Giải Toán 12 Bài 3 trang 23 Tập 1: Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số (Kết Nối Tri Thức)

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Trong chương trình Toán 12, việc nắm vững khái niệm về đường tiệm cận là yếu tố then chốt để phân tích và vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác. Bài viết này tập trung vào việc giải toán 12 trang 23 thuộc bộ sách Kết nối tri thức, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của đường tiệm cận và cách xác định chúng. Chúng ta sẽ phân tích chi tiết bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm trên đồ thị đến một đường thẳng khi biến số tiến ra vô cùng, đồng thời làm sáng tỏ ý nghĩa của giới hạn này trên đồ thị hàm số.

Đề Bài

Cho hàm số $y = f(x) = x - 1 + \frac{2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $y = x - 1$ như Hình 1.24.

HĐ3 trang 23 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

a) Với $x > -1$ , xét điểm $M(x; f(x))$ thuộc $(C)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $y = x - 1$ . Có nhận xét gì về khoảng cách $MH$ khi $x \to +\infty$ ?

b) Chứng tỏ rằng $lim_{xto+\infty} [f(x) - (x - 1)] = 0$ . Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta xem xét hai khía cạnh chính liên quan đến hàm số $y = x - 1 + \frac{2}{x+1}$ và đường thẳng $y = x - 1$ .

Phần a): Tập trung vào việc tính khoảng cách $MH$ từ một điểm $M$ trên đồ thị hàm số $(C)$ đến đường thẳng $y = x - 1$ , với điều kiện $x > -1$ . Sau đó, chúng ta cần đưa ra nhận xét về sự thay đổi của khoảng cách này khi $x$ tiến ra vô cùng dương ( $x \to +\infty$ ). Điều này gợi ý đến khái niệm tiệm cận xiên.
Phần b): Yêu cầu chứng minh một biểu thức giới hạn bằng 0 và diễn giải ý nghĩa hình học của kết quả này trên đồ thị. Cụ thể là chứng minh $lim_{xto+\infty} [f(x) - (x - 1)] = 0$ và liên hệ nó với Hình 1.24.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kết hợp kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và kiến thức về giới hạn hàm số.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần ôn lại và áp dụng các kiến thức sau:

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho điểm $M(x_0; y_0)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình $Ax + By + C = 0$ . Khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ được tính bằng công thức:
$d(M, \Delta) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
Trong bài toán này, điểm $M$ có tọa độ $(x; f(x))$, và đường thẳng $\Delta$ có phương trình $y = x - 1$ , có thể viết lại dưới dạng $x - y - 1 = 0$ .
Giới hạn của hàm số khi biến số tiến ra vô cùng:
Ta cần sử dụng định nghĩa và quy tắc tính giới hạn của hàm số khi biến số $x$ tiến ra $+\infty$ . Cụ thể là các quy tắc về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương.
Nếu $\lim{xto+\infty} f(x) = L$ và $\lim{xto+\infty} g(x) = M$ , thì:
- $lim_{xto+\infty} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
- $lim_{xto+\infty} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
- $lim_{xto+\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ , với $M \ne 0$ .
Định nghĩa Đường tiệm cận xiên:
Nếu $\lim{xto+\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ (hoặc $\lim{xto-\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ ) thì đường thẳng $y = ax + b$ được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ . Trong bài toán này, chúng ta sẽ xem xét trường hợp $a = 1$ và $b = -1$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán theo từng phần đã nêu.

a) Tính khoảng cách MH và nhận xét khi x → +∞

Xác định tọa độ điểm M:
Điểm $M$ thuộc đồ thị $(C)$ có hoành độ là $x$ và tung độ là $f(x)$.
Vậy tọa độ của $M$ là $(x; x - 1 + \frac{2}{x+1})$ .
Xác định phương trình đường thẳng:
Đường thẳng đã cho là $y = x - 1$ . Chuyển về dạng tổng quát $Ax + By + C = 0$ , ta có:
$x - y - 1 = 0$ .
Ở đây, $A = 1$ , $B = -1$ , $C = -1$ .
Tính khoảng cách MH:
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $Ax + By + C = 0$ , với $M(x; x - 1 + \frac{2}{x+1})$ .
$x_0 = x$
$y_0 = x - 1 + \frac{2}{x+1}$
$MH = d(M, \text{đường thẳng } y=x-1) = \frac{|1 \cdot x + (-1) \cdot (x - 1 + \frac{2}{x+1}) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
Ta tính tử số:
$|x - (x - 1 + \frac{2}{x+1}) - 1| = |x - x + 1 - \frac{2}{x+1} - 1|$
$= |-\frac{2}{x+1}|$
Do điều kiện $x > -1$ , nên $x+1 > 0$ . Do đó, $\frac{2}{x+1} > 0$ .
Vì vậy, $|-\frac{2}{x+1}| = \frac{2}{x+1}$ .
Mẫu số là:
$\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ .
Vậy, khoảng cách $MH$ là:
$MH = \frac{\frac{2}{x+1}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}(x+1)} = \frac{\sqrt{2}}{x+1}$ (Lưu ý: Lời giải gốc ghi là $2/(x+1)$ , cần kiểm tra lại phép tính).
Kiểm tra lại phép tính:
Tử số: $|x - (x - 1 + \frac{2}{x+1}) - 1| = |x - x + 1 - \frac{2}{x+1} - 1| = |-\frac{2}{x+1}| = \frac{2}{x+1}$ (vì $x > -1$ ).
Mẫu số: $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ .
Vậy $MH = \frac{\frac{2}{x+1}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}(x+1)} = \frac{\sqrt{2}}{x+1}$ .
Có vẻ có sự sai khác với lời giải gốc. Ta sẽ bám sát lời giải gốc trong phạm vi được phép, nhưng ghi nhận sự khác biệt này. Lời giải gốc ghi $MH = \frac{2}{x+1}$ mà không chia cho $\sqrt{2}$ . Điều này chỉ đúng nếu phương trình đường thẳng là $x - y - 1 = 0$ và tọa độ $M$ được thay vào theo một cách khác, hoặc đơn giản là phép chia $\frac{2}{x+1}$ chưa được chuẩn hóa đúng với công thức khoảng cách. Tuy nhiên, theo công thức chuẩn thì phải chia cho $\sqrt{2}$ .
Giả sử lời giải gốc muốn đơn giản hóa bằng cách nào đó hoặc có một sai sót nhỏ. Theo đúng công thức, $MH = \frac{\sqrt{2}}{x+1}$ .
Tuy nhiên, vì yêu cầu “LOCK đề bài / dữ kiện” và “CẤM paraphrase”, tôi sẽ bám sát vào tính toán của lời giải gốc nếu nó không mâu thuẫn trực tiếp với yêu cầu kỹ thuật (như KaTeX). Ở đây, phép tính khoảng cách có sự sai khác. Tôi sẽ sửa lại nó để đảm bảo tính chính xác toán học, đồng thời lưu ý rằng điều này có thể làm sai lệch so với bản gốc về mặt con số cụ thể của công thức khoảng cách.
Tiếp tục với công thức khoảng cách chuẩn:
$MH = \frac{\frac{2}{x+1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{x+1}$ .
Nhận xét khi x → +∞:
Bây giờ ta xét giới hạn của khoảng cách $MH$ khi $x \to +\infty$ :
$\lim{xto+\infty} MH = \lim{xto+\infty} \frac{\sqrt{2}}{x+1}$
Khi $x \to +\infty$ , mẫu số $x+1 \to +\infty$ . Do đó, phân số $\frac{\sqrt{2}}{x+1}$ sẽ tiến về 0.
$lim_{xto+\infty} MH = 0$ .
Nhận xét: Khoảng cách $MH$ dần tiến tới 0 khi $x$ tiến ra vô cùng dương. Điều này có nghĩa là điểm $M$ trên đồ thị $(C)$ ngày càng gần với đường thẳng $y = x - 1$ .
Lưu ý: Nếu ta bám sát lời giải gốc và bỏ qua việc chia cho $\sqrt{2}$ , thì $MH = \frac{2}{x+1}$ . Khi đó $\lim{xto+\infty} MH = \lim{xto+\infty} \frac{2}{x+1} = 0$ . Kết quả cuối cùng về nhận xét (tiến về 0) vẫn không đổi. Để đảm bảo tính chính xác toán học theo đúng công thức khoảng cách, tôi sẽ sử dụng $MH = \frac{\sqrt{2}}{x+1}$ .

b) Chứng minh giới hạn và diễn giải ý nghĩa

Chứng minh $lim_{xto+\infty} [f(x) - (x - 1)] = 0$ :
Ta có biểu thức $f(x) - (x - 1)$ :
$f(x) - (x - 1) = \left(x - 1 + \frac{2}{x+1}\right) - (x - 1)$
$= x - 1 + \frac{2}{x+1} - x + 1$
$= \frac{2}{x+1}$
Bây giờ, ta tính giới hạn của biểu thức này khi $x \to +\infty$ :
$\lim{xto+\infty} [f(x) - (x - 1)] = \lim{xto+\infty} \frac{2}{x+1}$
Khi $x \to +\infty$ , thì $x+1 \to +\infty$ . Do đó, giới hạn của $\frac{2}{x+1}$ là 0.
$\lim{xto+\infty} \frac{2}{x+1} = 0$ .
Vậy, ta đã chứng minh được $\lim{xto+\infty} [f(x) - (x - 1)] = 0$ .
Diễn giải tính chất trên Hình 1.24:
Kết quả $lim_{xto+\infty} [f(x) - (x - 1)] = 0$ cho thấy rằng khi $x$ tiến ra vô cùng dương, hiệu giữa tung độ của điểm $M$ trên đồ thị $(C)$ và tung độ của điểm tương ứng trên đường thẳng $y = x - 1$ tiến về 0.
Nói cách khác, đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = x - 1$ ngày càng tiến gần lại nhau khi $x$ ngày càng lớn.
Điều này thể hiện trên Hình 1.24 ở chỗ:
- Đường thẳng $y = x - 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ khi $x \to +\infty$ .
- Các điểm trên đồ thị $(C)$ (như điểm $M$) và các điểm trên đường tiệm cận $y = x - 1$ có cùng hoành độ $x$ sẽ có khoảng cách ngày càng nhỏ lại.
- Khoảng cách $MH$ (khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $y = x - 1$ ), mà chúng ta đã tính ở phần a) là $\frac{\sqrt{2}}{x+1}$ (hoặc $\frac{2}{x+1}$ theo lời giải gốc), tiến về 0 khi $x \to +\infty$ . Điều này chính là biểu hiện hình học của giới hạn trên.
Mẹo kiểm tra:
- Khi làm bài tập về tiệm cận xiên, luôn kiểm tra xem hệ số góc của đường tiệm cận ($a$) có hữu hạn và khác 0 hay không.
- Kiểm tra xem giới hạn $lim_{xto+\infty} [f(x) - ax]$ có bằng một hằng số hữu hạn $b$ hay không.
- Đảm bảo các phép tính giới hạn, đặc biệt là với phân thức, là chính xác.
Lỗi hay gặp:
- Tính sai khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, quên chia cho mẫu số $\sqrt{A^2+B^2}$ .
- Thực hiện sai các phép toán đại số khi rút gọn biểu thức $f(x) - (ax+b)$ .
- Áp dụng sai quy tắc tính giới hạn, đặc biệt với các dạng vô định như $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$ .
- Nhầm lẫn giữa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.

Đáp Án/Kết Quả

a) Với $x > -1$ , khoảng cách $MH$ từ điểm $M(x; f(x))$ trên đồ thị $(C)$ đến đường thẳng $y = x - 1$ được tính là $MH = \frac{\sqrt{2}}{x+1}$ . Khi $x \to +\infty$ , ta có $lim_{xto+\infty} MH = 0$ . Điều này cho thấy khoảng cách $MH$ dần tiến tới 0.

b) Ta đã chứng minh được $\lim{xto+\infty} [f(x) - (x - 1)] = \lim{xto+\infty} \frac{2}{x+1} = 0$ . Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 rằng đường thẳng $y = x - 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ khi $x \to +\infty$ . Đồ thị hàm số tiến gần đến đường tiệm cận xiên này khi $x$ tăng lên vô cùng.

Conclusion

Việc giải bài toán này giúp chúng ta củng cố kiến thức về đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Bằng cách áp dụng công thức tính khoảng cách và quy tắc tính giới hạn, chúng ta đã chứng minh được rằng đường thẳng $y = x - 1$ chính là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x - 1 + \frac{2}{x+1}$ khi $x$ tiến ra vô cùng dương. Hiểu rõ mối liên hệ giữa giới hạn và hình học giúp học sinh dễ dàng nhận diện và phân tích đồ thị hàm số, một kỹ năng quan trọng trong việc giải toán 12 trang 23 và các bài toán tương tự.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.