20 Bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8 (có đáp án)

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trong những dạng bài quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Phương pháp này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy logic, phân tích và biến đổi các bài toán thực tế thành các bài toán đại số. Bài viết này cung cấp bộ sưu tập 20 bài tập từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 8 nắm vững cách tiếp cận và giải quyết các dạng bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Giới thiệu Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta thực hiện theo ba bước cơ bản sau:

Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số đó (ví dụ: ẩn là số người phải là số nguyên dương, ẩn là thời gian phải dương, v.v.).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết dựa trên mối quan hệ đã cho trong đề bài.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng này.
Bước 2: Giải phương trình
- Sử dụng các kiến thức đã học về phương trình bậc nhất một ẩn để tìm nghiệm của phương trình vừa lập.
Bước 3: Kiểm tra và kết luận
- Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được ở Bước 2, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện ban đầu của ẩn số.
- Nếu có nghiệm không thỏa mãn, loại bỏ nghiệm đó.
- Đối với nghiệm thỏa mãn, kết luận bài toán theo đúng yêu cầu đề bài.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Bài toán về số người

Một chiếc xe khách chở một số người. Một chiếc xe thứ hai chở số người nhiều hơn chiếc xe thứ nhất là 10 người. Hỏi mỗi xe phải chở bao nhiêu người để tổng số người trên hai xe là 50 người?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình
- Gọi $x$ là số người xe thứ nhất chở được.
- Điều kiện: $x$ là số nguyên dương.
- Xe thứ hai chở: $x + 10$ (người).
- Tổng số người trên hai xe là 50, ta có phương trình: $x + (x + 10) = 50$ .
Bước 2: Giải phương trình
- $x + x + 10 = 50$
- $2x + 10 = 50$
- $2x = 40$
- $x = 20$
Bước 3: Kiểm tra và kết luận
- $x = 20$ thỏa mãn điều kiện $x$ là số nguyên dương.
- Vậy, xe thứ nhất chở 20 người, xe thứ hai chở $20 + 10 = 30$ người.

Ví dụ 2: Bài toán về thời gian di chuyển

Hai chiếc xe cùng xuất phát tại một thời điểm để tới cùng một địa điểm. Xe đầu tiên tới điểm đích trước xe thứ hai 3 giờ. Tổng thời gian hoàn thành quãng đường của cả hai xe là 9 giờ. Hỏi mỗi xe đi hết quãng đường trong bao lâu?

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình
- Gọi $x$ là thời gian hoàn thành quãng đường của xe đầu tiên (đơn vị: giờ).
- Điều kiện: $x > 0$.
- Thời gian hoàn thành quãng đường của xe thứ hai là: $x + 3$ (giờ).
- Tổng thời gian hoàn thành quãng đường của cả hai xe là 9 giờ, ta có phương trình: $x + (x + 3) = 9$ .
Bước 2: Giải phương trình
- $x + x + 3 = 9$
- $2x + 3 = 9$
- $2x = 6$
- $x = 3$
Bước 3: Kiểm tra và kết luận
- $x = 3$ thỏa mãn điều kiện $x > 0$.
- Vậy, xe đầu tiên đi hết quãng đường trong 3 giờ, xe thứ hai đi hết quãng đường trong $3 + 3 = 6$ giờ.

Bài tập tự luyện

Dưới đây là các bài tập giúp bạn luyện tập kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bài 1: Mẹ hơn con 24 tuổi. Sau 2 năm nữa thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tuổi của con hiện nay là bao nhiêu?

Lời giải:
Gọi $x$ là số tuổi của con hiện tại (Tuổi).
Số tuổi của mẹ hiện tại là $x + 24$ (Tuổi).
Sau 2 năm nữa, tuổi con là $x + 2$ , tuổi mẹ là $(x + 24) + 2 = x + 26$ .
Theo bài ra, sau 2 năm nữa tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con:
$3(x + 2) = x + 26$
$3x + 6 = x + 26$
$2x = 20$
$x = 10$
Vậy hiện tại tuổi của con là 10 tuổi.

Bài 2: Tìm hai số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của chúng là 24.

Lời giải:
Gọi hai số chẵn liên tiếp cần tìm là $x$ và $x + 2$ (với $x$ là số chẵn và $x in mathbb{N}$ ).
Theo bài ra ta có phương trình:
$x(x + 2) = 24$
$x^2 + 2x - 24 = 0$
$(x - 4)(x + 6) = 0$
Ta có hai nghiệm: $x = 4$ hoặc $x = -6$ .
Vì $x$ là số tự nhiên chẵn, ta chọn $x = 4$ .
Vậy hai số cần tìm là 4 và $4 + 2 = 6$ .

Bài 3: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3cm. Chu vi hình chữ nhật là 100cm. Tính chiều rộng hình chữ nhật.

Lời giải:
Gọi chiều rộng hình chữ nhật là $x$ (cm). Điều kiện $x > 0$.
Chiều dài hình chữ nhật là $x + 3$ (cm).
Chu vi hình chữ nhật là $2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng})$ , ta có:
$2[x + (x + 3)] = 100$
$2(2x + 3) = 100$
$4x + 6 = 100$
$4x = 94$
$x = 23,5$
Vậy chiều rộng hình chữ nhật là 23,5cm.

Bài 4: Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 15 km/h. Sau đó 6 giờ, một xe hơi đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe đạp?

Lời giải:
Gọi $t$ là thời gian từ lúc xe hơi chạy đến lúc đuổi kịp xe đạp ($t > 0$, đơn vị giờ).
Thời gian xe đạp đi được cho đến lúc xe hơi đuổi kịp là $t + 6$ giờ.
Quãng đường xe đạp đi được: $s_1 = 15(t + 6)$ km.
Quãng đường xe hơi đi được: $s_2 = 60t$ km.
Khi hai xe gặp nhau, quãng đường đi được của chúng bằng nhau ( $s_1 = s_2$ ):
$15(t + 6) = 60t$
$15t + 90 = 60t$
$45t = 90$
$t = 2$
Vậy xe hơi chạy được 2 giờ thì đuổi kịp xe đạp.

Bài 5: Một người đi từ A đến B. Trong nửa quãng đường đầu, người đó đi với vận tốc 20 km/h, phần đường còn lại người đó đi với tốc độ 30 km/h. Tính vận tốc trung bình của người đó khi đi từ A đến B.

Lời giải:
Gọi độ dài nửa quãng đường AB là $a$ (km).
Thời gian đi nửa quãng đường đầu: $t_1 = \frac{a}{20}$ (giờ).
Thời gian đi nửa quãng đường sau: $t_2 = \frac{a}{30}$ (giờ).
Tổng độ dài quãng đường AB là $2a$ km.
Tổng thời gian đi cả quãng đường AB là: $t = t_1 + t2 = \frac{a}{20} + \frac{a}{30}$ .
Để tính tổng mẫu số chung: $20 = 2^2 \times 5$ , $30 = 2 \times 3 \times 5$ . BCNN(20, 30) = $2^2 \times 3 \times 5 = 60$ .
$t = \frac{3a}{60} + \frac{2a}{60} = \frac{5a}{60} = \frac{a}{12}$ (giờ).
Vận tốc trung bình được tính bằng tổng quãng đường chia tổng thời gian:
$v{tb} = \frac{\text{Tổng quãng đường}}{\text{Tổng thời gian}} = \frac{2a}{\frac{a}{12}} = 2a \times \frac{12}{a} = 24$ (km/h).

Bài 6: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.

Lời giải:
Đổi 30 phút = giờ.
Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là $x$ (km/h). Điều kiện $x > 0$.
Thời gian xe đi từ A đến B là $\frac{24}{x}$ (giờ).
Khi đi từ B về A, vận tốc là $x + 4$ (km/h).
Thời gian xe đi từ B về A là $\frac{24}{x + 4}$ (giờ).
Theo đề bài, thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút:
$\frac{24}{x} - \frac{24}{x + 4} = \frac{1}{2}$
Nhân cả hai vế với $2x(x + 4)$ để khử mẫu:
$24 \times 2(x + 4) - 24 \times 2x = x(x + 4)$
$48(x + 4) - 48x = x^2 + 4x$
$48x + 192 - 48x = x^2 + 4x$
$192 = x^2 + 4x$
$x^2 + 4x - 192 = 0$
Giải phương trình bậc hai: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-192)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 768}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{-4 \pm 28}{2}$ .
Ta có hai nghiệm: $x = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$ hoặc $x = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$ .
Do điều kiện $x > 0$, ta chọn $x = 12$ .
Vậy vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h.

Bài 7: Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.

Lời giải:
Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là $x$ (sản phẩm/giờ). Điều kiện $0 < x \le 20[/katex]. Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là [katex]\frac{85}{x}[/katex] (giờ). Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm, nên số sản phẩm làm được mỗi giờ là [katex]x + 3[/katex] (sản phẩm/giờ). Số sản phẩm thực tế làm là 96. Thời gian thực tế hoàn thành là [katex]\frac{96}{x + 3}[/katex] (giờ). Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút, tức là [katex]\frac{20}{60} = \frac{1}{3}[/katex] giờ. Ta có phương trình: [katex]\frac{85}{x} - \frac{96}{x + 3} = \frac{1}{3}[/katex] Nhân cả hai vế với [katex]3x(x + 3)[/katex]: [katex]85 \times 3(x + 3) - 96 \times 3x = x(x + 3)[/katex] [katex]255(x + 3) - 288x = x^2 + 3x[/katex] [katex]255x + 765 - 288x = x^2 + 3x[/katex] [katex]-33x + 765 = x^2 + 3x[/katex] [katex]x^2 + 3x + 33x - 765 = 0[/katex] [katex]x^2 + 36x - 765 = 0[/katex] Giải phương trình bậc hai: [katex]x = \frac{-36 \pm \sqrt{36^2 - 4(1)(-765)}}{2(1)} = \frac{-36 \pm \sqrt{1296 + 3060}}{2} = \frac{-36 \pm \sqrt{4356}}{2} = \frac{-36 \pm 66}{2}[/katex]. Ta có hai nghiệm: [katex]x = \frac{-36 + 66}{2} = \frac{30}{2} = 15[/katex] hoặc [katex]x = \frac{-36 - 66}{2} = \frac{-102}{2} = -51[/katex]. Do điều kiện [katex]0 < x \le 20[/katex], ta chọn [katex]x = 15[/katex]. Vậy theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm. Bài 8: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m. Tính chiều dài của mảnh đất đó. Lời giải:Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là $x$ (m). Điều kiện $0 < x < 13$.Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là [katex]x + 7$ (m).
Theo định lý Pytago trong tam giác vuông tạo bởi hai cạnh và đường chéo, ta có phương trình:
$x^2 + (x + 7)^2 = 13^2$
$x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169$
$2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0$
$2x^2 + 14x - 120 = 0$
Chia cả hai vế cho 2:
$x^2 + 7x - 60 = 0$
Giải phương trình bậc hai: $x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(-60)}}{2(1)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}$ .
Ta có hai nghiệm: $x = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$ hoặc $x = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ .
Do điều kiện $0 < x < 13$, ta chọn $x = 5$ .
Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 5m và chiều dài mảnh đất đó là $5 + 7 = 12$ m.

Bài 9: Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45km/h. Sau 1 giờ 30 phút thì một xe con cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc với xe tải. Tính quãng đường AB.

Lời giải:
Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.
Gọi quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện $x > 0$.
Thời gian ô tô tải đi từ A đến B là $\frac{x}{45}$ (giờ).
Thời gian xe con đi từ A đến B là $\frac{x}{60}$ (giờ).
Xe con xuất phát sau xe tải 1,5 giờ. Do đó, thời gian xe con đi ít hơn thời gian xe tải đi là 1,5 giờ.
Ta có phương trình:
$\frac{x}{45} - \frac{x}{60} = 1,5$
Nhân cả hai vế với BCNN(45, 60) = 180:
$180 \times \frac{x}{45} - 180 \times \frac{x}{60} = 180 \times 1,5$
$4x - 3x = 270$
$x = 270$
Vậy độ dài quãng đường AB là 270km.

Bài 10: Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A, có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sau khi ca nô đến bến B, nó quay trở về bến A ngay và gặp bè. Khi đó, bè đã trôi được 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô.

Lời giải:
Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h). Điều kiện $x > 3$.
Vận tốc ca nô xuôi dòng là $x + 3$ (km/h).
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là $\frac{40}{x + 3}$ (giờ).
Vận tốc ca nô ngược dòng là $x - 3$ (km/h).
Khi ca nô đến B và quay về, nó gặp bè khi bè đã trôi được 8km. Điều này có nghĩa là bè đã trôi trong suốt thời gian ca nô đi xuôi và quay ngược dòng cho đến lúc gặp nhau.
Thời gian bè trôi là $\frac{8}{3}$ (giờ).
Quãng đường ca nô đi ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là $40 - 8 = 32$ km.
Thời gian ca nô đi ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là $\frac{32}{x - 3}$ (giờ).
Tổng thời gian ca nô đi từ lúc xuất phát đến lúc gặp bè là:
Thời gian ca nô xuôi dòng + Thời gian ca nô ngược dòng = Thời gian bè trôi
$\frac{40}{x + 3} + \frac{32}{x - 3} = \frac{8}{3}$
Nhân cả hai vế với $3(x+3)(x-3)$ :
$40 \times 3(x - 3) + 32 \times 3(x + 3) = 8(x + 3)(x - 3)$
$120(x - 3) + 96(x + 3) = 8(x^2 - 9)$
$120x - 360 + 96x + 288 = 8x^2 - 72$
$216x - 72 = 8x^2 - 72$
$216x = 8x^2$
Vì $x > 3$, ta có thể chia cả hai vế cho $8x$ :
$27 = x$
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 27 km/h.

Bài 11: Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 30 áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn làm thêm được 20 chiếc áo nữa. Nếu gọi thời gian xưởng làm theo kế hoạch là $x$ (ngày, $x > 3$), thì phương trình của bài toán là gì?

Lời giải:
Gọi thời gian xưởng làm theo kế hoạch là $x$ (ngày). Điều kiện $x > 3$.
Tổng số áo theo kế hoạch là $30x$ (áo).
Thời gian làm theo thực tế là $x - 3$ ngày.
Số áo làm được mỗi ngày theo thực tế là 40.
Số áo làm được trong thực tế là $40(x - 3)$ áo.
Theo đề bài, số áo thực tế làm được nhiều hơn kế hoạch là 20 áo, nên:
$40(x - 3) = 30x + 20$
Đây là phương trình của bài toán.

Bài 12: Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 30 áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn làm thêm được 20 chiếc áo nữa. Nếu số sản phẩm xưởng cần làm theo kế hoạch là $x$ (sản phẩm, $x > 0, x in mathbb{N}$ ) thì phương trình của bài toán là gì?

Lời giải:
Gọi số sản phẩm xưởng cần làm theo kế hoạch là $x$ (sản phẩm). Điều kiện $x > 0, x in mathbb{N}$ .
Thời gian dự kiến xong là $\frac{x}{30}$ (ngày).
Số sản phẩm thực tế làm được là $x + 20$ (sản phẩm).
Thời gian thực tế là $\frac{x + 20}{40}$ (ngày).
Theo đề bài, thời gian thực tế ít hơn thời gian dự kiến là 3 ngày:
$\frac{x}{30} - \frac{x + 20}{40} = 3$
Đây là phương trình của bài toán.

Bài 13: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB.

Lời giải:
Đổi 20 phút = $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ giờ.
Gọi quãng đường AB dài $x$ (km). Điều kiện $x > 0$.
Thời gian đi từ A đến B là $\frac{x}{25}$ (giờ).
Thời gian đi từ B về A là $\frac{x}{30}$ (giờ).
Theo đề bài, thời gian về ít hơn thời gian đi là $\frac{1}{3}$ giờ:
$\frac{x}{25} - \frac{x}{30} = \frac{1}{3}$
Nhân cả hai vế với BCNN(25, 30, 3) = 150:
$150 \times \frac{x}{25} - 150 \times \frac{x}{30} = 150 \times \frac{1}{3}$
$6x - 5x = 50$
$x = 50$
Vậy quãng đường AB dài 50km.

Bài 14: Một người đi xe máy từ A đến B, với vận tốc 30 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 24 km/h. Do đó thời gian về lâu hơn thời gian đi là 30 phút. Tính thời gian lúc đi.

Lời giải:
Đổi 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ.
Gọi thời gian lúc đi là $x$ (giờ). Điều kiện $x > 0$.
Quãng đường AB dài là $30x$ (km).
Thời gian người đó đi quãng đường AB lúc về là $\frac{30x}{24}$ (giờ).
Theo đề bài, thời gian về lâu hơn thời gian đi là $\frac{1}{2}$ giờ:
$\frac{30x}{24} - x = \frac{1}{2}$
$\frac{5x}{4} - x = \frac{1}{2}$
$\frac{5x - 4x}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{x}{4} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{4}{2} = 2$
Vậy thời gian lúc đi là 2 giờ.

Bài 15: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 20 phút và ngược dòng hết 2 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 3 km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô.

Lời giải:
Đổi 1 giờ 20 phút = $1 + \frac{20}{60} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ giờ.
Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ ($x > 3$, km/h).
Vận tốc khi xuôi dòng là $x + 3$ (km/h).
Vận tốc khi ngược dòng là $x - 3$ (km/h).
Vì ca nô xuôi dòng và ngược dòng trên cùng khúc sông AB nên quãng đường AB là như nhau.
Quãng đường khi xuôi dòng: $S{AB} = (x + 3) \times \frac{4}{3}$ .
Quãng đường khi ngược dòng: $S{AB} = (x - 3) \times 2$ .
Ta có phương trình:
$(x + 3) \times \frac{4}{3} = (x - 3) \times 2$
$\frac{4x + 12}{3} = 2x - 6$
$4x + 12 = 3(2x - 6)$
$4x + 12 = 6x - 18$
$6x - 4x = 12 + 18$
$2x = 30$
$x = 15$
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 15 km/h.

Bài 16: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 24 phút và ngược dòng hết 2 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 3 km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô.

Lời giải:
Đổi 1 giờ 24 phút = $1 + \frac{24}{60} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ giờ.
Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ ($x > 3$, km/h).
Vận tốc khi xuôi dòng là $x + 3$ (km/h).
Vận tốc khi ngược dòng là $x - 3$ (km/h).
Quãng đường khi xuôi dòng: $S{AB} = (x + 3) \times \frac{7}{5}$ .
Quãng đường khi ngược dòng: $S{AB} = (x - 3) \times 2$ .
Ta có phương trình:
$(x + 3) \times \frac{7}{5} = (x - 3) \times 2$
$\frac{7x + 21}{5} = 2x - 6$
$7x + 21 = 5(2x - 6)$
$7x + 21 = 10x - 30$
$10x - 7x = 21 + 30$
$3x = 51$
$x = 17$
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 17 km/h.

Bài 17: Một hình chữ nhật có chu vi 372 m. Nếu tăng chiều dài 21m và tăng chiều rộng 10m thì diện tích tăng 2862 m $^2$ . Tính chiều dài của hình chữ nhật.

Lời giải:
Nửa chu vi của hình chữ nhật là: $372 : 2 = 186$ (m).
Gọi chiều dài hình chữ nhật là $x$ (m). Điều kiện $0 < x < 186$.
Chiều rộng hình chữ nhật là $186 - x$ (m).
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: $S = x(186 - x) = 186x - x^2$ (m $^2$ ).
Sau khi thay đổi kích thước:
Chiều dài mới: $x + 21$ (m).
Chiều rộng mới: $(186 - x) + 10 = 196 - x$ (m).
Diện tích hình chữ nhật mới là: $S' = (x + 21)(196 - x) = 196x - x^2 + 4116 - 21x = 175x - x^2 + 4116$ (m $^2$ ).
Theo đề bài, diện tích mới tăng 2862 m $^2$ so với ban đầu, tức là $S' = S + 2862$ .
$175x - x^2 + 4116 = (186x - x^2) + 2862$
$175x + 4116 = 186x + 2862$
$4116 - 2862 = 186x - 175x$
$1254 = 11x$
$x = \frac{1254}{11} = 114$
Vậy chiều dài hình chữ nhật là 114m.

Bài 18: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 56m. Nếu tăng chiều dài 4m và giảm chiều rộng 2m thì diện tích tăng 8m $^2$ . Chiều dài của hình chữ nhật là bao nhiêu?

Lời giải:
Nửa chu vi của hình chữ nhật là: $56 : 2 = 28$ (m).
Gọi chiều dài hình chữ nhật là $x$ (m). Điều kiện $0 < x < 28$.
Chiều rộng hình chữ nhật là $28 - x$ (m).
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: $S = x(28 - x) = 28x - x^2$ (m $^2$ ).
Sau khi thay đổi kích thước:
Chiều dài mới: $x + 4$ (m).
Chiều rộng mới: $(28 - x) - 2 = 26 - x$ (m).
Diện tích hình chữ nhật mới là: $S' = (x + 4)(26 - x) = 26x - x^2 + 104 - 4x = 22x - x^2 + 104$ (m $^2$ ).
Theo đề bài, diện tích mới tăng 8m $^2$ , tức là $S' = S + 8$ .
$22x - x^2 + 104 = (28x - x^2) + 8$
$22x + 104 = 28x + 8$
$104 - 8 = 28x - 22x$
$96 = 6x$
$x = 16$
Vậy chiều dài hình chữ nhật là 16m.

Bài 19: Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi?

Lời giải:
Gọi tuổi của Phương năm nay là $x$ (tuổi). Điều kiện $x$ là số nguyên dương.
Tuổi của mẹ năm nay là $3x$ (tuổi).
13 năm nữa tuổi của Phương là $x + 13$ (tuổi).
13 năm nữa tuổi của mẹ Phương là $3x + 13$ (tuổi).
Theo đề bài, 13 năm nữa tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương:
$3x + 13 = 2(x + 13)$
$3x + 13 = 2x + 26$
$3x - 2x = 26 - 13$
$x = 13$
Vậy Phương năm nay 13 tuổi.

Bài 20: Một hình chữ nhật có đường chéo 10cm. Chiều rộng kém chiều dài 2cm. Tính diện tích hình chữ nhật.

Lời giải:
Giả sử hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = $x$ (cm). Điều kiện $x > 2$.
Chiều rộng BC là $x - 2$ (cm).
Độ dài đường chéo AC là 10cm. Theo định lý Pytago trong tam giác vuông ABC:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$x^2 + (x - 2)^2 = 10^2$
$x^2 + (x^2 - 4x + 4) = 100$
$2x^2 - 4x + 4 = 100$
$2x^2 - 4x - 96 = 0$
Chia cả hai vế cho 2:
$x^2 - 2x - 48 = 0$
Giải phương trình bậc hai: $(x - 8)(x + 6) = 0$ .
Ta có hai nghiệm: $x = 8$ hoặc $x = -6$ .
Do điều kiện $x > 2$, ta chọn $x = 8$ .
Vậy chiều dài hình chữ nhật là 8cm, chiều rộng là $8 - 2 = 6$ cm.
Diện tích hình chữ nhật là: $S = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} = 8 \times 6 = 48$ (cm $^2$ ).

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.