Tổng Quan Lý Thuyết Và Bài Tập Giải Bất Phương Trình Bậc 2 Lớp 10 Chi Tiết

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Giới Thiệu Chung Về Bất Phương Trình Bậc 2

Giải toán bất phương trình bậc 2 là một chủ đề quan trọng trong chương trình Đại số lớp 10. Đây là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Bài viết này cung cấp kiến thức lý thuyết đầy đủ và chi tiết các dạng bài tập thường gặp, giúp học sinh nắm vững cách giải một cách hiệu quả. Chúng ta sẽ đi sâu vào định nghĩa, phương pháp xét dấu tam thức bậc hai và các phương pháp giải cho từng dạng bài tập cụ thể.

Đề Bài

<?xml encoding=”utf-8″ ?><?xml encoding=”utf-8″ ?>

1. Tổng ôn lý thuyết bất phương trình bậc 2

1.1. Định nghĩa bất phương trình bậc 2

Bất phương trình bậc 2 ẩn x có dạng tổng quát là $ax^2+bx+c<0[/katex] (hoặc [katex]ax^2+bx+c>0$ ), trong đó $a,b,c$ là những số thực cho trước, với $a \ne 0$ .

Ví dụ về bất phương trình bậc 2: $2x^2-3x+1<0[/katex], [katex]-x^2+5x-6>0$ , v.v.

Giải bất phương trình bậc 2 $ax^2+bx+c<0[/katex] thực chất chính là quá trình tìm các khoảng thoả mãn [katex]f(x)=ax^2+bx+c[/katex] cùng dấu với a (nếu bất phương trình là [katex]ax^2+bx+c>0$ và $a<0[/katex]) hoặc trái dấu với a (nếu bất phương trình là [katex]ax^2+bx+c<0[/katex] và [katex]a>0$ ).

1.2. Tam thức bậc hai – dấu của tam thức bậc hai

Ta có định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau:

Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^2+bx+c$ với $a \ne 0$ và biệt thức $\Delta = b^2-4ac$ .

Nếu $\Delta < 0[/katex] thì [katex]f(x)[/katex] luôn cùng dấu với hệ số a (với mọi [katex]x in mathbb{R}[/katex]).</li> <li>Nếu [katex]\Delta = 0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số a (trừ trường hợp $x = -b/2a$ , khi đó $f(x)=0$ ).

Nếu

\Delta > 0

thì

f(x)

luôn cùng dấu với hệ số a khi

x < x_1[/katex] hoặc [katex]x > x_2

; trái dấu với hệ số a khi

x_1 < x < x_2[/katex], trong đó [katex]x_1[/katex] và [katex]x_2[/katex] là 2 nghiệm của phương trình [katex]ax^2+bx+c=0[/katex] với [katex]x_1 < x_2[/katex].</li> </ul> <p>Bảng xét dấu của tam thức bậc 2:</p> <p><img src="https://dehocsinhgioi.com/wp-content/uploads/2026/01/seqlharac7mbpop7hgnuju-vec1llvpunnepwnlhjslld4tex7iw-aopwymuo6er9ckosaofbxjqfugkeuhbadbxuv8tnew-wrbfr3tzmbgnjte7pmti6nllvvah2j0cnvpwgbp2tpiikquorkdc4.webp" alt="bảng xét dấu tam thức bậc hai bất phương trình bậc 2" width="464" height="253" /><em class="cap-ai">bảng xét dấu tam thức bậc hai bất phương trình bậc 2</em></p> <p>Nhận xét: Bảng xét dấu này giúp chúng ta xác định miền nghiệm của bất phương trình một cách trực quan.</p> <p><a href="https://vuihoc.to/SEO_DUO1011_KTBIN"><strong>Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình học tập THPT vững vàng</strong></a></p> <h2><strong>2. Các dạng bài tập giải bất phương trình bậc 2 lớp 10</strong></h2> <p>Trong chương trình Đại số lớp 10 khi học về bất phương trình bậc 2, VUIHOC tổng hợp được 5 dạng bài tập điển hình thường gặp nhất. Các em học sinh nắm vững 5 dạng cơ bản này sẽ có thể giải hầu hết tất cả các bài tập bất phương trình bậc 2 trong chương trình học hay trong các đề kiểm tra.</p> <h3><strong>2.1. Dạng 1: Giải bất phương trình bậc 2 lớp 10</strong></h3> <p>Đây là dạng cơ bản nhất, yêu cầu trực tiếp việc tìm tập nghiệm của một bất phương trình có dạng [katex]ax^2+bx+c lesseqgtr 0

. Phương pháp giải chủ yếu dựa vào việc xác định dấu của tam thức bậc hai.

Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình bậc 2 về dạng một vế bằng 0, một vế là tam thức bậc 2. Tức là đưa về dạng $ax^2+bx+c lesseqgtr 0$ .
Bước 2: Tính biệt thức $\Delta$ (hoặc $\Delta'$ nếu có thể).
Bước 3: Dựa vào dấu của $a$ và $\Delta$ , xác định dấu của tam thức $f(x) = ax^2+bx+c$ .
Bước 4: Kết luận tập nghiệm dựa trên yêu cầu của bất phương trình.

Ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK đại số 10): Giải các bất phương trình sau đây:

a) $4x^2-x+1<0[/katex] b) [katex]-3x^2+x+4 \ge 0$

c) $x^2-x-6 \le 0$

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam thức $f(x)=4x^2-x+1$ .

Ta có: $\Delta = (-1)^2 - 4(4)(1) = 1 - 16 = -15$ .

Vì $\Delta = -15 < 0[/katex] và hệ số [katex]a=4 > 0$ , nên $f(x) > 0$ với mọi $x in mathbb{R}$ .

Do đó, bất phương trình $4x^2-x+1<0[/katex] vô nghiệm. b) Xét tam thức [katex]f(x)=-3x^2+x+4$ .

Ta có: $\Delta = 1^2 - 4(-3)(4) = 1 + 48 = 49$ .

Vì $\Delta = 49 > 0$ , phương trình $-3x^2+x+4=0$ có hai nghiệm phân biệt là:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2(-3)} = \frac{-1 - 7}{-6} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2(-3)} = \frac{-1 + 7}{-6} = \frac{6}{-6} = -1$

Hệ số $a=-3 < 0[/katex]. Vì [katex]\Delta > 0$ , tam thức $f(x)$ trái dấu với a ở giữa hai nghiệm, tức là $f(x) \ge 0$ khi $-1 \le x \le \frac{4}{3}$ .

Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = [-1; 4/3]$ .

c) Xét tam thức $f(x)=x^2-x-6$ .

Ta có: $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$ .

Vì $\Delta = 25 > 0$ , phương trình $x^2-x-6=0$ có hai nghiệm phân biệt là:
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{1 - 5}{2} = -2$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Hệ số $a=1 > 0$ . Vì $\Delta > 0$ , tam thức $f(x)$ trái dấu với a ở giữa hai nghiệm, tức là $f(x) \le 0$ khi $-2 \le x \le 3$ .

Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = [-2; 3]$ .

Ví dụ 2 (trang 145 sgk Đại số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình bậc 2 sau:

a) $-5x^2+4x+12 \ge 0$

b) $16x^2-8x+1 < 0[/katex] c) [katex]3x^2-4x+3 \le 0$

Hướng dẫn giải:

a) Tam thức bậc hai $f(x)=-5x^2+4x+12$ có $\Delta = 4^2 - 4(-5)(12) = 16 + 240 = 256$ .
Hai nghiệm là $x_1 = \frac{-4-\sqrt{256}}{2(-5)} = \frac{-4-16}{-10} = 2$ và $x_2 = \frac{-4+\sqrt{256}}{2(-5)} = \frac{-4+16}{-10} = \frac{12}{-10} = -\frac{6}{5}$ .
Hệ số $a=-5 < 0[/katex]. Bất phương trình [katex]f(x) \ge 0[/katex] tương đương với [katex]-\frac{6}{5} \le x \le 2[/katex]. Vậy tập nghiệm là [katex]S = [-6/5; 2][/katex]. b) Tam thức [katex]f(x)=16x^2-8x+1$ có $\Delta' = (-4)^2 - 16(1) = 16-16 = 0$ .
Do $\Delta'=0$ , tam thức có một nghiệm kép $x = \frac{-(-4)}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ .
Hệ số $a=16 > 0$ . Vì $\Delta'=0$ , $f(x) \ge 0$ với mọi $x in mathbb{R}$ .
Do đó, bất phương trình $16x^2-8x+1 < 0[/katex] vô nghiệm. Vậy [katex]S = emptyset[/katex]. c) Tam thức [katex]f(x)=3x^2-4x+3$ có $\Delta = (-4)^2 - 4(3)(3) = 16 - 36 = -20 < 0[/katex]. Hệ số [katex]a=3 > 0$ . Do $\Delta < 0[/katex] và [katex]a>0$ , nên $f(x) > 0$ với mọi $x in mathbb{R}$ .
Do đó, bất phương trình $3x^2-4x+3 \le 0$ vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đã cho là $S = mathbb{R}$ nếu đề bài là $3x^2-4x+3 \ge 0$ . Với đề bài $3x^2-4x+3 \le 0$ , tập nghiệm là $S = emptyset$ .

Tham khảo ngay bộ sách ôn thi THPT tổng hợp kiến thức phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán

Bộ sách ôn thi THPT

2.2. Dạng 2: Cách giải bất phương trình bậc 2 dạng tích

Dạng này yêu cầu giải các bất phương trình mà vế trái được phân tích thành tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Phương pháp chủ yếu là lập bảng xét dấu.

Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình bậc 2 về dạng tích và thương của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Đảm bảo vế phải bằng 0.
Bước 2: Tìm nghiệm của từng nhân tử (nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai).
Bước 3: Lập bảng xét dấu cho từng nhân tử, sau đó xét dấu của cả biểu thức theo quy tắc nhân chia.
Bước 4: Kết luận tập nghiệm dựa trên yêu cầu của bất phương trình.

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình bậc 2 dạng tích sau đây:

a) katex(x+3)(x^2-4) < 0[/katex]

b) $\frac{(x-2)(x+1)}{x^2-5x+4} \le 0$

Hướng dẫn giải:

a) Bất phương trình đã cho tương đương với katex(x+3)(x-2)(x+2) < 0[/katex].
Các nghiệm của các nhân tử là $x = 1, x = -3, x = 2, x = -2$ .
Ta sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần: $-3, -2, 1, 2$ .
Lập bảng xét dấu:

Khoảng	$x+3$	$x+2$	$x-1$	$x-2$	Tích
$x<-3[/katex]</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">+</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]-3<x<-2[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]-2<x<1[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">+</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]1<x<2[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]x>2$	+	+	+	+	+

Dựa vào bảng xét dấu, biểu thức dương khi $x in (-3; -2) cup (1; 2)$ .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 dạng tích đề bài là: $S = (-3; -2) cup (1; 2)$ .

b) Bất phương trình tương đương có dạng: $\frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x-4)} \le 0$ .
Các nghiệm của tử và mẫu là: $x=2, x=-1, x=1, x=4$ .
Ta cần lưu ý điều kiện mẫu khác 0: $x \ne 1$ và $x \ne 4$ .
Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần: $-1, 1, 2, 4$ .
Lập bảng xét dấu:

Khoảng	$x+1$	$x-1$	$x-2$	$x-4$	Phân thức
$x<-1[/katex]</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">+</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]-1<x<1[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]1<x<2[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">+</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]2<x<4[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]x>4$	+	+	+	+	+

Dựa vào bảng xét dấu, phân thức $\le 0$ khi $x in [-1; 1) cup [2; 4)$ . (Lưu ý $x=-1$ thuộc tập nghiệm vì tử bằng 0, còn $x=1$ và $x=4$ loại vì mẫu bằng 0).
Vậy tập nghiệm bất phương trình bậc 2 đã cho là: $S = [-1; 1) cup [2; 4)$ .

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình bậc 2 sau đây có nghiệm: katex(m-x) ge 0[/katex].

Hướng dẫn giải:
Bất phương trình là katex^2(m-x) ge 0[/katex].
Vì katex^2 ge 0[/katex] với mọi $x$ , ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: $x=1$ . Bất phương trình luôn đúng. Vậy $x=1$ là một nghiệm.

Trường hợp 2: $x \ne 1$ . Khi đó katex^2 > 0[/katex]. Bất phương trình tương đương với $m-x \ge 0$ , hay $x \le m$ .

Để bất phương trình có nghiệm, ta cần tìm $m$ sao cho tập nghiệm $(-\infty; m] cup {1}$ là khác rỗng.
Nếu $m=1$ , tập nghiệm là $(-\infty; 1] cup {1}$ tức là $(-\infty; 1]$ .
Nếu $m>1$ , tập nghiệm là $(-\infty; m]$ .
Nếu $m<1[/katex], tập nghiệm là [katex](-\infty; m] cup {1}[/katex]. Trong mọi trường hợp, bất phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của [katex]m[/katex]. Bảng xét dấu (chỉ mang tính minh họa cho ý tưởng):Ta xét dấu của [katex]m-x$ .
| Khoảng | $m-x$ | katex^2[/katex] | Tích |
| :------ | :------------------ | :---------------------- | :--- |
| $x<m[/katex] | + | + | + | | [katex]m<x<1[/katex] (nếu m<1) | - | + | - | | [katex]1<x<m[/katex] (nếu m>1) | + | + | + | | [katex]x>m$ | - | + | - |

Để bất phương trình có nghiệm, ta cần có ít nhất một giá trị $x$ làm cho biểu thức $\ge 0$ .
Nếu $m \ge 1$ , thì với $x \le m$ , $m-x \ge 0$ , nên katex^2(m-x) ge 0[/katex] có nghiệm.
Nếu $m < 1[/katex], thì với [katex]x=1[/katex], <a href="1-1">katex</a>^2(m-1)=0 ge 0$ , nên $x=1$ là nghiệm.
Vậy bất phương trình luôn có nghiệm với mọi $m in mathbb{R}$ .

2.3. Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Dạng này kết hợp bất phương trình bậc hai với điều kiện mẫu số khác 0. Cách giải tương tự như dạng tích nhưng cần chú ý thêm điều kiện mẫu số.

Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình bậc 2 về dạng $\frac{P(x)}{Q(x)} lesseqgtr 0$ , trong đó $P(x)$ và $Q(x)$ là các biểu thức bậc hai hoặc bậc nhất.
Bước 2: Tìm nghiệm của tử số $P(x)=0$ và nghiệm của mẫu số $Q(x)=0$ .
Bước 3: Ghi nhớ điều kiện mẫu số phải khác 0 ( $Q(x) \ne 0$ ).
Bước 4: Lập bảng xét dấu cho cả biểu thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , bao gồm tất cả các nghiệm của tử và mẫu.
Bước 5: Xác định các khoảng thỏa mãn bất phương trình, chú ý không lấy các giá trị làm mẫu số bằng 0.

Ví dụ 1 (trang 145 sgk Đại số 10 nâng cao): Giải các bất phương trình bậc 2 sau đây:

a) $\frac{x^2-9x+14}{x^2-5x+4} \le 0$

b) $\frac{x^2-3x+2}{x^2-6x+5} > 0$

Hướng dẫn giải:

a) Tử số: $x^2-9x+14 = 0$ có nghiệm $x=2$ hoặc $x=7$ .
Mẫu số: $x^2-5x+4 = 0$ có nghiệm $x=1$ hoặc $x=4$ .
Điều kiện mẫu khác 0: $x \ne 1$ và $x \ne 4$ .
Các nghiệm cần xét là: $1, 2, 4, 7$ .
Ta có bảng xét dấu:

Khoảng	$x-1$	$x-2$	$x-4$	$x-7$	Phân thức
$x<1[/katex]</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">+</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]1<x<2[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]2<x<4[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">+</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]4<x<7[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]x>7$	+	+	+	+	+

Bất phương trình yêu cầu $\frac{x^2-9x+14}{x^2-5x+4} \le 0$ .
Dựa vào bảng xét dấu, ta lấy các khoảng có dấu "-".
Tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 là: $S = (1; 2] cup (4; 7]$ . (Lưu ý: $x=2, x=7$ thuộc nghiệm vì tử bằng 0, $x=1, x=4$ loại vì mẫu bằng 0).

b) Tử số: $x^2-3x+2 = 0$ có nghiệm $x=1$ hoặc $x=2$ .
Mẫu số: $x^2-6x+5 = 0$ có nghiệm $x=1$ hoặc $x=5$ .
Điều kiện mẫu khác 0: $x \ne 1$ và $x \ne 5$ .
Các nghiệm cần xét là: $1, 2, 5$ . Lưu ý $x=1$ là nghiệm kép của tử và mẫu. Ta cần cẩn thận khi xử lý nghiệm chung.
Quy tắc chung: nghiệm nào làm mẫu số bằng 0 thì luôn bị loại. Nghiệm nào làm cả tử và mẫu bằng 0 thì có thể giữ lại nếu bất phương trình là $\le$ hoặc $\ge$ , nhưng cần xem xét kỹ. Trong trường hợp này, ta có thể rút gọn katex[/katex] nếu $x \ne 1$ .
Bất phương trình tương đương với $\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-5)} > 0$ .
Với $x \ne 1$ , ta có $\frac{x-2}{x-5} > 0$ .
Xét dấu $\frac{x-2}{x-5}$ :

Nghiệm tử: $x=2$ .
Nghiệm mẫu: $x=5$ .
Bảng xét dấu:
| Khoảng | $x-2$ | $x-5$ | Phân thức |
| :---------- | :------------------ | :------------------ | :----------- |
| $x<2[/katex] | - | - | + | | [katex]2<x<5[/katex] | + | - | - | | [katex]x>5$ | + | + | + |

Ta cần $\frac{x-2}{x-5} > 0$ . Do đó, $x in (-\infty; 2) cup (5; +\infty)$ .
Tuy nhiên, ta phải loại bỏ $x=1$ vì nó làm mẫu số ban đầu bằng 0.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đã cho là: $S = (-\infty; 1) cup (1; 2) cup (5; +\infty)$ .

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình bậc 2 sau:

a) $\frac{x^2-2x-3}{x^2-x-2} \ge 0$

b) $\frac{x^2-5x+6}{x^2+3x-4} < 0[/katex] Hướng dẫn giải: a) Tử số: [katex]x^2-2x-3=0$ có nghiệm $x=3$ hoặc $x=-1$ .
Mẫu số: $x^2-x-2=0$ có nghiệm $x=2$ hoặc $x=-1$ .
Điều kiện mẫu khác 0: $x \ne 2$ và $x \ne -1$ .
Các nghiệm cần xét: $-1, 2, 3$ . Lưu ý $x=-1$ là nghiệm chung.
Bất phương trình tương đương với $\frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-2)} \ge 0$ .
Với $x \ne -1$ , ta có $\frac{x-3}{x-2} \ge 0$ .
Xét dấu $\frac{x-3}{x-2}$ :

Nghiệm tử: $x=3$ .
Nghiệm mẫu: $x=2$ .
Bảng xét dấu:
| Khoảng | $x-3$ | $x-2$ | Phân thức |
| :---------- | :------------------ | :------------------ | :----------- |
| $x<2[/katex] | - | - | + | | [katex]2<x<3[/katex] | - | + | - | | [katex]x>3$ | + | + | + |

Ta cần $\frac{x-3}{x-2} \ge 0$ . Do đó, $x in (-\infty; 2) cup [3; +\infty)$ .
Loại $x=2$ vì mẫu bằng 0.
Loại $x=-1$ vì nó làm mẫu số ban đầu bằng 0.
Vậy tập nghiệm bất phương trình bậc 2 đã cho là: $S = (-\infty; -1) cup (-1; 2) cup [3; +\infty)$ .

b) Tử số: $x^2-5x+6=0$ có nghiệm $x=2$ hoặc $x=3$ .
Mẫu số: $x^2+3x-4=0$ có nghiệm $x=1$ hoặc $x=-4$ .
Điều kiện mẫu khác 0: $x \ne 1$ và $x \ne -4$ .
Các nghiệm cần xét: $-4, 1, 2, 3$ .
Bất phương trình là $\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+4)} < 0[/katex]. Lập bảng xét dấu: <table> <thead> <tr> <th style="text-align: left">Khoảng</th> <th style="text-align: left">[katex]x+4$

x-1

x-2

x-3

Phân thức

x<-4[/katex]</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">+</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]-4<x<1[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]1<x<2[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">+</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]2<x<3[/katex]</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">+</td> <td style="text-align: left">-</td> <td style="text-align: left">-</td> </tr> <tr> <td style="text-align: left">[katex]x>3

+++++

Ta cần $\frac{x^2-5x+6}{x^2+3x-4} < 0[/katex]. Dựa vào bảng xét dấu, ta lấy các khoảng có dấu "-". Tập nghiệm của bất phương trình bậc 2 đã cho là: [katex]S = (-4; 1) cup (2; 3)[/katex]. <h3>2.4. Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng</h3> Đây là dạng bài nâng cao, yêu cầu sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai kết hợp với điều kiện về nghiệm để tìm tham số. Phương pháp giải: Ta sử dụng một số tính chất sau: <ul> <li>Để bất phương trình [katex]ax^2+bx+c lesseqgtr 0$ luôn đúng với mọi $x$ , ta xét các trường hợp:

Nếu $a > 0$ , cần có $\Delta \le 0$ .
Nếu $a < 0[/katex], cần có [katex]\Delta \le 0[/katex]. (Kiểm tra lại dấu của a, bất phương trình cùng dấu a thì [katex]a>0$ và $\Delta \le 0$ ).

Bình phương, giá trị tuyệt đối, căn bậc 2 của biểu thức luôn không bao giờ âm.

Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại số 10): Tìm các giá trị tham số m để phương trình sau đây vô nghiệm:

a) katexx^2+2x+4=0[/katex]

b) katexx^2-2(m+1)x+1=0[/katex]

Hướng dẫn giải:

a) () katexx^2+2x+4=0[/katex]

Nếu $m-2=0 Leftrightarrow m=2$ , khi đó phương trình () biến đổi thành: $2x+4=0 Leftrightarrow x=-2$ . Phương trình có một nghiệm. Vậy $m=2$ không phải là giá trị cần tìm để phương trình vô nghiệm.
Nếu $m-2 \ne 0 Leftrightarrow m \ne 2$ . Phương trình là bậc hai. Để phương trình vô nghiệm, ta cần yêu cầu bất phương trình katexx^2+2x+4 ne 0[/katex] xảy ra, điều này có nghĩa là $ax^2+bx+c$ không có nghiệm thực.
Để bậc hai vô nghiệm, ta cần $a$ và $c$ cùng dấu và $\Delta < 0[/katex]. Hệ số [katex]a = m-2[/katex], [katex]b=2[/katex], [katex]c=4[/katex]. Để bất phương trình <a href="m-2">katex</a>x^2+2x+4 ne 0$ có nghĩa là tam thức này không có nghiệm. Tam thức $f(x)=(m-2)x^2+2x+4$ vô nghiệm khi nó luôn cùng dấu với hệ số $a$ và $\Delta < 0[/katex]. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tìm m để phương trình vô nghiệm, tức là phương trình bậc hai này không có nghiệm thực. Điều này xảy ra khi [katex]\Delta < 0[/katex]. [katex]\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4(m-2)(4) = 4 - 16(m-2) = 4 - 16m + 32 = 36 - 16m[/katex]. Để phương trình vô nghiệm, ta cần [katex]\Delta < 0[/katex]: [katex]36 - 16m < 0 Leftrightarrow 16m > 36 Leftrightarrow m > \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$ .
Kết hợp hai trường hợp: $m \ne 2$ và $m > 9/4$ . Vì $9/4 = 2.25 > 2$ , nên điều kiện là $m > 9/4$ .
Vậy với $m in (9/4; +\infty)$ thì phương trình vô nghiệm.

b) () katexx^2-2(m+1)x+1=0[/katex]

Nếu $3-m=0 Leftrightarrow m=3$ , khi đó () biến đổi thành: $-2(3+1)x+1=0 Leftrightarrow -8x+1=0 Leftrightarrow x=1/8$ . Phương trình có một nghiệm. Vậy $m=3$ không phải là giá trị cần tìm.
Nếu 3-m \ne 0 Leftrightarrow m \ne 3. Phương trình là bậc hai. Để phương trình vô nghiệm, ta cần \Delta < 0[/katex]. [katex]\Delta' = (-(m+1))^2 - (3-m)(1) = (m+1)^2 - (3-m) = m^2+2m+1 - 3+m = m^2+3m-2[/katex]. Để phương trình vô nghiệm, ta cần [katex]\Delta' < 0[/katex]: [katex]m^2+3m-2 < 0[/katex]. Xét phương trình [katex]m^2+3m-2=0[/katex] có [katex]Delta_m = 3^2 - 4(1)(-2) = 9+8=17[/katex]. Các nghiệm là [katex]m_1 = \frac{-3-\sqrt{17}}{2}[/katex] và [katex]m_2 = \frac{-3+\sqrt{17}}{2}[/katex]. Do đó, [katex]m^2+3m-2 < 0[/katex] khi [katex]m in (\frac{-3-\sqrt{17}}{2}; \frac{-3+\sqrt{17}}{2})[/katex]. Ta cần kết hợp điều kiện [katex]m \ne 3[/katex]. Vì [katex]\sqrt{17}[/katex] xấp xỉ 4.12, nên [katex]\frac{-3+\sqrt{17}}{2} \approx \frac{-3+4.12}{2} = \frac{1.12}{2} = 0.56[/katex]. Giá trị này nhỏ hơn 3. Vậy với [katex]m in (\frac{-3-\sqrt{17}}{2}; \frac{-3+\sqrt{17}}{2})[/katex] thì phương trình vô nghiệm.</li> </ul> Ví dụ 2 (Trang 145 sgk Đại số lớp 10 nâng cao): Tìm các giá trị tham số m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm: a) <a href="m-5">katex</a>x^2-4mx+m-2=0
b) katexx^2+2(m-1)x+2m-3=0[/katex]
Hướng dẫn giải:
a) katexx^2-4mx+m-2=0[/katex]
- Khi $m-5=0 Rightarrow m=5$ . Phương trình trở thành: $-4(5)x+5-2=0 Leftrightarrow -20x+3=0 Rightarrow x=3/20$ . Phương trình có nghiệm. Vậy $m=5$ thỏa mãn.
- Khi $m-5 \ne 0 Rightarrow m \ne 5$ . Phương trình là bậc hai. Để phương trình có nghiệm, ta cần $\Delta' \ge 0$ .
 $\Delta' = (-2m)^2 - (m-5)(m-2) = 4m^2 - (m^2-7m+10) = 4m^2 - m^2+7m-10 = 3m^2+7m-10$ .
 Ta cần $3m^2+7m-10 \ge 0$ .
 Xét phương trình $3m^2+7m-10=0$ . $Delta_m = 7^2 - 4(3)(-10) = 49+120=169$ .
 $m_1 = \frac{-7-\sqrt{169}}{2(3)} = \frac{-7-13}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$ .
 $m_2 = \frac{-7+\sqrt{169}}{2(3)} = \frac{-7+13}{6} = \frac{6}{6} = 1$ .
 Vậy $3m^2+7m-10 \ge 0$ khi $m in (-\infty; -10/3] cup [1; +\infty)$ .
 Kết hợp cả hai trường hợp ( $m=5$ và $m \ne 5$ ), ta có tập hợp các giá trị m để phương trình có nghiệm là: $m in (-\infty; -10/3] cup [1; +\infty)$ .
b) katexx^2+2(m-1)x+2m-3=0[/katex]
- Khi $m=-1$ . Phương trình đã cho trở thành: katexx^2+2(-1-1)x+2(-1)-3=0 Leftrightarrow 0x^2 -4x - 5 = 0 Leftrightarrow -4x-5=0[/katex]. Phương trình này có nghiệm $x=-5/4$ . Do đó, $m=-1$ thỏa mãn đề bài.
- Khi $m \ne -1$ . Phương trình là bậc hai. Để phương trình có nghiệm, ta cần $\Delta' \ge 0$ .
 $\Delta' = (m-1)^2 - (m+1)(2m-3) = (m^2-2m+1) - (2m^2-3m+2m-3) = m^2-2m+1 - (2m^2-m-3) = m^2-2m+1 - 2m^2+m+3 = -m^2-m+4$ .
 Ta cần $-m^2-m+4 \ge 0 Leftrightarrow m^2+m-4 \le 0$ .
 Xét phương trình $m^2+m-4=0$ . $Delta_m = 1^2 - 4(1)(-4) = 1+16=17$ .
 $m_1 = \frac{-1-\sqrt{17}}{2}$ và $m_2 = \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ .
 Do đó, $m^2+m-4 \le 0$ khi $m in [\frac{-1-\sqrt{17}}{2}; \frac{-1+\sqrt{17}}{2}]$ .
 Kết hợp cả hai trường hợp ( $m=-1$ và $m \ne -1$ ), ta thấy $-1$ nằm trong khoảng $[\frac{-1-\sqrt{17}}{2}; \frac{-1+\sqrt{17}}{2}]$ (vì $\sqrt{17}$ xấp xỉ 4.12, $\frac{-1-4.12}{2} \approx -2.56$ , $\frac{-1+4.12}{2} \approx 1.56$ ).
 Vậy các giá trị của m thỏa mãn đề bài là: $m in [\frac{-1-\sqrt{17}}{2}; \frac{-1+\sqrt{17}}{2}]$ .
2.5. Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc 2
Giải hệ bất phương trình bậc 2 tương tự như giải hệ phương trình, yêu cầu tìm các giá trị của biến thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Giải từng bất phương trình bậc 2 có trong hệ một cách độc lập.
- Bước 2: Biểu diễn tập nghiệm của từng bất phương trình trên trục số.
- Bước 3: Tìm phần giao nhau của tất cả các tập nghiệm để có được nghiệm chung cho cả hệ.
Ví dụ (Trang 145 sgk Đại số 10 nâng cao): Giải các hệ bất phương trình bậc 2 sau:
a)
$\begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 x^2-x-2 \le 0 \end{cases}$
b)
$\begin{cases} 2x^2+3x-5 > 0 x^2-x-12 < 0 \end{cases}[/katex] Hướng dẫn giải: a) Giải bất phương trình thứ nhất: [katex]x^2-3x+2 \ge 0$ .
katex(x-2) ge 0[/katex].
Tam thức có nghiệm $x=1$ , $x=2$ . Hệ số $a=1>0$ .
Vậy $x in (-\infty; 1] cup [2; +\infty)$ .
Giải bất phương trình thứ hai: $x^2-x-2 \le 0$ .
katex(x+1) le 0[/katex].
Tam thức có nghiệm $x=2$ , $x=-1$ . Hệ số $a=1>0$ .
Vậy $x in [-1; 2]$ .
Kết hợp nghiệm: Giao của $(-\infty; 1] cup [2; +\infty)$ và $[-1; 2]$ là $[-1; 1] cup {2}$ .
Vậy tập nghiệm của hệ là $S = [-1; 1] cup {2}$ .
b) Giải bất phương trình thứ nhất: $2x^2+3x-5 > 0$ .
katex(x-1) > 0[/katex].
Tam thức có nghiệm $x=1$ , $x=-5/2$ . Hệ số $a=2>0$ .
Vậy $x in (-\infty; -5/2) cup (1; +\infty)$ .
Giải bất phương trình thứ hai: $x^2-x-12 < 0[/katex]. <a href="x-4">katex</a>(x+3) < 0$ .
Tam thức có nghiệm $x=4$ , $x=-3$ . Hệ số $a=1>0$ .
Vậy $x in (-3; 4)$ .
Kết hợp nghiệm: Giao của $(-\infty; -5/2) cup (1; +\infty)$ và $(-3; 4)$ là $(-3; -5/2) cup (1; 4)$ .
(Biểu diễn trên trục số: $-5/2 = -2.5$ . Khoảng thứ nhất là $(-\infty; -2.5)cup(1; +\infty)$ . Khoảng thứ hai là $(-3; 4)$ . Giao là $(-3; -2.5) cup (1; 4)$ ).
Vậy tập nghiệm của hệ là $S = (-3; -5/2) cup (1; 4)$ .
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
[
Các em đã cùng VUIHOC ôn tập tổng quan lý thuyết bất phương trình bậc 2 kèm theo các dạng bài tập bất phương trình bậc 2 điển hình, thường xuất hiện trong chương trình Toán lớp 10 và các đề kiểm tra, đề thi THPT Quốc gia. Để học nhiều hơn những kiến thức Toán THPT bổ ích, các em truy cập trang web trường học online vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học ngay tại đây nhé!
Tham khảo thêm:
⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.