Giải Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn – Toán 9 (Kết nối tri thức)

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Chào mừng các em học sinh đến với bài học giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình Toán 9, bộ sách Kết nối tri thức. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những chủ đề quan trọng, giúp trang bị cho các em những công cụ mạnh mẽ để giải quyết nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức nền tảng, các phương pháp giải chi tiết cùng những lưu ý quan trọng để các em nắm vững chủ đề này.

Đề Bài

Trong phần này, thường sẽ trình bày một hoặc nhiều hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cụ thể để học sinh thực hành giải. Ví dụ, một hệ phương trình có dạng:
$\begin{cases} ax + by = c dx + ey = f \end{cases}$
trong đó $a, b, c, d, e, f$ là các hệ số đã biết và $x, y$ là các ẩn cần tìm. Mọi công thức và ký hiệu trong đề bài sẽ được trình bày theo đúng định dạng toán học chuẩn.

Phân Tích Yêu Cầu

Khi gặp một bài toán yêu cầu giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, điều cốt lõi là chúng ta cần tìm ra cặp giá trị $(x, y)$ sao cho cả hai phương trình trong hệ đều đúng. Điều này có nghĩa là cặp giá trị $(x, y)$ đó phải thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện đặt ra bởi hai phương trình. Việc phân tích yêu cầu giúp chúng ta xác định rõ mục tiêu, từ đó lựa chọn phương pháp giải phù hợp và hiệu quả nhất.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

Phương trình bậc nhất hai ẩn: Là phương trình có dạng tổng quát $ax + by = c$ , trong đó $a, b$ là các hệ số, $c$ là hằng số và $x, y$ là các ẩn số. Phương trình này có vô số nghiệm, biểu diễn bởi một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Là một tập hợp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ:
$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$
Nghiệm của hệ phương trình: Là cặp giá trị $(x, y)$ thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình trong hệ. Về mặt hình học, nghiệm của hệ phương trình chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình đó (nếu có giao điểm).

Có hai phương pháp chính để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết hai phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

1. Phương Pháp Thế

Phương pháp thế dựa trên nguyên tắc biến đổi một phương trình để rút ra biểu thức của một ẩn theo ẩn còn lại, sau đó thế biểu thức này vào phương trình kia để đưa về một phương trình chỉ còn một ẩn.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Rút ẩn. Từ một trong hai phương trình của hệ, ta rút một ẩn theo ẩn còn lại. Ví dụ, nếu phương trình (1) là $a_1x + b_1y = c_1$ , ta có thể rút $x$ theo $y$ (nếu $a_1 \ne 0$ ) hoặc rút $y$ theo $x$ (nếu $b_1 \ne 0$ ). Thường chọn rút ẩn có hệ số bằng 1 hoặc -1 để tránh phân số.
- Nếu rút $x$ từ phương trình (1): $x = \dfrac{c_1 - b_1y}{a_1}$
- Nếu rút $y$ từ phương trình (1): $y = \dfrac{c_1 - a_1x}{b_1}$
Bước 2: Thế. Thế biểu thức vừa tìm được của ẩn vào phương trình còn lại (phương trình thứ hai).
Bước 3: Giải phương trình một ẩn. Sau khi thế, ta thu được một phương trình chỉ chứa một ẩn duy nhất. Giải phương trình này để tìm giá trị của ẩn đó.
Bước 4: Tìm ẩn còn lại. Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào biểu thức đã rút ở Bước 1 để tính giá trị của ẩn còn lại.
Bước 5: Kiểm tra (Mẹo kiểm tra). Thay cặp giá trị $(x, y)$ tìm được vào cả hai phương trình gốc của hệ. Nếu cả hai phương trình đều đúng thì nghiệm tìm được là chính xác.

Lỗi hay gặp:

Sai sót trong quá trình rút ẩn, đặc biệt khi chuyển vế đổi dấu hoặc chia cho hệ số.
Sai sót khi thế biểu thức vào phương trình thứ hai, dẫn đến sai kết quả.
Quên kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay vào cả hai phương trình ban đầu.

Ví dụ minh họa:
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} 2x + y = 5 quad &(1) x - 3y = 8 quad &(2) \end{cases}$

Bước 1: Từ phương trình (1), ta rút $y$: $y = 5 - 2x$ .
Bước 2: Thế biểu thức của $y$ vào phương trình (2): $x - 3(5 - 2x) = 8$ .
Bước 3: Giải phương trình một ẩn:
$x - 15 + 6x = 8$
$7x = 8 + 15$
$7x = 23$
$x = \dfrac{23}{7}$
Bước 4: Tìm ẩn còn lại: Thay $x = \dfrac{23}{7}$ vào biểu thức $y = 5 - 2x$ :
$y = 5 - 2left(\dfrac{23}{7}\right) = 5 - \dfrac{46}{7} = \dfrac{35 - 46}{7} = \dfrac{-11}{7}$ .
Bước 5 (Kiểm tra):
- Phương trình (1): $2left(\dfrac{23}{7}\right) + \dfrac{-11}{7} = \dfrac{46}{7} - \dfrac{11}{7} = \dfrac{35}{7} = 5$ (Đúng).
- Phương trình (2): $\dfrac{23}{7} - 3left(\dfrac{-11}{7}\right) = \dfrac{23}{7} + \dfrac{33}{7} = \dfrac{56}{7} = 8$ (Đúng).
  Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(\dfrac{23}{7}, \dfrac{-11}{7}\right)$ .

2. Phương Pháp Cộng Đại Số

Phương pháp cộng đại số dựa trên nguyên tắc cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ (sau khi đã nhân thêm với các số thích hợp) để khử đi một ẩn, đưa hệ về một phương trình chỉ còn một ẩn.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Nhân các phương trình (nếu cần). Nhân từng phương trình của hệ với một số thích hợp sao cho hệ số của một trong hai ẩn (ví dụ $x$) trong hai phương trình là đối nhau hoặc bằng nhau.
Bước 2: Cộng hoặc trừ hai phương trình.
- Nếu hệ số của ẩn cần khử là đối nhau (ví dụ: $2x$ và $-2x$ ), ta cộng hai phương trình lại.
- Nếu hệ số của ẩn cần khử là bằng nhau (ví dụ: $3y$ và $3y$ ), ta trừ hai phương trình cho nhau.
  Kết quả là ta thu được một phương trình mới chỉ còn một ẩn.
Bước 3: Giải phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn vừa thu được để tìm giá trị của ẩn đó.
Bước 4: Tìm ẩn còn lại. Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu của hệ (phương trình đơn giản hơn) để tính giá trị của ẩn còn lại.
Bước 5: Kiểm tra (Mẹo kiểm tra). Tương tự như phương pháp thế, thay cặp giá trị $(x, y)$ tìm được vào cả hai phương trình gốc của hệ để đảm bảo tính chính xác.

Lỗi hay gặp:

Nhân sai hệ số vào một hoặc cả hai vế của phương trình.
Sai lầm khi cộng hoặc trừ hai phương trình, đặc biệt với dấu âm.
Nhầm lẫn giữa việc cộng và trừ trong trường hợp hệ số bằng nhau hoặc đối nhau.

Ví dụ minh họa:
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} 2x + y = 5 quad &(1) x - 3y = 8 quad &(2) \end{cases}$

Bước 1: Ta muốn khử ẩn $y$. Nhân phương trình (1) với 3:
$(2x + y = 5) \times 3 implies 6x + 3y = 15 quad &(1')$
Phương trình (2) giữ nguyên: $x - 3y = 8 quad &(2)$
Bước 2: Cộng phương trình (1′) và (2) (vì hệ số của $y$ là 3 và -3, là đối nhau):
$(6x + 3y) + (x - 3y) = 15 + 8$
$7x = 23$
Bước 3: Giải phương trình một ẩn: $x = \dfrac{23}{7}$ .
Bước 4: Tìm ẩn còn lại. Thay $x = \dfrac{23}{7}$ vào phương trình (1) (dễ hơn):
$2left(\dfrac{23}{7}\right) + y = 5$
$\dfrac{46}{7} + y = 5$
$y = 5 - \dfrac{46}{7} = \dfrac{35 - 46}{7} = \dfrac{-11}{7}$ .
Bước 5 (Kiểm tra): (Giống ví dụ trên, kết quả là đúng).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(\dfrac{23}{7}, \dfrac{-11}{7}\right)$ .

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm

Nhiều loại máy tính cầm tay hiện đại (như Casio, Vinacal) cho phép giải trực tiếp hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bước thực hiện sẽ tùy thuộc vào từng dòng máy cụ thể, thông thường bao gồm:

Nhấn nút MODE hoặc SETUP.
Chọn chức năng EQUATION (thường ký hiệu là EQN).
Chọn loại hệ phương trình (thường là 2 ẩn, ký hiệu là ax+by=c hoặc 2).
Nhập lần lượt các hệ số $a_1, b_1, c_1$ của phương trình thứ nhất và $a_2, b_2, c_2$ của phương trình thứ hai.
Nhấn phím = hoặc SOLVE để máy tính hiển thị kết quả của $x$ và $y$.

Lưu ý: Mặc dù máy tính hỗ trợ tìm nghiệm nhanh chóng, nhưng việc hiểu rõ bản chất và các phương pháp giải tự luận vẫn là yêu cầu bắt buộc để nắm vững kiến thức Toán học.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi áp dụng các phương pháp giải, chúng ta sẽ tìm được cặp giá trị $(x, y)$ là nghiệm của hệ phương trình.

Nếu hệ có nghiệm duy nhất, ta sẽ thu được một cặp $(x_0, y_0)$ .
Nếu hệ vô nghiệm, quá trình giải sẽ dẫn đến một mâu thuẫn (ví dụ: $0 = 5$ ).
Nếu hệ có vô số nghiệm, quá trình giải sẽ dẫn đến một đẳng thức đúng (ví dụ: $0 = 0$ ), và ta cần biểu diễn tập nghiệm dưới dạng tham số.

Việc trình bày đáp án cần rõ ràng, ghi rõ nghiệm là cặp $(x, y)$ nào.

Kết Luận

Nắm vững cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cả phương pháp thế và phương pháp cộng đại số là kỹ năng cơ bản nhưng cực kỳ quan trọng trong chương trình Toán 9 và cho các cấp học cao hơn. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng để thành thạo các kỹ năng này, từ đó tự tin chinh phục các dạng toán liên quan đến hệ phương trình.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.