Giải Toán Bài 3 Lớp 12: Tích Phân Bằng Phương Pháp Đổi Biến Số
Chào mừng bạn đến với bài viết chi tiết hướng dẫn giải các bài toán tích phân bằng phương pháp đổi biến số, một kỹ thuật then chốt trong chương trình tích phân lớp 12. Bài viết này sẽ đi sâu vào cách áp dụng phương pháp đổi biến số trong tích phân một cách hiệu quả, giúp bạn chinh phục các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao.
Đề Bài
Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
LG a
a) (∫{(1-x)}^9dx) (đặt (u =1-x) ) ;
Phương pháp giải:
+) Đặt (u = uleft( x right) Rightarrow du = u’left( x right)dx.)
+) Khi đó: ( Rightarrow I = int {fleft( x right)dx} = int {gleft( u right)du.} )
+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn (u).
+) Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn (x).
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Đặt (u = 1 – x Rightarrow du= -dx). Khi đó ta được (-int u^{9}du = -dfrac{1}{10}u^{10}+C)
Suy ra (int(1-x)^{9}dx=-dfrac{(1-x)^{10}}{10}+C)
Cách 2: (int {left( {1 – x} right)^9}dx = – int {left( {1 – x} right)^{9}}dleft( {1 – x} right)=) (-dfrac{(1-x)^{10}}{10} +C)
LG b
b) (∫x{(1 + {x^2})^{{3 over 2}}}dx) (đặt (u = 1 + x^2) )
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Đặt (u = 1 + {x^2} Rightarrow du = 2xdx Rightarrow xdx = dfrac{1}{2}du.)
begin{array}{l} Rightarrow int {dfrac{1}{2}{u^{dfrac{3}{2}}}du = dfrac{1}{2}.dfrac{{{u^{dfrac{3}{2} + 1}}}}{{dfrac{3}{2} + 1}} + C} = dfrac{{{u^{dfrac{5}{2}}}}}{5} + C = dfrac{{{{left( {1 + {x^2}} right)}^{dfrac{5}{2}}}}}{5} + C.end{array}
Cách 2: (int x(1+x^{2})^{dfrac{3}{2}}dx= dfrac{1}{2}int (1+x^{2})^{dfrac{3}{2}}d(1+x^2{}) = dfrac{1}{2}.dfrac{2}{5}(1+x^{2})^{dfrac{5}{2}}+C = dfrac{1}{5}.(1+x^{2})^{dfrac{5}{2}}+C)
LG c
c) (∫cos^3xsin xdx) (đặt (t = cos x))
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Đặt: (t = cos x Rightarrow dt = – sin xdx.)
begin{array}{l} Rightarrow int {{{cos }^3}x.{sin xdx} } = int { – {t^3}dt} = – dfrac{1}{4}{t^4} + C = – dfrac{1}{4}{cos ^4}x + C.end{array}
Cách 2: (intcos^3xsin xdx = -intcos^3xd(cos x)= -dfrac{1}{4}.cos^{4}x + C.)
LG d
d) (int dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}) (đặt (u= e^x+1))
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Ta có: ({e^x} + {e^{ – x}} + 2 = {e^x} + dfrac{1}{{{e^x}}} + 2 = dfrac{{{e^{2x}} + 2{e^x} + 1}}{{{e^x}}} = dfrac{{{{left( {{e^x} + 1} right)}^2}}}{{{e^x}}}.)
( Rightarrow dfrac{1}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}} = dfrac{{{e^x}}}{{{{left( {{e^x} + 1} right)}^2}}}.)
Đặt (u = {e^x} + 1 Rightarrow du = {e^x}dx.)
(int {dfrac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} = int {dfrac{{{e^x}}}{{{{left( {{e^x} + 1} right)}^2}}}dx} ) ( = int {dfrac{{du}}{{{u^2}}}} = – dfrac{1}{u} + C = – dfrac{1}{{{e^x} + 1}} + C)
Cách 2:
(int dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2} = int dfrac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx = int dfrac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx=dfrac{-1}{e^{x}+1} + C.)
Phân Tích Yêu Cầu
Các bài toán yêu cầu tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Đối với mỗi câu a, b, c, d, chúng ta cần xác định đúng phép đặt biến phụ (u) hoặc (t) để đưa tích phân ban đầu về dạng cơ bản, dễ tính toán hơn. Quá trình này bao gồm việc xác định vi phân (du) hoặc (dt) và chuyển đổi cận (nếu là tích phân xác định, tuy nhiên ở đây là tích phân bất định nên không cần chuyển cận).
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Phương pháp đổi biến số trong tích phân bất định được sử dụng để đơn giản hóa việc tính toán các tích phân phức tạp. Ý tưởng cơ bản là đặt một biến mới (u = g(x)) (hoặc (t = g(x))), từ đó suy ra (du = g'(x)dx). Sau khi thực hiện phép đổi biến, tích phân ban đầu sẽ trở thành một tích phân theo biến mới (u), thường có dạng đơn giản hơn và có thể giải bằng các công thức tích phân cơ bản.
Các công thức tích phân cơ bản cần nhớ:
- (int u^n du = dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C) với (n ne -1).
- (int dfrac{1}{u} du = ln|u| + C).
- Các công thức cho hàm lượng giác, hàm mũ, logarit.
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Trong phần này, chúng ta sẽ đi vào chi tiết cách giải cho từng câu, áp dụng phương pháp đổi biến số đã nêu.
Câu a: (∫{(1-x)}^9dx)
Đây là dạng tích phân quen thuộc, có thể giải trực tiếp bằng đổi biến.
Cách 1 (Theo gợi ý):
Đặt (u = 1 – x).
Suy ra vi phân: (du = d(1-x) = -dx), hay (dx = -du).
Thay thế vào tích phân ban đầu:
(int {(1-x)^9}dx = int {u^9(-du)})
( = -int {u^9}du)
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản (int u^n du = dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C):
( = -dfrac{u^{9+1}}{9+1} + C = -dfrac{u^{10}}{10} + C)
Cuối cùng, thay (u = 1 – x) trở lại để có kết quả theo biến (x):
( = -dfrac{(1-x)^{10}}{10} + C)Cách 2 (Không đặt (u) rõ ràng mà ‘nhẩm’):
Ta nhận thấy (d(1-x) = -dx). Do đó, ta có thể viết lại tích phân như sau:
(int {(1-x)^9}dx = – int {(1-x)^9} d(1-x))
Đặt (v = 1-x) thì tích phân trở thành (-int {v^9}dv). Tính toán tương tự như trên ta được:
( = -dfrac{(1-x)^{10}}{10} + C)Mẹo kiểm tra: Đạo hàm kết quả (-dfrac{(1-x)^{10}}{10} + C). Ta có:
(dfrac{d}{dx}left(-dfrac{(1-x)^{10}}{10} + Cright) = -dfrac{1}{10} cdot 10(1-x)^9 cdot dfrac{d}{dx}(1-x))
( = -(1-x)^9 cdot (-1) = (1-x)^9). Kết quả đúng.Lỗi hay gặp: Quên dấu trừ khi đổi (dx) thành (-du), hoặc quên không thay (u) trở lại biến (x).
Câu b: (∫x{(1 + {x^2})^{{3 over 2}}}dx)
Đây là dạng tích phân mà biểu thức bên trong lũy thừa có đạo hàm xuất hiện nhân tử ở ngoài.
Cách 1 (Theo gợi ý):
Đặt (u = 1 + x^2).
Suy ra vi phân: (du = d(1+x^2) = 2xdx).
Từ đó, ta có (xdx = dfrac{1}{2}du).
Thay thế vào tích phân ban đầu:
(int {x(1 + x^2)^{{3 over 2}}}dx = int {(1 + x^2)^{{3 over 2}} cdot (xdx)})
( = int {u^{{3 over 2}} cdot dfrac{1}{2}du} )
( = dfrac{1}{2} int {u^{{3 over 2}}}du)
Sử dụng công thức nguyên hàm (int u^n du = dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C):
( = dfrac{1}{2} cdot dfrac{u^{{3 over 2} + 1}}{{{3 over 2} + 1}} + C = dfrac{1}{2} cdot dfrac{u^{{5 over 2}}}{{5 over 2}} + C)
( = dfrac{1}{2} cdot dfrac{2}{5} u^{{5 over 2}} + C = dfrac{1}{5} u^{{5 over 2}} + C)
Thay (u = 1 + x^2) trở lại:
( = dfrac{1}{5} (1 + x^2)^{{5 over 2}} + C)Cách 2 (Nhẩm):
Nhận thấy (d(1+x^2) = 2xdx). Ta có (xdx) trong tích phân.
(int x(1+x^2)^{{3 over 2}}dx = dfrac{1}{2} int {(1+x^2)^{{3 over 2}} d(1+x^2)})
Đặt (v = 1+x^2) thì tích phân là (dfrac{1}{2}int v^{{3 over 2}}dv).
( = dfrac{1}{2} cdot dfrac{v^{{5 over 2}}}{{5 over 2}} + C = dfrac{1}{5}v^{{5 over 2}} + C)
( = dfrac{1}{5}(1+x^2)^{{5 over 2}} + C)Mẹo kiểm tra: Đạo hàm kết quả (dfrac{1}{5} (1 + x^2)^{{5 over 2}} + C).
(dfrac{d}{dx}left(dfrac{1}{5} (1 + x^2)^{{5 over 2}} + Cright) = dfrac{1}{5} cdot dfrac{5}{2} (1 + x^2)^{{5 over 2} – 1} cdot dfrac{d}{dx}(1 + x^2))
( = dfrac{1}{2} (1 + x^2)^{{3 over 2}} cdot (2x) = x (1 + x^2)^{{3 over 2}}). Kết quả đúng.Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc tính (du) hoặc nhầm lẫn hệ số (dfrac{1}{2}), hoặc sai sót khi cộng số mũ (dfrac{3}{2} + 1).
Câu c: (∫cos^3xsin xdx)
Đây là dạng tích phân chứa hàm lượng giác, thường đặt theo hàm ở “bên trong” hoặc hàm bị lũy thừa.
Cách 1 (Theo gợi ý):
Đặt (t = cos x).
Suy ra vi phân: (dt = d(cos x) = -sin xdx).
Từ đó, (sin xdx = -dt).
Thay thế vào tích phân ban đầu:
(int {cos^3x sin xdx} = int {(cos x)^3 cdot (sin xdx)})
( = int {t^3 (-dt)} )
( = -int {t^3}dt)
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản:
( = -dfrac{t^{3+1}}{3+1} + C = -dfrac{t^4}{4} + C)
Thay (t = cos x) trở lại:
( = -dfrac{cos^4x}{4} + C)Cách 2 (Nhẩm):
Nhận thấy (d(cos x) = -sin xdx). Ta có (sin xdx) trong tích phân.
(int cos^3xsin xdx = – int {cos^3x d(cos x)})
Đặt (v = cos x) thì tích phân là (-int v^3dv).
( = -dfrac{v^4}{4} + C = -dfrac{cos^4x}{4} + C)Mẹo kiểm tra: Đạo hàm kết quả (-dfrac{cos^4x}{4} + C).
(dfrac{d}{dx}left(-dfrac{cos^4x}{4} + Cright) = -dfrac{1}{4} cdot 4cos^3x cdot dfrac{d}{dx}(cos x))
( = -cos^3x cdot (-sin x) = cos^3xsin x). Kết quả đúng.Lỗi hay gặp: Nhầm dấu trừ khi (dt = -sin xdx), hoặc sai sót trong việc tính đạo hàm của (cos x).
Câu d: (int dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2})
Bài này có mẫu số hơi phức tạp, cần biến đổi trước khi đặt biến số.
Cách 1 (Biến đổi mẫu số rồi đặt ẩn):
Biến đổi mẫu số:
(e^x + e^{-x} + 2 = e^x + dfrac{1}{e^x} + 2)
Quy đồng mẫu số:
( = dfrac{(e^x)^2 + 1 + 2e^x}{e^x} = dfrac{e^{2x} + 2e^x + 1}{e^x})
Nhận thấy tử số là hằng đẳng thức ((a+b)^2): (e^{2x} + 2e^x + 1 = (e^x + 1)^2).
Vậy mẫu số trở thành: (dfrac{(e^x + 1)^2}{e^x}).
Do đó, biểu thức dưới dấu tích phân là:
(dfrac{1}{e^x + e^{-x} + 2} = dfrac{1}{dfrac{(e^x + 1)^2}{e^x}} = dfrac{e^x}{(e^x + 1)^2}).
Tích phân trở thành: (int dfrac{e^x}{(e^x + 1)^2}dx).
Bây giờ, ta đặt (u = e^x + 1).
Suy ra vi phân: (du = d(e^x + 1) = e^x dx).
Thay thế vào tích phân:
(int dfrac{e^x}{(e^x + 1)^2}dx = int dfrac{1}{u^2}du)
( = int u^{-2}du)
Sử dụng công thức nguyên hàm:
( = dfrac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = dfrac{u^{-1}}{-1} + C = -dfrac{1}{u} + C)
Thay (u = e^x + 1) trở lại:
( = -dfrac{1}{e^x + 1} + C)Cách 2 (Nhân tử (e^x) vào tử và mẫu, rồi đặt ẩn):
Nhân (e^x) vào cả tử và mẫu của (dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}):
(int dfrac{e^x dx}{e^x(e^{x}+e^{-x}+2)} = int dfrac{e^x dx}{e^{2x}+1+2e^{x}})
( = int dfrac{e^x dx}{(e^x)^2+2e^x+1})
Nhận xét (d(e^x+1) = e^x dx). Mẫu số ((e^x)^2+2e^x+1 = (e^x+1)^2).
Đặt (u = e^x+1), ta có (du = e^x dx).
Tích phân trở thành: (int dfrac{du}{u^2})
( = -dfrac{1}{u} + C = -dfrac{1}{e^x+1} + C)Mẹo kiểm tra: Đạo hàm kết quả (-dfrac{1}{e^x+1} + C).
(dfrac{d}{dx}left(-dfrac{1}{e^x+1} + Cright) = dfrac{d}{dx}left(-(e^x+1)^{-1}right))
( = -(-1)(e^x+1)^{-2} cdot dfrac{d}{dx}(e^x+1))
( = (e^x+1)^{-2} cdot e^x = dfrac{e^x}{(e^x+1)^2})
Đây chính là dạng đã biến đổi của biểu thức ban đầu. Để kiểm tra ngược lại với dạng ban đầu:
(dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} = dfrac{e^x}{e^{2x}+2e^x+1} = dfrac{1}{e^x+2+e^{-x}})
Kết quả đúng.Lỗi hay gặp: Sai sót trong biến đổi mẫu số, hoặc không nhận ra (d(e^x+1) = e^x dx), dẫn đến việc đặt biến sai.
Đáp Án/Kết Quả
a) (int {(1-x)^9}dx = -dfrac{(1-x)^{10}}{10} + C)
b) (int x{(1 + {x^2})^{{3 over 2}}}dx = dfrac{1}{5} (1 + x^2)^{{5 over 2}} + C)
c) (int cos^3xsin xdx = -dfrac{cos^4x}{4} + C)
d) (int dfrac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2} = -dfrac{1}{e^x+1} + C)
Kết Luận
Phương pháp đổi biến số là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán tích phân. Bằng cách lựa chọn biến phụ (u) (hoặc (t)) một cách khéo léo, chúng ta có thể đưa các tích phân phức tạp về dạng cơ bản. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài tích phân đổi biến số lớp 12 sẽ giúp bạn nắm vững kỹ thuật này và áp dụng hiệu quả vào các bài kiểm tra, kỳ thi. Hãy luôn nhớ kiểm tra lại đạo hàm của kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
