Giải Bài 10 Trang 88 Toán 12 Tập 2 Cánh Diều: Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

by Thầy Đông · January 15, 2026

Rate this post

Chào mừng bạn đến với bài viết chi tiết về cách giải giải bài 10 trang 88 toán 12 tập 2 cánh diều. Trong chuyên đề Hình học không gian, việc xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng, đòi hỏi sự hiểu biết về vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và các công thức liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn từng bước để giải quyết bài toán này một cách chính xác và hiệu quả, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng vào các bài tập tương tự.

Đề Bài

Dưới đây là nội dung chi tiết của bài toán:

Đường thẳng ∆ có phương trình tham số:
$x = -1 + 2t$
$y = 4 - 3t$
$z = -1 + 4t$
(với t là tham số)

Mặt phẳng (P) có phương trình:
$x + y + z + 3 = 0$

Yêu cầu: Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ.

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta tính góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng cho trước. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các yếu tố hình học quan trọng của đường thẳng và mặt phẳng, cụ thể là vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Sau đó, chúng ta sẽ sử dụng mối quan hệ giữa các vectơ này để tính góc giữa chúng, từ đó suy ra góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Một đường thẳng trong không gian có vô số vectơ chỉ phương, nhưng chúng đều cùng phương với nhau. Nếu đường thẳng d có phương trình tham số là:
$x = x_0 + at$
$y = y_0 + bt$
$z = z_0 + ct$
thì vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→ = (a; b; c).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, nhưng chúng đều cùng phương với nhau. Nếu mặt phẳng (P) có phương trình là:
$Ax + By + Cz + D = 0$
thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = (A; B; C).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Gọi α là góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). Gọi θ là góc giữa vectơ chỉ phương u→ của đường thẳng ∆ và vectơ pháp tuyến n→ của mặt phẳng (P). Ta có mối quan hệ:
$\sin alpha = |\cos theta| = \frac{|u→ \cdot n→|}{|u→| |n→|}$
Trong đó:
- u→ cdot n→ là tích vô hướng của hai vectơ.
- |u→| là độ dài của vectơ u→.
- |n→| là độ dài của vectơ n→.
Lưu ý: Góc α giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn nằm trong khoảng [0°, 90°].

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức trên để giải bài toán này từng bước:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Đường thẳng ∆ có phương trình tham số:
$x = -1 + 2t$
$y = 4 - 3t$
$z = -1 + 4t$
Từ phương trình này, ta xác định được vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u→ = (2; -3; 4).

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (P) có phương trình:
$x + y + z + 3 = 0$
Từ phương trình này, ta xác định được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = (1; 1; 1).

Bước 3: Tính tích vô hướng của hai vectơ u→ và n→.
$u→ \cdot n→ = (2)(1) + (-3)(1) + (4)(1)$
$u→ \cdot n→ = 2 - 3 + 4$
$u→ \cdot n→ = 3$

Bước 4: Tính độ dài của hai vectơ u→ và n→.
Độ dài của vectơ u→:
$|u→| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2}$
$|u→| = \sqrt{4 + 9 + 16}$
$|u→| = \sqrt{29}$

Độ dài của vectơ n→:
$|n→| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}$
$|n→| = \sqrt{1 + 1 + 1}$
$|n→| = \sqrt{3}$

Bước 5: Tính sin của góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).
Sử dụng công thức:
$\sin alpha = \frac{|u→ \cdot n→|}{|u→| |n→|}$
$\sin alpha = \frac{|3|}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{3}}$
$\sin alpha = \frac{3}{\sqrt{87}}$

Bước 6: Tính góc α và làm tròn kết quả.
Để tính góc α, ta sử dụng hàm arcsin:
$alpha = arcsinleft(\frac{3}{\sqrt{87}}\right)$

Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị:
$\frac{3}{\sqrt{87}} \approx \frac{3}{9.327} \approx 0.3216$
$alpha = arcsin(0.3216) \approx 18.75°$

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ:
$alpha \approx 19°$

Mẹo kiểm tra:

Đảm bảo bạn đã xác định đúng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.
Kiểm tra lại các phép tính bình phương, cộng và căn bậc hai.
Sử dụng máy tính để tính giá trị cuối cùng và làm tròn theo yêu cầu.

Lỗi hay gặp:

Nhầm lẫn giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.
Sai sót trong quá trình tính tích vô hướng hoặc độ dài vectơ.
Quên lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng khi tính sin góc.
Làm tròn sai kết quả.

Đáp Án/Kết Quả

Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) là khoảng 19°.

Kết thúc bài viết này, hy vọng bạn đã nắm vững cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập tương tự sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và tự tin hơn khi đối mặt với các dạng toán phức tạp hơn trong chương trình giải bài 10 trang 88 toán 12 tập 2 cánh diều.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.