GIẢI TOÁN 9 BÀI 2 TRANG 10 | Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Và Hệ Phương Trình (CTST)

Chuyên mục giải toán 9 bài 2 trang 10 là tài liệu không thể thiếu cho các em học sinh đang tiếp cận chương trình Toán 9 sách Chân trời sáng tạo (CTST). Bài 2, tập trung vào Phương trình bậc nhất hai ẩn và Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, đặt nền móng quan trọng cho kiến thức đại số. Việc nắm vững các khái niệm và biểu diễn nghiệm là điều cấp thiết để giải quyết các bài tập trang 14 và những vấn đề thực tiễn phức tạp hơn. Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết, phân tích chuyên sâu và lời giải đầy đủ cho các hoạt động và bài tập liên quan.

Tổng Quan Về Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những nội dung cơ bản nhất của đại số, đóng vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa các mối quan hệ tuyến tính. Việc hiểu rõ cấu trúc và tính chất của nó là chìa khóa để tiến tới giải các hệ phương trình phức tạp hơn.

Khái Niệm Và Dạng Tổng Quát Của Phương Trình

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là $ax + by = c$, trong đó $x$ và $y$ là hai ẩn số cần tìm. Các hệ số $a, b, c$ là những số đã cho, và điều kiện bắt buộc là $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0. Cặp số $(x_0; y_0)$ được gọi là nghiệm của phương trình nếu khi thay thế $x$ bằng $x_0$ và $y$ bằng $y_0$ vào phương trình, ta được một đẳng thức đúng. Phương trình này có vô số nghiệm và tập hợp tất cả các nghiệm đó được biểu diễn bằng một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Thực Hành 2 Trang 12: Kiểm Tra Và Tìm Nghiệm

Bài tập Thực hành 2 giúp củng cố định nghĩa nghiệm và phương pháp tìm nghiệm cho phương trình $3x + 2y = 4$. Đây là bước đầu tiên để làm quen với việc xử lý phương trình bậc nhất hai ẩn số.

Kiểm Tra Các Cặp Số Cho Trước Có Là Nghiệm Hay Không

Để kiểm tra một cặp số $(x_0; y_0)$ có phải là nghiệm của phương trình $3x + 2y = 4$ hay không, ta thay các giá trị này vào vế trái của phương trình và so sánh kết quả với vế phải.
Cụ thể, với cặp số $(1; 2)$, ta có: $3 cdot 1 + 2 cdot 2 = 3 + 4 = 7$. Vì $7 neq 4$, nên cặp số $(1; 2)$ không là nghiệm.
Với cặp số $(–2; 5)$, ta có: $3 cdot (–2) + 2 cdot 5 = –6 + 10 = 4$. Vì $4 = 4$ (vế phải), nên cặp số $(–2; 5)$ chính là nghiệm của phương trình.
Quá trình này khẳng định một cặp số là nghiệm chỉ khi nó thỏa mãn phương trình đó một cách tuyệt đối.

Tìm Ẩn Số Còn Lại Khi Một Ẩn Số Đã Biết

Yêu cầu tìm giá trị $y_0$ để cặp số $(4; y_0)$ là nghiệm của phương trình đòi hỏi kỹ năng thay thế và giải phương trình bậc nhất một ẩn.
Thay $x = 4$ vào phương trình $3x + 2y = 4$, ta được phương trình mới: $3 cdot 4 + 2y_0 = 4$.
Đơn giản hóa phương trình ta có $12 + 2y_0 = 4$.
Chuyển vế, ta được $2y_0 = 4 – 12 = -8$.
Giải phương trình một ẩn này, ta tìm được $y_0 = frac{-8}{2} = -4$.
Vậy, cặp số $(4; -4)$ là một nghiệm khác của phương trình $3x + 2y = 4$.

Cách Tìm Thêm Hai Nghiệm Đơn Giản

Để tìm thêm nghiệm, chúng ta chỉ cần chọn ngẫu nhiên một giá trị cho $x$ (hoặc $y$) rồi thay vào phương trình để tính toán giá trị của ẩn số còn lại.
Trường hợp 1: Chọn $x = 0$. Thay vào phương trình, ta có: $3 cdot 0 + 2y = 4$, suy ra $2y = 4$, hay $y = 2$. Ta có nghiệm $(0; 2)$.
Trường hợp 2: Chọn $x = 2$. Thay vào phương trình, ta có: $3 cdot 2 + 2y = 4$, suy ra $6 + 2y = 4$. Giải phương trình, ta được $2y = 4 – 6 = -2$, hay $y = -1$. Ta có nghiệm $(2; -1)$.
Hai nghiệm bổ sung này cùng với các nghiệm đã tìm được chứng minh rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Biểu Diễn Tập Hợp Nghiệm Trên Mặt Phẳng Tọa Độ

Tất cả các nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bằng một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Để vẽ đường thẳng này, chúng ta chỉ cần xác định tọa độ của hai nghiệm bất kỳ của phương trình.
Phương trình $3x + 2y = 4$ đi qua hai điểm $A(0; 2)$ và $B(2; -1)$ mà chúng ta vừa tìm được.

Thực hành 2 trang 12 Toán 9 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 9

Đồ thị trên minh họa đường thẳng biểu diễn tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình $3x + 2y = 4$. Bất kỳ điểm nào nằm trên đường thẳng này đều là nghiệm của phương trình đã cho.

Ứng Dụng Thực Tế Của Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán có nhiều đại lượng liên quan và cần tìm đồng thời hai giá trị. Các bài toán thực tế thường được chuyển đổi thành hệ phương trình để tìm lời giải.

Hoạt Động 2 Trang 12: Mô Hình Hóa Bài Toán Về Vận Tốc

Hoạt động 2 là một ví dụ điển hình về việc sử dụng hệ phương trình để giải quyết bài toán chuyển động. Gọi $x$ là tốc độ của ô tô và $y$ là tốc độ của xe máy ($x > 0, y > 0$).

Lập Phương Trình Từ Dữ Kiện Về Tốc Độ

Dữ kiện (1) nêu rằng “Tốc độ của ô tô hơn tốc độ xe máy 15 (km/h)”.
Điều này được chuyển thành phương trình thể hiện sự chênh lệch giữa hai tốc độ:
$x – y = 15$ ().
Phương trình này chỉ ra mối quan hệ đơn giản giữa hai ẩn số.

Lập Phương Trình Từ Dữ Kiện Về Quãng Đường Và Thời Gian Gặp Nhau

Dữ kiện (2) cho biết “Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ”.
Trong 2 giờ, ô tô đi được quãng đường là $2x$ (km), và xe máy đi được quãng đường là $2y$ (km).
Vì hai xe đi ngược chiều và gặp nhau, tổng quãng đường cả hai đi được bằng tổng quãng đường $AB$:
$2x + 2y = 210$ ().
Hai phương trình () và () tạo thành một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Kiểm Tra Tính Chính Xác Của Khẳng Định

Bạn An khẳng định tốc độ của ô tô và xe máy lần lượt là $x=60$ km/h và $y=45$ km/h. Để kiểm tra, ta thay cặp số $(60; 45)$ vào cả hai phương trình của hệ:

1. Kiểm tra phương trình (): $60 – 45 = 15$. (Đúng)
2. Kiểm tra phương trình (): $2 cdot 60 + 2 cdot 45 = 120 + 90 = 210$. (Đúng)
   Vì cặp số $(60; 45)$ thỏa mãn cả hai phương trình, nên khẳng định của bạn An là chính xác. Việc kiểm tra nghiệm là một bước quan trọng để đảm bảo tính logic và độ tin cậy của lời giải trong các bài toán thực tế.

Phân Tích Chuyên Sâu Về Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là $left{ begin{array}{l} ax + by = c a’x + b’y = c’ end{array} right.$. Hệ này chỉ là hệ bậc nhất hai ẩn nếu tất cả các phương trình thành phần đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Thực Hành 3 Trang 14: Nhận Dạng Hệ Phương Trình

Thực hành 3 yêu cầu xác định hệ nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Điều kiện là trong mỗi phương trình, các hệ số của $x$ và $y$ không đồng thời bằng 0.

Phân Tích Chi Tiết Các Hệ Phương Trình

• Hệ a) $left{ begin{array}{l} x + 3y = 0 4x – 3y = -4 end{array} right.$

  • Phương trình trên: $a=1, b=3$. Cả $a$ và $b$ đều khác 0.
  • Phương trình dưới: $a’=4, b’=-3$. Cả $a’$ và $b’$ đều khác 0.
  • Kết luận: Hệ này là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Hệ b) $left{ begin{array}{l} sqrt{3}x + 0y = -5 0x + frac{4}{5}y = 3 end{array} right.$

  • Phương trình trên: $a=sqrt{3}, b=0$. $a neq 0$.
  • Phương trình dưới: $a’=0, b’=frac{4}{5}$. $b’ neq 0$.
  • Kết luận: Hệ này là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì mỗi phương trình đều là phương trình bậc nhất hai ẩn số.

• Hệ c) $left{ begin{array}{l} 7x + 2y = -5 0x + 0y = 9 end{array} right.$

  • Phương trình trên: $a=7, b=2$. Thỏa mãn.
  • Phương trình dưới: $a’=0, b’=0$. Hai hệ số này đồng thời bằng 0, làm cho phương trình trở thành $0 = 9$ (vô lý).
  • Kết luận: Hệ này không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì phương trình thứ hai không thỏa mãn điều kiện.

Thực Hành 4 Trang 14: Kiểm Tra Nghiệm Của Hệ Phương Trình

Nghiệm của Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp số $(x_0; y_0)$ thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình trong hệ.
Hệ phương trình $left{ begin{array}{l} x + 5y = 10 2x – y = -13 end{array} right.$ được dùng để kiểm tra tính chất này.

Phân Tích Cặp Số $(0; 2)$

Thay $x=0, y=2$ vào hệ phương trình:

• Phương trình 1: $0 + 5 cdot 2 = 10$. (Đúng)
• Phương trình 2: $2 cdot 0 – 2 = -2$. (Sai, vì $-2 neq -13$)
  Vì cặp số $(0; 2)$ không thỏa mãn phương trình thứ hai, nên nó không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Phân Tích Cặp Số $(-5; 3)$

Thay $x=-5, y=3$ vào hệ phương trình:

• Phương trình 1: $-5 + 5 cdot 3 = -5 + 15 = 10$. (Đúng)
• Phương trình 2: $2 cdot (-5) – 3 = -10 – 3 = -13$. (Đúng)
  Vì cặp số $(-5; 3)$ thỏa mãn cả hai phương trình, nên nó chính là nghiệm của hệ phương trình.

Vận Dụng Trang 14: Lập Hệ Phương Trình Từ Bài Toán Cổ

Bài toán cổ về chia hồng là một bài toán quen thuộc, giúp học sinh thực hành kỹ năng chuyển lời văn sang mô hình toán học.
Gọi $x$ là số em nhỏ (em thơ) và $y$ là số quả hồng. Điều kiện là $x, y$ là số nguyên dương.

• Dữ kiện 1: “Mỗi người năm trái thừa năm trái”.
  Nếu mỗi em nhỏ nhận 5 trái, tổng số hồng đã chia là $5x$, và còn thừa 5 trái.
  Phương trình 1: $y = 5x + 5$ hay $5x – y = -5$.

• Dữ kiện 2: “Mỗi người sáu trái một người không”.
  Nếu mỗi em nhận 6 trái, sẽ có một em không nhận được trái hồng nào (tức là chỉ có $x-1$ em nhận được).
  Tổng số hồng đã chia chính xác bằng số hồng ban đầu $y$.
  Phương trình 2: $y = 6(x – 1)$ hay $6x – 6 = y$, tức là $6x – y = 6$.

Kết quả là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: $left{ begin{array}{l} 5x – y = -5 6x – y = 6 end{array} right.$.
Giải hệ này (bằng phương pháp cộng hoặc thế), ta tìm được $x = 11$ (em thơ) và $y = 60$ (trái hồng).

Giải Chi Tiết Các Bài Tập Sách Giáo Khoa Trang 14

Phần bài tập trang 14 cung cấp các dạng bài tập tổng hợp để học sinh tự luyện tập, kiểm tra khả năng nhận dạng và giải toán 9 bài 2 trang 10 một cách toàn diện.

Bài 1: Xác Định Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Bài 1 củng cố lại định nghĩa $ax + by = c$, với điều kiện $a$ hoặc $b$ phải khác 0.

Việc nhận diện đúng các hệ số là nền tảng để học sinh thực hiện các phép biến đổi và giải phương trình sau này. Các trường hợp $a=0$ hoặc $b=0$ vẫn là phương trình bậc nhất hai ẩn nếu ẩn số còn lại có hệ số khác 0.

Bài 2: Kiểm Tra Nghiệm Của Phương Trình Đơn Lẻ

Bài 2 tiếp tục rèn luyện kỹ năng kiểm tra cặp số có là nghiệm hay không cho các phương trình độc lập.

Phương Trình a) $4x + 3y = 7$

• Cặp $(1; 1)$: $4 cdot 1 + 3 cdot 1 = 7$. (Là nghiệm)
• Cặp $(–2; 5)$: $4 cdot (–2) + 3 cdot 5 = -8 + 15 = 7$. (Là nghiệm)
• Cặp $(0; 2)$: $4 cdot 0 + 3 cdot 2 = 6$. Vì $6 neq 7$. (Không là nghiệm)

Phương Trình b) $3x – 4y = –1$

• Cặp $(1; 1)$: $3 cdot 1 – 4 cdot 1 = 3 – 4 = –1$. (Là nghiệm)
• Cặp $(–2; 5)$: $3 cdot (–2) – 4 cdot 5 = -6 – 20 = –26$. Vì $-26 neq –1$. (Không là nghiệm)
• Cặp $(0; 2)$: $3 cdot 0 – 4 cdot 2 = -8$. Vì $-8 neq –1$. (Không là nghiệm)

Chỉ một sai sót nhỏ trong phép tính cũng dẫn đến kết luận sai về nghiệm. Tính toán cẩn thận là yếu tố quyết định.

Bài 3: Biểu Diễn Tập Nghiệm Trên Mặt Phẳng Tọa Độ

Bài 3 yêu cầu biểu diễn tất cả các nghiệm bằng hình học, tức là vẽ đường thẳng tương ứng với phương trình.

a) $2x + y = 3$

Viết lại dưới dạng hàm số bậc nhất $y = -2x + 3$. Đường thẳng này có hệ số góc $k=-2$ và cắt trục tung tại $y=3$.
Nghiệm $(0; 3)$ và nghiệm $(1,5; 0)$ là hai điểm cơ bản để vẽ đường thẳng.

Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

b) $0x – y = 3$

Viết lại thành $y = -3$. Đây là một trường hợp đặc biệt, một đường thẳng song song với trục hoành $Ox$.
Mọi điểm trên đường thẳng này đều có tung độ bằng $-3$.

Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

c) $-3x + 0y = 2$

Viết lại thành $x = -frac{2}{3}$. Đây là một đường thẳng song song với trục tung $Oy$.
Mọi điểm trên đường thẳng này đều có hoành độ bằng $-frac{2}{3}$.

Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

d) $-2x + y = 0$

Viết lại thành $y = 2x$. Đây là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ với hệ số góc $k=2$.
Đường thẳng đi qua $O(0; 0)$ và điểm $(1; 2)$.

Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Các trường hợp đặc biệt $x=h$ và $y=k$ rất quan trọng, chúng thể hiện các đường thẳng đứng và đường thẳng ngang trên mặt phẳng tọa độ.

Bài 4: Kiểm Tra Nghiệm Của Hệ Phương Trình

Bài 4 yêu cầu kiểm tra nghiệm cho hệ $left{ begin{array}{l} 4x – y = 2 x + 3y = 7 end{array} right.$.

• Cặp (2; 2):

  • PT 1: $4 cdot 2 – 2 = 6$. (Sai, $6 neq 2$)
  • PT 2: $2 + 3 cdot 2 = 8$. (Sai, $8 neq 7$)
  • Kết luận: (2; 2) không là nghiệm.

• Cặp (1; 2):

  • PT 1: $4 cdot 1 – 2 = 2$. (Đúng)
  • PT 2: $1 + 3 cdot 2 = 7$. (Đúng)
  • Kết luận: (1; 2) là nghiệm.

• Cặp (-1; -2):

  • PT 1: $4 cdot (-1) – (-2) = -4 + 2 = -2$. (Sai, $-2 neq 2$)
  • PT 2: $(-1) + 3 cdot (-2) = -7$. (Sai, $-7 neq 7$)
  • Kết luận: (-1; -2) không là nghiệm.

Cặp số $(1; 2)$ là nghiệm duy nhất trong các lựa chọn vì nó thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.

Bài 5: Mối Liên Hệ Giữa Nghiệm Của Hệ Phương Trình Và Giao Điểm Đồ Thị

Bài 5 minh họa trực quan mối quan hệ giữa nghiệm của hệ phương trình và tọa độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình đó. Đây là ý nghĩa hình học quan trọng nhất của hệ phương trình.

a) Vẽ Đồ Thị Hai Đường Thẳng

• Đường thẳng $d_1$: $y = -frac{1}{2}x + 2$

  • Cho $x=0$, $y=2$. Điểm $M(0; 2)$.
  • Cho $y=0$, $-frac{1}{2}x + 2 = 0 Rightarrow x=4$. Điểm $N(4; 0)$.
  • $d_1$ đi qua $M(0; 2)$ và $N(4; 0)$.

• Đường thẳng $d_2$: $y = -2x – 1$

  • Cho $x=0$, $y=-1$. Điểm $P(0; -1)$.
  • Cho $y=0$, $-2x – 1 = 0 Rightarrow x=-frac{1}{2}$. Điểm $Q(-frac{1}{2}; 0)$.
  • $d_2$ đi qua $P(0; -1)$ và $Q(-frac{1}{2}; 0)$.

Hình vẽ minh họa sự cắt nhau của hai đường thẳng tại điểm $A$.

Đồ thị hai đường thẳng cắt nhau

b) Xác Định Tọa Độ Giao Điểm A

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
$-frac{1}{2}x + 2 = -2x – 1$.
Nhân cả hai vế với 2 để khử mẫu: $-x + 4 = -4x – 2$.
Chuyển $x$ về một vế: $-x + 4x = -2 – 4$, tức là $3x = -6$.
Giải ra $x = -2$.
Thay $x = -2$ vào $d_2$: $y = -2(-2) – 1 = 4 – 1 = 3$.
Tọa độ giao điểm $A$ là $(-2; 3)$.

c) Kiểm Tra Nghiệm Của Hệ Phương Trình

Hệ phương trình $left{ begin{array}{l} x + 2y = 4 2x + y = -1 end{array} right.$ là hệ tương ứng với hai đường thẳng trên.

• Phương trình 1: $x + 2y = 4 Rightarrow 2y = 4 – x Rightarrow y = -frac{1}{2}x + 2$ (Chính là $d_1$).
• Phương trình 2: $2x + y = -1 Rightarrow y = -2x – 1$ (Chính là $d_2$).

Vì tọa độ giao điểm $A(-2; 3)$ nằm trên cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, điều đó có nghĩa là khi thay $x=-2$ và $y=3$ vào hệ phương trình, cả hai phương trình đều được thỏa mãn.

• PT 1: $-2 + 2 cdot 3 = -2 + 6 = 4$. (Đúng)
• PT 2: $2 cdot (-2) + 3 = -4 + 3 = -1$. (Đúng)
  Kết luận: Tọa độ của điểm $A$ chính là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Điều này khẳng định mối liên hệ hình học – đại số giữa giao điểm của hai đường thẳng và nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Việc thực hiện nhuần nhuyễn các bài tập từ Thực hành 2 trang 12 đến Bài 5 trang 14 giúp học sinh xây dựng sự tự tin trong việc xử lý các bài toán liên quan đến Phương trình bậc nhất hai ẩn và Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng tài liệu giải toán 9 bài 2 trang 10 này đã cung cấp một lộ trình học tập rõ ràng và chi tiết, giúp các em học sinh nắm vững toàn bộ kiến thức và ứng dụng hiệu quả vào thực tế. Kiến thức này là bước đệm quan trọng để các em tiếp tục chinh phục những chuyên đề toán học nâng cao hơn.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất November 28, 2025 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.