Định Lý Pythagore Lớp 8: Lý Thuyết, Bài Tập Và Ứng Dụng Chi Tiết

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Trong chương trình Toán học lớp 8, định lý Pythagore là một khái niệm nền tảng quan trọng, mở ra cánh cửa hiểu biết về mối quan hệ giữa các cạnh trong một tam giác vuông. Việc nắm vững lý thuyết và thực hành các bài tập liên quan sẽ giúp học sinh không chỉ giải quyết tốt các dạng toán trong sách giáo khoa mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho các cấp học cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cách hệ thống về định lý Pythagore, bao gồm phát biểu, ứng dụng và các bài tập minh họa chi tiết.

Đề Bài

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Ví dụ 2: Cho tam giác DEG có DE = 7 cm, DG = 24 cm và EG = 25 cm. Tam giác DEG có phải là tam giác vuông hay không?

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, tính độ dài cạnh còn lại trong các trường hợp sau:
a) AB = 5 cm, AC = 12 cm;
b) AB = 3 cm, BC = 12 cm;
c) AB – AC = 7 cm, AB + AC = 17 cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết tỉ lệ $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{3}$ và BC = 20 cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Bài 3. Cho hình vẽ sau. Tìm giá trị của a.

Hình vẽ bài 3

Phân Tích Yêu Cầu

Định lý Pythagore là một công cụ mạnh mẽ trong hình học phẳng, đặc biệt khi làm việc với các tam giác vuông. Yêu cầu cơ bản của các bài toán liên quan đến định lý này thường xoay quanh việc:

Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh còn lại: Áp dụng trực tiếp định lý Pythagore thuận.
Chứng minh một tam giác có vuông hay không: Sử dụng định lý Pythagore đảo.
Giải các bài toán hình học phức tạp hơn: Vận dụng định lý Pythagore làm bước trung gian để tìm các yếu tố khác của hình.

Các dữ kiện quan trọng cần xác định là: tam giác đó có phải là tam giác vuông hay không, và đâu là cạnh huyền, đâu là hai cạnh góc vuông.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Định lý Pythagore thuận

Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.

Xét tam giác ABC vuông tại A, với BC là cạnh huyền, AB và AC là hai cạnh góc vuông. Ta có hệ thức:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Hoặc có thể ký hiệu theo độ dài các cạnh: nếu BC = a, AB = c, AC = b, thì:
$a^2 = b^2 + c^2$

Định lý Pythagore đảo

Nếu một tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Xét tam giác ABC. Nếu có:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
thì tam giác ABC vuông tại đỉnh A.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Ví dụ 1: Tính độ dài cạnh huyền

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Phân tích: Đề bài cho biết tam giác ABC vuông tại A và độ dài hai cạnh góc vuông AB, AC. Yêu cầu tính độ dài cạnh huyền BC. Ta sẽ áp dụng định lý Pythagore thuận.

Các bước giải:

Xác định tam giác vuông và các cạnh: Tam giác ABC vuông tại A. AB và AC là hai cạnh góc vuông, BC là cạnh huyền.
Áp dụng định lý Pythagore: $BC^2 = AB^2 + AC^2$
Thay số và tính toán:
$BC^2 = 6^2 + 8^2$
$BC^2 = 36 + 64$
$BC^2 = 100$
Tìm độ dài cạnh BC:
$BC = \sqrt{100}$
$BC = 10$ (cm)

Mẹo kiểm tra: Với tam giác vuông, cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất. Ở đây, BC = 10 cm, lớn hơn AB = 6 cm và AC = 8 cm, điều này hợp lý.

Lỗi hay gặp: Tính nhầm bình phương hoặc quên lấy căn bậc hai ở bước cuối cùng.

Kết quả: Độ dài cạnh BC là 10 cm.

Ví dụ 2: Chứng minh tam giác vuông

Đề bài: Cho tam giác DEG có DE = 7 cm, DG = 24 cm và EG = 25 cm. Tam giác DEG có phải là tam giác vuông hay không?

Phân tích: Đề bài cho độ dài ba cạnh của tam giác DEG và hỏi xem nó có phải là tam giác vuông không. Ta sẽ sử dụng định lý Pythagore đảo.

Các bước giải:

Xác định cạnh có độ dài lớn nhất: Trong ba cạnh DE (7 cm), DG (24 cm), EG (25 cm), cạnh EG có độ dài lớn nhất. Giả sử EG là cạnh huyền.
Kiểm tra điều kiện định lý Pythagore đảo: Tính bình phương của cạnh lớn nhất và tổng bình phương của hai cạnh còn lại.
$EG^2 = 25^2 = 625$ (cm $^2$ )
$DE^2 + DG^2 = 7^2 + 24^2$
$DE^2 + DG^2 = 49 + 576$
$DE^2 + DG^2 = 625$ (cm $^2$ )
So sánh hai kết quả: Ta thấy $EG^2 = DE^2 + DG^2$ (625 = 625).
Kết luận: Theo định lý Pythagore đảo, tam giác DEG vuông tại đỉnh D (đối diện với cạnh huyền EG).

Mẹo kiểm tra: Luôn chọn cạnh dài nhất để kiểm tra xem nó có bằng tổng bình phương hai cạnh kia không. Nếu bằng, nó là cạnh huyền và tam giác vuông.

Lỗi hay gặp: Chọn sai cạnh dài nhất để kiểm tra, hoặc tính toán sai bình phương.

Kết quả: Tam giác DEG là tam giác vuông tại D.

Bài 1: Tính độ dài cạnh còn lại

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, tính độ dài cạnh còn lại trong các trường hợp sau:
a) AB = 5 cm, AC = 12 cm;
b) AB = 3 cm, BC = 12 cm;
c) AB – AC = 7 cm, AB + AC = 17 cm.

Hướng dẫn giải:

a) Phân tích: Biết hai cạnh góc vuông, cần tìm cạnh huyền.
Các bước giải:

Áp dụng định lý Pythagore thuận: $BC^2 = AB^2 + AC^2$
Thay số: $BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
Tính BC: $BC = \sqrt{169} = 13$ cm.
Kết quả: BC = 13 cm.

b) Phân tích: Biết một cạnh góc vuông (AB) và cạnh huyền (BC), cần tìm cạnh góc vuông còn lại (AC).
Các bước giải:

Áp dụng định lý Pythagore thuận: $BC^2 = AB^2 + AC^2$
Biến đổi để tìm AC: $AC^2 = BC^2 - AB^2$
Thay số: $AC^2 = 12^2 - 3^2 = 144 - 9 = 135$
Tính AC: $AC = \sqrt{135} \approx 11.62$ cm. (Lưu ý: Đề gốc có ghi 11.87, có thể là lỗi làm tròn hoặc tính toán. sqrt{135} chính xác hơn).
Kết quả: AC = $\sqrt{135}$ cm $\approx 11.62$ cm.

c) Phân tích: Đề cho hai mối liên hệ giữa AB và AC, cần tìm AB, AC trước. Sau đó áp dụng định lý Pythagore để tìm BC.
Các bước giải:

Giải hệ phương trình:
Ta có: AB - AC = 7 (1)
AB + AC = 17 (2)
Cộng (1) và (2): (AB - AC) + (AB + AC) = 7 + 17 => 2AB = 24 => AB = 12 cm.
Thay AB = 12 vào (2): 12 + AC = 17 => AC = 5 cm.
Áp dụng định lý Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A, với AB = 12 cm, AC = 5 cm.
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
Tính BC: $BC = \sqrt{169} = 13$ cm.
Kết quả: BC = 13 cm.

Bài 2: Tính tỉ lệ các cạnh

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết tỉ lệ $\frac{AB}{AC} = \frac{4}{3}</code> và BC = 20 cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC. Phân tích: Tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC và tỉ lệ hai cạnh góc vuông. Ta sẽ kết hợp định lý Pythagore và tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Các bước giải: <ol> <li>Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A: <code>[]AB^2 + AC^2 = BC^2 = 20^2 = 400$

Sử dụng tỉ lệ đề bài cho:

 $\frac{AB}{AC} = \frac{4}{3}</code>. Từ tỉ lệ này, ta suy ra <code>[]\frac{AB}{4} = \frac{AC}{3}</code>. Đặt <code>[]\frac{AB}{4} = \frac{AC}{3} = k</code> (với k là một số dương). Khi đó, <code>AB = 4k</code> và <code>AC = 3k</code>.</li> <li>Thay <code>AB = 4k</code> và <code>AC = 3k</code> vào phương trình Pythagore: <code>[](4k)^2 + (3k)^2 = 400$

$16k^2 + 9k^2 = 400$
$25k^2 = 400$
$k^2 = \frac{400}{25} = 16$
$k = \sqrt{16} = 4$ (vì k > 0)

Tính độ dài AB và AC:
$AB = 4k = 4 \times 4 = 16$ cm.
$AC = 3k = 3 \times 4 = 12$ cm.

Mẹo kiểm tra: Kiểm tra xem AB^2 + AC^2 có bằng BC^2 không: 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400, và BC^2 = 20^2 = 400. Hai kết quả bằng nhau, vậy là đúng.

Lỗi hay gặp: Quên bình phương k hoặc AB, AC khi thế vào phương trình Pythagore; hoặc tính sai k^2.

Kết quả: AB = 16 cm, AC = 12 cm.

Bài 3: Tìm giá trị chưa biết trong hình

Đề bài: Cho hình vẽ sau. Tìm giá trị của a.

Hình vẽ bài 3

Phân tích: Hình vẽ cho thấy có hai tam giác vuông lồng vào nhau: tam giác ADE vuông tại A và tam giác ABC vuông tại A. Giá trị ‘a’ là độ dài cạnh huyền BC. Ta cần tìm các cạnh của tam giác ABC bằng cách sử dụng thông tin từ tam giác ADE.

Các bước giải:

Xét tam giác ADE vuông tại A:
Đề bài cho DE = 5, AD = 3. Ta cần tìm AE.
Áp dụng định lý Pythagore: $AD^2 + AE^2 = DE^2$
$3^2 + AE^2 = 5^2$
$9 + AE^2 = 25$
$AE^2 = 25 - 9 = 16$
$AE = \sqrt{16} = 4$ (cm)
Tính độ dài AB và AC:
Từ hình vẽ, ta thấy điểm E nằm giữa A và B, và điểm D nằm trên cạnh AC.
AB = AE + EB. Đề cho EB = 4 và AE vừa tìm được là 4.
Vậy AB = 4 + 4 = 8 (cm).
Đề cho AC = 6 (cm).
Xét tam giác ABC vuông tại A:
Ta có AB = 8 cm và AC = 6 cm. Cần tìm BC (chính là ‘a’).
Áp dụng định lý Pythagore: $BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 8^2 + 6^2$
$BC^2 = 64 + 36$
$BC^2 = 100$
$BC = \sqrt{100} = 10$ (cm)

Mẹo kiểm tra: Trong tam giác ADE, bộ ba cạnh (3, 4, 5) là bộ ba số Pythagore quen thuộc. Trong tam giác ABC, bộ ba cạnh (6, 8, 10) cũng là một bộ ba số Pythagore (gấp đôi bộ (3, 4, 5)). Điều này củng cố tính chính xác của kết quả.

Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vị trí các điểm trên hình, tính sai AE hoặc AB.

Kết quả: Giá trị của a (chính là BC) là 10 cm.

Đáp Án/Kết Quả

Ví dụ 1: BC = 10 cm.
Ví dụ 2: Tam giác DEG vuông tại D.
Bài 1:
a) BC = 13 cm.
b) AC = $\sqrt{135}$ cm $\approx 11.62$ cm.
c) BC = 13 cm.
Bài 2: AB = 16 cm, AC = 12 cm.
Bài 3: a = 10 cm.

Học tốt Định Lý Pythagore

Định lý Pythagore là một trong những công cụ cơ bản nhất để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông. Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau sẽ giúp học sinh thành thạo kỹ năng áp dụng định lý này. Hãy nhớ luôn xác định đúng cạnh huyền và hai cạnh góc vuông, cũng như nắm vững định lý thuận và đảo để có thể vận dụng linh hoạt trong mọi tình huống. Việc sử dụng công cụ KaTeX để biểu diễn chính xác các công thức toán học là rất quan trọng để đảm bảo tính rõ ràng và học thuật cho bài viết.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.