Phương Pháp Giải Bài Toán Lập Hệ Phương Trình Lớp 9 Chi Tiết, Chuẩn SEO

Việc nắm vững cách giải toán hệ phương trình là kỹ năng quan trọng giúp học sinh lớp 9 chinh phục các dạng bài toán đố trong chương trình học. Bài viết này cung cấp phương pháp chi tiết, dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập thực hành, tập trung vào việc hướng dẫn giải bài toán hệ phương trình một cách bài bản.

Đề Bài

Dưới đây là các đề bài được trình bày nguyên văn từ nguồn gốc, giữ nguyên toàn bộ ký hiệu, số liệu và yêu cầu để đảm bảo tính chính xác.

Ví dụ 1: Tìm số có hai chữ số biết chữ số ở hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2. Số đó gấp 7 lần tổng hai chữ số của nó.

Ví dụ 2: Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20cm, xuất phát cùng một lúc, từ một điểm, nếu chuyển động cùng chiều cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi vật.

Ví dụ 3: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thi xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 25% khối lượng cộng việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì hết bao lâu?

Câu 1: Hai đội cùng làm chung một công việc và dự định xong trong 12 ngày thi xong. Họ cùng làm trong 8 ngày, thì đội I được điều đi làm việc khác, đội II làm tiếp. Do cải tiến kỹ thuật năng suất tăng lên gấp đôi nên đội II làm xong cộng việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì hết bao lâu?

A. Đội I: 28 ngày và Đội II: 21 ngày
B. Đội I: 28 ngày và Đội II: 24 ngày
C. Đội I: 21 ngày và Đội II: 28 ngày
D. Đội I: 24 ngày và Đội II: 21 ngày

Câu 2: Tìm hai số biết tổng của hai số đó bằng 19, tổng các bình phương của hai số đó bằng 185.( biết hai số đó là số nguyên)

A. 11 và 9 hoặc 9 và 11
B. 11 và 8 hoặc 8 và 11
C. 8 và 12 hoặc 12 và 8
D. 10 và 11 hoặc 11 và 10

Câu 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và mở vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì được bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu thì chảy đầy bể?

A. vòi thứ nhất : 220 phút và vòi thứ hai: 240 phút.
B. vòi thứ nhất : 120 phút và vòi thứ hai: 140 phút.
C. vòi thứ nhất : 120 phút và vòi thứ hai: 240 phút.
D. vòi thứ nhất : 240 phút và vòi thứ hai: 120 phút.

Câu 4: Tìm hai số biết tổng của chúng là 1006, nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 2 và số dư là 124. ( biết hai số đó là số nguyên dương)

A. số lớn: 712 và số bé : 294
B. số lớn: 702 và số bé : 304
C. số lớn: 612 và số bé : 394
D. số lớn: 512 và số bé : 494

Câu 5: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích của thửa ruộng, biết nếu giảm chiều dài 2 lần và tăng chiều rộng lên 3 lần thì chu vi không đổi.

A. 640 m2
B. 600 m2
C. 800 m2
D. 900 m2

Câu 6: Một hình chữ nhật có chu vi là 70m, nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài lên 5m thì diện không đổi. Tìm chiều rộng và chiều dài?

A. chiều rộng: 15m và chiều dài : 20m
B. chiều rộng: 10m và chiều dài : 25m
C. chiều rộng: 25m và chiều dài : 10m
D. chiều rộng: 5m và chiều dài : 30m

Câu 7: Ở nông trường, có hai máy cày cùng cày trên thửa ruộng hết 2 giờ thì xong, nếu mỗi máy cày riệng thửa ruộng đó thì máy cày thứ 1 cày xong sớm hơn máy cày thứ 2 là 3 giờ. Tính thời gian mỗi máy cày làm việc riêng?

A. máy 1 là: 4 giờ và máy 2 là: 7 giờ.
B. máy 1 là: 3 giờ và máy 2 là: 6 giờ.
C. máy 1 là: 2 giờ và máy 2 là: 5 giờ.
D. máy 1 là: 5 giờ và máy 2 là: 8 giờ.

Câu 8: Một người mua hai mặt hàng A và B. Nếu tăng giá mặt hàng A thêm 10% và tăng thêm giá mặt hàng B thêm 20% thì người đó phải trả 232 nghìn đồng, nếu giảm giá cả hai mặt hàng 10% thì người đó phải trả 180 nghìn đồng. Tính giá tiền mỗi loại.

A. mặt hàng A: 60 nghìn đồng và mặt hàng B: 100 nghìn đồng.
B. mặt hàng A: 70 nghìn đồng và mặt hàng B: 90 nghìn đồng.
C. mặt hàng A: 80 nghìn đồng và mặt hàng B: 120 nghìn đồng.
D. mặt hàng A: 80 nghìn đồng và mặt hàng B: 100 nghìn đồng.

Câu 9: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10,tỷ lệ trúng tuyển là 84%. Tính riêng thì trường A có 80% học sinh thi đỗ và trường B có 90% học sinh thi đỗ. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi vào lớp 10.

A. trường A: 150 học sinh và trường B: 100 học sinh.
B. trường A: 110 học sinh và trường B: 140 học sinh.
C. trường A: 120 học sinh và trường B: 130 học sinh.
D. trường A: 100 học sinh và trường B: 150 học sinh.

Câu 10: Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi là 198m và diện tích là 2430 m2. Tính chiều dài và chiều rộng của thửa đất đó?

A. chiều dài : 53m và chiều rộng: 46m
B. chiều dài : 59m và chiều rộng: 40m
C. chiều dài : 57m và chiều rộng: 42m
D. chiều dài : 54m và chiều rộng: 45m

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán yêu cầu lập hệ phương trình thường xoay quanh các đại lượng có mối liên hệ với nhau. Để giải quyết chúng, chúng ta cần:

1. Xác định các đại lượng chưa biết: Đây sẽ là các ẩn của hệ phương trình.
2. Tìm điều kiện xác định cho các ẩn: Các ẩn thường là số lượng, chiều dài, vận tốc, thời gian, tuổi tác,… nên phải dương hoặc tuân theo một số ràng buộc nhất định.
3. Thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng: Dựa vào đề bài, chúng ta sẽ lập ra các phương trình biểu diễn các mối quan hệ này. Thông thường, sẽ có hai hoặc nhiều hơn hai mối quan hệ tương ứng với hai hoặc nhiều hơn hai ẩn.
4. Giải hệ phương trình: Sử dụng các phương pháp đã học như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
5. Kiểm tra điều kiện và kết luận: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện ban đầu để loại bỏ các nghiệm không phù hợp và đưa ra câu trả lời cuối cùng cho bài toán.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Định nghĩa Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:
\begin{cases} ax + by = c a'x + b'y = c' \end{cases}
trong đó $a, b, c, a’, b’, c’$ là các hệ số, và $x, y$ là hai ẩn số.

2. Các Phương pháp Giải Hệ phương trình

• Phương pháp Thế:
  • Từ một phương trình, biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại.
  • Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại để có một phương trình một ẩn.
  • Giải phương trình một ẩn, sau đó tìm ẩn còn lại.
• Phương pháp Cộng Đại Số:
  • Nhân hai phương trình của hệ với các số thích hợp để hai hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình là đối nhau hoặc bằng nhau.
  • Cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ để được một phương trình mới chỉ còn một ẩn.
  • Giải phương trình một ẩn, sau đó tìm ẩn còn lại.

3. Các Dạng Toán Thường Gặp

• Toán về Số: Tìm hai số biết tổng, hiệu, tích, thương, tỉ lệ, mối quan hệ về chữ số hàng chục, hàng đơn vị…
  • Nếu gọi số có hai chữ số là $ab$, thì giá trị của số đó là 10a + b, trong đó $a$ là chữ số hàng chục (a \ne 0) và $b$ là chữ số hàng đơn vị.
• Toán về Chuyển Động: Tính quãng đường, vận tốc, thời gian.
  • Quãng đường = Vận tốc $times$ Thời gian (S = v \times t)
  • Khi hai vật chuyển động ngược chiều gặp nhau, tổng quãng đường đi được bằng khoảng cách ban đầu (hoặc chu vi, nếu là chuyển động tròn).
  • Khi hai vật chuyển động cùng chiều gặp nhau, hiệu quãng đường đi được bằng khoảng cách ban đầu (hoặc chu vi, nếu là chuyển động tròn).
• Toán Năng Suất: Tính lượng công việc, thời gian hoàn thành, năng suất của từng người/máy.
  • Nếu một người/máy hoàn thành công việc trong $T$ đơn vị thời gian, thì trong 1 đơn vị thời gian họ hoàn thành \frac{1}{T} công việc.
  • Tổng công việc = Năng suất $times$ Thời gian.
• Toán Hình Học: Tìm chiều dài, chiều rộng, diện tích, chu vi của hình chữ nhật, hình vuông, tam giác…
  • Hình chữ nhật có chiều dài $a$, chiều rộng $b$: Chu vi P = 2(a+b), Diện tích S = a \times b.
• Toán về Tỷ Lệ Phần Trăm: Tính toán các giá trị tăng hoặc giảm theo tỷ lệ phần trăm.
  • Tăng p% nghĩa là nhân với (1 + \frac{p}{100}).
  • Giảm p% nghĩa là nhân với (1 - \frac{p}{100}).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi sâu vào phân tích từng ví dụ và bài tập để hiểu rõ quy trình giải.

Ví dụ 1: Tìm số có hai chữ số

• Đề bài: Tìm số có hai chữ số biết chữ số ở hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2. Số đó gấp 7 lần tổng hai chữ số của nó.
• Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu tìm một số có hai chữ số. Chúng ta cần hai điều kiện để lập hệ phương trình.
• Kiến thức cần dùng: Biểu diễn số có hai chữ số, lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Hướng dẫn giải:
  • Gọi số cần tìm là $ab$, trong đó $a$ là chữ số hàng chục và $b$ là chữ số hàng đơn vị. Điều kiện: a, b in {0, 1, ..., 9} và a \ne 0.
  • Giá trị của số đó là 10a + b.
  • Theo đề bài, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2, ta có phương trình:
    a - b = 2 (1)
  • Số đó gấp 7 lần tổng hai chữ số của nó, ta có phương trình:
    10a + b = 7(a + b)
  • Rút gọn phương trình (2):
    10a + b = 7a + 7b
3a = 6b
a = 2b (2)
  • Bây giờ, ta có hệ phương trình:
    \begin{cases} a - b = 2 \ a = 2b \end{cases}
  • Thế phương trình (2) vào phương trình (1):
    2b - b = 2
b = 2
  • Thay b=2 vào phương trình (2) để tìm $a$:
    a = 2 \times 2 = 4
  • Ta tìm được a=4 và b=2. Cả hai chữ số này đều thỏa mãn điều kiện a, b in {0, 1, ..., 9} và a \ne 0.
  • Số cần tìm là 42.
• Mẹo kiểm tra: Số 42 có chữ số hàng chục (4) lớn hơn chữ số hàng đơn vị (2) là 2. Tổng hai chữ số là 4+2=6. Số 42 gấp 7 \times 6 = 42 lần tổng hai chữ số. Kết quả đúng.
• Lỗi hay gặp: Quên điều kiện a \ne 0 hoặc $a, b$ là chữ số. Nhầm lẫn giữa số có hai chữ số và tổng hai chữ số.

Ví dụ 2: Bài toán chuyển động trên đường tròn

• Đề bài: Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20cm, xuất phát cùng một lúc, từ một điểm, nếu chuyển động cùng chiều cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau. Tìm vận tốc của mỗi vật.
• Phân tích yêu cầu: Bài toán liên quan đến chuyển động tròn, yêu cầu tìm vận tốc của hai vật. Ta cần xác định mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian.
• Kiến thức cần dùng: Công thức chuyển động, tính chất gặp nhau trong chuyển động tròn cùng chiều và ngược chiều.
• Hướng dẫn giải:
  • Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là $x$ (cm/s) và $y$ (cm/s). Điều kiện: $x > 0, y > 0$. Giả sử $x > y$.
  • Đường kính đường tròn là 20cm, vậy bán kính là 10cm. Chu vi đường tròn là C = \pi d = 20pi (cm).
  • Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây gặp nhau, nghĩa là trong 20 giây, vật nhanh hơn đi được nhiều hơn vật chậm hơn đúng 1 vòng chu vi.
    Quãng đường vật 1 đi được trong 20s: 20x
    Quãng đường vật 2 đi được trong 20s: 20y
    Phương trình: 20x - 20y = 20pi
    Chia cả hai vế cho 20, ta được: x - y = \pi (1)
  • Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây gặp nhau, nghĩa là trong 4 giây, tổng quãng đường đi được của hai vật bằng 1 vòng chu vi.
    Quãng đường vật 1 đi được trong 4s: 4x
    Quãng đường vật 2 đi được trong 4s: 4y
    Phương trình: 4x + 4y = 20pi
    Chia cả hai vế cho 4, ta được: x + y = 5pi (2)
  • Ta có hệ phương trình:
    \begin{cases} x - y = \pi \ x + y = 5pi \end{cases}
  • Cộng vế theo vế của phương trình (1) và (2):
    (x - y) + (x + y) = \pi + 5pi
2x = 6pi
x = 3pi
  • Thay x = 3pi vào phương trình (2):
    3pi + y = 5pi
y = 2pi
  • Ta tìm được x = 3pi (cm/s) và y = 2pi (cm/s). Cả hai đều thỏa mãn điều kiện vận tốc dương.
• Đáp án: Vận tốc của hai vật lần lượt là 3pi cm/s và 2pi cm/s.
• Mẹo kiểm tra:
  • Cùng chiều: Trong 20s, vật 1 đi 20 \times 3pi = 60pi cm, vật 2 đi 20 \times 2pi = 40pi cm. Hiệu 60pi - 40pi = 20pi, bằng chu vi.
  • Ngược chiều: Trong 4s, vật 1 đi 4 \times 3pi = 12pi cm, vật 2 đi 4 \times 2pi = 8pi cm. Tổng 12pi + 8pi = 20pi, bằng chu vi.
    Kết quả đúng.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn công thức chuyển động cùng chiều và ngược chiều. Quên tính chu vi đường tròn hoặc dùng đường kính thay cho bán kính.

Hình ảnh minh họa hai vật chuyển động trên đường tròn

Ví dụ 3: Bài toán Năng Suất Lao Động

• Đề bài: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thi xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 25% khối lượng cộng việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì hết bao lâu?
• Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu tìm thời gian mỗi người làm một mình để hoàn thành công việc. Chúng ta cần dùng khái niệm năng suất.
• Kiến thức cần dùng: Khái niệm năng suất, lập hệ phương trình với ẩn là thời gian hoàn thành công việc của mỗi người.
• Hướng dẫn giải:
  • Gọi thời gian để người thứ nhất làm xong công việc một mình là $x$ (giờ). Điều kiện: $x > 0$.
  • Gọi thời gian để người thứ hai làm xong công việc một mình là $y$ (giờ). Điều kiện: $y > 0$.
  • Năng suất của người thứ nhất là \frac{1}{x} (công việc/giờ).
  • Năng suất của người thứ hai là \frac{1}{y} (công việc/giờ).
  • Khi hai người cùng làm chung trong 16 giờ thì xong:
    Tổng công việc họ làm trong 16 giờ là 16 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}). Vì họ hoàn thành công việc, nên lượng công việc này bằng 1.
    16(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1
    Chia cả hai vế cho 16: \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} (1)
  • Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 25% khối lượng công việc (tức là \frac{1}{4} khối lượng).
    Công việc người thứ nhất làm trong 3 giờ: 3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x}
    Công việc người thứ hai làm trong 6 giờ: 6 \times \frac{1}{y} = \frac{6}{y}
    Phương trình: \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} (2)
  • Đặt u = \frac{1}{x} và v = \frac{1}{y}. Hệ phương trình trở thành:
    \begin{cases} u + v = \frac{1}{16} \ 3u + 6v = \frac{1}{4} \end{cases}
  • Nhân phương trình thứ nhất với 3:
    3u + 3v = \frac{3}{16} (3)
  • Lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (3):
    (3u + 6v) - (3u + 3v) = \frac{1}{4} - \frac{3}{16}
3v = \frac{4}{16} - \frac{3}{16} = \frac{1}{16}
v = \frac{1}{48}
  • Thay v = \frac{1}{48} vào phương trình (1):
    u + \frac{1}{48} = \frac{1}{16}
u = \frac{1}{16} - \frac{1}{48} = \frac{3}{48} - \frac{1}{48} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}
  • Ta có u = \frac{1}{24} và v = \frac{1}{48}.
  • Vì u = \frac{1}{x}, nên x = \frac{1}{u} = 24 (giờ).
  • Vì v = \frac{1}{y}, nên y = \frac{1}{v} = 48 (giờ).
  • Cả hai giá trị x=24, y=48 đều thỏa mãn điều kiện $x, y > 0$.
• Đáp án: Người thứ nhất làm một mình hết 24 giờ, người thứ hai làm một mình hết 48 giờ.
• Mẹo kiểm tra:
  • Năng suất cả hai: \frac{1}{24} + \frac{1}{48} = \frac{2+1}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}. Cả hai làm chung trong 16 giờ là đúng.
  • Trong 3 giờ người 1 làm \frac{3}{24} = \frac{1}{8} công việc. Trong 6 giờ người 2 làm \frac{6}{48} = \frac{1}{8} công việc. Tổng cộng \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} công việc (25%). Đúng.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa thời gian hoàn thành và năng suất. Sai sót khi biến đổi phương trình chứa ẩn ở mẫu số.

Lời giải chi tiết cho các bài tập trắc nghiệm:

Câu 1:

• Phân tích: Bài toán năng suất lao động. Gọi thời gian mỗi đội làm một mình là $x$ và $y$ ngày.
• Thiết lập hệ phương trình:
  • Hai đội làm chung 12 ngày xong: \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} (1)
  • Làm chung 8 ngày, đội II làm tiếp 3.5 ngày với năng suất gấp đôi.
    Công việc 8 ngày đầu: 8(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 8 \times \frac{1}{12} = \frac{2}{3}</code>. Công việc còn lại: <code>[]1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}</code>. Đội II làm tiếp công việc còn lại với năng suất gấp đôi: []3.5 \times \frac{2}{y} = \frac{1}{3}.
\frac{7}{y} = \frac{1}{3}
y = 21
  • Thay y=21 vào (1):
    \frac{1}{x} + \frac{1}{21} = \frac{1}{12}
\frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{21} = \frac{7-4}{84} = \frac{3}{84} = \frac{1}{28}
x = 28
• Đáp án: Đội I: 28 ngày và Đội II: 21 ngày. Chọn A.

Câu 2:

• Phân tích: Bài toán về hai số nguyên.
• Thiết lập hệ phương trình:
  • Gọi hai số là $x$ và $y$.
  • Tổng hai số là 19: x + y = 19 (1)
  • Tổng bình phương hai số là 185: x^2 + y^2 = 185 (2)
  • Từ (1), y = 19 - x. Thay vào (2):
    x^2 + (19-x)^2 = 185
x^2 + 361 - 38x + x^2 = 185
2x^2 - 38x + 176 = 0
x^2 - 19x + 88 = 0
  • Giải phương trình bậc hai: (x-8)(x-11) = 0.
  • Nghiệm: x=8 hoặc x=11.
    • Nếu x=8, thì y = 19-8=11.
    • Nếu x=11, thì y = 19-11=8.
• Đáp án: 11 và 8 hoặc 8 và 11. Chọn B.

Câu 3:

• Phân tích: Bài toán hai vòi nước chảy vào bể.
• Thiết lập hệ phương trình:
  • Đổi 1 giờ 20 phút = 80 phút.
  • Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là $x$ phút, vòi 2 là $y$ phút.
  • Hai vòi cùng chảy 80 phút đầy bể: \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80} (1)
  • Vòi 1 chảy 10 phút, vòi 2 chảy 12 phút được bể:
    \frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{1}{5} (2)
  • Đặt u=\frac{1}{x}, v=\frac{1}{y}.
    \begin{cases} u + v = \frac{1}{80} \ 10u + 12v = \frac{1}{5} \end{cases}
  • Nhân phương trình đầu với 10: 10u + 10v = \frac{10}{80} = \frac{1}{8}
  • Trừ phương trình thứ hai cho phương trình mới: (10u + 12v) - (10u + 10v) = \frac{1}{5} - \frac{1}{8}
2v = \frac{8-5}{40} = \frac{3}{40}
v = \frac{3}{80}
  • Thay v=\frac{3}{80} vào u+v=\frac{1}{80}: u + \frac{3}{80} = \frac{1}{80}. Suy ra u = -\frac{2}{80}. Có vẻ có lỗi trong đề bài hoặc đáp án vì thời gian không thể âm.
  • Xem lại đề bài gốc: “được bể.” – Ảnh này bị lỗi, không hiển thị phân số. Tuy nhiên, dựa vào đáp án C (120 phút và 240 phút), ta thử lại.
  • Nếu x=120, y=240:
    (1) \frac{1}{120} + \frac{1}{240} = \frac{2+1}{240} = \frac{3}{240} = \frac{1}{80}. Đúng.
    (2) Vòi 1 chảy 10 phút: 10 \times \frac{1}{120} = \frac{1}{12}</code>. Vòi 2 chảy 12 phút: <code>[]12 \times \frac{1}{240} = \frac{1}{20}</code>. Tổng: <code>[]\frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{5+3}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}</code>.</li> <li>Theo đáp án C, phần công việc là []\frac{2}{15}. Vậy phân số bị lỗi là \frac{2}{15}.
• Đáp án: vòi thứ nhất : 120 phút và vòi thứ hai: 240 phút. Chọn C.

Câu 4:

• Phân tích: Tìm hai số nguyên dương biết tổng và quan hệ chia hết có dư.
• Thiết lập hệ phương trình:
  • Gọi hai số là $x$ (số lớn) và $y$ (số bé). Điều kiện: x, y in Z^+ và $x > y$.
  • Tổng của chúng là 1006: x + y = 1006 (1)
  • Số lớn chia số bé được thương là 2 và số dư là 124: x = 2y + 124 (2)
  • Thế (2) vào (1):
    (2y + 124) + y = 1006
3y + 124 = 1006
3y = 1006 - 124 = 882
y = \frac{882}{3} = 294
  • Thay y=294 vào (2):
    x = 2 \times 294 + 124 = 588 + 124 = 712
• Đáp án: số lớn: 712 và số bé : 294. Chọn A.

Câu 5:

• Phân tích: Bài toán hình chữ nhật, tìm diện tích, biết quan hệ chiều dài, chiều rộng và sự thay đổi khi thay đổi kích thước.
• Thiết lập hệ phương trình:
  • Gọi chiều dài là $x$ (m) và chiều rộng là $y$ (m). Điều kiện: $x > 0, y > 0, x > y$.
  • Chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m: x - y = 45 (1)
  • Chu vi ban đầu: P_1 = 2(x+y).
  • Giảm chiều dài 2 lần: chiều dài mới là 0.5x. Tăng chiều rộng 3 lần: chiều rộng mới là 3y.
  • Chu vi mới: P_2 = 2(0.5x + 3y).
  • Chu vi không đổi: P_1 = P_2 implies 2(x+y) = 2(0.5x + 3y).
    x+y = 0.5x + 3y
0.5x = 2y
x = 4y (2)
  • Thế (2) vào (1):
    4y - y = 45
3y = 45
y = 15
  • Thay y=15 vào (2):
    x = 4 \times 15 = 60
  • Chiều dài là 60m, chiều rộng là 15m.
  • Diện tích thửa ruộng: S = x \times y = 60 \times 15 = 900 (m2).
• Đáp án: 900 m2. Chọn D.

Câu 6:

• Phân tích: Bài toán hình chữ nhật, tìm chiều dài, chiều rộng, biết chu vi ban đầu và sự thay đổi khi thay đổi kích thước làm diện tích không đổi.
• Thiết lập hệ phương trình:
  • Gọi chiều rộng là $x$ (m) và chiều dài là $y$ (m). Điều kiện: $x > 0, y > 0$.
  • Chu vi là 70m: 2(x+y) = 70 implies x+y = 35 (1)
  • Diện tích ban đầu: S_1 = x \times y.
  • Giảm chiều rộng 3m: x-3. Tăng chiều dài 5m: y+5.
  • Diện tích mới: S_2 = (x-3)(y+5).
  • Diện tích không đổi: S_1 = S_2 implies xy = (x-3)(y+5).
    xy = xy + 5x - 3y - 15
5x - 3y = 15 (2)
  • Từ (1), y = 35 - x. Thay vào (2):
    5x - 3(35 - x) = 15
5x - 105 + 3x = 15
8x = 120
x = 15
  • Thay x=15 vào (1):
    15 + y = 35 implies y = 20
• Đáp án: chiều rộng: 15m và chiều dài : 20m. Chọn A.

Câu 7:

• Phân tích: Bài toán năng suất làm việc của hai máy cày.
• Thiết lập hệ phương trình:
  • Gọi thời gian máy 1 làm riêng là $x$ giờ, máy 2 làm riêng là $y$ giờ. Điều kiện: $x > 0, y > 0$.
  • Hai máy cày chung hết 2 giờ xong: \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} (1)
  • Máy 1 làm sớm hơn máy 2 là 3 giờ: y = x + 3 (2)
  • Thế (2) vào (1):
    \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2}
    Quy đồng mẫu số:
    \frac{(x+3) + x}{x(x+3)} = \frac{1}{2}
\frac{2x+3}{x^2+3x} = \frac{1}{2}
2(2x+3) = x^2+3x
4x + 6 = x^2 + 3x
x^2 - x - 6 = 0
    Phân tích thành nhân tử: (x-3)(x+2) = 0
  • Nghiệm: x=3 hoặc x=-2. Loại nghiệm âm.
  • Với x=3, thay vào (2): y = 3 + 3 = 6
• Đáp án: máy 1 là: 3 giờ và máy 2 là: 6 giờ. Chọn B.

Câu 8:

• Phân tích: Bài toán liên quan đến giá cả, có sự tăng giảm theo tỷ lệ phần trăm.
• Thiết lập hệ phương trình:
  • Gọi giá ban đầu của mặt hàng A là $x$ (nghìn đồng), mặt hàng B là $y$ (nghìn đồng). Điều kiện: $x > 0, y > 0$.
  • Tăng giá A 10%, B 20% thì phải trả 232 nghìn:
    1.1x + 1.2y = 232 (1)
  • Giảm giá cả hai mặt hàng 10% thì phải trả 180 nghìn:
    0.9x + 0.9y = 180
    Chia cả hai vế cho 0.9: x + y = 200 (2)
  • Từ (2), x = 200 - y. Thay vào (1):
    1.1(200 - y) + 1.2y = 232
220 - 1.1y + 1.2y = 232
0.1y = 232 - 220
0.1y = 12
y = 120
  • Thay y=120 vào (2):
    x + 120 = 200
x = 80
• Đáp án: mặt hàng A: 80 nghìn đồng và mặt hàng B: 120 nghìn đồng. Chọn C.

Câu 9:

• Phân tích: Bài toán về số lượng học sinh, tỷ lệ đỗ.
• Thiết lập hệ phương trình:
  • Gọi số học sinh trường A dự thi là $x$, trường B là $y$. Điều kiện: x, y in Z^+.
  • Tổng số học sinh dự thi: 210 học sinh đỗ chiếm 84% tổng số.
    Tổng số học sinh dự thi = 210 div 0.84 = 250 học sinh.
    x + y = 250 (1)
  • Số học sinh trường A đỗ: 0.8x. Số học sinh trường B đỗ: 0.9y. Tổng số đỗ là 210.
    0.8x + 0.9y = 210 (2)
  • Nhân (1) với 0.8: 0.8x + 0.8y = 0.8 \times 250 = 200 (3)
  • Lấy (2) trừ (3):
    (0.8x + 0.9y) - (0.8x + 0.8y) = 210 - 200
0.1y = 10
y = 100
  • Thay y=100 vào (1):
    x + 100 = 250
x = 150
• Đáp án: trường A: 150 học sinh và trường B: 100 học sinh. Chọn A.

Câu 10:

• Phân tích: Bài toán hình chữ nhật, tìm chiều dài và chiều rộng khi biết chu vi và diện tích.
• Thiết lập hệ phương trình:
  • Gọi chiều dài là $x$ (m) và chiều rộng là $y$ (m). Điều kiện: $x > 0, y > 0, x > y$.
  • Chu vi là 198m: 2(x+y) = 198 implies x+y = 99 (1)
  • Diện tích là 2430 m2: xy = 2430 (2)
  • Từ (1), y = 99 - x. Thay vào (2):
    x(99 - x) = 2430
99x - x^2 = 2430
x^2 - 99x + 2430 = 0
  • Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai hoặc nhẩm nghiệm:
    Phương trình có dạng t^2 - (x+y)t + xy = 0, với nghiệm là $x$ và $y$.
    Ta cần tìm hai số có tổng là 99 và tích là 2430.
    Thử các đáp án:
    • D. chiều dài : 54m và chiều rộng: 45m.
      Tổng: 54 + 45 = 99.
      Tích: 54 \times 45 = 2430.
      Thỏa mãn.
• Đáp án: chiều dài : 54m và chiều rộng: 45m. Chọn D.

Đáp Án/Kết Quả

• Ví dụ 1: Số cần tìm là 42.
• Ví dụ 2: Vận tốc hai vật lần lượt là 3pi cm/s và 2pi cm/s.
• Ví dụ 3: Người thứ nhất làm một mình hết 24 giờ, người thứ hai làm một mình hết 48 giờ.
• Câu 1: A. Đội I: 28 ngày và Đội II: 21 ngày.
• Câu 2: B. 11 và 8 hoặc 8 và 11.
• Câu 3: C. vòi thứ nhất : 120 phút và vòi thứ hai: 240 phút.
• Câu 4: A. số lớn: 712 và số bé : 294.
• Câu 5: D. 900 m2.
• Câu 6: A. chiều rộng: 15m và chiều dài : 20m.
• Câu 7: B. máy 1 là: 3 giờ và máy 2 là: 6 giờ.
• Câu 8: C. mặt hàng A: 80 nghìn đồng và mặt hàng B: 120 nghìn đồng.
• Câu 9: A. trường A: 150 học sinh và trường B: 100 học sinh.
• Câu 10: D. chiều dài : 54m và chiều rộng: 45m.

Kết Luận

Nắm vững cách giải toán hệ phương trình không chỉ giúp học sinh hoàn thành tốt các bài tập trong sách giáo khoa và đề thi mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích vấn đề và giải quyết các tình huống phức tạp trong học tập cũng như cuộc sống. Việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập đa dạng sẽ nâng cao kỹ năng và sự tự tin khi đối mặt với các bài toán đố.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.