Giải Toán 12 trang 10 Tập 1 Kết nối tri thức

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Giải toán 12 trang 10 tập 1 thuộc bộ sách Kết nối tri thức là nguồn tài liệu hữu ích giúp các em học sinh nắm vững kiến thức về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập trong sách, đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu, hỗ trợ tối đa quá trình ôn tập của học sinh.

Đề Bài

Luyện tập 4 trang 10 Toán 12 Tập 1: Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y = f(x). Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Luyện tập 4 trang 10 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

HĐ5 trang 10 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y=13×3−3×2+8x+1.

a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) = 0.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số.

c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Câu hỏi trang 11 Toán 12 Tập 1: Giải thích vì sao nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x0 thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trên yêu cầu tìm cực trị của hàm số dựa vào đồ thị hoặc dựa vào biểu thức giải tích của hàm số. Đối với bài toán cho đồ thị, chúng ta cần quan sát các điểm “lên voi xuống chó” trên đồ thị để xác định điểm cực đại và cực tiểu. Đối với bài toán cho biểu thức hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm, lập bảng biến thiên và từ đó suy ra các điểm cực trị.

Phần câu hỏi cuối cùng yêu cầu giải thích mối liên hệ giữa sự đổi dấu của đạo hàm và khái niệm điểm cực trị, nhấn mạnh tầm quan trọng của việc đạo hàm phải đổi dấu tại điểm đó để nó trở thành điểm cực trị.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán về cực trị của hàm số, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa điểm cực trị:
- Hàm số y = f(x) có cực đại tại điểm $x_0$ nếu $f(x_0)$ là giá trị lớn nhất của f(x) trên một khoảng nào đó chứa $x0$ . Khi đó, $y{CĐ} = f(x_0)$ .
- Hàm số y = f(x) có cực tiểu tại điểm $x_0$ nếu $f(x_0)$ là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên một khoảng nào đó chứa $x0$ . Khi đó, $y{CT} = f(x_0)$ .
Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị:
- Nếu hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ , thì $x_0$ là một nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x_0)$ không tồn tại. (Điều kiện cần)
- Dấu hiệu 1: Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua $x_0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$ .
- Dấu hiệu 2: Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ qua $x_0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$ .
- Dấu hiệu 3 (sử dụng đạo hàm cấp hai): Nếu $f'(x_0) = 0$ và $f''(x_0) < 0[/katex] thì hàm số đạt cực đại tại [katex]x_0[/katex]. Nếu [katex]f'(x_0) = 0[/katex] và [katex]f''(x_0) > 0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$ .
Bảng biến thiên: Bảng biến thiên là công cụ mô tả sự biến thiên của hàm số dựa trên dấu của đạo hàm. Nó giúp chúng ta dễ dàng xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

1. Giải Luyện tập 4 trang 10:

Phân tích: Đề bài cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ và yêu cầu tìm các cực trị. Chúng ta cần quan sát các điểm “chóp” hoặc “đáy” trên đồ thị.
Các điểm cực trị:
- Tại $x = -1$ , đồ thị đạt đỉnh cao nhất cục bộ. Giá trị của hàm số tại điểm này là $y = 5$ . Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và $y_{CĐ} = 5$ .
- Tại $x = 1$ , đồ thị đạt đáy thấp nhất cục bộ. Giá trị của hàm số tại điểm này là $y = 1$ . Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và $y_{CT} = 1$ .
Mẹo kiểm tra: Nhìn vào đồ thị, giá trị $y=5$ là giá trị cao nhất trong một vùng lân cận của $x=-1$ , và giá trị $y=1$ là giá trị thấp nhất trong một vùng lân cận của $x=1$ .
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa hoành độ ($x$) và tung độ ($y$) của điểm cực trị.

2. Giải HĐ5 trang 10:

Phân tích: Đề bài cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x + 1$ và yêu cầu tìm cực trị bằng phương pháp sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.
a) Tính đạo hàm và tìm điểm đạo hàm bằng 0:
- Tập xác định của hàm số là ℝ (tập hợp số thực).
- Tính đạo hàm: $y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x + 1 \right)$
  $y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 8$
  $y' = x^2 - 6x + 8$
- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0:
  $y' = 0 Leftrightarrow x^2 - 6x + 8 = 0$
  Ta giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.
  $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0$
  Vậy, các điểm mà đạo hàm bằng 0 là $x = 2$ và $x = 4$ .
b) Lập bảng biến thiên của hàm số:
- Chúng ta đã tìm được các nghiệm của $y' = 0$ là $x=2$ và $x=4$ . Đây là các điểm quan trọng để chia trục số.
- Xét dấu của $y' = x^2 - 6x + 8$ . Đây là một tam thức bậc hai có hệ số $a=1 > 0$ , nên parabol $y = x^2 - 6x + 8$ quay bề lõm lên trên. Do đó, $y’$ dương khi $x < 2$ hoặc $x > 4$, và $y’$ âm khi $2 < x < 4$.
- Lập bảng biến thiên:
x $-\infty$ 2 4 $+\infty$
$y’$ + 0 – 0
$y$ $-\infty$ $y_{CĐ}$ $y_{CT}$
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt:
 - Tại $x=2$ : $y(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 3(2)^2 + 8(2) + 1 = \frac{8}{3} - 12 + 16 + 1 = \frac{8}{3} + 5 = \frac{8 + 15}{3} = \frac{23}{3}$ .
 - Tại $x=4$ : $y(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - 3(4)^2 + 8(4) + 1 = \frac{64}{3} - 48 + 32 + 1 = \frac{64}{3} - 15 = \frac{64 - 45}{3} = \frac{19}{3}$ .
- Bảng biến thiên hoàn chỉnh:
x $-\infty$ 2 4 $+\infty$
$y’$ + 0 – 0
$y$ $-\infty$ $nearrow$ $\frac{23}{3}$ $searrow$
c) Suy ra các điểm cực trị từ bảng biến thiên:
- Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:
  - Tại $x=2$ , $y’$ đổi dấu từ dương (+) sang âm (-). Điều này cho thấy hàm số đạt cực đại tại $x=2$ . Giá trị cực đại là $y_{CĐ} = y(2) = \frac{23}{3}$ .
  - Tại $x=4$ , $y’$ đổi dấu từ âm (-) sang dương (+). Điều này cho thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=4$ . Giá trị cực tiểu là $y_{CT} = y(4) = \frac{19}{3}$ .
Mẹo kiểm tra: Đồ thị của hàm đa thức bậc ba có hệ số $a > 0$ thường có dạng đi lên, có thể có một điểm lồi và một điểm lõm. Điểm cực đại sẽ có hoành độ nhỏ hơn điểm cực tiểu. Ở đây, $x=2 < x=4[/katex], phù hợp với dạng đồ thị. </li> <li> Lỗi hay gặp: Tính sai đạo hàm, giải sai phương trình đạo hàm bằng 0, hoặc tính sai giá trị hàm số tại các điểm cực trị. </li> </ul> 3. Giải thích Câu hỏi trang 11: <ul> <li> Phân tích: Câu hỏi yêu cầu làm rõ mối liên hệ giữa sự đổi dấu của đạo hàm tại một điểm và việc điểm đó có phải là cực trị của hàm số hay không. </li> <li> Giải thích:Theo Dấu hiệu 1 và Dấu hiệu 2 của điều kiện đủ để hàm số có cực trị, một điểm [katex]x_0$ được gọi là điểm cực trị của hàm số $f(x)$ nếu đạo hàm $f'(x)$ phải đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$ . Cụ thể:
- Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x_0$ , thì hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$ .
- Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x_0$ , thì hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$ .
Nếu $f'(x)$ không đổi dấu khi $x$ qua $x_0$ , điều này có nghĩa là dấu của $f'(x)$ ở hai bên $x_0$ là như nhau.
- Nếu $f'(x) > 0$ ở cả hai bên $x_0$ (trừ $x_0$ có thể bằng 0), hàm số $f(x)$ đồng biến trên một khoảng chứa $x_0$ .
- Nếu $f'(x) < 0$ ở cả hai bên $x_0$ (trừ $x_0$ có thể bằng 0), hàm số $f(x)$ nghịch biến trên một khoảng chứa $x_0$ .
Trong cả hai trường hợp này, tại điểm $x_0$ , hàm số không có sự "chuyển hướng" (từ tăng sang giảm hoặc ngược lại) để tạo thành điểm cực trị. Do đó, $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số $f(x)$.
Mẹo kiểm tra: Hãy hình dung đồ thị. Nếu đạo hàm không đổi dấu, ví dụ luôn dương, đồ thị sẽ liên tục đi lên. Nếu đạo hàm luôn âm, đồ thị sẽ liên tục đi xuống. Cả hai trường hợp này đều không tạo ra "đỉnh" hay "đáy" cục bộ, tức là không có cực trị.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn rằng chỉ cần $f'(x_0) = 0$ là đủ để $x_0$ là cực trị, mà quên mất điều kiện đạo hàm phải đổi dấu.

x	$-\infty$	2	4	$+\infty$
$y’$	+	0	–	0
$y$	$-\infty$	$y_{CĐ}$		$y_{CT}$

x	$-\infty$	2	4	$+\infty$
$y’$	+	0	–	0
$y$	$-\infty$	$nearrow$	$\frac{23}{3}$	$searrow$

Đáp Án/Kết Quả

Luyện tập 4 trang 10:

Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và $y_{CĐ} = 5$ .
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và $y_{CT} = 1$ .

HĐ5 trang 10:

a) $y' = x^2 - 6x + 8$ . Các điểm đạo hàm bằng 0 là $x = 2$ và $x = 4$ .
b) Bảng biến thiên đã được lập ở phần hướng dẫn chi tiết.
c) Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ với $y{CĐ} = \frac{23}{3}$ . Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 4$ với $y{CT} = \frac{19}{3}$ .

Câu hỏi trang 11: Nếu $f'(x)$ không đổi dấu khi $x$ qua $x_0$ , hàm số $f(x)$ không đạt cực trị tại $x_0$ vì không có sự chuyển hướng từ tăng sang giảm hoặc ngược lại tại điểm đó.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.