Tổng Hợp Các Phương Pháp Giải Phương Trình Chứa Căn Bậc Hai Lớp 9
Chào mừng các em học sinh và quý thầy cô đến với chuyên đề giải toán căn bậc hai lớp 9. Trong chương trình Toán học lớp 9, phương trình chứa căn bậc hai là một dạng bài quan trọng, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra và thi cử. Để giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục dạng bài này, chúng tôi đã tổng hợp các phương pháp giải chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa và những lưu ý quan trọng.
Đề Bài
CHUYÊN ĐỀ 8 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI
I/ DẠNG 1: \sqrt{f(x)} = c với c \ge 0 là hằng số.
1/ Trường hợp: f(x) = ax + b hoặc f(x) = ax^2 + bx + c thì:
Bước 1: Giải điều kiện f(x) \ge 0 để tìm điều kiện của x.
Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn).
Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) \sqrt{x - 5} = 3
b) \sqrt{2x + 1} = 5
c) \sqrt{x^2 - 4x + 4} = 3
d) \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 2
2/ Trường hợp: f(x) = ax^2 + bx + c thì kiểm tra biểu thức f(x)
- Nếu f(x) = ax^2 + bx + c = (Ax \pm B)^2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì: KHAI CĂN.
Phương trình \sqrt{(Ax \pm B)^2} = c Leftrightarrow |Ax \pm B| = c => Tìm x.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) \sqrt{x^2 - 4x + 4} = 3
b) \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 2
- Nếu f(x) = ax^2 + bx + c không có dạng hằng đẳng thức thì: BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
Bước 1: Viết điều kiện f(x) \ge 0.
Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn).
Bước 3: Giải phương trình bậc hai có được bằng cách: Phân tích thành nhân tử, đưa về phương trình tích.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau: \sqrt{x^2 - 4x - 6} = \sqrt{15}
Hướng dẫn:
Nhận xét: x^2 - 4x - 6 không có dạng (Ax \pm B)^2 nên ta không đưa được về phương trình trị tuyệt đối như Ví dụ 2.
Điều kiện: x^2 - 4x - 6 \ge 0.
Bình phương hai vế phương trình ta được:
x^2 - 4x - 6 = 15
Leftrightarrow x^2 - 4x - 21 = 0
Leftrightarrow (x - 7)(x + 3) = 0
Leftrightarrow x = 7 hoặc x = -3.
Thay x tìm được vào điều kiện ta thấy cả x = 7 và x = -3 đều thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm x = 7; x = -3.
Ví dụ 4: Giải phương trình sau: \sqrt{(x - 2)(x + 3)} = 5
Hướng dẫn:
Nhận xét: Ví dụ 4 có vẻ khác với dạng Ví dụ 3 nhưng thực ra là cùng một dạng. Vì (x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6.
Do đó cách giải tương tự Ví dụ 3:
Điều kiện: (x - 2)(x + 3) \ge 0.
Bình phương hai vế phương trình ta được:
(x - 2)(x + 3) = 25
Leftrightarrow x^2 + x - 6 = 25
Leftrightarrow x^2 + x - 31 = 0
Leftrightarrow (x^2 + x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 31 = 0
Leftrightarrow (x + \frac{1}{2})^2 = \frac{125}{4}
Leftrightarrow x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{125}{4}} = \pm \frac{5sqrt{5}}{2}
Leftrightarrow x = -\frac{1}{2} \pm \frac{5sqrt{5}}{2}.
(Lưu ý: Cách giải của bài gốc có thể chưa tối ưu, phần này đã được chuẩn hóa cú pháp).
Để kiểm tra nghiệm, ta cần thay vào điều kiện x^2+x-31 = 0 suy ra x^2+x = 31.
Điều kiện katex(x+3) ge 0[/katex] hay x^2+x-6 \ge 0.
Với x^2+x = 31, ta có 31 - 6 = 25 \ge 0, nên cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm x = \frac{-1 + 5sqrt{5}}{2} ; x = \frac{-1 - 5sqrt{5}}{2}.
II/ DẠNG 2: \sqrt{f(x)} = g(x).
1/ Phương pháp.
Bước 1: Viết điều kiện của phương trình:
- Luôn có điều kiện f(x) \ge 0.
- Có thêm điều kiện g(x) \ge 0 (vì vế trái \ge 0 nên vế phải cũng phải \ge 0).
Nếu f(x) có dạng (Ax \pm B)^2 thì chỉ cần điều kiện g(x) \ge 0.
Bước 2: Nhận dạng từng loại từng dạng tương ứng với phương pháp giải sau:
- LOẠI 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax \pm B)^2 thì KHAI CĂN đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải: |Ax \pm B| = g(x).
- LOẠI 2: Nếu f(x) = Ax \pm B và g(x) = Ex \pm D thì dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
- LOẠI 3: Nếu f(x) = Ax^2 + Bx + C (không có dạng hằng đẳng thức (Ax \pm B)^2) và g(x) = Ex \pm D thì dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
- LOẠI 4: Nếu f(x) = Ax^2 + Bx + C và g(x) = Ex^2 + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.
Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được xem có thỏa mãn điều kiện không, rồi kết luận nghiệm.
2/ Các ví dụ.
Ví dụ 5: Giải phương trình: \sqrt{x - 1} = -2
Hướng dẫn:
Điều kiện: x - 1 \ge 0 Leftrightarrow x \ge 1 và -2 \ge 0 (vô lý).
Do vế trái \ge 0 nên không thể bằng một số âm.
Kết hợp điều kiện => Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 6: Giải phương trình: \sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 1
Hướng dẫn:
Nhận xét: x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 là dạng bình phương một hiệu.
Điều kiện: x - 1 \ge 0 Leftrightarrow x \ge 1.
Phương trình Leftrightarrow |x - 3| = x - 1.
Xét 2 trường hợp:
TH1: x - 3 \ge 0 Leftrightarrow x \ge 3.
Khi đó, x - 3 = x - 1 Leftrightarrow -3 = -1 (Vô lý).
TH2: x - 3 < 0 Leftrightarrow x < 3[/katex].
Khi đó, [katex]-(x - 3) = x - 1 Leftrightarrow -x + 3 = x - 1 Leftrightarrow 2x = 4 Leftrightarrow x = 2[/katex].
So sánh với điều kiện [katex]1 \le x < 3[/katex], nghiệm [katex]x=2[/katex] thỏa mãn.
Kết hợp điều kiện => Phương trình có nghiệm [katex]x = 2[/katex].</p>
<p><strong>Ví dụ 7:</strong> Giải phương trình: [katex]\sqrt{2x - 1} = x - 2
Hướng dẫn:
Điều kiện: 2x - 1 \ge 0 Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2} và x - 2 \ge 0 Leftrightarrow x \ge 2.
Kết hợp hai điều kiện, ta có x \ge 2.
Bình phương hai vế ta có:
2x - 1 = (x - 2)^2
Leftrightarrow 2x - 1 = x^2 - 4x + 4
Leftrightarrow x^2 - 6x + 5 = 0
Leftrightarrow (x - 1)(x - 5) = 0
Leftrightarrow x = 1 hoặc x = 5.
Theo điều kiện x \ge 2, ta loại nghiệm x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Ví dụ 8: Giải phương trình: \sqrt{x^2 - 5x - 6} = x + 3
Hướng dẫn:
Nhận xét: f(x) = x^2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax \pm B)^2 nên để phá căn ta dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
Điều kiện: x^2 - 5x - 6 \ge 0 và x + 3 \ge 0 Leftrightarrow x \ge -3.
PT Leftrightarrow x^2 - 5x - 6 = (x + 3)^2
Leftrightarrow x^2 - 5x - 6 = x^2 + 6x + 9
Leftrightarrow -5x - 6 = 6x + 9
Leftrightarrow -11x = 15
Leftrightarrow x = -\frac{15}{11}.
Thay x = -\frac{15}{11} vào điều kiện x \ge -3 thấy thỏa mãn (-\frac{15}{11} \approx -1.36).
Vậy phương trình có nghiệm x = -\frac{15}{11}.
3/ Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a) \sqrt{3x - 2} = x
b) \sqrt{x + 1} = x - 1
c) \sqrt{4x^2 - 4x + 1} = x + 2
III/ DẠNG 3: \sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}.
Bước 1: Nếu bản thân f(x) và g(x) có chứa căn bậc hai thì có điều kiện trong căn. (Trong dạng này, ta có điều kiện f(x) \ge 0 và g(x) \ge 0).
Bước 2: Đưa phương trình về dạng phương trình trị tuyệt đối. (Đây là dạng đặc biệt, thường không đưa về trị tuyệt đối mà bình phương 2 vế trực tiếp).
\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} Leftrightarrow f(x) = g(x) và g(x) \ge 0 (hoặc f(x) \ge 0).
Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối và giải phương trình.
Ví dụ 9: Giải phương trình \sqrt{x - 1} = \sqrt{3 - x}
Hướng dẫn:
Điều kiện: x - 1 \ge 0 Leftrightarrow x \ge 1 và 3 - x \ge 0 Leftrightarrow x \le 3.
Kết hợp hai điều kiện, ta có 1 \le x \le 3.
Với phương trình này ta dễ dàng nhận thấy:
x - 1 = 3 - x
Leftrightarrow 2x = 4
Leftrightarrow x = 2.
Kiểm tra với điều kiện 1 \le x \le 3, nghiệm x = 2 thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Ví dụ 10: (HS tự giải) Giải phương trình: \sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{x + 2}
IV/ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.
Trong mục này, chúng ta sẽ đi sâu vào các phương pháp không thuộc các dạng cơ bản đã nêu, đòi hỏi sự biến đổi và tư duy linh hoạt hơn.
1/ PHƯƠNG PHÁP đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai hoặc phương trình đơn giản hơn.
Ví dụ 11: Giải phương trình x - 5sqrt{x} + 6 = 0
Hướng dẫn:
Điều kiện: x \ge 0.
Đặt t = \sqrt{x} (t \ge 0) => x = t^2.
Ta có phương trình: t^2 - 5t + 6 = 0.
Phương trình này thuộc dạng phương trình bậc hai. Chúng ta có thể phân tích vế trái thành nhân tử để đưa về phương trình tích:
(t - 2)(t - 3) = 0.
Leftrightarrow t = 2 hoặc t = 3.
Cả hai giá trị của t đều thỏa mãn t \ge 0.
- Với t = 2 => \sqrt{x} = 2 Rightarrow x = 4.
- Với t = 3 => \sqrt{x} = 3 Rightarrow x = 9.
Vậy phương trình có nghiệm x = 4; x = 9.
Ví dụ 12: Giải phương trình: \sqrt{x + 1} = 5 - \sqrt{x + 1}
Hướng dẫn:
Điều kiện: x + 1 \ge 0 Leftrightarrow x \ge -1.
Đặt t = \sqrt{x + 1} (t \ge 0).
Khi đó, phương trình trở thành: t = 5 - t.
Leftrightarrow 2t = 5
Leftrightarrow t = \frac{5}{2}.
Giá trị t = \frac{5}{2} thỏa mãn điều kiện t \ge 0.
Ta có: \sqrt{x + 1} = \frac{5}{2}
Leftrightarrow x + 1 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}
Leftrightarrow x = \frac{25}{4} - 1 = \frac{21}{4}.
Nghiệm x = \frac{21}{4} thỏa mãn điều kiện x \ge -1.
Vậy phương trình có nghiệm x = \frac{21}{4}.
Ví dụ 13: Giải phương trình \sqrt{x^2 - 2x - 3} = \sqrt{x + 1}
Hướng dẫn:
Điều kiện: x^2 - 2x - 3 \ge 0 và x + 1 \ge 0.
Từ x + 1 \ge 0 => x \ge -1.
Phân tích x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1). Điều kiện trở thành katex(x+1) ge 0[/katex] và x+1 \ge 0.
Do x+1 \ge 0, điều kiện katex(x+1) ge 0[/katex] tương đương với x-3 \ge 0 hoặc x+1 = 0.
Tức là x \ge 3 hoặc x = -1.
Kết hợp với x \ge -1, điều kiện cuối cùng là x \ge 3 hoặc x = -1.
Phương trình Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = x + 1
Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0
Leftrightarrow (x - 4)(x + 1) = 0
Leftrightarrow x = 4 hoặc x = -1.
Cả hai nghiệm x = 4 (thỏa mãn x \ge 3) và x = -1 (thỏa mãn x = -1) đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm x = 4; x = -1.
Ví dụ 14: (HS tự giải) Giải phương trình: \sqrt{4x^2 + 4x + 1} = 2sqrt{x + 1}
2/ PHƯƠNG PHÁP đánh giá biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc nhỏ hơn một hằng số.
Áp dụng với phương trình: \sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = h(x) hoặc các dạng tương tự. Thường thì chúng ta chưa nhìn thấy ngay dạng phương trình này, mà đôi khi tách một hệ số nào đó mới có f(x)^2; h(x)^2 và k(x)^2.
Ví dụ 15: Giải phương trình \sqrt{3x^2 + 6x + 12} + \sqrt{5x^2 - 10x + 30} = 3x + 5
Hướng dẫn:
Nhận xét:
3x^2 + 6x + 12 = 3(x^2 + 2x + 1) + 9 = 3(x + 1)^2 + 9 \ge 9 => \sqrt{3x^2 + 6x + 12} \ge \sqrt{9} = 3.
5x^2 - 10x + 30 = 5(x^2 - 2x + 1) + 25 = 5(x - 1)^2 + 25 \ge 25 => \sqrt{5x^2 - 10x + 30} \ge \sqrt{25} = 5.
Do đó:
\sqrt{3x^2 + 6x + 12} + \sqrt{5x^2 - 10x + 30} \ge 3 + 5 = 8.
Vế trái có giá trị nhỏ nhất là 8.
Xét vế phải: 3x + 5.
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Dấu “=” ở biểu thức thứ nhất xảy ra khi x+1 = 0 Leftrightarrow x = -1.
Dấu “=” ở biểu thức thứ hai xảy ra khi x-1 = 0 Leftrightarrow x = 1.
Hai điều kiện này mâu thuẫn, không thể xảy ra đồng thời.
Tuy nhiên, nếu chúng ta tìm được x mà tại đó vế trái bằng vế phải và dấu “=” của cả hai bất đẳng thức đều xảy ra, thì đó là nghiệm duy nhất.
Ở đây, 3(x+1)^2+9 đạt min tại x=-1.
5(x-1)^2+25 đạt min tại x=1.
Khi x=-1: Vế trái \ge 3+5 = 8. Vế phải = 3(-1)+5 = 2. Vế trái > Vế phải.
Khi x=1: Vế trái \ge 3+5 = 8. Vế phải = 3(1)+5 = 8.
Để vế trái bằng 8, ta cần 3(x+1)^2+9=9 và 5(x-1)^2+25=25.
Điều này xảy ra khi x+1=0 Rightarrow x=-1 VÀ x-1=0 Rightarrow x=1. Hai điều kiện này mâu thuẫn.
Xem lại cách phân tích biểu thức:
3x^2 + 6x + 12 = 3(x^2 + 2x + 1) + 9 = 3(x + 1)^2 + 9 \ge 9
5x^2 - 10x + 30 = 5(x^2 - 2x + 1) + 25 = 5(x - 1)^2 + 25 \ge 25
\sqrt{3x^2 + 6x + 12} \ge 3
\sqrt{5x^2 - 10x + 30} \ge 5
Rightarrow VT \ge 3+5=8.
Ta thấy rằng dấu bằng xảy ra khi x=-1 và x=1 đồng thời, điều này không thể.
Tuy nhiên, nếu chúng ta giả định rằng có nghiệm, thì dấu “=” của bất đẳng thức phải xảy ra.
Trong ví dụ gốc có lẽ ý đồ là:
3x^2+6x+12 = 3(x^2+2x+1) + 9 = 3(x+1)^2+9
5x^2-10x+30 = 5(x^2-2x+1) + 25 = 5(x+1)^2+9 (Đây có lẽ là lỗi đánh máy trong bài gốc).
Giả sử bài là \sqrt{3x^2 + 6x + 12} + \sqrt{5x^2 + 10x + 14} = 2x + 3 (từ một ví dụ khác).
Quay lại ví dụ gốc:
3x^2 + 6x + 12 = 3(x + 1)^2 + 9
5x^2 - 10x + 30 = 5(x - 1)^2 + 25
Nếu x=-1:
VT = \sqrt{3(-1)^2+6(-1)+12} + \sqrt{5(-1)^2-10(-1)+30} = \sqrt{3-6+12} + \sqrt{5+10+30} = \sqrt{9} + \sqrt{45} = 3 + 3sqrt{5}
VP = 3(-1)+5 = -3+5 = 2.
VT > VP.
Nếu x=1:
VT = \sqrt{3(1)^2+6(1)+12} + \sqrt{5(1)^2-10(1)+30} = \sqrt{3+6+12} + \sqrt{5-10+30} = \sqrt{21} + \sqrt{25} = \sqrt{21} + 5
VP = 3(1)+5 = 8.
VT > VP.
Rất có thể bài toán gốc đã bị sửa đổi hoặc có lỗi. Tuy nhiên, theo ý tưởng của phương pháp này, dấu bằng phải xảy ra tại một điểm duy nhất. Dấu bằng cho 3(x+1)^2+9 xảy ra tại x=-1. Dấu bằng cho 5(x-1)^2+25 xảy ra tại x=1.
Để phương trình có nghiệm, dấu bằng phải xảy ra ở cả hai vế cùng lúc. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu các điểm cực trị của hai biểu thức dưới dấu căn trùng nhau.
Giả sử phương trình là \sqrt{3x^2 + 6x + 12} + \sqrt{5x^2 + 10x + 14} = 2x + 5.
3x^2+6x+12 = 3(x+1)^2+9 -> min tại x=-1
5x^2+10x+14 = 5(x+1)^2+9 -> min tại x=-1
Khi x=-1:
VT = \sqrt{3(-1+1)^2+9} + \sqrt{5(-1+1)^2+9} = \sqrt{9} + \sqrt{9} = 3+3=6.
VP = 2(-1)+5 = -2+5=3.
VT > VP.
(Ví dụ này trong bài gốc có vẻ không có nghiệm hoặc cách làm bị thiếu sót nghiêm trọng).
Tuy nhiên, nếu phương trình được cho là có nghiệm x = -1 thì:
\sqrt{3(-1)^2+6(-1)+12} + \sqrt{5(-1)^2-10(-1)+30} = \sqrt{9} + \sqrt{45} = 3 + 3sqrt{5}
3(-1)+5 = 2
3+3sqrt{5} \ne 2
Do đó, theo đúng bài gốc, ví dụ này có lẽ là sai hoặc không có nghiệm.
Ví dụ 16: Giải phương trình: \sqrt{3x^2 + 6x + 7} + \sqrt{5x^2 + 10x + 14} = 3 - 2x
Hướng dẫn:
Nhận xét:
3x^2 + 6x + 7 = 3(x^2 + 2x + 1) + 4 = 3(x + 1)^2 + 4 \ge 4 => \sqrt{3x^2 + 6x + 7} \ge \sqrt{4} = 2.
5x^2 + 10x + 14 = 5(x^2 + 2x + 1) + 9 = 5(x + 1)^2 + 9 \ge 9 => \sqrt{5x^2 + 10x + 14} \ge \sqrt{9} = 3.
Cả hai biểu thức dưới dấu căn đều đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1.
Khi đó, VT = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5.
VP = 3 - 2x.
Nếu có nghiệm, thì nó phải là x = -1 (vì đó là điểm cực tiểu chung).
Thay x = -1 vào VP: 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5.
Vậy VT = VP = 5 khi x = -1.
Do đó, phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.
Hình ảnh minh họa giải phương trình căn bậc hai
Hy vọng với những tổng hợp chi tiết này, các em học sinh sẽ có cái nhìn tổng quan và nắm vững hơn các phương pháp giải toán căn bậc hai lớp 9. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
