Giải Bài 3 Trang 80 SGK Hình Học 12: Phương Trình Mặt Phẳng Tọa Độ Và Mặt Phẳng Song Song
Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt phẳng trong không gian, việc hiểu rõ cách lập phương trình cho các mặt phẳng tọa độ và các mặt phẳng song song với chúng là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào giải bài 3 trang 80 SGK Hình Học 12, cung cấp các bước phân tích chi tiết và lời giải chuẩn xác, giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và áp dụng. Chúng ta sẽ cùng khám phá cách xây dựng phương trình cho mặt phẳng ((Oxy)), ((Oyz)), ((Ozx)) và các mặt phẳng song song với chúng đi qua một điểm cho trước.
Đề Bài
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ ((Oxy)), ((Oyz)), ((Ozx)).
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm (M(2 ; 6 ; -3)) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Phân Tích Yêu Cầu
Bài toán yêu cầu chúng ta thực hiện hai nhiệm vụ chính liên quan đến phương trình mặt phẳng:
- Lập phương trình các mặt phẳng tọa độ: Đây là những mặt phẳng cơ bản trong hệ tọa độ Đề-các ba chiều, được xác định bởi các trục tọa độ.
- Lập phương trình mặt phẳng song song: Với một điểm cho trước, chúng ta cần tìm phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm đó và song song với từng mặt phẳng tọa độ đã nêu ở trên.
Yêu cầu này đòi hỏi sự hiểu biết về khái niệm mặt phẳng tọa độ, vectơ pháp tuyến và điều kiện để hai mặt phẳng song song.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
Khái niệm Mặt Phẳng Tọa Độ:
- Mặt phẳng Oxy: Là mặt phẳng chứa trục Ox và Oy. Mọi điểm nằm trên mặt phẳng này có tung độ z bằng 0.
- Mặt phẳng Oyz: Là mặt phẳng chứa trục Oy và Oz. Mọi điểm nằm trên mặt phẳng này có hoành độ x bằng 0.
- Mặt phẳng Ozx: Là mặt phẳng chứa trục Oz và Ox. Mọi điểm nằm trên mặt phẳng này có cao độ y bằng 0.
Phương Trình Tổng Quát của Mặt Phẳng:
Một mặt phẳng ((P)) đi qua điểm (M_0(x_0; y_0; z_0)) và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = (a; b; c)) có phương trình là:
(a(x – x_0) + b(y – y_0) + c(z – z_0) = 0)Vectơ Pháp Tuyến của Mặt Phẳng Tọa Độ:
- Mặt phẳng ((Oxy)) có phương trình (z = 0). Vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n_{Oxy} = (0; 0; 1)) (hoặc bất kỳ bội số nào của nó, ví dụ (vec{k})).
- Mặt phẳng ((Oyz)) có phương trình (x = 0). Vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n_{Oyz} = (1; 0; 0)) (hoặc bất kỳ bội số nào của nó, ví dụ (vec{i})).
- Mặt phẳng ((Ozx)) có phương trình (y = 0). Vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n_{Ozx} = (0; 1; 0)) (hoặc bất kỳ bội số nào của nó, ví dụ (vec{j})).
Điều Kiện Song Song của Hai Mặt Phẳng:
Hai mặt phẳng ((P_1)) và ((P_2)) song song với nhau nếu và chỉ nếu các vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương, tức là (overrightarrow {n_1} = k overrightarrow {n_2}) với (k neq 0). Nếu ((P_1)) có phương trình (Ax + By + Cz + D_1 = 0) và ((P_2)) có phương trình (Ax + By + Cz + D_2 = 0) thì ((P_1) parallel (P_2)).
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
a) Lập phương trình các mặt phẳng tọa độ
Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng ((Oxy)):
Mặt phẳng ((Oxy)) chứa trục Ox và Oy. Điểm gốc tọa độ (O(0; 0; 0)) thuộc mặt phẳng này. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((Oxy)) là (vec{k} = (0; 0; 1)).
Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng:
(0(x – 0) + 0(y – 0) + 1(z – 0) = 0)
( Rightarrow z = 0 )Mặt phẳng ((Oyz)):
Mặt phẳng ((Oyz)) chứa trục Oy và Oz. Điểm gốc tọa độ (O(0; 0; 0)) thuộc mặt phẳng này. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((Oyz)) là (vec{i} = (1; 0; 0)).
Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng:
(1(x – 0) + 0(y – 0) + 0(z – 0) = 0)
( Rightarrow x = 0 )Mặt phẳng ((Ozx)):
Mặt phẳng ((Ozx)) chứa trục Oz và Ox. Điểm gốc tọa độ (O(0; 0; 0)) thuộc mặt phẳng này. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((Ozx)) là (vec{j} = (0; 1; 0)).
Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng:
(0(x – 0) + 1(y – 0) + 0(z – 0) = 0)
( Rightarrow y = 0 )
Mẹo kiểm tra: Các mặt phẳng tọa độ là các mặt phẳng giới hạn của các “góc phần tư” trong không gian, tương tự như các trục tọa độ giới hạn các “góc phần tư” trong mặt phẳng. Các phương trình (x=0, y=0, z=0) là các phương trình đặc trưng cho việc một tọa độ bằng 0.
Lỗi hay gặp: Quên hoặc nhầm lẫn vectơ pháp tuyến của từng mặt phẳng tọa độ.
b) Lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ
Cho điểm (M(2; 6; -3)).
Mặt phẳng ((P)) đi qua (M) và song song với ((Oxy)):
Vì ((P) parallel (Oxy)), nên ((P)) nhận vectơ pháp tuyến của ((Oxy)) làm vectơ pháp tuyến. Ta có thể chọn (overrightarrow {nP} = overrightarrow {n{Oxy}} = (0; 0; 1)).
Mặt phẳng ((P)) đi qua (M(2; 6; -3)) và có (overrightarrow {n_P} = (0; 0; 1)).
Phương trình ((P)) là:
(0(x – 2) + 0(y – 6) + 1(z – (-3)) = 0)
( Rightarrow z + 3 = 0 )Mặt phẳng ((Q)) đi qua (M) và song song với ((Oyz)):
Vì ((Q) parallel (Oyz)), nên ((Q)) nhận vectơ pháp tuyến của ((Oyz)) làm vectơ pháp tuyến. Ta có thể chọn (overrightarrow {nQ} = overrightarrow {n{Oyz}} = (1; 0; 0)).
Mặt phẳng ((Q)) đi qua (M(2; 6; -3)) và có (overrightarrow {n_Q} = (1; 0; 0)).
Phương trình ((Q)) là:
(1(x – 2) + 0(y – 6) + 0(z – (-3)) = 0)
( Rightarrow x – 2 = 0 )Mặt phẳng ((R)) đi qua (M) và song song với ((Ozx)):
Vì ((R) parallel (Ozx)), nên ((R)) nhận vectơ pháp tuyến của ((Ozx)) làm vectơ pháp tuyến. Ta có thể chọn (overrightarrow {nR} = overrightarrow {n{Ozx}} = (0; 1; 0)).
Mặt phẳng ((R)) đi qua (M(2; 6; -3)) và có (overrightarrow {n_R} = (0; 1; 0)).
Phương trình ((R)) là:
(0(x – 2) + 1(y – 6) + 0(z – (-3)) = 0)
( Rightarrow y – 6 = 0 )
Mẹo kiểm tra: Một mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ sẽ có phương trình chỉ chứa một tọa độ. Cụ thể, song song với ((Oxy)) thì chỉ có (z), song song với ((Oyz)) thì chỉ có (x), và song song với ((Ozx)) thì chỉ có (y). Giá trị của tọa độ đó sẽ bằng với tọa độ tương ứng của điểm mà mặt phẳng đi qua. Ví dụ, mặt phẳng song song với ((Oxy)) qua (M(2; 6; -3)) sẽ có phương trình (z = -3), tương ứng với (z+3=0).
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vectơ pháp tuyến khi xác định mặt phẳng song song, hoặc áp dụng sai công thức phương trình mặt phẳng khi đi qua một điểm.
Đáp Án/Kết Quả
a) Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
- Mặt phẳng ((Oxy)) có phương trình: (z = 0).
- Mặt phẳng ((Oyz)) có phương trình: (x = 0).
- Mặt phẳng ((Ozx)) có phương trình: (y = 0).
b) Phương trình các mặt phẳng đi qua điểm (M(2 ; 6 ; -3)) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ:
- Mặt phẳng song song với ((Oxy)) có phương trình: (z + 3 = 0).
- Mặt phẳng song song với ((Oyz)) có phương trình: (x – 2 = 0).
- Mặt phẳng song song với ((Ozx)) có phương trình: (y – 6 = 0).
Kết Luận
Bài tập giải bài 3 trang 80 SGK Hình Học 12 đã cung cấp một cái nhìn rõ ràng về cách xác định phương trình cho các mặt phẳng tọa độ cơ bản và các mặt phẳng song song với chúng. Bằng việc nắm vững khái niệm vectơ pháp tuyến và công thức phương trình mặt phẳng, học sinh có thể dễ dàng giải quyết các dạng bài tương tự. Hiểu rõ các mặt phẳng này là nền tảng quan trọng cho việc chinh phục các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
