2)), (C(-1;1)). Tứ giác này có tên là (OABC) (theo thứ tự các đỉnh liên tiếp).

Giải thích:

Bước 1: Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Ta xét các cặp cạnh đối:

  • Cạnh (OC) có vector (vec{OC} = (-1-0; 1-0) = (-1; 1)).
  • Cạnh (AB) có vector (vec{AB} = (0-1; 2-1) = (-1; 1)).
    Vì (vec{OC} = vec{AB}), nên (OC parallel AB) và (OC = AB).
    Do đó, tứ giác (OABC) là hình bình hành.

Bước 2: Chứng minh hình bình hành là hình thoi.
Ta tính độ dài các cạnh:

  • (OA = sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2})
  • (OC = sqrt{(-1-0)^2 + (1-0)^2} = sqrt{(-1)^2 + 1^2} = sqrt{2})
    Vì (OA = OC) (hai cạnh kề của hình bình hành bằng nhau), nên tứ giác (OABC) là hình thoi.

Bước 3: Chứng minh hình thoi là hình vuông.
Ta có hai cách:

  • Cách 1: Tính độ dài hai đường chéo.

    • Đường chéo (OB) có tọa độ (O(0;0)) và (B(0;2)). Độ dài (OB = sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = sqrt{0^2 + 2^2} = sqrt{4} = 2).
    • Đường chéo (AC) có tọa độ (A(1;1)) và (C(-1;1)). Độ dài (AC = sqrt{(-1-1)^2 + (1-1)^2} = sqrt{(-2)^2 + 0^2} = sqrt{4} = 2).
      Vì hai đường chéo (OB = AC), hình thoi (OABC) là hình chữ nhật. Kết hợp với việc nó là hình thoi, suy ra (OABC) là hình vuông.

  • Cách 2: Tính góc giữa hai cạnh kề.
    Ta có (vec{OA} = (1; 1)) và (vec{OC} = (-1; 1)).
    Tích vô hướng (vec{OA} cdot vec{OC} = (1)(-1) + (1)(1) = -1 + 1 = 0).
    Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vector (vec{OA}) và (vec{OC}) vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là (angle AOC = 90^circ).
    Hình thoi (OABC) có một góc vuông (angle AOC = 90^circ) nên nó là hình vuông.

Mẹo kiểm tra:

  • Kiểm tra tọa độ giao điểm bằng cách thay vào phương trình của hai đường thẳng tương ứng.
  • Tính lại độ dài các cạnh và đường chéo để đảm bảo không có sai sót trong tính toán.
  • Kiểm tra xem các cạnh của tứ giác có song song, vuông góc với nhau theo yêu cầu của từng loại hình không.

Lỗi hay gặp:

  • Xác định sai tọa độ các giao điểm (A, C). (Đề gốc có thể đã có sai sót trong việc ký hiệu điểm, cần xác định đúng theo giao điểm thực tế).
  • Nhầm lẫn giữa các tính chất của hình bình hành, hình thoi, hình vuông.
  • Tính toán sai độ dài cạnh hoặc độ dài đường chéo.
  • Quên chứng minh từng bước (từ hình bình hành, lên hình thoi, rồi lên hình vuông).

Đáp Án/Kết Quả

a) Đồ thị: Bao gồm bốn đường thẳng (y=x), (y=x+2), (y=-x), (y=-x+2) được vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ với các điểm giao xác định như trên.

b) Tứ giác OABC là hình vuông.
Giải thích:

  1. Tứ giác (OABC) với (O(0;0)), (A(1;1)), (B(0;2)), (C(-1;1)) là hình bình hành vì (vec{OC} = vec{AB}).
  2. Hình bình hành (OABC) là hình thoi vì có hai cạnh kề (OA = OC = sqrt{2}).
  3. Hình thoi (OABC) là hình vuông vì có hai đường chéo (OB = AC = 2) (hoặc vì có (angle AOC = 90^circ)).

Tóm lại, bài toán giải toán 8 tập 2 bài 3 không chỉ rèn luyện kỹ năng vẽ đồ thị hàm số bậc nhất mà còn củng cố kiến thức về nhận dạng các hình tứ giác đặc biệt dựa trên tọa độ đỉnh và các tính chất hình học.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Kênh Xoilac TV HD ngon