Giải Toán 9 Bài 2 Trang 14 Chân trời sáng tạo: Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong chương trình Toán 9, việc nắm vững kiến thức về phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào giải toán 9 bài 2 trang 14 Chân trời sáng tạo, cung cấp cái nhìn chi tiết về các dạng bài tập, cách giải và những lưu ý quan trọng, giúp học sinh tự tin chinh phục chủ đề này.

Đề Bài

Nội dung gốc của các bài tập được trình bày trong sách giáo khoa Toán 9 Chân trời sáng tạo như sau:

Thực hành 2 trang 12 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Cho phương trình 3x + 2y = 4. (1)

a) Trong 2 cặp số (1;2) và (2;-1), cặp số nào là nghiệm của phương trình(1)?

b) Tìm y_0 để cặp số (4;y_0) là nghiệm của phương trình (1).

c) Tìm thêm 2 nghiệm của phương trình (1).

d) Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình (1) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

Hướng dẫn giải:

a) Cặp số (1; 2) không phải là nghiệm của phương trình (1) vì 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7 \ne 4.

Cặp số (–2; 5) là nghiệm của phương trình (1) vì 3 \cdot (–2) + 2 \cdot 5 = –6 + 10 = 4.

Vậy trong hai cặp số đã cho, cặp số (–2; 5) là nghiệm của phương trình (1).

b) Để cặp số (4; y_0) là nghiệm của phương trình (1) thì 3 \cdot 4 + 2y_0 = 4 hay 12 + 2y_0 = 4 suy ra y_0 = -4.

c) Tìm thêm hai nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 0 vào phương trình (1), ta có: 3 \cdot 0 + 2y = 4 hay 2y = 4 suy ra y = 2.

• Thay x = 2 vào phương trình (1), ta có: 3 \cdot 2 + 2y = 4 hay 6 + 2y = 4 suy ra y = -1.

Vậy hai nghiệm của phương trình (1) khác với các nghiệm trên là (0; 2) và (2; –1).

d) Phương trình (1) có nghiệm là (0; 2) và (2; –1) nên đường thẳng 3x + 2y = 4 đi qua hai điểm A(0; 2) và B(2; –1).

Vậy ta có biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình (1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy như sau:

Biểu diễn nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

Hoạt động 2 trang 12 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Một ô tô đi từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy đi từ B về A. Gọi x (km/h) là tốc độ của ô tô, y (km/h) là tốc độ của xe máy (x > 0, y > 0). Biết rằng:

(1) Tốc độ của ô tô hơn tốc độ xe máy 15 (km/h);

(2) Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ.

a) Từ dữ kiện (1), hãy lập một phương trình hai ẩn x,y.

b) Từ dữ kiện (2), hãy lập thêm một phương trình hai ẩn x, y.

c) Bạn An khẳng định rằng tốc độ của ô tô và xe máy lần lượt là 60 km/h và 45 km/h. Có thể dùng hai phương trình lập được đề kiểm tra khẳng định của bạn An là đúng hay sai không?

Hướng dẫn giải:

a) Tốc độ của ô tô hơn tốc độ xe máy 15 (km/h). Ta có phương trình: x – y = 15 ()

b) Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ. Ta có phương trình: 2x + 2y = 210 ()

c) Thay x = 60; y = 45 vào () ta có: 60 – 45 = 15 (Đúng)

Thay x = 60; y = 45 vào () ta có: 2 \cdot 60 + 2 \cdot 45 = 120 + 90 = 210 (Đúng)

Vậy khẳng định của bạn An là đúng.

Thực hành 3 trang 14 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) left{ {{\begin{array}{{20}{c}}{x + 3y = 0}\{4x - 3y = - 4;}\end{array}}} right.

b) left{ {{\begin{array}{{20}{c}}{\sqrt 3 x + 0y = - 5}\{0x + \frac{4}{5}y = 3;}\end{array}}} right.

c) left{ {{\begin{array}{{20}{c}}{7x + 2y = - 5}\{0x + 0y = 9;}\end{array}}} right.

Hướng dẫn giải:

a) Hệ phương trình left{ {{\begin{array}{{20}{c}}{x + 3y = 0}\{4x - 3y = - 4;}\end{array}}} right. là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = 3, c = 0 và a' = 4, b' = - 3, c' = - 4.

b) Hệ phương trình left{ {{\begin{array}{{20}{c}}{\sqrt 3 x + 0y = - 5}\{0x + \frac{4}{5}y = 3;}\end{array}}} right. là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với a = \sqrt 3 , b = 0, c = - 5 và a' = 0, b' = \frac{4}{5}, c' = 3.

c) Hệ phương trình left{ {{\begin{array}{{20}{c}}{7x + 2y = - 5}\{0x + 0y = 9;}\end{array}}} right. không là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì a' = b' = 0.

Thực hành 4 trang 14 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Cho hệ phương trình left{ {{\begin{array}{l}{x + 5y = 10}\{2x - y = - 13.}\end{array}}} right.

Trong hai cặp số (0;2) và (-5;3), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

Hướng dẫn giải:

Cặp số (0;2) không phải là nghiệm của hệ phương trình vì left{ {{\begin{array}{l}{0 + 5 \cdot 2 = 10}\{2 \cdot 0 - 2 = - 2 \ne - 13.}}\end{array}}} right.

Cặp số (-5;3) là nghiệm của hệ phương trình vì left{ {{\begin{array}{l}{ - 5 + 5 \cdot 3 = 10}\{2 \cdot (-5) - 3 = - 13.}}\end{array}}} right.

Vận dụng trang 14 SGK Toán 9 Chân trời sáng tạo

Đối với bài toán trong Hoạt động khởi động (trang 10), nếu x là số em nhỏ, y là số quả hồng thì ta nhận được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nào?

Hoạt động khởi động: Bài toán cổ:

Một đàn em nhỏ đứng bên sông

To nhỏ bàn nhau chuyện chia hồng

Mỗi người năm trái thừa năm trái

Mỗi người sáu trái một người không

Hỡi người bạn trẻ đang dừng bước

Có mấy em thơ, mấy trái hồng?

Làm thế nào để tính được số em nhỏ (em thơ) và số trái hồng.

Hướng dẫn giải:

“Nếu mỗi người 5 trái thừa 5 trái” thì ta có phương trình: 5x + 5 = y

“Mỗi người 6 trái một người không” thì ta có phương trình: 6(x – 1) = y

Vậy ta có hệ phương trình là: left{ {{\begin{array}{l}{5x + 5 = y}\{6(x - 1) = y}\end{array}}} right. hay left{ {{\begin{array}{l}{5x - y = - 5}\{6x - y = 6}\end{array}}} right..

Bài 1 trang 14 Toán 9 Tập 1:

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Xác định các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đó.

a) 2x + 5y = –7;

b) 0x – 0y = 5;

c) 0x - \frac{5}{4} y = 3;

d) 0,2x + 0y = –1,5.

Hướng dẫn giải:

a) 2x + 5y = –7 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2, b = 5, c = –7.

b) 0x – 0y = 5 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì a = 0 và b = 0.

c) 0x - \frac{5}{4} y = 3 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a=0, b= -\frac{5}{4}, c=3.

d) 0,2x + 0y = –1,5 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0,2; b = 0; c = –1,5.

Bài 2 trang 14 Toán 9 Tập 1: Trong các cặp số (1; 1), (–2; 5), (0; 2), cặp số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau?

a) 4x + 3y = 7;

b) 3x – 4y = –1.

Hướng dẫn giải:

a) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 4 + 3 = 7.

Cặp số (–2; 5) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 \cdot (–2) + 3 \cdot 5 = –8 + 15 = 7.

Cặp số (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 6 \ne 7.

Vậy trong các cặp số đã cho thì có hai cặp số (1; 1) và (–2; 5) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7.

b) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1 vì 3 \cdot 1 – 4 \cdot 1 = 3 – 4 = –1.

Cặp số (–2; 5) không phải là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1 vì 3 \cdot (–2) – 4 \cdot 5 = –6 – 20 = –26 \ne –1.

Cặp số (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1 vì 3 \cdot 0 – 4 \cdot 2 = 0 – 8 = –8 \ne –1.

Vậy trong các cặp số đã cho thì có cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1.

Bài 3 trang 14 Toán 9 Tập 1: Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên tọa độ Oxy.

a) 2x + y = 3

b) 0x - y = 3

c) - 3x + 0y = 2

d) - 2x + y = 0

Hướng dẫn giải:

a) 2x + y = 3

Viết lại phương trình (1) thành y = - 2x + 3

Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = - 2x + 3

Đồ thị đường thẳng y = -2x + 3

b) 0x - y = 3

Viết lại phương trình (1) thành y = - 3

Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = - 3

Đồ thị đường thẳng y = -3

c) - 3x + 0y = 2

Viết lại phương trình (1) thành x=-\frac{2}{3}

Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng d: x=-\frac{2}{3}

Đồ thị đường thẳng x = -2/3

d) - 2x + y = 0

Viết lại phương trình (1) thành y = 2x

Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 2x

Đồ thị đường thẳng y = 2x

Bài 4 trang 14 toán 9 tập 1: Cho hệ phương trình left{ \begin{array}{l} 4x - y = 2 x + 3y = 7 \end{array} right.).</p> <p>Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình đã cho?</p> <p>a) (2; 2)</p> <p>b) (1; 2)</p> <p>c) (- 1; - 2).</p> <p><strong>Hướng dẫn giải:</strong></p> <p>a) Cặp số (2; 2) không là nghiệm của hệ phương trình vì []left{ \begin{array}{l} 4 \cdot 2 - 2= 6 (\ne 2) 2 + 3 \cdot 2 = 8 (\ne 7) \end{array} right.)</p> <p>b) Cặp số (1; 2) là nghiệm của hệ phương trình vì []left{ \begin{array}{l} 4 \cdot 1 - 2= 2 1 + 3 \cdot 2 = 7 \end{array} right.)</p> <p>c) Cặp số (- 1; - 2) không là nghiệm của hệ phương trình vì []left{ \begin{array}{l} 4 \cdot (-1) - (-2)= - 2 (\ne 2) (-1) + 3 \cdot (-2) = - 7 (\ne 7)\end{array} right.)</p> <p><strong>Bài 5 trang 14 toán 9 tập 1:</strong> Cho hai đường thẳng []y=-\frac{1}{2}x+2 và y = - 2x - 1.

a) Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Xác định tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trên.

c) Tọa độ của điểm A có là nghiệm của hệ phương trình left{ \begin{array}{l}x + 2y = 4 2x + y = - 1 \end{array} right. không? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng d1: y=-\frac{1}{2}x+2:

Cho x = 0 thì y = 2

Cho y = 0 thì x = 4

Đường thẳng y=-\frac{1}{2}x+2 đi qua hai điểm M(0; 2) và N(4; 0).

Đường thẳng d2: y = - 2x - 1:

Cho x = 0 thì y = - 1

Cho y = 0 thì x=-\frac{1}{2}

Đường thẳng y = - 2x - 1 đi qua hai điểm P(0; – 1) và Q([-frac{1}{2}]; 0).

Đồ thị hai đường thẳng và giao điểm

b) Hoành độ giao điểm A của hai đường thẳng trên là nghiệm của phương trình:

-\frac{1}{2}x+2=-2x-1 -x+4=-4x-2 3x = - 6 x = - 2

Thay x = -2 vào y = -2x - 1, ta có y = -2(-2) - 1 = 4 - 1 = 3.

Vậy tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng là A(- 2; 3).

c) Tọa độ giao điểm A(- 2; 3) có là nghiệm của hệ phương trình vì left{ \begin{array}{l}- 2 + 2 \cdot 3 = 4 2 \cdot (-2) + 3 = - 1 \end{array} right.

Trắc nghiệm Toán 9 bài 2 Chân trời sáng tạo

Bài trắc nghiệm số: 8647

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trong phần này tập trung vào việc hiểu và áp dụng khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn (ax + by = c với a hoặc b khác 0) và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Yêu cầu chung bao gồm:

• Nhận diện phương trình/hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Kiểm tra xem một cặp số có phải là nghiệm của phương trình/hệ phương trình hay không.
• Tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ.
• Lập phương trình từ các bài toán thực tế.
• Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, liên hệ với nghiệm của hệ phương trình.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Định nghĩa Phương trình bậc nhất hai ẩn: Là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b là các hệ số, c là hằng số, và a hoặc b phải khác 0.
2. Nghiệm của Phương trình bậc nhất hai ẩn: Một cặp số (x_0; y_0) là nghiệm của phương trình ax + by = c nếu khi thay x = x_0 và y = y_0 vào phương trình, ta được một đẳng thức đúng.
3. Tập nghiệm của Phương trình bậc nhất hai ẩn: Mọi phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm này được biểu diễn bởi một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
4. Định nghĩa Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Là một hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn, ví dụ:
   left{ {{\begin{array}{l}{a_1x + b_1y = c_1}\{a_2x + b_2y = c_2}\end{array}}} right.
5. Nghiệm của Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Là cặp số (x; y) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ. Về mặt hình học, nghiệm của hệ phương trình là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi qua từng dạng bài tập cụ thể:

Dạng 1: Kiểm tra cặp số có phải là nghiệm của phương trình/hệ phương trình hay không

Cách làm: Thay tọa độ của cặp số vào từng phương trình của hệ hoặc vào phương trình đã cho. Nếu cặp số thỏa mãn tất cả các phương trình, nó là nghiệm.

• Ví dụ: Bài Thực hành 2a và Bài 2 trang 14.
  Để kiểm tra cặp số (1;2) có phải là nghiệm của 3x + 2y = 4 hay không, ta thay x=1, y=2 vào phương trình: 3(1) + 2(2) = 3 + 4 = 7. Vì 7 \ne 4, nên (1;2) không là nghiệm.

Dạng 2: Tìm nghiệm chưa biết của phương trình/hệ phương trình

Cách làm: Sử dụng phương trình đã cho và thay giá trị đã biết của một ẩn để tìm ẩn còn lại.

• Ví dụ: Bài Thực hành 2b.
  Cho phương trình 3x + 2y = 4 và cặp số (4;y_0) là nghiệm.
  Thay x=4 vào phương trình: 3(4) + 2y_0 = 4
  12 + 2y_0 = 4
  2y_0 = 4 - 12
  2y_0 = -8
  y_0 = -4.

Dạng 3: Tìm thêm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Cách làm: Vì phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm, ta có thể chọn tùy ý một giá trị cho một ẩn (ví dụ: x=0, x=1, y=0…) rồi thay vào phương trình để tìm giá trị tương ứng của ẩn còn lại.

• Ví dụ: Bài Thực hành 2c.
  Để tìm nghiệm mới cho 3x + 2y = 4:
  Chọn x = 0 => 3(0) + 2y = 4 => 2y = 4 => y = 2. Ta có nghiệm (0; 2).
  Chọn x = 2 => 3(2) + 2y = 4 => 6 + 2y = 4 => 2y = -2 => y = -1. Ta có nghiệm (2; -1).

Dạng 4: Biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

Cách làm:

1. Tìm hai nghiệm bất kỳ của phương trình bậc nhất hai ẩn.
2. Xác định tọa độ của hai nghiệm này trên mặt phẳng Oxy.
3. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó. Đường thẳng này chính là tập nghiệm của phương trình.

• Ví dụ: Bài Thực hành 2d và Bài 3.
  Với phương trình 3x + 2y = 4, ta tìm được hai nghiệm là (0; 2) và (2; -1). Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 2) và B(2; -1).

Dạng 5: Lập phương trình từ bài toán thực tế

Cách làm:

1. Xác định các đại lượng chưa biết và đặt biến cho chúng (ví dụ: x, y).
2. Dựa vào các mối quan hệ được cho trong đề bài, thiết lập phương trình tương ứng.

• Ví dụ: Hoạt động 2a, 2b và Vận dụng.
  Trong bài toán ô tô và xe máy (Hoạt động 2), với x là tốc độ ô tô và y là tốc độ xe máy:
  Dữ kiện (1) “Tốc độ ô tô hơn tốc độ xe máy 15 km/h” cho ta phương trình x - y = 15.
  Dữ kiện (2) “Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ” cho ta phương trình 2x + 2y = 210 (vì tổng quãng đường hai xe đi được bằng quãng đường AB).

Dạng 6: Xác định nghiệm của hệ phương trình

Cách làm:

1. Kiểm tra cặp số: Thay cặp số vào cả hai phương trình. Nếu thỏa mãn cả hai, đó là nghiệm. (Bài 4 trang 14).
2. Tìm giao điểm hai đường thẳng: Lập phương trình hoành độ giao điểm bằng cách cho hai biểu thức y bằng nhau. Giải phương trình này để tìm x, sau đó thay x vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm y. Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ phương trình. (Bài 5 trang 14).

• Ví dụ: Bài 5c.
  Hệ phương trình left{ \begin{array}{l}x + 2y = 4 2x + y = - 1 \end{array} right. tương ứng với hai đường thẳng y=-\frac{1}{2}x+2 và y = - 2x - 1. Tọa độ giao điểm A(-2; 3) của hai đường thẳng này chính là nghiệm của hệ phương trình.

Dạng 7: Nhận biết phương trình/hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cách làm: Kiểm tra dạng ax + by = c và điều kiện a hoặc b khác 0. Đối với hệ phương trình, cả hai phương trình trong hệ phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Ví dụ