Giải Bài 3 Trang 80 SGK Hình Học 12: Phương Trình Mặt Phẳng Tọa Độ

by Thầy Đông · Tháng 1 8, 2026

Rate this post

Để giải bài 3 trang 80 SGK Hình học 12, chúng ta sẽ tìm hiểu cách lập phương trình các mặt phẳng tọa độ và các mặt phẳng song song với chúng đi qua một điểm cho trước. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức về mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz, hỗ trợ hiệu quả cho việc ôn tập và chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng.

Đề Bài

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm $M(2; 6; -3)$ và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta xác định phương trình của các mặt phẳng trong hai phần chính:

Phần a) là xác định phương trình của ba mặt phẳng tọa độ cơ bản: mặt phẳng Oxy (chứa trục Ox và Oy), mặt phẳng Oyz (chứa trục Oy và Oz), và mặt phẳng Ozx (chứa trục Oz và Ox).
Phần b) là tìm phương trình của ba mặt phẳng khác, mỗi mặt phẳng đi qua một điểm cố định và song song với một trong ba mặt phẳng tọa độ đã nêu ở phần a. Yêu cầu này đòi hỏi vận dụng kiến thức về điều kiện song song giữa hai mặt phẳng.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa và phương pháp lập phương trình mặt phẳng trong không gian.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để lập phương trình mặt phẳng, chúng ta cần hai yếu tố cơ bản: một điểm mà mặt phẳng đi qua và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Vectơ pháp tuyến (VTPT): Là vectơ vuông góc với mặt phẳng. Nếu mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ , thì $overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ là một VTPT của mặt phẳng đó.
Phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có VTPT $overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình là:
$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

Các mặt phẳng tọa độ:

Mặt phẳng katex[/katex] là mặt phẳng chứa trục Ox và Oy. Nó luôn vuông góc với trục Oz. Do đó, VTPT của mặt phẳng katex[/katex] có thể lấy là vectơ đơn vị trên trục Oz, $overrightarrow k = (0; 0; 1)$ . Phương trình của mặt phẳng katex[/katex] sẽ có dạng $z = 0$ .
Tương tự, mặt phẳng katex[/katex] chứa trục Oy và Oz, vuông góc với trục Ox. VTPT là $overrightarrow i = (1; 0; 0)$ . Phương trình là $x = 0$ .
Mặt phẳng katex[/katex] chứa trục Oz và Ox, vuông góc với trục Oy. VTPT là $overrightarrow j = (0; 1; 0)$ . Phương trình là $y = 0$ .

Điều kiện hai mặt phẳng song song:
Nếu hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song với nhau, thì hai vectơ pháp tuyến của chúng phải cùng phương, tức là $overrightarrow {{n_P}} = k overrightarrow {{n_Q}}$ với $k \ne 0$ . Trong nhiều trường hợp, ta có thể chọn $overrightarrow {{n_P}} = overrightarrow {{n_Q}}$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Mặt phẳng (Oxy):
Mặt phẳng katex[/katex] đi qua gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng katex[/katex] là vectơ đơn vị $overrightarrow k$ theo phương của trục Oz, tức là $overrightarrow n_{(Oxy)} = (0; 0; 1)$ .
Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng:
$0 \cdot (x - 0) + 0 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - 0) = 0$
Suy ra, phương trình mặt phẳng katex[/katex] là:
$z = 0$
Mặt phẳng (Oyz):
Mặt phẳng katex[/katex] đi qua gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng katex[/katex] là vectơ đơn vị $overrightarrow i$ theo phương của trục Ox, tức là $overrightarrow n_{(Oyz)} = (1; 0; 0)$ .
Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng:
$1 \cdot (x - 0) + 0 \cdot (y - 0) + 0 \cdot (z - 0) = 0$
Suy ra, phương trình mặt phẳng katex[/katex] là:
$x = 0$
Mặt phẳng (Ozx):
Mặt phẳng katex[/katex] đi qua gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng katex[/katex] là vectơ đơn vị $overrightarrow j$ theo phương của trục Oy, tức là $overrightarrow n_{(Ozx)} = (0; 1; 0)$ .
Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng:
$0 \cdot (x - 0) + 1 \cdot (y - 0) + 0 \cdot (z - 0) = 0$
Suy ra, phương trình mặt phẳng katex[/katex] là:
$y = 0$

Mẹo kiểm tra: Các mặt phẳng tọa độ có VTPT lần lượt là katex, (1;0;0), (0;1;0)[/katex], tương ứng với các trục tọa độ mà chúng không chứa.

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm $M(2; 6; -3)$ và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Mặt phẳng (P) song song với (Oxy):
Mặt phẳng katex[/katex] đi qua điểm $M(2; 6; -3)$ .
Vì katex[/katex] song song với katex[/katex], nên nó có cùng VTPT với katex[/katex]. Ta có thể chọn $overrightarrow {{nP}} = overrightarrow {{n{(Oxy)}}} = (0; 0; 1)$ .
Phương trình mặt phẳng katex[/katex] là:
$0 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - 6) + 1 \cdot (z - (-3)) = 0$
$0 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - 6) + 1 \cdot (z + 3) = 0$
Suy ra, phương trình mặt phẳng katex[/katex] là:
$z + 3 = 0$
Mặt phẳng (Q) song song với (Oyz):
Mặt phẳng katex[/katex] đi qua điểm $M(2; 6; -3)$ .
Vì katex[/katex] song song với katex[/katex], nên ta chọn VTPT $overrightarrow {{nQ}} = overrightarrow {{n{(Oyz)}}} = (1; 0; 0)$ .
Phương trình mặt phẳng katex[/katex] là:
$1 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - 6) + 0 \cdot (z - (-3)) = 0$
$1 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - 6) + 0 \cdot (z + 3) = 0$
Suy ra, phương trình mặt phẳng katex[/katex] là:
$x - 2 = 0$
Mặt phẳng (R) song song với (Ozx):
Mặt phẳng katex[/katex] đi qua điểm $M(2; 6; -3)$ .
Vì katex[/katex] song song với katex[/katex], nên ta chọn VTPT $overrightarrow {{nR}} = overrightarrow {{n{(Ozx)}}} = (0; 1; 0)$ .
Phương trình mặt phẳng katex[/katex] là:
$0 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - 6) + 0 \cdot (z - (-3)) = 0$
$0 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - 6) + 0 \cdot (z + 3) = 0$
Suy ra, phương trình mặt phẳng katex[/katex] là:
$y - 6 = 0$

Mẹo kiểm tra: Một mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ katex[/katex] chỉ có một tham số $z$ trong phương trình (ví dụ: $z = c$ ). Tương tự, mặt phẳng song song với katex[/katex] chỉ có $x$ (ví dụ: $x = c$ ), và mặt phẳng song song với katex[/katex] chỉ có $y$ (ví dụ: $y = c$ ). Với điểm $M(2; 6; -3)$ , các phương trình phải là $z = -3$ , $x = 2$ , $y = 6$ (sau khi chuyển vế).

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn VTPT của các mặt phẳng tọa độ.
Áp dụng sai công thức phương trình mặt phẳng, đặc biệt là với dấu của tọa độ điểm đi qua.
Sai sót trong việc xác định điều kiện song song giữa hai mặt phẳng.

Đáp Án/Kết Quả

a) Phương trình các mặt phẳng tọa độ là:

Mặt phẳng katex[/katex]: $z = 0$
Mặt phẳng katex[/katex]: $x = 0$
Mặt phẳng katex[/katex]: $y = 0$

b) Phương trình các mặt phẳng đi qua điểm $M(2; 6; -3)$ và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ là:

Mặt phẳng song song với katex[/katex]: $z + 3 = 0$
Mặt phẳng song song với katex[/katex]: $x - 2 = 0$
Mặt phẳng song song với katex[/katex]: $y - 6 = 0$

Kết Luận

Việc nắm vững cách xác định phương trình các mặt phẳng tọa độ và ứng dụng điều kiện song song để lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước là kiến thức cốt lõi trong chương trình Hình học 12. Bài viết này đã trình bày chi tiết cách giải bài 3 trang 80 SGK Hình học 12, hy vọng cung cấp cho bạn đọc phương pháp tiếp cận bài toán một cách khoa học và hiệu quả, làm nền tảng vững chắc cho việc chinh phục các dạng bài tập phức tạp hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất Tháng 1 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.