Giải Toán 11 trang 74 Tập 1 Kết nối tri thức: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

by Thầy Đông · January 15, 2026

Rate this post

Đề Bài

Luyện tập 3 trang 74 Toán 11 Tập 1: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).

Lời giải:
Ta có hai đường thẳng BM và CN cắt nhau tại điểm A.
Do đó, điểm A thuộc đường thẳng BM nên cũng thuộc mặt phẳng (SBM), điểm A thuộc đường thẳng CN nên cũng thuộc mặt phẳng (SCN). Vậy A là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).
Vì S và A là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng SA. Ta viết SA = (SBM) ∩ (SCN).

HĐ6 trang 74 Toán 11 Tập 1: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C phân biệt (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?

Lời giải:
Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt B, C thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABC) hay mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng d. Điểm A thuộc mặt phẳng (ABC) hay mặt phẳng (ABC) chứa điểm A.
Mặt phẳng (ABC) chứa các điểm A, B, C nên mặt phẳng (ABC) chứa hai đường thẳng AB và BC.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài viết này tập trung vào việc giải chi tiết các bài tập thuộc trang 74, sách Toán 11, Tập 1, bộ sách Kết nối tri thức. Mục tiêu là cung cấp lời giải rõ ràng, dễ hiểu, đồng thời bổ sung kiến thức nền tảng và phương pháp để học sinh có thể tự tin nắm vững chủ đề “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian”. Chúng ta sẽ phân tích từng bài tập, làm rõ yêu cầu, cung cấp các kiến thức liên quan và hướng dẫn giải từng bước.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán liên quan đến giao tuyến của hai mặt phẳng và các tính chất của mặt phẳng, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa và định lý cơ bản sau:

Định nghĩa mặt phẳng:
- Mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng.
- Mặt phẳng được xác định bởi một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
- Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau.
- Mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng song song.
Tính chất về giao tuyến của hai mặt phẳng:
- Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung, chúng sẽ có một giao tuyến là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.
- Nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung, giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó.
- Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), ta cần tìm hai điểm chung (nếu có) của hai mặt phẳng đó. Nếu tìm được hai điểm chung A và B, thì giao tuyến chính là đường thẳng AB.
Các phép toán trên tập hợp điểm:
- Giao của hai tập hợp điểm là tập hợp các điểm chung của chúng.
- Hợp của hai tập hợp điểm là tập hợp tất cả các điểm thuộc một trong hai tập hợp đó.
Quan hệ giữa điểm và mặt phẳng:
- Một điểm thuộc mặt phẳng nếu nó nằm trên mặt phẳng đó.
- Một đường thẳng thuộc mặt phẳng nếu mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.

Các kiến thức này là nền tảng để chúng ta phân tích và giải quyết các bài toán hình học không gian một cách chính xác.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Luyện tập 3 trang 74 Toán 11 Tập 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN)

Đề bài: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).

Phân tích yêu cầu: Bài toán yêu cầu tìm giao tuyến của hai mặt phẳng được cho trước là (SBM) và (SCN). Để tìm giao tuyến, chúng ta cần tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng này.

Kiến thức cần dùng: Định nghĩa giao tuyến của hai mặt phẳng.

Hướng dẫn giải chi tiết:
Chúng ta cần tìm các điểm chung của mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (SCN).
Quan sát tên hai mặt phẳng, ta thấy điểm S chung cho cả hai mặt phẳng. Do đó, S là một điểm chung.
Tiếp theo, ta xem xét các đường thẳng tạo nên hai mặt phẳng này. Mặt phẳng (SBM) được tạo bởi các điểm S, B, M. Mặt phẳng (SCN) được tạo bởi các điểm S, C, N.
Trong đề bài gốc (mà bài tập này tham chiếu đến Ví dụ 3), thường sẽ có các điểm được định nghĩa sẵn. Giả sử trong cấu hình hình học của Ví dụ 3, hai đường thẳng BM và CN cắt nhau tại một điểm A.
Nếu BM và CN cắt nhau tại A, thì:

Điểm A nằm trên đường thẳng BM. Vì BM là một phần của mặt phẳng (SBM), nên A thuộc mặt phẳng (SBM).
Điểm A nằm trên đường thẳng CN. Vì CN là một phần của mặt phẳng (SCN), nên A thuộc mặt phẳng (SCN).
Như vậy, A là một điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).

Chúng ta đã tìm được hai điểm chung là S và A. Theo định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng, nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt thì giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó.
Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN) là đường thẳng SA.

Ta có thể viết kết quả dưới dạng:
$(SBM) cap (SCN) = SA$

Mẹo kiểm tra:

Đảm bảo rằng điểm S thực sự thuộc cả hai mặt phẳng.
Đảm bảo rằng điểm A (giao điểm của BM và CN) thực sự thuộc cả hai mặt phẳng. Điều này xảy ra nếu BM và CN cùng nằm trong một mặt phẳng phụ, hoặc nếu A là giao điểm của hai đường thẳng mà mỗi đường thẳng thuộc một mặt phẳng. Trong trường hợp này, A thuộc BM (nằm trong (SBM)) và A thuộc CN (nằm trong (SCN)).

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn giữa các điểm hoặc các mặt phẳng.
Không tìm đủ hai điểm chung hoặc xác định sai điểm chung.
Không sử dụng đúng định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng.

HĐ6 trang 74 Toán 11 Tập 1: Tính chất của mặt phẳng (ABC)

Đề bài: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C phân biệt (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?

Phân tích yêu cầu: Bài toán này kiểm tra sự hiểu biết về cách một mặt phẳng được xác định và các tính chất cơ bản của nó khi chứa các điểm và đường thẳng cho trước.

Kiến thức cần dùng:

Mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng.
Một đường thẳng thuộc mặt phẳng nếu hai điểm bất kỳ của đường thẳng đó thuộc mặt phẳng.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Phần 1: Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không?

Chứa điểm A: Theo quy ước đặt tên mặt phẳng, mặt phẳng (ABC) được xác định bởi ba điểm A, B, C. Do đó, theo định nghĩa, điểm A chắc chắn thuộc mặt phẳng (ABC).
Chứa đường thẳng d:
- Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt B và C.
- Theo đề bài, điểm B thuộc đường thẳng d. Vì B là một trong ba điểm xác định mặt phẳng (ABC), nên B thuộc mặt phẳng (ABC).
- Điểm C cũng thuộc đường thẳng d. Vì C là một trong ba điểm xác định mặt phẳng (ABC), nên C thuộc mặt phẳng (ABC).
- Vì cả hai điểm B và C đều thuộc mặt phẳng (ABC), và đường thẳng d là đường thẳng đi qua B và C, nên theo tính chất của mặt phẳng, đường thẳng d phải nằm hoàn toàn trong mặt phẳng (ABC). Nói cách khác, mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng d.

Phần 2: Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?

Chứa đường thẳng AB:
- Mặt phẳng (ABC) được xác định bởi ba điểm A, B, C.
- Điểm A thuộc mặt phẳng (ABC).
- Điểm B thuộc mặt phẳng (ABC).
- Vì cả hai điểm A và B đều thuộc mặt phẳng (ABC), nên đường thẳng AB, là đường thẳng đi qua A và B, phải nằm trong mặt phẳng (ABC).
Chứa đường thẳng BC:
- Tương tự, điểm B thuộc mặt phẳng (ABC).
- Điểm C thuộc mặt phẳng (ABC).
- Vì cả hai điểm B và C đều thuộc mặt phẳng (ABC), nên đường thẳng BC, là đường thẳng đi qua B và C, phải nằm trong mặt phẳng (ABC).

Kết luận cho HĐ6:
Mặt phẳng (ABC) chứa cả điểm A và đường thẳng d (vì d đi qua B và C, mà B, C thuộc (ABC)). Mặt phẳng (ABC) cũng chứa cả hai đường thẳng AB và BC. Điều này hoàn toàn phù hợp với định nghĩa mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng.

Mẹo kiểm tra:

Luôn nhớ rằng một mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng.
Nếu một đường thẳng có hai điểm thuộc mặt phẳng, thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng.

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn giữa việc một điểm thuộc mặt phẳng và đường thẳng thuộc mặt phẳng.
Không nhận ra rằng đường thẳng d chính là đường thẳng BC trong ngữ cảnh này.
Hiểu sai cách một mặt phẳng được xác định.

Đáp Án/Kết Quả

Kết quả Luyện tập 3 trang 74:
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN) là đường thẳng SA, tức là $(SBM) cap (SCN) = SA$ .

Kết quả HĐ6 trang 74:

Mặt phẳng (ABC) chứa điểm A.
Mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng d (vì d đi qua B và C, là hai điểm thuộc (ABC)).
Mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng AB.
Mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng BC.

Conclusion

Bài viết này đã cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập Giải Toán 11 trang 74, Tập 1, bộ sách Kết nối tri thức, bao gồm Luyện tập 3 và HĐ6. Chúng ta đã đi sâu vào việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách tìm hai điểm chung và làm rõ các tính chất cơ bản của mặt phẳng khi nó chứa các điểm và đường thẳng cho trước. Việc nắm vững các định nghĩa và định lý về mặt phẳng, đường thẳng và giao tuyến là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán hình học không gian. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh củng cố kiến thức và tự tin hơn trong học tập.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.