Giải Toán 11 Bài 6 Kết nối tri thức: Cấp Số Cộng

by Thầy Đông · January 6, 2026

Rate this post

Giải bài tập Toán 11 Bài 6 sách Kết nối tri thức là một tài liệu quan trọng giúp các em học sinh nắm vững kiến thức về cấp số cộng, một chủ đề nền tảng trong chương trình Đại số lớp 11. Bài viết này sẽ đi sâu vào định nghĩa, công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập thực hành chi tiết, giúp các em tự tin chinh phục các dạng toán liên quan.

Đề Bài

Do nội dung gốc chỉ cung cấp liên kết đến các trang sách mà không kèm theo đề bài cụ thể, phần này sẽ trình bày cấu trúc chung cho một bài toán về cấp số cộng. Các em học sinh vui lòng tham khảo đề bài chi tiết trong sách giáo khoa Toán 11, sách Kết nối tri thức, trang 48, 49, 50 và 51.

Ví dụ về dạng đề bài:

Cho một dãy số, xác định xem đó có phải là cấp số cộng hay không. Nếu có, tìm công sai.
Cho cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$, tìm số hạng thứ $n$ ( $u_n$ ).
Cho hai số hạng bất kỳ của một cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công sai.
Tìm tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng cho trước.

Phân Tích Yêu Cầu

Khi gặp một bài toán liên quan đến cấp số cộng, điều quan trọng là phải xác định rõ yêu cầu đề bài, các thông tin đã cho và những gì cần tìm. Các thông tin thường gặp bao gồm:

Số hạng đầu ( $u_1$ ): Số đầu tiên trong dãy.
Công sai ($d$): Hiệu không đổi giữa hai số hạng liên tiếp ( $u_{n+1} - u_n = d$ ).
Số hạng thứ $n$ ( $u_n$ ): Giá trị của số hạng tại vị trí thứ $n$.
Tổng $n$ số hạng đầu ( $S_n$ ): Tổng của các số hạng từ $u_1$ đến $u_n$ .

Việc xác định đúng các yếu tố này sẽ giúp chúng ta lựa chọn công thức phù hợp và giải bài toán một cách hiệu quả.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải các bài tập về cấp số cộng, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa và công thức sau:

1. Định nghĩa Cấp Số Cộng

Một dãy số $(u_n)$ được gọi là một cấp số cộng nếu nó thỏa mãn điều kiện:

u_{n+1} = u_n + d

với $n \ge 1$ , trong đó $d$ là một số không đổi, được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu $d > 0$, cấp số cộng là tăng.
Nếu $d < 0$, cấp số cộng là giảm.
Nếu $d = 0$ , cấp số cộng là một cấp số cộng không đổi (mọi số hạng đều bằng nhau).

2. Số Hạng Tổng Quát

Số hạng thứ $n$ của một cấp số cộng có công sai $d$ và số hạng đầu $u_1$ được tính bởi công thức:

$u_n = u_1 + (n-1)d$

với $n \ge 1$ .

Từ công thức này, ta có thể suy ra:

$u_1 = u_n - (n-1)d$
$d = \frac{u_n - u_1}{n-1}</code> (với $n > 1$)</li> </ul> <h3>3. Tổng $n$ Số Hạng Đầu Của Một Cấp Số Cộng</h3> Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, ký hiệu là []S_n$ , có thể được tính bằng một trong hai công thức sau:Công thức 1: $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$ Công thức 2 (thay $u_n$ bằng $u_1 + (n-1)d$ ): $S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d)$ 4. Tính Chất Của Cấp Số Cộng Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) của một cấp số cộng là trung bình cộng của hai số hạng đứng ngay trước và ngay sau nó: $u_n = \frac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}</code> (với []n \ge 2$ ) Điều này tương đương với: $2u_n = u_{n-1} + u_{n+1}</code> (với []n \ge 2$ ) Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Chúng ta sẽ cùng xem xét cách giải một số dạng bài tập điển hình. Dạng 1: Nhận biết Cấp Số Cộng Đề bài ví dụ: Xét các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng? Tìm công sai (nếu có). a) $1, 3, 5, 7, ldots$ b) $1, 2, 4, 8, ldots$ c) $-2, -4, -6, -8, \ldots$ Phân tích: Để xác định một dãy số có phải là cấp số cộng hay không, ta cần kiểm tra xem hiệu của hai số hạng liên tiếp có luôn không đổi hay không. Các bước giải: Tính hiệu của hai số hạng liên tiếp bất kỳ. Kiểm tra xem hiệu đó có không đổi đối với tất cả các cặp số hạng liên tiếp hay không. Giải: a) Dãy số: $1, 3, 5, 7, ldots$ Ta có: $3 - 1 = 2$ $5 - 3 = 2$ $7 - 5 = 2$ Hiệu giữa các số hạng liên tiếp là $d=2$ , không đổi. Vậy, dãy số này là một cấp số cộng với công sai $d=2$ . b) Dãy số: $1, 2, 4, 8, ldots$ Ta có: $2 - 1 = 1$ $4 - 2 = 2$ $8 - 4 = 4$ Hiệu giữa các số hạng liên tiếp không giống nhau ( $1 \ne 2 \ne 4$ ). Vậy, dãy số này không phải là cấp số cộng. c) Dãy số: $-2, -4, -6, -8, \ldots$ Ta có: $-4 - (-2) = -4 + 2 = -2$ $-6 - (-4) = -6 + 4 = -2$ $-8 - (-6) = -8 + 6 = -2$ Hiệu giữa các số hạng liên tiếp là $d=-2$ , không đổi. Vậy, dãy số này là một cấp số cộng với công sai $d=-2$ . Mẹo kiểm tra: Luôn tính ít nhất 3 hiệu của các cặp số hạng liên tiếp để đảm bảo tính không đổi. Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn dấu khi tính hiệu, đặc biệt với các số âm; hoặc kết luận ngay sau khi tính 1-2 hiệu mà chưa kiểm tra hết. Dạng 2: Tìm Số Hạng Tổng Quát Đề bài ví dụ: Cho cấp số cộng có số hạng đầu $u1 = 5$ và công sai $d = -3$ . Tìm số hạng thứ 10 ( $u{10}$ ). Phân tích: Đề bài đã cho đầy đủ các yếu tố cần thiết: số hạng đầu ( $u_1$ ), công sai ($d$) và vị trí của số hạng cần tìm ( $n=10$ ). Ta sử dụng công thức số hạng tổng quát. Các bước giải: Xác định $u_1$ , $d$, và $n$. Áp dụng công thức $u_n = u_1 + (n-1)d$ . Thay số và tính toán. Giải: Ta có: $u_1 = 5$ $d = -3$ $n = 10$ Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_{10} = u_1 + (10-1)d</code> <code>[]u_{10} = 5 + (9)(-3)</code> <code>[]u_{10} = 5 - 27</code> <code>[]u_{10} = -22</code> Vậy, số hạng thứ 10 của cấp số cộng là -22. Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được []u{10}$ , có thể thử tìm một vài số hạng tiếp theo để xem có đúng quy luật hay không. Ví dụ, $u{11} = u_{10} + d = -22 + (-3) = -25$ . Lỗi hay gặp: Thay sai giá trị vào công thức, hoặc sai sót trong phép tính cộng/trừ số âm. Dạng 3: Tìm Tổng $n$ Số Hạng Đầu Đề bài ví dụ: Tìm tổng của 15 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = -4$ và công sai $d = 2$ . Phân tích: Chúng ta cần tính $S_{15}$ . Đề bài cho $u_1$ , $d$, và $n=15$ . Ta có thể sử dụng công thức tính tổng $S_n$ khi biết $u_1$ và $d$. Các bước giải: Xác định $u_1$ , $d$, và $n$. Áp dụng công thức $S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d)$ . Thay số và tính toán. Giải: Ta có: $u_1 = -4$ $d = 2$ $n = 15$ Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu: $S_{15} = \frac{15}{2}(2u_1 + (15-1)d)</code> <code>[]S_{15} = \frac{15}{2}(2(-4) + (14)(2))</code> <code>[]S_{15} = \frac{15}{2}(-8 + 28)</code> <code>[]S_{15} = \frac{15}{2}(20)</code> <code>[]S_{15} = 15 \times 10</code> <code>[]S_{15} = 150</code> Vậy, tổng của 15 số hạng đầu tiên là 150. Mẹo kiểm tra: Có thể tìm số hạng thứ 15 ([]u_{15} = -4 + (15-1)2 = -4 + 14 \times 2 = -4 + 28 = 24$ ) rồi dùng công thức $S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$ . $S_{15} = \frac{15}{2}(-4 + 24) = \frac{15}{2}(20) = 150</code>. Kết quả khớp nhau. Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa hai công thức tính tổng, sai sót trong tính toán với số âm hoặc phân số. <h2>Đáp Án/Kết Quả</h2> Các bài toán về cấp số cộng thường yêu cầu tìm một trong các đại lượng: số hạng đầu ([]u_1$ ), công sai ($d$), số hạng thứ $n$ ( $u_n$ ), hoặc tổng $n$ số hạng đầu ( $S_n$ ). Khi đã biết đủ thông tin, ta áp dụng trực tiếp các công thức tương ứng. Khi chỉ biết một vài số hạng bất kỳ, ta cần lập hệ phương trình dựa trên công thức số hạng tổng quát để tìm $u_1$ và $d$, sau đó mới giải quyết yêu cầu bài toán. Nắm vững các công thức và phương pháp giải là chìa khóa để làm tốt các dạng bài này. Bài học về Cấp Số Cộng cung cấp cho chúng ta một công cụ mạnh mẽ để mô tả và tính toán các đại lượng trong các dãy số có quy luật tăng hoặc giảm đều đặn. Bằng việc hiểu rõ định nghĩa và các công thức liên quan, học sinh có thể dễ dàng giải quyết các bài tập từ nhận biết cấp số cộng, tìm số hạng bất kỳ đến tính tổng các số hạng, góp phần nâng cao hiệu quả học tập môn Toán lớp 11. Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông Thầy Đông Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.