20+ Bài Tập Trắc Nghiệm Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8 (Có Đáp Án Chi Tiết)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8 là một dạng toán nền tảng, giúp học sinh phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Để thành thạo dạng toán này, việc luyện tập thường xuyên với các bài tập đa dạng là vô cùng quan trọng. Bài viết này tổng hợp các bài tập trắc nghiệm tiêu biểu về giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8, đi kèm với lời giải chi tiết, nhằm giúp các em học sinh nắm vững phương pháp và tự tin chinh phục kiến thức. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng cung cấp các kiến thức nền tảng cần thiết và phân tích yêu cầu bài toán để các em có cái nhìn tổng quan nhất.

Đề Bài

Bài 1: Số thứ nhất gấp 6 lần số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là:
A. 6x
B. \frac{x}{6}
C. x - 6
D. x + 6

Bài 2: Xe tải thứ nhất chở x tấn hàng, xe thứ hai chở gấp đôi xe thứ nhất. Số tấn hàng của xe thứ hai chở được tính theo x là:
A. 2x
B. \frac{x}{2}
C. x - 2
D. x + 2

Bài 3: Xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất 15km/h. Nếu gọi vận tốc xe thứ hai là $x$ (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là:
A. $x – 15$ (km/h)
B. 15x (km/h)
C. x + 15 (km/h)
D. $15 : x$ (km/h)

Bài 4: Xe máy và ô tô cùng đi trên một con đường, biết vận tốc của xe máy là $x$ (km/h) và mỗi giờ ô tô lại đi nhanh hơn xe máy 20km. Công thức tính vận tốc ô tô là:
A. $x – 20$ (km/h)
B. 20x (km/h)
C. $20 – x$ (km/h)
D. 20 + x (km/h)

Bài 5: Hai xe khởi hành cùng một lúc, xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 3 giờ. Nếu gọi thời gian đi của xe thứ nhất là $x$ giờ thì thời gian của xe thứ hai là:
A. $(x – 3)$ giờ
B. 3x giờ
C. $(3 – x)$ giờ
D. (x + 3) giờ

Bài 6: Một ca nô và một tàu thủy khởi hành cùng một lúc trên một con sông. Biết tàu thủy đến chậm hơn ca nô 3 giờ. Nếu gọi thời gian đi của tàu thủy là $x$ thì thời gian đi của ca nô là:
A. $x – 3$
B. 3x
C. $3 – x$
D. x + 3

Bài 7: Chu vi một mảnh vườn hình chữ nhật là 45m. Biết chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu gọi chiều rộng mảnh vườn là $x$ ($x > 0$, m) thì phương trình của bài toán là:
A. (2x + 5) \times 2 = 45
B. 2(x + (x+5)) = 45
C. 2(x + 5) = 45
D. 2(x) = 45

Bài 8: Một hình chữ nhật có chiều dài là $x$ (cm), chiều dài hơn chiều rộng 3(cm). Diện tích hình chữ nhật là 4 (cm²). Phương trình ẩn $x$ là:
A. 3x = 4
B. (x + 3) \times 3 = 4
C. x(x + 3) = 4
D. x(x – 3) = 4

Bài 9: Một người đi xe máy từ A đến B, với vận tốc 30 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 24 km/h. Do đó thời gian về lâu hơn thời gian đi là 30 phút. Hãy chọn phương trình đúng. Nếu gọi quãng đường AB là $x$ (km, $x > 0$) thì phương trình của bài toán là:

A. \frac{x}{24} - \frac{x}{30} = \frac{1}{2}
B. \frac{x}{30} - \frac{x}{24} = \frac{1}{2}
C. \frac{x}{24} + \frac{x}{30} = \frac{1}{2}
D. \frac{x}{30} + \frac{x}{24} = \frac{1}{2}

Bài 10: Một người đi xe máy từ A đến B, với vận tốc 30 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 24 km/h. Do đó thời gian về lâu hơn thời gian đi là 30 phút. Hãy chọn phương trình đúng. Nếu gọi thời gian lúc đi là $x$ (giờ, $x > 0$) thì phương trình của bài toán là:

A. \frac{30x}{24} - x = \frac{1}{2}
B. x - \frac{30x}{24} = \frac{1}{2}
C. \frac{30x}{24} + x = \frac{1}{2}
D. x + \frac{30x}{24} = \frac{1}{2}

Bài 11: Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 30 áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn làm thêm được 20 chiếc áo nữa. Hãy chọn phương trình đúng. Nếu gọi thời gian xưởng làm theo kế hoạch là $x$ (ngày, $x > 3$) thì phương trình của bài toán là:
A. 40x = 30(x – 3) – 20
B. 40x = 30(x – 3) + 20
C. 30x = 40(x – 3) + 20
D. 30x = 40(x – 3) – 20

Bài 12: Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 30 áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn làm thêm được 20 chiếc áo nữa. Hãy chọn phương trình đúng. Nếu số sản phẩm xưởng cần làm theo kế hoạch là $x$ (sản phẩm, $x > 0$, x in mathbb{N}) thì phương trình của bài toán là:

A. \frac{x}{40} = \frac{x}{30} - 3 + \frac{20}{40}
B. \frac{x+20}{40} = \frac{x}{30} - 3
C. \frac{x}{40} = \frac{x}{30} + 3
D. \frac{x+20}{40} = \frac{x}{30} + 3

Bài 13: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB?
A. 40 km
B. 70 km
C. 50 km
D. 60 km

Bài 14: Một người đi xe máy từ A đến B, với vận tốc 30 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 24 km/h. Do đó thời gian về lâu hơn thời gian đi là 30 phút. Thời gian lúc đi là:
A. 1 giờ
B. 2 giờ
C. 1,5 giờ
D. 2,5 giờ

Bài 15: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 20 phút và ngược dòng hết 2 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 3 km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô?
A. 16 km/h
B. 18 km/h
C. 20 km/h
D. 15 km/h

Bài 16: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 24 phút và ngược dòng hết 2 giờ. Biết vận tốc dòng nước là 3 km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô?
A. 16 km/h
B. 18 km/h
C. 17 km/h
D. 15 km/h

Bài 17: Một hình chữ nhật có chu vi 372 m. Nếu tăng chiều dài 21m và tăng chiều rộng 10m thì diện tích tăng 2862m². Chiều dài của hình chữ nhật là:
A. 132m
B. 124m
C. 228m
D. 114m

Bài 18: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 56m. Nếu tăng chiều dài 4m và giảm chiều rộng 2m thì diện tích tăng 8m². Chiều dài của hình chữ nhật là:
A. 16m
B. 18m
C. 15m
D. 32m

Bài 19: Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi?
A. 13 tuổi
B. 14 tuổi
C. 15 tuổi
D. 16 tuổi

Bài 20: Hình chữ nhật có đường chéo 10cm. Chiều rộng kém chiều dài 2cm. Diện tích hình chữ nhật là:
A. 24cm²
B. 36cm²
C. 48cm²
D. 64cm²

Bài 21: Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định 10 km/h và đi với nửa sau kém hơn dự định 6 km/h. Biết ô tô đến đúng dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường AB?
A. 3 giờ
B. 6 giờ
C. 5 giờ
D. 4 giờ

Bài 22: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô từ B đến với vận tốc 50 km/h. Ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở về B và gặp người đi xe máy cách B là 20km. Quãng đường AB dài là:
A. 120km
B. 150km
C. 160km
D. 180km

Bài 23: Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất 50 sản phẩm. Khi thực hiện tổ đã sản xuất được 57 sản phẩm một ngày. Do đó hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
A. 550
B. 400
C. 600
D. 500

Bài 24: Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt được 30 áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn làm thêm được 20 chiếc áo nữa. Số sản phẩm thực tế làm được là:
A. 420
B. 440
C. 500
D. 450

Bài 25: Một công việc được giao cho hai người. Người thứ nhất có thể làm xong công việc một mình trong 24 giờ. Lúc đầu, người thứ nhất làm một mình và sau \frac{2}{3} giờ người thứ hai cùng làm. Hai người làm chung trong \frac{16}{9} giờ thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì người thứ hai cần bao lâu để hoàn thành công việc.
A. 19 giờ
B. 21 giờ
C. 22 giờ
D. 20 giờ

Bài 26: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì bể sẽ đầy trong 3 giờ 20 phút. Người ta cho vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được \frac{4}{5} bể. Thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là:
A. 10 giờ
B. 6 giờ
C. 8 giờ
D. 5 giờ

Bài 27: Một đội máy cày dự định cày 40 ha ruộng 1 ngày. Do dự cố gắng, đội đã cày được 52 ha mỗi ngày. Vì vậy, chẳng những đội đã hoàn thành sớm hơn 2 ngày mà còn cày vượt mức được 4 ha nữa. Tính diện tích ruộng đội phải cày theo dự định.
A. 300 ha
B. 630 ha
C. 420 ha
D. 360 ha

Bài 28: Một đội thợ mỏ theo kế hoạch mỗi ngày phải khai thác 50m³ than. Do siêng năng làm việc nên trên thực tế mỗi ngày đội khai thác được 57m³ than. Vì vậy không những đã xong trước thời hạn 1 ngày mà còn vượt mức 13m³ than. Theo kế hoạch, đội phải khai thác số m³ than là:
A. 500m³
B. 513m³
C. 487m³
D. 513m³

Bài 29: Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may được 800 chiếc áo. Tháng Hai, tổ 1 vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% do đó cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo. Tính xem trong tháng đầu, tổ 1 may được bao nhiêu chiếc áo?
A. 300
B. 500
C. 400
D. 600

Bài 30: Trong tháng Giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Tháng Hai, tổ 1 vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng Giêng, tổ 2 sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
A. 360
B. 490
C. 420
D. 350

Bài 31: Lúc 7 giờ một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 30 km/h. Sau đó một giờ, người thứ hai cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 45 km/h. Hỏi đến mấy giờ người thứ hai mới đuổi kịp người thứ nhất?
A. 7 giờ
B. 8 giờ
C. 10 giờ
D. 9 giờ

Bài 32: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 150 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 15 km/h thì bằng 2 lần vận tốc ô tô B. Vận tốc ô tô B là:
A. 30 km/h
B. 36 km/h
C. 45 km/h
D. 25 km/h

Bài 33: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 1 vào đằng trước ta được số A có năm chữ số, nếu viết thêm chữ số 4 vào đằng sau ta được số B có năm chữ số, trong đó B gấp 4 lần A.
A. 6789
B. 6666
C. 6699
D. 9999

Bài 34: Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10. Nếu đổi chỗ hai chữ số này cho nhau thì ta thu được số mới nhỏ hơn số cũ là 18 đơn vị. Tổng các chữ số đã cho là:
A. 9
B. 8
C. 6
D. 10

Phân Tích Yêu Cầu Bài Toán

Dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình thường xoay quanh các chủ đề quen thuộc như:

• Quan hệ tỉ lệ: Số thứ nhất gấp, kém số thứ hai bao nhiêu lần, bao nhiêu đơn vị.
• Vận tốc – Thời gian – Quãng đường: Xe cộ đi lại, ca nô xuôi ngược dòng.
• Hình học: Chu vi, diện tích hình chữ nhật, hình vuông.
• Tăng/Giảm năng suất: Xưởng sản xuất, đội thợ, máy cày.
• Tăng/Giảm phần trăm: Bài toán về lãi, lỗ, hoặc sự thay đổi của sản lượng.
• Tuổi tác: Mối quan hệ tuổi tác giữa hai hay nhiều người tại các thời điểm khác nhau.
• Bể chứa nước: Thời gian hai vòi cùng chảy hoặc chảy riêng lẻ.
• Công việc: Thời gian hoàn thành công việc khi làm chung hoặc làm riêng.
• Số có hai chữ số: Liên quan đến chữ số hàng đơn vị, hàng chục và giá trị của số đó.

Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần:

1. Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu, dữ kiện đề bài cho và cần tìm.
2. Chọn ẩn: Xác định đại lượng cần tìm và đặt ẩn (thường là $x$ hoặc các chữ cái khác). Cần lưu ý điều kiện của ẩn (ví dụ: $x > 0$ cho đại lượng vật lý, $x$ nguyên dương cho số người/tuổi tác).
3. Biểu diễn các đại lượng khác: Dựa vào mối quan hệ đã cho trong đề bài để biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn.
4. Lập phương trình: Dựa vào một mối quan hệ chưa dùng hoặc tổng hợp các mối quan hệ để thiết lập một phương trình chứa ẩn.
5. Giải phương trình: Tìm giá trị của ẩn.
6. Kiểm tra điều kiện và trả lời: So sánh nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn và yêu cầu của bài toán để đưa ra câu trả lời chính xác.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Đại lượng tỉ lệ:

   • Nếu đại lượng thứ nhất gấp $k$ lần đại lượng thứ hai, thì đại lượng thứ hai bằng \frac{1}{k} lần đại lượng thứ nhất.
   • Nếu đại lượng thứ nhất kém đại lượng thứ hai $d$ đơn vị, thì đại lượng thứ nhất bằng đại lượng thứ hai trừ đi $d$.

2. Quan hệ Vận tốc – Thời gian – Quãng đường:

   • Quãng đường = Vận tốc $times$ Thời gian (s = v \times t)
   • Vận tốc = Quãng đường / Thời gian (v = s / t)
   • Thời gian = Quãng đường / Vận tốc (t = s / v)
   • Khi hai vật đi ngược chiều và gặp nhau: Tổng quãng đường = Tổng vận tốc $times$ Thời gian gặp nhau.
   • Khi hai vật đi cùng chiều và đuổi kịp nhau: Hiệu quãng đường = Hiệu vận tốc $times$ Thời gian đuổi kịp nhau.
   • Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc riêng của vật + Vận tốc dòng nước.
   • Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng của vật – Vận tốc dòng nước.

3. Hình học:

   • Chu vi hình chữ nhật: P = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng})
   • Diện tích hình chữ nhật: S = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng}
   • Định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông: Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông (a^2 + b^2 = c^2).

4. Năng suất lao động/Tốc độ hoàn thành công việc:

   • Năng suất = Lượng công việc / Thời gian thực hiện.
   • Khi làm chung, năng suất chung bằng tổng các năng suất riêng. Nếu công việc là 1 đơn vị, thì thời gian hoàn thành công việc khi làm chung t_{chung} được tính bởi: \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t<em>2} + ... = \frac{1}{t</em>{chung}} (với t_1, t_2, ... là thời gian hoàn thành một mình).

5. Tăng/Giảm phần trăm:

   • Tăng p% nghĩa là nhân với (1 + \frac{p}{100}).
   • Giảm p% nghĩa là nhân với (1 - \frac{p}{100}).

6. Số có hai chữ số:

   • Một số có hai chữ số, với chữ số hàng chục là $a$ và chữ số hàng đơn vị là $b$, có giá trị là 10a + b.
   • Nếu đổi chỗ hai chữ số, ta được số mới có giá trị là 10b + a.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết cho một số bài tập tiêu biểu, áp dụng các nguyên tắc trên:

Bài 1: Quan hệ tỉ lệ đơn giản

• Phân tích: Đề bài cho biết mối quan hệ giữa hai số (số thứ nhất gấp 6 lần số thứ hai) và yêu cầu biểu diễn số thứ hai theo số thứ nhất đã cho là $x$.
• Kiến thức: Quan hệ tỉ lệ.
• Giải:
  • Gọi số thứ nhất là $x$.
  • Theo đề bài, số thứ nhất gấp 6 lần số thứ hai, nghĩa là: x = 6 \times (\text{số thứ hai}).
  • Suy ra, số thứ hai bằng \frac{1}{6} lần số thứ nhất: Số thứ hai = \frac{x}{6}.
• Mẹo kiểm tra: Nếu số thứ hai là \frac{x}{6}, thì số thứ nhất (gấp 6 lần) là 6 \times \frac{x}{6} = x. Đúng với đề bài.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa số thứ nhất và số thứ hai, hoặc nhầm lẫn phép nhân và phép chia.
• Đáp án: B

Bài 3: Quan hệ vận tốc

• Phân tích: Đề bài cho biết mối quan hệ về vận tốc giữa hai xe (xe thứ hai chậm hơn xe thứ nhất 15 km/h) và yêu cầu biểu diễn vận tốc xe thứ nhất khi biết vận tốc xe thứ hai là $x$.
• Kiến thức: So sánh hơn kém.
• Giải:
  • Gọi vận tốc xe thứ hai là $x$ (km/h).
  • Xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất 15 km/h nghĩa là vận tốc xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai 15 km/h.
  • Vậy, vận tốc xe thứ nhất là x + 15 (km/h).
• Mẹo kiểm tra: Nếu vận tốc xe thứ nhất là x+15 và xe thứ hai là $x$, thì xe thứ hai chậm hơn xe thứ nhất (x+15) - x = 15 km/h. Đúng với đề bài.
• Lỗi hay gặp: Đặt sai biểu thức cho đại lượng lớn hơn hoặc nhỏ hơn.
• Đáp án: C

Bài 7: Chu vi hình chữ nhật

• Phân tích: Đề bài cho chu vi hình chữ nhật và mối quan hệ giữa chiều dài và chiều rộng. Yêu cầu lập phương trình dựa trên ẩn là chiều rộng $x$.
• Kiến thức: Chu vi hình chữ nhật, quan hệ hơn kém.
• Giải:
  • Gọi chiều rộng mảnh vườn là $x$ (m). Điều kiện $x > 0$.
  • Chiều dài hơn chiều rộng 5m, nên chiều dài là x + 5 (m).
  • Chu vi hình chữ nhật được tính bằng công thức: P = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng}).
  • Thay các giá trị vào công thức, ta có phương trình: 45 = 2 \times ((x + 5) + x).
  • Rút gọn: 45 = 2 \times (2x + 5).
• Mẹo kiểm tra: Nếu chiều rộng là $x$ và chiều dài là x+5, chu vi là 2(x + x+5) = 2(2x+5). Đúng với đề bài.
• Lỗi hay gặp: Quên nhân 2 cho chu vi, hoặc biểu diễn sai chiều dài/chiều rộng.
• Đáp án: A (Lưu ý: Lời giải gốc có một chút nhầm lẫn trong các lựa chọn, nhưng phương án A là đúng với cách thiết lập ban đầu.)

Bài 9: Vận tốc – Thời gian – Quãng đường (biểu diễn quãng đường)

• Phân tích: Đề bài cho biết quãng đường, vận tốc đi và vận tốc về, cùng với sự chênh lệch thời gian. Yêu cầu lập phương trình theo ẩn là quãng đường $x$.
• Kiến thức: Công thức t = s/v.
• Giải:
  • Gọi quãng đường AB là $x$ (km, $x > 0$).
  • Vận tốc lúc đi là 30 km/h. Thời gian lúc đi là t_{đi} = \frac{x}{30} (giờ).
  • Vận tốc lúc về là 24 km/h. Thời gian lúc về là t_{về} = \frac{x}{24} (giờ).
  • Thời gian về lâu hơn thời gian đi 30 phút. Đổi 30 phút = \frac{1}{2} giờ.
  • Do thời gian về lâu hơn, nên t<em>{về} > t</em>{đi}. Ta có phương trình: t<em>{về} - t</em>{đi} = \frac{1}{2}.
  • Thay biểu thức vào: \frac{x}{24} - \frac{x}{30} = \frac{1}{2}.
• Mẹo kiểm tra: Nếu \frac{x}{24} - \frac{x}{30} = \frac{1}{2} là đúng, thì ta sẽ tìm được $x$, sau đó tính t<em>{đi} và t</em>{về} để kiểm tra.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn t<em>{về} và t</em>{đi}, hoặc quên đổi đơn vị thời gian.
• Đáp án: A

Bài 10: Vận tốc – Thời gian – Quãng đường (biểu diễn thời gian)

• Phân tích: Đề bài tương tự bài 9 nhưng yêu cầu lập phương trình theo ẩn là thời gian lúc đi $x$.
• Kiến thức: Công thức s = v \times t.
• Giải:
  • Gọi thời gian lúc đi là $x$ (giờ, $x > 0$).
  • Vận tốc lúc đi là 30 km/h. Quãng đường AB là s = v<em>{đi} \times t</em>{đi} = 30x (km).
  • Vận tốc lúc về là 24 km/h.
  • Thời gian lúc về là t<em>{về} = \frac{s}{v</em>{về}} = \frac{30x}{24} (giờ).
  • Thời gian về lâu hơn thời gian đi 30 phút ( \frac{1}{2} giờ). Do t<em>{về} > t</em>{đi}.
  • Phương trình là: t<em>{về} - t</em>{đi} = \frac{1}{2} (hoặc có thể biểu diễn t<em>{về} = t</em>{đi} + \frac{1}{2}).
  • Thay biểu thức vào: \frac{30x}{24} = x + \frac{1}{2}.
• Mẹo kiểm tra: Biểu thức \frac{30x}{24} có thể rút gọn thành \frac{5x}{4}. Phương trình trở thành \frac{5x}{4} = x + \frac{1}{2}.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn mối quan hệ giữa thời gian về và thời gian đi, quên đổi đơn vị.
• Đáp án: A

Bài 15: Vận tốc xuôi ngược dòng

• Phân tích: Bài toán về ca nô xuôi và ngược dòng, có cho vận tốc dòng nước và mối quan hệ về thời gian. Yêu cầu tính vận tốc riêng của ca nô.
• Kiến thức: Vận tốc xuôi dòng, ngược dòng.
• Giải:
  • Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h). Điều kiện $x > 3$ (vì vận tốc ngược dòng phải dương).
  • Vận tốc dòng nước là 3 km/h.
  • Vận tốc xuôi dòng: v_{xuôi} = x + 3 (km/h).
  • Vận tốc ngược dòng: v_{ngược} = x - 3 (km/h).
  • Thời gian xuôi dòng là 1 giờ 20 phút. Đổi: 1 giờ 20 phút = 1 + \frac{20}{60} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} giờ.
  • Thời gian ngược dòng là 2 giờ.
  • Quãng đường AB đi xuôi dòng và ngược dòng là như nhau. Ta có: s = v<em>{xuôi} \times t</em>{xuôi} = v<em>{ngược} \times t</em>{ngược}.
  • (x + 3) \times \frac{4}{3} = (x - 3) \times 2.
  • \frac{4x}{3} + 4 = 2x - 6.
  • 4x + 12 = 6x - 18.
  • 2x = 30 implies x = 15.
• Mẹo kiểm tra: Vận tốc riêng là 15 km/h. Vận tốc xuôi là 15+3=18 km/h. Vận tốc ngược là 15-3=12 km/h.
  • Thời gian xuôi: \frac{4}{3} giờ. Quãng đường: 18 \times \frac{4}{3} = 6 \times 4 = 24 km.
  • Thời gian ngược: 2 giờ. Quãng đường: 12 \times 2 = 24 km.
  • Quãng đường hai chiều bằng nhau. Đúng.
• Lỗi hay gặp: Đổi đơn vị thời gian sai, thiết lập phương trình sai (ví dụ: \frac{4}{3} v<em>{xuôi} = 2 v</em>{ngược}), điều kiện của ẩn.
• Đáp án: D

Bài 17: Bài toán hình chữ nhật thay đổi kích thước

• Phân tích: Đề bài cho chu vi ban đầu và sự thay đổi của chiều dài, chiều rộng, dẫn đến sự thay đổi diện tích. Yêu cầu tìm chiều dài ban đầu.
• Kiến thức: Chu vi, diện tích hình chữ nhật, quan hệ hơn kém.
• Giải:
  • Nửa chu vi ban đầu: \frac{372}{2} = 186 (m).
  • Gọi chiều dài ban đầu là $x$ (m). Điều kiện $0 < x < 186$.
  • Chiều rộng ban đầu là 186 - x (m).
  • Diện tích ban đầu: S_1 = x(186 - x) = 186x - x^2 (m²).
  • Chiều dài mới: x + 21 (m).
  • Chiều rộng mới: (186 - x) + 10 = 196 - x (m).
  • Diện tích mới: S_2 = (x + 21)(196 - x) = 196x - x^2 + 4116 - 21x = 175x - x^2 + 4116 (m²).
  • Theo đề bài, diện tích tăng 2862m², nên S_2 = S_1 + 2862.
  • 175x - x^2 + 4116 = (186x - x^2) + 2862.
  • 175x + 4116 = 186x + 2862.
  • 4116 - 2862 = 186x - 175x.
  • 1254 = 11x.
  • x = \frac{1254}{11} = 114.
• Kiểm tra điều kiện: $0 < 114 < 186$. Thỏa mãn.
• Mẹo kiểm tra: Chiều dài là 114m, chiều rộng là 186 - 114 = 72m. Diện tích ban đầu: 114 \times 72 = 8208 m².
  • Chiều dài mới: 114 + 21 = 135m. Chiều rộng mới: 72 + 10 = 82m.
  • Diện tích mới: 135 \times 82 = 11070 m².
  • Diện tích tăng: 11070 - 8208 = 2862 m². Đúng với đề bài.
• Lỗi hay gặp: Tính toán sai khi khai triển biểu thức, sai trong việc thiết lập mối quan hệ giữa diện tích mới và cũ.
• Đáp án: D

Bài 19: Bài toán Tuổi tác

• Phân tích: Đề bài cho mối quan hệ tuổi tác giữa hai người ở hiện tại và một thời điểm trong tương lai. Yêu cầu tìm tuổi hiện tại của một người.
• Kiến thức: Biểu diễn tuổi ở các thời điểm khác nhau.
• Giải:
  • Gọi tuổi của Phương năm nay là $x$ (tuổi). Điều kiện: $x$ nguyên dương.
  • Tuổi mẹ năm nay gấp 3 lần tuổi Phương, nên tuổi mẹ là 3x (tuổi).
  • 13 năm nữa:
    • Tuổi Phương sẽ là: x + 13 (tuổi).
    • Tuổi mẹ sẽ là: 3x + 13 (tuổi).
  • Theo đề bài, 13 năm nữa tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương:
    • 3x + 13 = 2 \times (x + 13).
  • Giải phương trình:
    • 3x + 13 = 2x + 26.
    • 3x - 2x = 26 - 13.
    • x = 13.
• Kiểm tra điều kiện: x = 13 là số nguyên dương, thỏa mãn.
• Mẹo kiểm tra: Năm nay Phương 13 tuổi, mẹ 39 tuổi. 13 năm nữa: Phương 13+13=26 tuổi, mẹ 39+13=52 tuổi. Tuổi mẹ 52 = 2 \times 26, gấp đôi tuổi Phương. Đúng.
• Lỗi hay gặp: Lập sai biểu thức tuổi ở thời điểm tương lai, hoặc nhầm lẫn mối quan hệ gấp bao nhiêu lần.
• Đáp án: A

Bài 25: Bài toán công việc

• Phân tích: Hai người cùng làm một công việc, có thông tin về thời gian hoàn thành khi làm chung và khi một người làm riêng. Yêu cầu tìm thời gian người kia làm một mình.
• Kiến thức: Năng suất lao động.
• Giải:
  • Gọi thời gian người thứ hai làm một mình để xong công việc là $x$ (giờ). Điều kiện: x > \frac{16}{9} (hoặc $x > 0$).
  • Người thứ nhất làm xong một mình trong 24 giờ. Năng suất của người thứ nhất là \frac{1}{24} (công việc/giờ).
  • Năng suất của người thứ hai là \frac{1}{x} (công việc/giờ).
  • Năng suất chung của hai người là: \frac{1}{24} + \frac{1}{x} (công việc/giờ).
  • Thời gian hai người làm chung để hoàn thành công việc là \frac{16}{9} giờ.
  • Khối lượng công việc chung = Năng suất chung $times$ Thời gian chung.
  • 1 = (\frac{1}{24} + \frac{1}{x}) \times \frac{16}{9}.
  • \frac{9}{16} = \frac{1}{24} + \frac{1}{x}.
  • \frac{1}{x} = \frac{9}{16} - \frac{1}{24}.
  • Quy đồng mẫu số (Bội chung nhỏ nhất của 16 và 24 là 48):
    • \frac{1}{x} = \frac{9 \times 3}{16 \times 3} - \frac{1 \times 2}{24 \times 2} = \frac{27}{48} - \frac{2}{48} = \frac{25}{48}.
  • x = \frac{48}{25}.
  • Kiểm tra lại đề bài và lời giải gốc: Có vẻ có sự sai sót trong đề gốc hoặc cách giải gốc vì x = \frac{48}{25} giờ (tương đương khoảng 1.92 giờ) không khớp với các đáp án có sẵn.
  • Xem xét lại đề bài: “Lúc đầu, người thứ nhất làm một mình và sau 2/3 giờ người thứ hai cùng làm. Hai người làm chung trong 16/9 giờ“.
  • Ta cần làm lại theo đúng đề này.
  • Người thứ nhất làm 1 mình trong \frac{2}{3} giờ. Khối lượng công việc người thứ nhất làm được là: \frac{1}{24} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36} (công việc).
  • Phần công việc còn lại là: 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} (công việc).
  • Phần công việc còn lại này được hai người làm chung trong \frac{16}{9} giờ.
  • Năng suất chung của hai người là: \frac{\text{Công việc còn lại}}{\text{Thời gian làm chung}} = \frac{35/36}{16/9} = \frac{35}{36} \times \frac{9}{16} = \frac{35}{4 \times 16} = \frac{35}{64} (công việc/giờ).
  • Ta có năng suất chung = Năng suất người 1 + Năng suất người 2.
  • \frac{35}{64} = \frac{1}{24} + \frac{1}{x}.
  • \frac{1}{x} = \frac{35}{64} - \frac{1}{24}.
  • Quy đồng mẫu số (BCNN của 64 và 24 là 192):
    • \frac{1}{x} = \frac{35 \times 3}{64 \times 3} - \frac{1 \times 8}{24 \times 8} = \frac{105}{192} - \frac{8}{192} = \frac{97}{192}.
  • x = \frac{192}{97} (giờ).
  • Kết quả này vẫn không khớp với đáp án nào trong các lựa chọn: A. 19, B. 21, C. 22, D. 20.
  • Giả định: Có thể đề bài gốc có sự nhầm lẫn trong số liệu. Nếu ta dùng công thức chuẩn cho bài toán hai vòi chảy vào bể hoặc hai người làm việc:
    • Nếu t_1 là thời gian người 1 làm một mình, t_2 là thời gian người 2 làm một mình.
    • Giả sử người 1 làm t<em>{1m} giờ một mình, sau đó hai người làm chung t</em>{ch} giờ thì xong.
    • \frac{t_{1m}}{t<em>1} + \frac{t</em>{1m} + t_{ch}}{t<em>2} = 1 hoặc \frac{t</em>{1m}}{t<em>1} + \frac{t</em>{ch}}{t_2} = 1 (tùy cách diễn đạt).
    • Với đề bài gốc “Lúc đầu, người thứ nhất làm một mình và sau 2/3 giờ người thứ hai cùng làm. Hai người làm chung trong 16/9 giờ thì hoàn thành công việc.”, ta hiểu là người thứ nhất làm 2/3 giờ một mình, sau đó hai người cùng làm tiếp 16/9 giờ. Tổng thời gian người thứ nhất làm là 2/3 + 16/9 = 6/9 + 16/9 = 22/9 giờ.
    • Phương trình là: \frac{22/9}{24} + \frac{16/9}{x} = 1.
    • \frac{22}{9 \times 24} + \frac{16}{9x} = 1.
    • \frac{11}{9 \times 12} + \frac{16}{9x} = 1.
    • \frac{11}{108} + \frac{16}{9x} = 1.
    • \frac{16}{9x} = 1 - \frac{11}{108} = \frac{108 - 11}{108} = \frac{97}{108}.
    • 16 \times 108 = 9 \times 97 \times x.
    • 1728 = 873x.
    • x = \frac{1728}{873} \approx 1.979. Vẫn không khớp.
  • Phân tích lại lời giải gốc của bài 25: Lời giải gốc đưa ra phương trình:Trắc nghiệm Giải bài toán bằng cách lập phương trình có đáp ánĐây là phương trình \frac{24}{x} = \frac{16}{9} - \frac{2}{3}.
    \frac{24}{x} = \frac{16}{9} - \frac{6}{9} = \frac{10}{9}.
    x = \frac{24 \times 9}{10} = \frac{216}{10} = 21.6. Vẫn không khớp với đáp án C (22).
  • Xem xét lại cách hiểu: Có thể bài toán là: Người 1 làm 2/3 giờ. Sau đó, người 2 bắt đầu làm. Hai người làm chung cho đến khi hoàn thành công việc, tổng thời gian là 16/9 giờ. Vậy thời gian hai người làm chung là (16/9) - (2/3) = 16/9 - 6/9 = 10/9 giờ.
    • Phương trình: \frac{2}{3} \times \frac{1}{24} + \frac{10}{9} \times (\frac{1}{24} + \frac{1}{x}) = 1.
    • \frac{1}{36} + \frac{10}{9 \times 24} + \frac{10}{9x} = 1.
    • \frac{1}{36} + \frac{5}{9 \times 12} + \frac{10}{9x} = 1.
    • \frac{1}{36} + \frac{5}{108} + \frac{10}{9x} = 1.
    • \frac{3}{108} + \frac{5}{108} + \frac{10}{9x} = 1.
    • \frac{8}{108} + \frac{10}{9x} = 1.
    • \frac{2}{27} + \frac{10}{9x} = 1.
    • \frac{10}{9x} = 1 - \frac{2}{27} = \frac{25}{27}.
    • 10 \times 27 = 25 \times 9x.
    • 270 = 225x.
    • x = \frac{270}{225} = \frac{54}{45} = \frac{6}{5} = 1.2. Vẫn không khớp.
  • Kết luận về bài 25: Đề bài gốc có thể có sai sót về số liệu hoặc cách trình bày không rõ ràng, dẫn đến việc không khớp với đáp án. Tuy nhiên, nếu dựa vào đáp án C (22 giờ), ta thử kiểm tra lại phương trình của lời giải gốc:
    Nếu x=22, phương trình trong lời giải gốc là \frac{24}{22} = \frac{16}{9} - \frac{2}{3}.
    \frac{12}{11} = \frac{10}{9}. 12 \times 9 = 10 \times 11 implies 108 = 110. Gần đúng nhưng sai.
    Có thể đáp án C là đúng với một biến thể khác của bài toán. Giả sử đáp án 22 giờ là đúng.
  • Giả định đáp án C là đúng: Nếu x=22 giờ.
  • Đáp án (giả định): C

Bài 31: Bài toán đuổi kịp

• Phân tích: Hai người đi cùng chiều từ một điểm, người thứ hai xuất phát sau nhưng đi nhanh hơn. Yêu cầu tìm thời điểm người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất.
• Kiến thức: Quãng đường bằng nhau khi gặp nhau, quan hệ vận tốc, thời gian.
• Giải:
  • Gọi thời gian người thứ nhất đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là $x$ (giờ). Điều kiện $x > 1$.
  • Người thứ nhất khởi hành lúc 7 giờ với vận tốc 30 km/h.
  • Người thứ hai khởi hành sau 1 giờ (lúc 8 giờ) với vận tốc 45 km/h.
  • Thời gian người thứ hai đi đến lúc gặp nhau là x - 1 (giờ).
  • Khi gặp nhau, hai người đi được quãng đường bằng nhau.
  • Quãng đường người thứ nhất đi được: s_1 = 30x (km).
  • Quãng đường người thứ hai đi được: s_2 = 45(x - 1) (km).
  • s_1 = s_2 implies 30x = 45(x - 1).
  • 30x = 45x - 45.
  • 45 = 45x - 30x.
  • 45 = 15x.
  • x = \frac{45}{15} = 3 (giờ).
• Kiểm tra điều kiện: x = 3 > 1. Thỏa mãn.
• Trả lời: Thời gian người thứ nhất đi là 3 giờ. Người thứ nhất khởi hành lúc 7 giờ, vậy họ gặp nhau lúc 7 + 3 = 10 giờ.
• Mẹo kiểm tra: Người thứ nhất đi 3 giờ, quãng đường 30 \times 3 = 90 km. Người thứ hai đi 3 - 1 = 2 giờ, quãng đường 45 \times 2 = 90 km. Hai quãng đường bằng nhau.
• Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn thời gian xuất phát và thời gian di chuyển, hoặc sai biểu thức thời gian của người thứ hai.
• Đáp án: C

Đáp Án/Kết Quả

Dưới đây là tổng hợp đáp án cho các bài tập trên:

• Bài 1: B
• Bài 2: A
• Bài 3: C
• Bài 4: D
• Bài 5: D
• Bài 6: A
• Bài 7: A
• Bài 8: D
• Bài 9: A
• Bài 10: A
• Bài 11: D
• Bài 12: B
• Bài 13: C
• Bài 14: B
• Bài 15: D
• Bài 16: C
• Bài 17: D
• Bài 18: A
• Bài 19: A
• Bài 20: C
• Bài 21: D
• Bài 22: C
• Bài 23: D
• Bài 24: B
• Bài 25: C (Lưu ý: Có thể có sai sót trong đề gốc hoặc đáp án của bài này)
• Bài 26: D
• Bài 27: D
• Bài 28: A
• Bài 29: A
• Bài 30: C
• Bài 31: C
• Bài 32: A
• Bài 33: B
• Bài 34: C

Việc làm chủ kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8 sẽ mở ra cánh cửa để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn ở các cấp học sau. Hãy ghi nhớ các bước làm, nắm vững các công thức và phương pháp cơ bản, đồng thời luyện tập thường xuyên với các dạng bài khác nhau để đạt kết quả tốt nhất.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.