Giải Toán Lớp 12 Chương 1: Ứng dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Giải Toán lớp 12 Chương 1 tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để phân tích và biểu diễn đồ thị của các hàm số. Trong đó, một phần quan trọng là nắm vững khái niệm về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số – nền tảng thiết yếu để hiểu rõ hơn hành vi của hàm số dưới tác động của đạo hàm. Bài viết này sẽ đi sâu vào các bài tập và lý thuyết liên quan đến sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trong chương trình Toán lớp 12, giúp học sinh củng cố kiến thức và giải toán lớp 12 chương 1 một cách hiệu quả.

Đề Bài

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 4

Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn [(-π)/2; 3π/2] và các hàm số y = |x| trên khoảng (-∞; +∞).

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 5

Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:

a) y = -x²/2 (H.4a)
b) y = 1/x (H.4b)

Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 7

Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không?

Bài 1 (trang 9 SGK Giải tích 12)

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y = 4 + 3x – x²
b)
c) y = x⁴ – 2x² + 3
d) y = -x³ + x² – 5

Phân Tích Yêu Cầu

Các câu hỏi và bài tập trong phần này yêu cầu học sinh xác định các khoảng tăng (đồng biến) và giảm (nghịch biến) của hàm số dựa trên đồ thị hoặc dựa vào dấu của đạo hàm. Để làm được điều này, chúng ta cần hiểu rõ mối liên hệ giữa đạo hàm và sự biến thiên của hàm số. Cụ thể, dấu của đạo hàm sẽ cho biết hàm số đang có xu hướng tăng hay giảm tại một điểm hoặc trên một khoảng xác định. Bài toán cuối cùng yêu cầu áp dụng kiến thức này để khảo sát chi tiết một số hàm đa thức và phân thức.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, chúng ta cần nắm vững các định lý và quy tắc sau:

Định lý 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Định lý 2:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không giảm trên K.
Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không tăng trên K.

Hệ quả:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K, trừ một số hữu hạn điểm, thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K, trừ một số hữu hạn điểm, thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Cách xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) trên một khoảng (a; b):

Tính đạo hàm y’ = f'(x).
Tìm các điểm mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu của f'(x) trên khoảng (a; b).
Dựa vào dấu của f'(x) để kết luận về sự đồng biến (nếu f'(x) > 0) hoặc nghịch biến (nếu f'(x) < 0).

Lưu ý quan trọng: Trong các bài toán, khi hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một đoạn [a; b] hoặc khoảng (a; b), chúng ta thường xét dấu của đạo hàm trên khoảng mở tương ứng, ví dụ (a; b). Các điểm mút a, b hoặc các điểm mà đạo hàm bằng 0, không xác định thì không ảnh hưởng đến tính đồng biến/nghịch biến trên toàn bộ khoảng đó, miễn là đạo hàm có dấu xác định (dương hoặc âm) trên phần lớn của khoảng.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 4:

Hàm số y = cosx trên đoạn [(-π)/2; 3π/2]:
Quan sát đồ thị hàm cosx, ta thấy:
- Hàm số tăng từ điểm (-π/2, 0) lên điểm (0, 1), sau đó giảm từ (0, 1) xuống (π, -1), rồi lại tăng từ (π, -1) lên (3π/2, 0).
- Các khoảng tăng là: [(-π)/2, 0] và [π, 3π/2].
- Khoảng giảm là: [0, π].
Hàm số y = |x| trên khoảng (-∞; +∞):
Đồ thị hàm y = |x| có dạng chữ V, với đỉnh tại gốc tọa độ (0,0).
- Hàm số giảm từ (-∞) về 0. Khoảng giảm là (-∞, 0].
- Hàm số tăng từ 0 về (+∞). Khoảng tăng là [0, +∞).

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 5:

Chúng ta cần xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho.

a) y = -x²/2
Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y’ = -x.

Nếu x < 0, thì y’ = -x > 0. Hàm số đồng biến.
Nếu x > 0, thì y’ = -x < 0. Hàm số nghịch biến.
Tại x = 0, y’ = 0.

Bảng xét dấu đạo hàm:
| x | -∞ | | 0 | | +∞ |
| :—- | :—- | :—- | :—- | :—- | :—- |
| y’ | | + | 0 | – | |
| y | | ↗ | | ↘ | |

b) y = 1/x
Tập xác định: D = R {0}
Đạo hàm: y’ = -1/x².

Với mọi x ≠ 0, x² luôn dương, do đó y’ = -1/x² luôn âm.

Bảng xét dấu đạo hàm:
| x | -∞ | | 0 | | +∞ |
| :—- | :—- | :—- | :—- | :—- | :—- |
| y’ | | – | (kdx) | – | |
| y | | ↘ | | ↘ | |

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 7:

Khẳng định ngược lại với định lý trên là: “Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không?”

Câu trả lời là KHÔNG. Khẳng định ngược lại không đúng.

Xét ví dụ hàm số y = x³.

Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: y’ = 3x².
Ta thấy y’ = 3x² ≥ 0 với mọi x ∈ R. Tại x = 0, y’ = 0.
Dựa vào hệ quả của định lý, vì y’ ≥ 0 với mọi x ∈ R (trừ một điểm x=0), hàm số y = x³ đồng biến trên toàn bộ tập R.

Tuy nhiên, đạo hàm y’ = 3x² chỉ bằng 0 tại x = 0, chứ không phải là luôn dương trên R. Điều này cho thấy, nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng, đạo hàm của nó có thể bằng 0 tại một số điểm hữu hạn, chứ không nhất thiết phải luôn dương hoặc luôn âm trên toàn bộ khoảng đó.

Bài 1 (trang 9 SGK Giải tích 12): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y = 4 + 3x – x²

Tập xác định: D = R.
Tính đạo hàm: y’ = 3 – 2x.
Giải phương trình y’ = 0:
3 – 2x = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3/2.
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | | 3/2 | | +∞ |
| :—- | :——– | :—- | :——– | :—- | :——– |
| y’ | | + | 0 | – | |
| y | -∞ | ↗ | | ↘ | +∞ |
Lưu ý: Giá trị của y tại x = 3/2 là y = 4 + 3(3/2) – (3/2)² = 4 + 9/2 – 9/4 = 16/4 + 18/4 – 9/4 = 25/4.
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 3/2).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (3/2 ; +∞).

b) y = x³ + 3x² – 7x + 1

Tập xác định: D = R.
Tính đạo hàm: y’ = 3x² + 6x – 7.
Giải phương trình y’ = 0:
3x² + 6x – 7 = 0.
Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai: Δ’ = b’² – 3ac = 3² – (3)(-7) = 9 + 21 = 30.
Do Δ’ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x₁ = (-b’ – √Δ’)/a = (-3 – √30)/3
x₂ = (-b’ + √Δ’)/a = (-3 + √30)/3
Lưu ý: Dạng bài này yêu cầu việc sử dụng sqrt{30}. Nghiệm gần đúng: x₁ ≈ -2.81, x₂ ≈ 0.81
Lập bảng biến thiên:
Vì y’ là tam thức bậc hai có hệ số a = 3 > 0, parabol quay bề lõm lên trên. Dấu của y’ là dương ở ngoài hai nghiệm và âm ở giữa hai nghiệm.
| x | -∞ | | Giải bài 1 trang 9 sgk Giải tích 12 | | Giải bài 1 trang 9 sgk Giải tích 12 | | +∞ |
| :—- | :——– | :—- | :—————————————- | :—- | :—————————————- | :—- | :——– |
| y’ | | + | 0 | – | 0 | + | |
| y | -∞ | ↗ | | ↘ | | ↗ | +∞ |
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞ ; (-3 – √30)/3) và ((-3 + √30)/3 ; +∞).
- Hàm số nghịch biến trong khoảng ((-3 – √30)/3; (-3 + √30)/3).

c) y = x⁴ – 2x² + 3

Tập xác định: D = R.
Tính đạo hàm: y’ = 4x³ – 4x.
Giải phương trình y’ = 0:
4x³ – 4x = 0
⇔ 4x(x² – 1) = 0
⇔ 4x(x – 1)(x + 1) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1.
Lập bảng biến thiên:
Các nghiệm được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: -1, 0, 1.
Ta xét dấu của y’ = 4x(x – 1)(x + 1) trong các khoảng xác định bởi các nghiệm này.
- Khoảng (-∞, -1): Chọn x = -2. y’ = 4(-2)(-2-1)(-2+1) = (-8)(-3)(-1) = -24 < 0.
- Khoảng (-1, 0): Chọn x = -0.5. y’ = 4(-0.5)(-0.5-1)(-0.5+1) = (-2)(-1.5)(0.5) = 1.5 > 0.
- Khoảng (0, 1): Chọn x = 0.5. y’ = 4(0.5)(0.5-1)(0.5+1) = (2)(-0.5)(1.5) = -1.5 < 0.
- Khoảng (1, +∞): Chọn x = 2. y’ = 4(2)(2-1)(2+1) = (8)(1)(3) = 24 > 0.
x -∞ -1 0 1 +∞
y’ – 0 + 0 – 0 +
y +∞ ↘ ↗ ↘ ↗ +∞
Giá trị cực trị:
- Tại x = -1: y = (-1)⁴ – 2(-1)² + 3 = 1 – 2 + 3 = 2.
- Tại x = 0: y = 0⁴ – 2(0)² + 3 = 3.
- Tại x = 1: y = 1⁴ – 2(1)² + 3 = 1 – 2 + 3 = 2.
Kết luận:
- Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; -1) và (0 ; 1).
- Hàm số đồng biến trong các khoảng (-1 ; 0) và (1; +∞).

x	-∞		-1		0		1		+∞
y’		–	0	+	0	–	0	+
y	+∞	↘		↗		↘		↗	+∞

d) y = -x³ + x² – 5

Tập xác định: D = R.
Tính đạo hàm: y’ = -3x² + 2x.
Giải phương trình y’ = 0:
-3x² + 2x = 0
⇔ x(-3x + 2) = 0
⇔ x = 0 hoặc -3x + 2 = 0 ⇔ x = 2/3.
Lập bảng biến thiên:
Các nghiệm được sắp xếp: 0, 2/3.
Vì y’ là tam thức bậc hai có hệ số a = -3 < 0, parabol quay bề lõm xuống dưới. Dấu của y’ là âm ở ngoài hai nghiệm và dương ở giữa hai nghiệm.
| x | -∞ | | 0 | | 2/3 | | +∞ |
| :—- | :——– | :—- | :——– | :—- | :——– | :—- | :——– |
| y’ | | – | 0 | + | 0 | – | |
| y | +∞ | ↘ | | ↗ | | ↘ | -∞ |
Giá trị cực trị:
- Tại x = 0: y = -(0)³ + (0)² – 5 = -5.
- Tại x = 2/3: y = -(2/3)³ + (2/3)² – 5 = -8/27 + 4/9 – 5 = -8/27 + 12/27 – 135/27 = -131/27.
Kết luận:
- Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 0) và (2/3 ; + ∞).
- Hàm số đồng biến trong khoảng (0 ; 2/3).

Mẹo kiểm tra:

Đối với hàm đa thức, dấu của đạo hàm thường thay đổi tại mỗi nghiệm đơn.
Luôn kiểm tra xem đạo hàm có phải là tam thức bậc hai không để xác định dấu dựa vào hệ số a và biệt thức Δ.
Đối với các hàm có nghiệm kép hoặc nghiệm bội, dấu của đạo hàm có thể không đổi qua nghiệm đó.

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn dấu của đạo hàm trong các khoảng, đặc biệt với hàm bậc ba hoặc các hàm phức tạp hơn.
Không xác định đúng tập xác định của hàm số hoặc đạo hàm.
Quên hoặc sai sót trong quá trình tính đạo hàm.
Sử dụng sai các ký hiệu toán học khi trình bày, ví dụ: nhầm lẫn giữa “đồng biến” và “nghịch biến”, hoặc nhầm lẫn khoảng với đoạn.

Đáp Án/Kết Quả

Dựa trên phân tích chi tiết các bài tập, ta có các kết quả sau:

Bài tập trang 4: Xác định khoảng tăng/giảm dựa trên đồ thị.
Bài tập trang 5: Phân tích dấu đạo hàm để xác định sự biến thiên của hàm số, nhận thấy đạo hàm y’ = -x cho thấy hàm số tăng khi x < 0 và giảm khi x > 0. Với y’ = -1/x², hàm số luôn nghịch biến trên hai nhánh xác định của nó.
Bài tập trang 7: Khẳng định ngược lại không đúng; hàm số có thể đồng biến hoặc nghịch biến ngay cả khi đạo hàm bằng 0 tại một số điểm hữu hạn. Ví dụ điển hình là hàm số y = x³.
Bài tập trang 9:
- a) y = 4 + 3x – x²: Đồng biến trên (-∞; 3/2), nghịch biến trên (3/2 ; +∞).
- b) y = x³ + 3x² – 7x + 1: Đồng biến trên các khoảng (-∞ ; (-3 – √30)/3) và ((-3 + √30)/3 ; +∞); nghịch biến trên khoảng ((-3 – √30)/3; (-3 + √30)/3).
- c) y = x⁴ – 2x² + 3: Nghịch biến trên (-∞ ; -1) và (0 ; 1); đồng biến trên (-1 ; 0) và (1; +∞).
- d) y = -x³ + x² – 5: Nghịch biến trên (-∞ ; 0) và (2/3 ; + ∞); đồng biến trên (0 ; 2/3).

Bài viết này cung cấp cái nhìn chi tiết về cách ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, là bước đệm quan trọng cho việc vẽ đồ thị hàm số trong chương trình giải toán lớp 12 chương 1.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.