Giải Toán 8 Bài Nhân Đa Thức Với Đa Thức Chuẩn Chuẩn KaTeX

Giải toán 8 bài nhân đa thức với đa thức là một chủ đề quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8, giúp học sinh củng cố và nâng cao kỹ năng làm toán. Tài liệu này cung cấp các bài tập chi tiết, kèm theo lời giải chuẩn xác, được trình bày dưới định dạng Markdown với công thức toán học render chuẩn KaTeX, đảm bảo tính dễ đọc và học thuật.

Đề Bài

A. Bài tập trắc nghiệm nhân đa thức với đa thức

Câu 1: Kết quả của phép tính (left( {x – 4} right)left( {x + 3} right)) bằng:

Câu 2: Kết quả của phép tính (left( {xy + 2} right)left( {{x^2} – 4y} right)) bằng:

Câu 3: Thực hiện phép tính (left( {{x^3} – 4{x^2} + 5x + 7} right)left( {x – 2} right)) rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 2

Câu 4: Thu gọn (left( {frac{1}{2}{x^2} + 3} right)left( {2{x^2} – 4{x^4} + 6} right)) ta được:

Câu 5: Giá trị x thỏa mãn là:

II. Bài tập tự luận nhân đa thức với đa thức

Bài 1: Thực hiện các phép nhân dưới đây:

Bài 2: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức rồi tính giá trị của biểu thức:

a, (A = left( { – 3x + 2} right)left( {4x – 5} right)) tại x = – 1

b, (B = left( {x + 3} right)left( {2{x^2} – 3x + 1} right)) tại x = 2

c, (C = left( {4x + y} right)left( {{x^2} – 5xy + 1} right)) tại (x = frac{1}{2};y = – frac{1}{5})

d, (D = left( {x + 3} right)left( {{x^2} – 3x + 7} right) – left( {21 – {x^3}} right)) tại x = 2

e, (E = left( {5x – 2y} right)left( {{x^2} – xy + 1} right)) tại (x = frac{2}{5};y = 1)

Bài 3: Tìm x, biết: (left( {x – 1} right)left( {x + 3} right) – left( {x – 3} right)left( {x + 4} right) = 19)

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập này yêu cầu học sinh thực hiện phép nhân hai hoặc nhiều đa thức với nhau, rút gọn biểu thức và đôi khi là tính giá trị của biểu thức tại một điểm cho trước hoặc giải một phương trình. Dữ kiện quan trọng bao gồm các hạng tử của đa thức, hệ số, biến số và các giá trị cụ thể. Hướng giải tổng quát là áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức và các quy tắc rút gọn biểu thức đại số.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Quy tắc nhân đa thức với đa thức:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
Công thức tổng quát:
( (a_1 + a_2 + …)(b_1 + b_2 + …) = a_1(b_1 + b_2 + …) + a_2(b_1 + b_2 + …) + … )

2. Quy tắc phân phối:
( a(b+c) = ab + ac )

3. Quy tắc cộng/trừ các hạng tử đồng dạng:
Cộng hoặc trừ các hệ số của các hạng tử có cùng phần biến.

4. Quy tắc lũy thừa:
( x^m cdot x^n = x^{m+n} )

5. Các hằng đẳng thức đáng nhớ (có thể áp dụng để rút gọn):

• ( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 )
• ( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 )
• ( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 )
• ( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 )
• ( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 )
• ( a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) )
• ( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) )

Ví dụ áp dụng quy tắc nhân đa thức:
( (2x+1)(x-3) = 2x(x-3) + 1(x-3) = 2x^2 – 6x + x – 3 = 2x^2 – 5x – 3 )

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1:
Ta thực hiện phép nhân đa thức ( (x-4) ) với ( (x+3) ):
( (x-4)(x+3) = x(x+3) – 4(x+3) )
( = x cdot x + x cdot 3 – 4 cdot x – 4 cdot 3 )
( = x^2 + 3x – 4x – 12 )
( = x^2 – x – 12 )
Vậy đáp án đúng là D.

Câu 2:
Ta thực hiện phép nhân đa thức ( (xy+2) ) với ( (x^2-4y) ):
( (xy+2)(x^2-4y) = xy(x^2-4y) + 2(x^2-4y) )
( = xy cdot x^2 – xy cdot 4y + 2 cdot x^2 – 2 cdot 4y )
( = x^3y – 4xy^2 + 2x^2 – 8y )
Vậy đáp án đúng là C.

Câu 3:
Thực hiện phép nhân đa thức ( (x^3 – 4x^2 + 5x + 7) ) với ( (x-2) ):
( (x^3 – 4x^2 + 5x + 7)(x-2) )
( = x(x^3 – 4x^2 + 5x + 7) – 2(x^3 – 4x^2 + 5x + 7) )
( = (x^4 – 4x^3 + 5x^2 + 7x) – (2x^3 – 8x^2 + 10x + 14) )
( = x^4 – 4x^3 + 5x^2 + 7x – 2x^3 + 8x^2 – 10x – 14 )
( = x^4 + (-4x^3 – 2x^3) + (5x^2 + 8x^2) + (7x – 10x) – 14 )
( = x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 3x – 14 )
Bây giờ, tính giá trị của biểu thức tại x = 2:
( (2)^4 – 6(2)^3 + 13(2)^2 – 3(2) – 14 )
( = 16 – 6(8) + 13(4) – 6 – 14 )
( = 16 – 48 + 52 – 6 – 14 )
( = (16 + 52) – (48 + 6 + 14) )
( = 68 – 68 )
( = 0 )
Vậy đáp án đúng là C.

Câu 4:
Thu gọn (left( {frac{1}{2}{x^2} + 3} right)left( {2{x^2} – 4{x^4} + 6} right)).
Để dễ nhìn, ta sắp xếp lại đa thức thứ hai theo lũy thừa giảm dần: ( (-4x^4 + 2x^2 + 6) ).
( (frac{1}{2}x^2 + 3)(-4x^4 + 2x^2 + 6) )
( = frac{1}{2}x^2(-4x^4 + 2x^2 + 6) + 3(-4x^4 + 2x^2 + 6) )
( = (frac{1}{2}x^2 cdot (-4x^4)) + (frac{1}{2}x^2 cdot 2x^2) + (frac{1}{2}x^2 cdot 6) + (3 cdot (-4x^4)) + (3 cdot 2x^2) + (3 cdot 6) )
( = -2x^6 + x^4 + 3x^2 – 12x^4 + 6x^2 + 18 )
( = -2x^6 + (x^4 – 12x^4) + (3x^2 + 6x^2) + 18 )
( = -2x^6 – 11x^4 + 9x^2 + 18 )
Vậy đáp án đúng là D.

Câu 5: (Lưu ý: Câu hỏi này thiếu dữ kiện đề bài để có thể xác định giá trị x. Dựa vào các lựa chọn, có thể đây là một phương trình ẩn, và đáp án B là (x=1) được cung cấp trong phần lời giải gốc. Tuy nhiên, không có thông tin về phương trình đó trong đề bài trắc nghiệm này.)

Bài tập tự luận

Bài 1:

a, (left( { – 3x + 7} right)left( {2x + 5} right))
( = ( – 3x)(2x + 5) + 7(2x + 5) )
( = (-3x)(2x) + (-3x)(5) + (7)(2x) + (7)(5) )
( = -6x^2 – 15x + 14x + 35 )
( = -6x^2 – x + 35 )

b, (left( {x – 2} right)left( {{x^2} + 4x – 5} right))
( = x(x^2 + 4x – 5) – 2(x^2 + 4x – 5) )
( = (x cdot x^2 + x cdot 4x + x cdot (-5)) – (2 cdot x^2 + 2 cdot 4x + 2 cdot (-5)) )
( = (x^3 + 4x^2 – 5x) – (2x^2 + 8x – 10) )
( = x^3 + 4x^2 – 5x – 2x^2 – 8x + 10 )
( = x^3 + (4x^2 – 2x^2) + (-5x – 8x) + 10 )
( = x^3 + 2x^2 – 13x + 10 )

c, (left( {3x – y} right)left( {2{x^2} + 4xy – 7{y^2}} right))
( = 3x(2x^2 + 4xy – 7y^2) – y(2x^2 + 4xy – 7y^2) )
( = (3x cdot 2x^2 + 3x cdot 4xy + 3x cdot (-7y^2)) – (y cdot 2x^2 + y cdot 4xy + y cdot (-7y^2)) )
( = (6x^3 + 12x^2y – 21xy^2) – (2x^2y + 4xy^2 – 7y^3) )
( = 6x^3 + 12x^2y – 21xy^2 – 2x^2y – 4xy^2 + 7y^3 )
( = 6x^3 + (12x^2y – 2x^2y) + (-21xy^2 – 4xy^2) + 7y^3 )
( = 6x^3 + 10x^2y – 25xy^2 + 7y^3 )

d, (left( {x + 3} right)left( {{x^2} – 4x + 2} right)left( {x – 1} right))
Trước tiên, ta nhân ( (x+3) ) với ( (x-1) ):
( (x+3)(x-1) = x(x-1) + 3(x-1) = x^2 – x + 3x – 3 = x^2 + 2x – 3 )
Bây giờ, nhân kết quả này với ( (x^2 – 4x + 2) ):
( (x^2 + 2x – 3)(x^2 – 4x + 2) )
( = x^2(x^2 – 4x + 2) + 2x(x^2 – 4x + 2) – 3(x^2 – 4x + 2) )
( = (x^4 – 4x^3 + 2x^2) + (2x^3 – 8x^2 + 4x) – (3x^2 – 12x + 6) )
( = x^4 – 4x^3 + 2x^2 + 2x^3 – 8x^2 + 4x – 3x^2 + 12x – 6 )
( = x^4 + (-4x^3 + 2x^3) + (2x^2 – 8x^2 – 3x^2) + (4x + 12x) – 6 )
( = x^4 – 2x^3 – 9x^2 + 16x – 6 )

e, (frac{1}{{2{x^2}y}}left( {2x + y} right)left( {2x – y} right))
Sử dụng hằng đẳng thức ( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 ) với ( a = 2x ) và ( b = y ):
( (2x+y)(2x-y) = (2x)^2 – y^2 = 4x^2 – y^2 )
Do đó, biểu thức trở thành:
( frac{1}{2x^2y} (4x^2 – y^2) )
( = frac{4x^2}{2x^2y} – frac{y^2}{2x^2y} )
( = frac{2}{y} – frac{y}{2x^2} )

f, (left( {12x – 5} right)left( {4x – 1} right))
( = (12x)(4x – 1) – 5(4x – 1) )
( = (12x)(4x) + (12x)(-1) + (-5)(4x) + (-5)(-1) )
( = 48x^2 – 12x – 20x + 5 )
( = 48x^2 – 32x + 5 )

Bài 2:

a, (A = left( { – 3x + 2} right)left( {4x – 5} right))
(A = (-3x)(4x) + (-3x)(-5) + (2)(4x) + (2)(-5) )
(A = -12x^2 + 15x + 8x – 10 )
(A = -12x^2 + 23x – 10 )
Thay x = -1 vào biểu thức A:
(A = -12(-1)^2 + 23(-1) – 10 )
(A = -12(1) – 23 – 10 )
(A = -12 – 23 – 10 )
(A = -45 )

b, (B = left( {x + 3} right)left( {2{x^2} – 3x + 1} right))
(B = x(2x^2 – 3x + 1) + 3(2x^2 – 3x + 1) )
(B = (2x^3 – 3x^2 + x) + (6x^2 – 9x + 3) )
(B = 2x^3 + (-3x^2 + 6x^2) + (x – 9x) + 3 )
(B = 2x^3 + 3x^2 – 8x + 3 )
Thay x = 2 vào biểu thức B:
(B = 2(2)^3 + 3(2)^2 – 8(2) + 3 )
(B = 2(8) + 3(4) – 16 + 3 )
(B = 16 + 12 – 16 + 3 )
(B = 15 )

c, (C = left( {4x + y} right)left( {{x^2} – 5xy + 1} right))
(C = 4x(x^2 – 5xy + 1) + y(x^2 – 5xy + 1) )
(C = (4x^3 – 20x^2y + 4x) + (x^2y – 5xy^2 + y) )
(C = 4x^3 + (-20x^2y + x^2y) – 5xy^2 + 4x + y )
(C = 4x^3 – 19x^2y – 5xy^2 + 4x + y )
Thay (x = frac{1}{2}) và (y = -frac{1}{5}) vào biểu thức C:
(C = 4(frac{1}{2})^3 – 19(frac{1}{2})^2(-frac{1}{5}) – 5(frac{1}{2})(-frac{1}{5})^2 + 4(frac{1}{2}) + (-frac{1}{5}) )
(C = 4(frac{1}{8}) – 19(frac{1}{4})(-frac{1}{5}) – 5(frac{1}{2})(frac{1}{25}) + 2 – frac{1}{5} )
(C = frac{1}{2} + frac{19}{20} – frac{5}{50} + 2 – frac{1}{5} )
(C = frac{1}{2} + frac{19}{20} – frac{1}{10} + 2 – frac{1}{5} )
Quy đồng mẫu số chung là 20:
(C = frac{10}{20} + frac{19}{20} – frac{2}{20} + frac{40}{20} – frac{4}{20} )
(C = frac{10 + 19 – 2 + 40 – 4}{20} = frac{63}{20} )

d, (D = left( {x + 3} right)left( {{x^2} – 3x + 7} right) – left( {21 – {x^3}} right))
Trước tiên, nhân ( (x+3) ) với ( (x^2 – 3x + 7) ):
( (x+3)(x^2 – 3x + 7) )
( = x(x^2 – 3x + 7) + 3(x^2 – 3x + 7) )
( = (x^3 – 3x^2 + 7x) + (3x^2 – 9x + 21) )
( = x^3 + (-3x^2 + 3x^2) + (7x – 9x) + 21 )
( = x^3 – 2x + 21 )
Bây giờ, trừ ( (21 – x^3) ) khỏi kết quả này:
(D = (x^3 – 2x + 21) – (21 – x^3) )
(D = x^3 – 2x + 21 – 21 + x^3 )
(D = (x^3 + x^3) – 2x + (21 – 21) )
(D = 2x^3 – 2x )
Thay x = 2 vào biểu thức D:
(D = 2(2)^3 – 2(2) )
(D = 2(8) – 4 )
(D = 16 – 4 )
(D = 12 )
Lưu ý: Kết quả gốc là 25. Kiểm tra lại phép tính.
( (x + 3) (x^2 – 3x + 7) = x^3 – 3x^2 + 7x + 3x^2 – 9x + 21 = x^3 – 2x + 21 )
( D = (x^3 – 2x + 21) – (21 – x^3) = x^3 – 2x + 21 – 21 + x^3 = 2x^3 – 2x )
Khi x = 2: ( D = 2(2)^3 – 2(2) = 2(8) – 4 = 16 – 4 = 12 ).
Có sự sai khác với đáp án gốc. Tuy nhiên, phép biến đổi algebra là chính xác. Giả sử đáp án gốc có thể sai hoặc đề bài có thể có lỗi. Tôi sẽ giữ kết quả tính toán của mình.
Kiểm tra lại đáp án gốc: Nếu (D = x^3 – 2x + 21) (là kết quả của phép nhân trước khi trừ) và thay x=2 thì (2^3 – 2(2) + 21 = 8 – 4 + 21 = 25). Vậy có lẽ đề bài chỉ yêu cầu tính ( (x+3)(x^2 – 3x + 7) ) chứ không trừ đi ( (21-x^3) ). Tuy nhiên, theo đề bài rõ ràng là có phép trừ. Tôi sẽ tuân thủ phép trừ.
Nếu đề bài gốc ghi là: (D = left( {x + 3} right)left( {{x^2} – 3x + 7} right) – left( {x^3} right)) thì kết quả sẽ khác.
Dựa trên cấu trúc, (D = left( {x + 3} right)left( {{x^2} – 3x + 7} right) – left( {21 – {x^3}} right)) dẫn đến (D = 2x^3 – 2x). Thay (x=2) ta được (12).
Tôi sẽ giả định đề bài gốc có lỗi và đáp án 25 là đúng cho biểu thức ( x^3 – 2x + 21 ) mà không trừ đi ( (21-x^3) ).
Cập nhật: Tôi sẽ giữ phép tính theo đúng đề bài đưa ra. Tuy nhiên, để giải thích cho sự khác biệt với đáp án gốc, tôi sẽ ghi rõ phép tính của mình. Nếu đáp án 25 là đúng, thì có lẽ đề bài gốc đã thiếu dấu trừ trước (x^3) và có thể có lỗi khác.
Tôi sẽ giữ lại phép tính của mình: (D = 2x^3 – 2x). Khi x = 2, (D = 12).

e, (E = left( {5x – 2y} right)left( {{x^2} – xy + 1} right))
(E = 5x(x^2 – xy + 1) – 2y(x^2 – xy + 1) )
(E = (5x^3 – 5x^2y + 5x) – (2x^2y – 2xy^2 + 2y) )
(E = 5x^3 – 5x^2y + 5x – 2x^2y + 2xy^2 – 2y )
(E = 5x^3 + (-5x^2y – 2x^2y) + 2xy^2 + 5x – 2y )
(E = 5x^3 – 7x^2y + 2xy^2 + 5x – 2y )
Thay (x = frac{2}{5}) và (y = 1) vào biểu thức E:
(E = 5(frac{2}{5})^3 – 7(frac{2}{5})^2(1) + 2(frac{2}{5})(1)^2 + 5(frac{2}{5}) – 2(1) )
(E = 5(frac{8}{125}) – 7(frac{4}{25})(1) + 2(frac{2}{5})(1) + 2 – 2 )
(E = frac{40}{125} – frac{28}{25} + frac{4}{5} + 0 )
(E = frac{8}{25} – frac{28}{25} + frac{4}{5} )
Quy đồng mẫu số chung là 25:
(E = frac{8}{25} – frac{28}{25} + frac{20}{25} )
(E = frac{8 – 28 + 20}{25} = frac{0}{25} = 0 )

Bài 3:
Tìm x, biết: (left( {x – 1} right)left( {x + 3} right) – left( {x – 3} right)left( {x + 4} right) = 19)
Bước 1: Thực hiện phép nhân đầu tiên ( (x-1)(x+3) ):
( (x-1)(x+3) = x(x+3) – 1(x+3) = x^2 + 3x – x – 3 = x^2 + 2x – 3 )
Bước 2: Thực hiện phép nhân thứ hai ( (x-3)(x+4) ):
( (x-3)(x+4) = x(x+4) – 3(x+4) = x^2 + 4x – 3x – 12 = x^2 + x – 12 )
Bước 3: Thay kết quả vào phương trình ban đầu:
( (x^2 + 2x – 3) – (x^2 + x – 12) = 19 )
Bước 4: Phá ngoặc và rút gọn:
( x^2 + 2x – 3 – x^2 – x + 12 = 19 )
Gom các hạng tử đồng dạng:
( (x^2 – x^2) + (2x – x) + (-3 + 12) = 19 )
( 0 + x + 9 = 19 )
( x + 9 = 19 )
Bước 5: Giải phương trình tìm x:
( x = 19 – 9 )
( x = 9 )
Vậy nghiệm của phương trình là (x = 9).

Đáp Án/Kết Quả

I. Bài tập trắc nghiệm nhân đa thức với đa thức

II. Bài tập tự luận nhân đa thức với đa thức

Bài 1:

a, ( -6x^2 – x + 35 )
b, ( x^3 + 2x^2 – 13x + 10 )
c, ( 6x^3 + 10x^2y – 25xy^2 + 7y^3 )
d, ( x^4 – 2x^3 – 9x^2 + 16x – 6 )
e, ( frac{2}{y} – frac{y}{2x^2} )
f, ( 48x^2 – 32x + 5 )

Bài 2:

a, (A = -45) tại (x = -1)
b, (B = 15) tại (x = 2)
c, (C = frac{63}{20}) tại (x = frac{1}{2}; y = -frac{1}{5})
d, (D = 12) tại (x = 2) (Kết quả tính toán của tôi là 12, khác với đáp án gốc là 25. Phân tích ở phần hướng dẫn chi tiết đã chỉ ra sự khác biệt này.)
e, (E = 0) tại (x = frac{2}{5}; y = 1)

Bài 3:

Nghiệm của phương trình là (x = 9).

Việc nắm vững kỹ năng giải toán 8 bài nhân đa thức với đa thức không chỉ giúp học sinh hoàn thành tốt các bài kiểm tra mà còn là nền tảng vững chắc cho các kiến thức đại số phức tạp hơn ở các lớp trên. Hãy luyện tập thường xuyên với các dạng bài này để đạt kết quả cao nhất trong học tập.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.