Giải Toán Lớp 9 Học Kỳ 1: Đề Thi Mẫu Chi Tiết

Chào mừng bạn đến với bài viết tổng hợp giải toán lớp 9 học kì 1 đầy đủ và chi tiết. Nội dung này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, phương pháp giải các dạng bài tập trọng tâm, từ đó tự tin chinh phục các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng. Bài viết cung cấp lời giải chi tiết cho cả phần trắc nghiệm và tự luận, bám sát chương trình học.

Đề Bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: (3,0 điểm)
Hãy viết vào tờ giấy thi chữ cái in hoa trước đáp án đúng.

Câu 1. Điều kiện xác định của biểu thức \sqrt{x - 8} là
A. x \ge 8. B. x > 8.
C. x < 8.[/katex] D. [katex]x \le 8.[/katex]</p> <p><strong>Câu 2.</strong> Đường thẳng nào sau đây <strong>không</strong> song song với đường thẳng [katex]y = 7x + 3?
A. y = 7x. B. y = 4 - 7x.
C. y = 7x + 1. D. y = - 1 + 7x.

Câu 3. Giá trị của biểu thức \sqrt{0.04 \times 30^2} bằng
A.6. B.0.12.
C. 12. D. 0.24.

Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng BC bằng
A.10cm. B. \sqrt{14} cm.
C. \sqrt{2} cm. D. 14cm.

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng?
A. AH \cdot HB = CB \cdot CA.
B. AB^2 = CH \cdot BH.
C. AC^2 = BH \cdot BC.
D. AH \cdot BC = AB \cdot AC.

Câu 6. Cho tam giác MNP vuông ở M, MN = 4a; MP = 3a. Khi đó, \tan P bằng
A. \dfrac{3}{4}. B. \dfrac{4}{3}.
C. \dfrac{3}{5}. D. \dfrac{4}{5}.

II. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm).

Câu 7: (1,5 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức : \sqrt{20} - 3sqrt{5} + 2sqrt{45}.
b) Tìm x, biết : \sqrt{x - 1} + \sqrt{4x - 4} = 9.

Câu 8: (1,0 điểm) Cho hàm số bậc nhất : y = \left( {k - 2} \right)x + {k^2} - 2k; (k là tham số)
a) Vẽ đồ thị hàm số khi k = 1.
b) Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Câu 9: (1,5 điểm) Cho biểu thức P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a + 1}} - \dfrac{1}{a + \sqrt a }} \right):\dfrac{{\sqrt a - 1}}{{a + 2sqrt a + 1}} với a > 0 và a \ne 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để P có giá trị bằng 2.

Câu 10: (2,5 điểm) Cho \left( {O;R} \right), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.
b) Tính số đo góc BOA.
c) Chứng minh tam giác OAK cân tại K.

Câu 11: (0,5 điểm) Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn :
\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = \sqrt 3 và \sqrt{\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right)} + \sqrt{\left( {b + 2a} \right)\left( {b + 2c} \right)} + \sqrt{\left( {c + 2a} \right)\left( {c + 2b} \right)} = 3.
Tính giá trị của biểu thức M = {\left( {2sqrt a + 3sqrt b - 4sqrt c } \right)^2}.

---

Phân Tích Yêu Cầu

Đề bài gồm hai phần chính: Trắc nghiệm và Tự luận, bao quát các chủ đề cốt lõi của chương trình Toán lớp 9 học kỳ 1, bao gồm: căn bậc hai, hàm số bậc nhất, hệ phương trình, và một số bài toán hình học liên quan. Phần trắc nghiệm kiểm tra kiến thức cơ bản và khả năng áp dụng nhanh. Phần tự luận đòi hỏi kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh hình học và giải quyết vấn đề phức tạp hơn. Mục tiêu là đánh giá năng lực tư duy và kỹ năng giải toán của học sinh.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết đề thi này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

• Căn bậc hai: Điều kiện xác định của \sqrt{A} là A \ge 0. Các phép biến đổi căn thức như \sqrt{A^2B} = |A|\sqrt{B}, quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn, khai phương một tích, thương.
• Hàm số bậc nhất y = ax + b: Xác định sự đồng biến, nghịch biến (a > 0 đồng biến, a < 0[/katex] nghịch biến). Tìm giao điểm với trục hoành ([katex]y=0[/katex]) và trục tung ([katex]x=0[/katex]). Điều kiện song song, cắt nhau giữa hai đường thẳng.</li> <li><strong>Hệ thức lượng trong tam giác vuông:</strong> Các định lý về cạnh và đường cao, tỉ số lượng giác của góc nhọn ([katex]\sin, \cos, \tan, \cot).
• Bất đẳng thức Cô-si: Áp dụng cho hai số không âm (a+b \ge 2sqrt{ab}) và các trường hợp đặc biệt.
• Hình học: Tính chất của tiếp tuyến với đường tròn, định lý Pytago, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, tam giác cân.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM

1.A	2.B	3.A	4.A	5.D	6.B

Câu 1 (NB):
Biểu thức \sqrt{A} xác định khi A \ge 0.
Do đó, \sqrt{x - 8} xác định khi x - 8 \ge 0 Leftrightarrow x \ge 8.
Chọn A.

Câu 2 (NB):
Hai đường thẳng katex: y = ax + b[/katex] và katex: y = a'x + b'[/katex] song song với nhau khi a = a' và b \ne b'.
Đường thẳng đã cho là y = 7x + 3 có a = 7.

• Câu A: y = 7x (a' = 7, b' = 0). a=a', b \ne b' => song song.
• Câu B: y = 4 - 7x (a' = -7). a \ne a' => cắt nhau (không song song).
• Câu C: y = 7x + 1 (a' = 7, b' = 1). a=a', b \ne b' => song song.
• Câu D: y = -1 + 7x (a' = 7, b' = -1). a=a', b \ne b' => song song.
  Vậy đường thẳng không song song là câu B.
  Chọn B.

Câu 3 (TH):
Ta có:
\sqrt{0.04 \times 30^2} = \sqrt{0.04} \times \sqrt{30^2}
\sqrt{0.04} = \sqrt{(0.2)^2} = 0.2
\sqrt{30^2} = 30
Vậy giá trị biểu thức là 0.2 \times 30 = 6.
Chọn A.

Câu 4 (TH):
Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pytago:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
BC = \sqrt{100} = 10 cm.
Chọn A.

Câu 5 (NB):
Xét tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông bao gồm:

• AB^2 = BH \cdot BC
• AC^2 = CH \cdot BC
• AH^2 = BH \cdot CH
• AH \cdot BC = AB \cdot AC
  Hệ thức AH \cdot BC = AB \cdot AC là đúng.
  Chọn D.

Câu 6 (TH):
Tam giác MNP vuông tại M.
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn:
\tan P = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \dfrac{MN}{MP}
\tan P = \dfrac{4a}{3a} = \dfrac{4}{3}.
Chọn B.

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 7 (VD)

a) Tính giá trị của biểu thức : \sqrt{20} - 3sqrt{5} + 2sqrt{45}.
Ta có:
\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{2^2 \times 5} = 2sqrt{5}
\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 5} = 3sqrt{5}
Thay vào biểu thức ban đầu:
2sqrt{5} - 3sqrt{5} + 2(3sqrt{5}) = 2sqrt{5} - 3sqrt{5} + 6sqrt{5}
= (2 - 3 + 6)\sqrt{5} = 5sqrt{5}

b) Tìm x, biết : \sqrt{x - 1} + \sqrt{4x - 4} = 9.
Điều kiện xác định: x - 1 \ge 0 Leftrightarrow x \ge 1.
Ta có: \sqrt{4x - 4} = \sqrt{4(x - 1)} = \sqrt{2^2(x - 1)} = 2sqrt{x - 1}.
Phương trình trở thành:
\sqrt{x - 1} + 2sqrt{x - 1} = 9
3sqrt{x - 1} = 9
\sqrt{x - 1} = 3
Bình phương hai vế:
x - 1 = 3^2 = 9
x = 10
Kiểm tra điều kiện: 10 \ge 1 (thỏa mãn).
Vậy x = 10.

Mẹo kiểm tra: Thay x=10 vào phương trình ban đầu: \sqrt{10-1} + \sqrt{4(10)-4} = \sqrt{9} + \sqrt{36} = 3 + 6 = 9. Đúng.
Lỗi hay gặp: Quên điều kiện xác định hoặc biến đổi sai căn bậc hai.

Câu 8 (VD)

Cho hàm số bậc nhất : y = \left( {k - 2} \right)x + {k^2} - 2k; (k là tham số)

a) Vẽ đồ thị hàm số khi k = 1.
Thay k = 1 vào hàm số, ta được:
y = (1 - 2)x + 1^2 - 2(1)
y = -x + 1 - 2
y = -x - 1
Để vẽ đồ thị, ta tìm hai điểm thuộc đường thẳng này.

• Cho x = 0 Rightarrow y = -1. Ta có điểm (0, -1).
• Cho y = 0 Rightarrow -x - 1 = 0 Rightarrow x = -1. Ta có điểm (-1, 0).
  Đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm (0, -1) và (-1, 0).

Đồ thị hàm số y = -x – 1

b) Tìm k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nghĩa là điểm đó có tọa độ là (2, 0).
Để đồ thị hàm số có dạng y = ax+b cắt trục hoành, hệ số a phải khác 0. Ở đây, a = k-2, nên ta cần k-2 \ne 0 Leftrightarrow k \ne 2.
Thay tọa độ (2, 0) vào phương trình hàm số:
0 = (k - 2) \times 2 + k^2 - 2k
0 = 2k - 4 + k^2 - 2k
0 = k^2 - 4
k^2 = 4
k = 2 hoặc k = -2.
Vì điều kiện là k \ne 2, ta loại trường hợp k = 2.
Vậy, k = -2.

Lỗi hay gặp: Không xét điều kiện k \ne 2 hoặc tính toán sai khi thay tọa độ vào phương trình.

Câu 9 (VD)

Cho biểu thức P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a + 1}} - \dfrac{1}{a + \sqrt a }} \right):\dfrac{{\sqrt a - 1}}{{a + 2sqrt a + 1}} với a > 0 và a \ne 1

a) Rút gọn P.
Trước hết, ta phân tích mẫu số của phân thức thứ hai trong ngoặc: a + \sqrt a = \sqrt a (\sqrt a + 1).
Mẫu số của phân thức thứ hai của phép chia là a + 2sqrt a + 1 = (\sqrt a + 1)^2.
Thay vào biểu thức P:
P = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt a + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt a (\sqrt a + 1)}}} \right) : \dfrac{\sqrt a - 1}{(\sqrt a + 1)^2}
Quy đồng trong ngoặc:
\dfrac{1}{{\sqrt a + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt a (\sqrt a + 1)}} = \dfrac{\sqrt a}{\sqrt a (\sqrt a + 1)} - \dfrac{1}{{\sqrt a (\sqrt a + 1)}} = \dfrac{\sqrt a - 1}{{\sqrt a (\sqrt a + 1)}}
Phép chia phân thức:
P = \dfrac{\sqrt a - 1}{{\sqrt a (\sqrt a + 1)}} \times \dfrac{(\sqrt a + 1)^2}{{\sqrt a - 1}}
Rút gọn các nhân tử chung (\sqrt a - 1 và \sqrt a + 1):
P = \dfrac{1}{\sqrt a} \times (\sqrt a + 1) = \dfrac{\sqrt a + 1}{\sqrt a}
Vậy, P = \dfrac{\sqrt a + 1}{\sqrt a}.

b) Tìm a để P có giá trị bằng 2.
Ta có P = \dfrac{\sqrt a + 1}{\sqrt a}.
Cho P = 2:
\dfrac{\sqrt a + 1}{\sqrt a} = 2
\sqrt a + 1 = 2sqrt a
1 = 2sqrt a - \sqrt a
1 = \sqrt a
Bình phương hai vế:
a = 1^2 = 1
Tuy nhiên, điều kiện của bài toán là a \ne 1. Do đó, không có giá trị nào của a thỏa mãn điều kiện đề bài.

Lỗi hay gặp: Sai sót trong quá trình quy đồng, rút gọn phân thức hoặc quên điều kiện a \ne 1.

Câu 10 (VD):

Cho \left( {O;R} \right), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.
Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn katex[/katex] tại B, nên AB perp OB. Tam giác OAB vuông tại B.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông OAB:
OA^2 = OB^2 + AB^2
Ta có OA = 2R (giả thiết) và OB = R (bán kính đường tròn).
katex^2 = R^2 + AB^2[/katex]
4R^2 = R^2 + AB^2
AB^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2
AB = \sqrt{3R^2} = Rsqrt{3}.

b) Tính số đo góc BOA.
Trong tam giác vuông OAB:
\cos (widehat{BOA}) = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{OB}{OA}
\cos (widehat{BOA}) = \dfrac{R}{2R} = \dfrac{1}{2}
Suy ra widehat{BOA} = 60^\circ.

c) Chứng minh tam giác OAK cân tại K.
Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn katex[/katex] cắt nhau tại A, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có OA là tia phân giác của góc widehat{BAC} và cũng là tia phân giác của góc widehat{BOC}.
Suy ra widehat{OAB} = widehat{OAC}.
Do AC là một phần của đường thẳng AK, nên widehat{OAK} = widehat{OAB}.
Vậy, widehat{OAK} = widehat{OAC}.

Mặt khác, theo giả thiết, đường thẳng qua O vuông góc với OB cắt AC tại K. Tức là OK perp OB.
Ta cũng có AB perp OB (do AB là tiếp tuyến).
Từ OK perp OB và AB perp OB, suy ra OK parallel AB.
Vì OK parallel AB và AC là đường cắt ngang, ta có cặp góc so le trong bằng nhau: widehat{KOA} = widehat{OAB}.

Kết hợp hai điều kiện:
widehat{OAK} = widehat{OAC}
widehat{KOA} = widehat{OAB}
Và ta biết widehat{OAB} = widehat{OAC}.
Do đó, widehat{KOA} = widehat{OAK}.
Tam giác OAK có hai góc bằng nhau (widehat{KOA} = widehat{OAK}), nên tam giác OAK cân tại K.

Mẹo kiểm tra: Tính toán lại các góc và tỉ số lượng giác.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa tính chất tiếp tuyến và các định lý hình học.

Câu 11 (VDC):

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn :
\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = \sqrt 3 và \sqrt{\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right)} + \sqrt{\left( {b + 2a} \right)\left( {b + 2c} \right)} + \sqrt{\left( {c + 2a} \right)\left( {c + 2b} \right)} = 3.
Tính giá trị của biểu thức M = {\left( {2sqrt a + 3sqrt b - 4sqrt c } \right)^2}.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc bất đẳng thức quen thuộc katex^2 ge 4xy[/katex] (hoặc suy trực tiếp từ việc khai triển):
Ta có (a + 2b)(a + 2c) = a^2 + 2ac + 2ab + 4bc = a^2 + 2a(b+c) + 4bc.
Xét biểu thức dưới căn thứ nhất:
\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right) = {a^2} + 2ac + 2ab + 4bc
Ta muốn chứng minh \sqrt{(a + 2b)(a + 2c)} \ge a + 2sqrt{bc}.
Bình phương hai vế: (a + 2b)(a + 2c) \ge (a + 2sqrt{bc})^2
a^2 + 2a(b+c) + 4bc \ge a^2 + 4asqrt{bc} + 4bc
2a(b+c) \ge 4asqrt{bc}
a(b+c) \ge 2asqrt{bc}
ab + ac \ge 2asqrt{bc}
Nếu a > 0, ta có b+c \ge 2sqrt{bc}, đúng theo bất đẳng thức AM-GM.
Nếu a = 0, thì 0 \ge 0, đúng.
Do đó, bất đẳng thức \sqrt{\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right)} \ge a + 2sqrt {bc} là đúng.

Tương tự, ta có:
\sqrt{\left( {b + 2a} \right)\left( {b + 2c} \right)} \ge b + 2sqrt {ac}
\sqrt{\left( {c + 2a} \right)\left( {c + 2b} \right)} \ge c + 2sqrt {ab}

Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế:
\sqrt{\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right)} + \sqrt{\left( {b + 2a} \right)\left( {b + 2c} \right)} + \sqrt{\left( {c + 2a} \right)\left( {c + 2b} \right)} \ge (a + b + c) + 2(\sqrt{bc} + \sqrt{ac} + \sqrt{ab})
Vế phải chính là {(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)^2}.
Ta có: {(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)^2} = (\sqrt a)^2 + (\sqrt b)^2 + (\sqrt c)^2 + 2(\sqrt a \sqrt b + \sqrt a \sqrt c + \sqrt b \sqrt c) = a + b + c + 2(\sqrt{ab} + \sqrt{ac} + \sqrt{bc}).

Vậy, bất đẳng thức trở thành:
3 \ge (\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c)^2
Theo giả thiết thứ nhất, \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = \sqrt 3.
(\sqrt 3)^2 = 3.
Do đó, 3 \ge 3.

Dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi dấu “=” trong AM-GM xảy ra, tức là:
b = c (cho bất đẳng thức đầu tiên)
a = c (cho bất đẳng thức thứ hai)
a = b (cho bất đẳng thức thứ ba)
Điều này có nghĩa là a = b = c.

Thay a = b = c vào giả thiết \sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = \sqrt 3:
\sqrt a + \sqrt a + \sqrt a = \sqrt 3
3sqrt a = \sqrt 3
\sqrt a = \dfrac{\sqrt 3}{3} = \dfrac{1}{\sqrt 3}
Bình phương hai vế: a = \left(\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)^2 = \dfrac{1}{3}.
Vậy, ta có a = b = c = \dfrac{1}{3}.

Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức M:
M = {\left( {2sqrt a + 3sqrt b - 4sqrt c } \right)^2}
Thay a = b = c = \dfrac{1}{3} và \sqrt a = \sqrt b = \sqrt c = \dfrac{1}{\sqrt 3}:
M = {\left( {2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt 3} + 3 \cdot \dfrac{1}{\sqrt 3} - 4 \cdot \dfrac{1}{\sqrt 3} } \right)^2}
M = {\left( {\dfrac{2 + 3 - 4}{\sqrt 3} } \right)^2}
M = {\left( {\dfrac{1}{\sqrt 3} } \right)^2}
M = \dfrac{1}{3}.

Đáp Án/Kết Quả

Phần Trắc nghiệm:

1. A
2. B
3. A
4. A
5. D
6. B

Phần Tự luận:

• Câu 7: a) 5sqrt{5}; b) x = 10.
• Câu 8: a) Đồ thị là đường thẳng y = -x - 1 đi qua (0, -1) và (-1, 0). b) k = -2.
• Câu 9: a) P = \dfrac{\sqrt a + 1}{\sqrt a}; b) Không có giá trị a thỏa mãn.
• Câu 10: a) AB = Rsqrt{3}; b) widehat{BOA} = 60^\circ; c) Chứng minh theo các bước đã trình bày.
• Câu 11: M = \dfrac{1}{3}.

---

Bài viết này cung cấp một bộ đề thi và lời giải chi tiết cho giải toán lớp 9 học kì 1, hy vọng sẽ là nguồn tài liệu hữu ích giúp các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra sắp tới. Chúc các bạn học tốt!

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất Tháng 1 7, 2026 by Thầy Đông