Giải Toán Lớp 8 Trang 108 Sách Cánh Diều Tập 1: Bài 4 Hình Bình Hành
Khi bắt đầu hành trình chinh phục kiến thức Toán lớp 8, đặc biệt là các bài tập liên quan đến giải toán lớp 8 trang 108 sách Cánh Diều tập 1, các em học sinh sẽ được làm quen sâu hơn với các loại hình học đặc biệt. Trong đó, hình bình hành là một chuyên đề quan trọng, xuất hiện xuyên suốt chương trình và là nền tảng cho nhiều bài toán nâng cao. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho các bài tập thuộc chủ đề Hình bình hành, giúp các em nắm vững phương pháp chứng minh, tính toán và ứng dụng.
Nội dung dưới đây tập trung vào các bài tập cụ thể, giúp các em làm quen với các dạng toán về hình bình hành, đồng thời củng cố lại kiến thức về tính chất, dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bước giải, từ đó rút ra kinh nghiệm cho bản thân để tự tin giải quyết mọi bài toán.
Đề Bài
Trong phần này, chúng tôi giữ nguyên toàn bộ đề bài từ sách gốc để đảm bảo tính chính xác và nguyên bản.
Bài 1 – Cánh Diều lớp 8 tập 1 trang 107
Cho tứ giác ABCD có angle DAB = angle BCD, angle ABC = angle CDA. Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh:
a) angle ABC + angle DAB = 180^\circ
b) Tia Ax // BC, AD // BC
c) Tứ giác ABCD là hình bình hành
Hình minh họa bài 1
Bài 2 – Cánh Diều lớp 8 tập 1 trang 108
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành.
Hình minh họa bài 2
Bài 3 – Cánh Diều lớp 8 tập 1 trang 108
Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN (Hình 42).
Chứng minh:
a) CD = MN
b) angle BCD + angle BMN = angle DAN
Hình minh họa bài 3
Bài 4 – Cánh Diều lớp 8 tập 1 trang 108
Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một tòa nhà mà không thể trực tiếp đo được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được: O là trung điểm của cả AC và BD (Hình 43). Người ta đo được CD = 100 m. Tính độ dài của AB.
Hình minh họa bài 4
Bài 5 – Cánh Diều lớp 8 tập 1 trang 108
Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc C (Hình 44). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB?
Bạn Hùng đã làm như sau:
- Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC, qua điểm B kẻ đường thẳng d’ song song với AC.
- Gọi E là giao điểm của d và d’.
- Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (Hình 45).
Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng.
Hình minh họa bài 5
Phân Tích Yêu Cầu
Các bài toán trong mục “Giải toán lớp 8 trang 108 sách Cánh Diều” tập trung vào việc áp dụng định nghĩa và các dấu hiệu nhận biết hình bình hành để chứng minh các tính chất, mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình hoặc để tính toán độ dài, góc. Cụ thể:
- Bài 1: Yêu cầu chứng minh một tứ giác là hình bình hành dựa vào các cặp góc đối bằng nhau. Đây là một dạng toán cơ bản để hiểu định nghĩa và tính chất của hình bình hành.
- Bài 2: Sử dụng tính chất của đường trung tuyến, trọng tâm tam giác kết hợp với định nghĩa hình bình hành để chứng minh một tứ giác nội bộ là hình bình hành.
- Bài 3: Vận dụng tính chất của hình bình hành khi có hai hình bình hành “chồng lên nhau” hoặc có chung cạnh. Yêu cầu chứng minh sự bằng nhau của các cạnh đối và mối quan hệ giữa các góc.
- Bài 4: Ứng dụng thực tế của hình bình hành trong đo đạc. Bài toán yêu cầu suy luận để chứng minh một tứ giác là hình bình hành từ việc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, từ đó tính được độ dài cần đo.
- Bài 5: Một bài toán sáng tạo liên quan đến việc sử dụng hình bình hành để hỗ trợ đo đạc gián tiếp các yếu tố của tam giác khi không thể đo trực tiếp.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết các bài toán trên, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau về hình bình hành:
- Định nghĩa: Tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
- Tứ giác ABCD là hình bình hành $iff$ AB // DC và AD // BC.
- Các dấu hiệu nhận biết:
- Dấu hiệu 1: Tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
- Dấu hiệu 2: Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau.
- Tứ giác ABCD là hình bình hành $iff$ AB = DC và AD = BC.
- Dấu hiệu 3: Tứ giác có các cặp góc đối bằng nhau.
- Tứ giác ABCD là hình bình hành iff angle A = angle C và angle B = angle D.
- Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Tứ giác ABCD là hình bình hành $iff$ hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (IA = IC, IB = ID).
- Dấu hiệu 5: Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
- Tứ giác ABCD là hình bình hành $iff$ AB // DC và AB = DC (hoặc AD // BC và AD = BC).
- Tính chất:
- Các cạnh đối bằng nhau: AB = DC, AD = BC.
- Các góc đối bằng nhau: angle A = angle C, angle B = angle D.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Tổng hai góc kề một cạnh bằng 180^\circ: angle A + angle B = 180^\circ, angle B + angle C = 180^\circ, …
- Kiến thức bổ trợ:
- Quan hệ giữa các góc trong tam giác: Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180^\circ.
- Tính chất đường trung tuyến, trọng tâm tam giác: Đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau; trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1.
- Quan hệ song song: Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thứ ba thì song song với nhau. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra các cặp góc so le trong, đồng vị bằng nhau.
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Bài 1 – Cánh Diều lớp 8 tập 1 trang 107
Phân tích yêu cầu: Bài toán cho một tứ giác ABCD với hai cặp góc đối bằng nhau. Chúng ta cần chứng minh nó là hình bình hành, đồng thời xử lý các góc liên quan đến tia đối của một cạnh.
Kiến thức cần dùng:
- Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180^\circ.
- Tổng các góc trong một tứ giác bằng 360^\circ.
- Quan hệ giữa các góc kề bù.
- Quan hệ giữa các góc khi có hai đường thẳng song song và một đường cắt ngang.
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có các cặp góc đối bằng nhau.
Giải chi tiết:
Cho tứ giác ABCD có angle DAB = angle BCD, angle ABC = angle CDA. Tia Ax là tia đối của tia AB.
a) Chứng minh angle ABC + angle DAB = 180^\circ
Xét tứ giác ABCD, tổng bốn góc trong một tứ giác là 360^\circ:
angle DAB + angle ABC + angle BCD + angle CDA = 360^\circ.
Theo giả thiết, ta có angle DAB = angle BCD và angle ABC = angle CDA. Thay thế vào biểu thức trên:
angle DAB + angle ABC + angle DAB + angle ABC = 360^\circ
2 angle DAB + 2 angle ABC = 360^\circ
Chia cả hai vế cho 2, ta được:
angle DAB + angle ABC = 180^\circ.
Mẹo kiểm tra: Kết quả này cho thấy hai góc kề một cạnh của tứ giác này bù nhau. Đây là một tính chất quan trọng.
b) Chứng minh tia Ax // BC, AD // BC
Chứng minh AD // BC:
Ta có angle DAB + angle ABC = 180^\circ (chứng minh ở câu a).
Hai góc này là hai góc trong cùng phía, và chúng bù nhau. Điều này cho thấy AD // BC.Chứng minh tia Ax // BC:
Tia Ax là tia đối của tia AB, nên $angle xAD$ và $angle DAB$ là hai góc kề bù.
angle xAD + angle DAB = 180^\circ (hai góc kề bù).Ta có:
angle xAD = 180^\circ - angle DAB
angle ABC = 180^\circ - angle DAB (từ câu a: angle ABC + angle DAB = 180^\circ)Suy ra angle xAD = angle ABC.
Hai góc này ở vị trí đồng vị (với đường thẳng AD cắt hai đường thẳng Ax và BC), và chúng bằng nhau. Do đó, Ax // BC.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa góc trong cùng phía và góc đồng vị. Cần xác định rõ các đường thẳng và đường cắt ngang.
c) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành
Theo giả thiết, tứ giác ABCD có các cặp góc đối bằng nhau: angle DAB = angle BCD và angle ABC = angle CDA.
Đây chính là một trong những dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.
Mẹo kiểm tra:
Chúng ta đã chứng minh được AD // BC ở câu b). Ta cũng có thể chứng minh AB // DC tương tự hoặc sử dụng tính chất góc.
Từ angle DAB + angle ABC = 180^\circ và AD // BC.
Từ Ax là tia đối của AB, ta có angle xAD = angle ABC.
Vì Ax // BC, mà $angle xAD$ và $angle DAB$ kề bù, nên $angle DAB$ và $angle ABC$ là hai góc trong cùng phía, do đó AD // BC.
Tương tự, ta có thể chứng minh AB // DC.
Đáp Án/Kết Quả:
a) angle ABC + angle DAB = 180^\circ.
b) Tia Ax // BC, AD // BC.
c) Tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 2 – Cánh Diều lớp 8 tập 1 trang 108
Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành. Chúng ta được cho một tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G (trọng tâm), và P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng GB, GC.
Kiến thức cần dùng:
- Định nghĩa trọng tâm tam giác.
- Tính chất của trung điểm đoạn thẳng.
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Giải chi tiết:
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC.
Bước 1: Xác định vai trò của G.
Vì BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bước 2: Sử dụng tính chất trọng tâm.
Theo tính chất của trọng tâm tam giác, G chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn theo tỉ lệ 2:1. Cụ thể:
- GM = \frac{1}{2} GB
- GN = \frac{1}{2} GC
Bước 3: Sử dụng giả thiết về P và Q.
P là trung điểm của GB, nên GP = PB = \frac{1}{2} GB.
Q là trung điểm của GC, nên GQ = QC = \frac{1}{2} GC.
Bước 4: So sánh các đoạn thẳng.
Từ Bước 2 và Bước 3, ta có:
- GM = \frac{1}{2} GB và GP = \frac{1}{2} GB. Suy ra GM = GP.
- GN = \frac{1}{2} GC và GQ = \frac{1}{2} GC. Suy ra GN = GQ.
Bước 5: Chứng minh PQMN là hình bình hành.
Xét tứ giác PQMN, ta có hai đường chéo là MP và NQ. Hai đường chéo này cắt nhau tại G.
Ta vừa chứng minh được GM = GP và GN = GQ. Điều này có nghĩa là G là trung điểm của MP và G cũng là trung điểm của NQ.
Do đó, tứ giác PQMN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Theo dấu hiệu nhận biết số 4, tứ giác PQMN là hình bình hành.
Mẹo kiểm tra: Kiểm tra lại các tỉ lệ chia của trọng tâm và định nghĩa trung điểm. Đảm bảo đã suy luận logic từ các giả thiết.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn tỉ lệ 2:1 của trọng tâm hoặc quên mất định nghĩa trung điểm.
Đáp Án/Kết Quả: Tứ giác PQMN là hình bình hành.
Bài 3 – Cánh Diều lớp 8 tập 1 trang 108
Phân tích yêu cầu: Bài toán cho hai hình bình hành ABCD và ABMN có chung cạnh AB. Chúng ta cần chứng minh sự bằng nhau của cạnh CD (từ ABCD) và MN (từ ABMN), cũng như mối quan hệ giữa các góc $angle BCD$, $angle BMN$ và $angle DAN$.
Kiến thức cần dùng:
- Tính chất cạnh đối của hình bình hành bằng nhau.
- Các trường hợp bằng nhau của tam giác (nếu cần).
- Quan hệ góc khi hai đường thẳng song song bị cắt bởi đường thứ ba.
Giải chi tiết:
Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN.
a) Chứng minh CD = MN
Vì ABCD là hình bình hành (giả thiết), nên theo tính chất cạnh đối của hình bình hành, ta có:
AB = CD (1)Vì ABMN là hình bình hành (giả thiết), nên theo tính chất cạnh đối của hình bình hành, ta có:
AB = MN (2)Từ (1) và (2), suy ra CD = MN.
Mẹo kiểm tra: Đây là một ứng dụng trực tiếp của tính chất cạnh đối hình bình hành.
b) Chứng minh angle BCD + angle BMN = angle DAN
Để chứng minh mối quan hệ giữa các góc này, chúng ta cần phân tích cấu trúc góc.
Vì ABCD là hình bình hành, nên:
angle BCD = angle BAD (cặp góc đối)Vì ABMN là hình bình hành, nên:
angle BMN = angle BAN (cặp góc đối)Xét góc $angle DAN$. Ta có thể phân tích góc này như sau:
angle DAN = angle DAB + angle BAN (vì tia AB nằm giữa hai tia AD và AN).Thay thế các mối quan hệ góc đã tìm được vào biểu thức trên:
angle DAN = angle BCD + angle BMN
Mẹo kiểm tra:
Kiểm tra xem có tia nào nằm giữa hai tia tạo thành góc lớn hay không. Ở đây, tia AB nằm giữa AD và AN, do đó angle DAN = angle DAB + angle BAN.
Sau đó, thay thế $angle DAB$ bằng $angle BCD$ và $angle BAN$ bằng $angle BMN$ dựa trên tính chất của hình bình hành.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn các cặp góc đối hoặc góc kề bù trong hình bình hành, hoặc sai trong việc phân tích một góc lớn thành tổng của hai góc nhỏ.
Đáp Án/Kết Quả:
a) CD = MN.
b) angle BCD + angle BMN = angle DAN.
Bài 4 – Cánh Diều lớp 8 tập 1 trang 108
Phân tích yêu cầu: Bài toán đưa ra một tình huống thực tế đo đạc khoảng cách AB khi không thể đo trực tiếp. Chúng ta có điểm O là trung điểm của cả hai đoạn thẳng AC và BD, và biết độ dài CD. Cần tính độ dài AB.
Kiến thức cần dùng:
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Tính chất cạnh đối của hình bình hành bằng nhau.
Giải chi tiết:
Cho hai điểm A, B ở hai phía của tòa nhà. Chọn điểm O, C, D sao cho:
- O không thuộc đường thẳng AB.
- O là trung điểm của AC.
- O là trung điểm của BD.
- Đo được CD = 100 m.
Bước 1: Xác định tứ giác.
Xét tứ giác ABCD. Ta có hai đường chéo là AC và BD.
Theo giả thiết, O là trung điểm của AC, nên AO = OC.
Theo giả thiết, O là trung điểm của BD, nên BO = OD.
Bước 2: Chứng minh ABCD là hình bình hành.
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Theo dấu hiệu nhận biết số 4, tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bước 3: Sử dụng tính chất hình bình hành.
Vì ABCD là hình bình hành, nên cặp cạnh đối AB và DC bằng nhau.
AB = DC.
Bước 4: Tính độ dài AB.
Theo giả thiết, ta đo được CD = 100 m.
Do AB = DC, nên AB = 100 m.
Mẹo kiểm tra: Tình huống này mô phỏng việc tạo ra một hình bình hành để tận dụng tính chất bằng nhau của cạnh đối. Hãy hình dung bạn đang đứng ở O, nhìn thấy A và C thẳng hàng, B và D thẳng hàng, và O là điểm chính giữa của cả hai cặp điểm đó. Khi đó, bạn đã vô tình tạo ra một hình bình hành ABCD.
Lỗi hay gặp: Quên mất định nghĩa trung điểm hoặc dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Đáp Án/Kết Quả: Độ dài của AB là 100 m.
Bài 5 – Cánh Diều lớp 8 tập 1 trang 108
Phân tích yêu cầu: Bài toán mô tả một cách làm sáng tạo để đo đạc các cạnh và góc của một tam giác khi một phần bị cắt đi. Bạn Hùng đã tạo ra một hình bình hành bằng cách kẻ các đường thẳng song song. Chúng ta cần giải thích cách làm này.
Kiến thức cần dùng:
- Định nghĩa hình bình hành (cặp cạnh đối song song).
- Tính chất của hình bình hành: Cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau.
- Quan hệ giữa các đường thẳng song song.
Giải chi tiết:
Bạn Hoa cắt tam giác ABC, để lại phần có các đỉnh A, B và một điểm trên AC, một điểm trên BC, và một phần của góc C. Chúng ta cần tính AC, BC và $angle ACB$.
Cách làm của bạn Hùng:
- Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC.
- Qua điểm B kẻ đường thẳng d’ song song với AC.
- Gọi E là giao điểm của d và d’.
- Đo AE, BE và $angle AEB$, từ đó suy ra AC, BC và $angle ACB$.
Giải thích cách làm của bạn Hùng:
Bước 1 & 2:
Theo giả thiết, ta có:
Đường thẳng d // BC, và A nằm trên d.
Đường thẳng d’ // AC, và B nằm trên d’.Bước 3: Xác định tứ giác ACBE.
Xét tứ giác ACBE có:- Cạnh AE (trên đường thẳng d) // BC (cạnh của tam giác).
- Cạnh BE (trên đường thẳng d’) // AC (cạnh của tam giác).
Do đó, tứ giác ACBE có các cặp cạnh đối song song.
Theo định nghĩa hình bình hành, tứ giác ACBE là một hình bình hành.Bước 4: Sử dụng tính chất hình bình hành để suy ra kết quả.
Vì ACBE là hình bình hành, ta áp dụng các tính chất của nó:- Các cạnh đối bằng nhau:
AC = BE
BC = AE - Các góc đối bằng nhau:
angle ACB = angle AEB
Bạn Hùng đã đo được độ dài hai đoạn thẳng AE và BE, cũng như số đo góc AEB.
- Từ độ dài AE đo được, bạn tính được BC = AE.
- Từ độ dài BE đo được, bạn tính được AC = BE.
- Từ số đo góc AEB đo được, bạn tính được angle ACB = angle AEB.
- Các cạnh đối bằng nhau:
Mẹo kiểm tra: Phương pháp này hiệu quả vì nó “chuyển” các yếu tố cần đo (AC, BC, $angle ACB$) sang một hình bình hành mới (ACBE) mà ta có thể đo đạc được các yếu tố tương ứng (BE, AE, $angle AEB$).
Lỗi hay gặp: Việc hình dung ra cách tạo hình bình hành từ các đường song song. Cần nhớ rằng nếu một tứ giác có các cạnh đối song song thì nó là hình bình hành.
Đáp Án/Kết Quả: Cách làm của bạn Hùng dựa trên việc tạo ra hình bình hành ACBE, sử dụng tính chất các cạnh và góc đối bằng nhau để suy ra các giá trị cần đo của tam giác ABC ban đầu.
Conclusion
Việc nắm vững các định nghĩa, dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình bình hành là vô cùng quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Thông qua việc giải chi tiết các bài tập từ giải toán lớp 8 trang 108 sách Cánh Diều tập 1, các em đã được rèn luyện kỹ năng phân tích đề bài, áp dụng kiến thức một cách linh hoạt và chứng minh bài toán một cách logic, chặt chẽ. Hy vọng rằng những hướng dẫn chi tiết này sẽ giúp các em tự tin hơn khi đối mặt với các dạng toán tương tự và xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức hình học ở các cấp học tiếp theo.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
