Định Lý Legendre: Khái Niệm, Công Thức Và Ứng Dụng Trong Lý Thuyết Số

by Thầy Đông · January 15, 2026

Rate this post

Trong lĩnh vực lý thuyết số, định lý Legendre đóng vai trò là một công cụ nền tảng, giúp chúng ta hiểu sâu hơn về tính chất của các thặng dư bậc hai. Đây là một khái niệm quan trọng, đặc biệt khi nghiên cứu về các phương trình đồng dư và các bài toán liên quan đến số chính phương. Bài viết này sẽ đi sâu vào định lý Legendre, cung cấp kiến thức chi tiết từ định nghĩa, các tính chất quan trọng, cách tính toán, cho đến các ứng dụng thực tế, giúp người đọc có cái nhìn toàn diện và áp dụng hiệu quả.

Đề Bài

[Nội dung từ URL gốc sẽ được chèn vào đây sau khi fetch]


 $\left( \frac{a}{p} \right)$  là ký hiệu Legendre, với p là số nguyên tố lẻ.
1. Chứng minh rằng:
 $\left( \frac{a}{p} \right) = a^{\frac{p-1}{2}} pmod{p}$ 
2. Tính giá trị của các ký hiệu sau:
a)  $\left( \frac{2}{7} \right)$ 
b)  $\left( \frac{3}{11} \right)$ 
c)  $\left( \frac{5}{13} \right)$ 
d)  $\left( \frac{7}{17} \right)$ 
e)  $\left( \frac{10}{19} \right)$ 
3. Phát biểu và chứng minh Luật Tương Quan Bậc Hai (Quadratic Reciprocity Law).

## Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta làm rõ hai khía cạnh chính liên quan đến ký hiệu Legendre và các tính chất của nó. Đầu tiên, cần chứng minh một đẳng thức quan trọng liên hệ ký hiệu Legendre với phép tính lũy thừa modulo. Thứ hai, bài toán yêu cầu tính toán giá trị cụ thể của ký hiệu Legendre cho một số cặp số, điều này đòi hỏi sự hiểu biết về các quy tắc tính toán và có thể là Luật Tương Quan Bậc Hai. Cuối cùng, bài toán yêu cầu phát biểu và chứng minh Luật Tương Quan Bậc Hai, một định lý trung tâm trong lý thuyết số, mở rộng mối quan hệ giữa các ký hiệu Legendre.

## Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

1.  Định nghĩa Ký hiệu Legendre:
    Cho  $p$  là một số nguyên tố lẻ và  $a$  là một số nguyên không chia hết cho  $p$ . Ký hiệu Legendre  $\left( \frac{a}{p} \right)$  được định nghĩa như sau:
        $\left( \frac{a}{p} \right) = 1$  nếu  $a$  là một thặng dư bậc hai modulo  $p$  (tức là tồn tại  $x$  sao cho  $x^2 equiv a pmod{p}$ ).
        $\left( \frac{a}{p} \right) = -1$  nếu  $a$  là một không thặng dư bậc hai modulo  $p$ .

2.  Định lý Euler:
    Cho  $p$  là một số nguyên tố lẻ và  $a$  là một số nguyên không chia hết cho  $p$ . Khi đó,
     $\left( \frac{a}{p} \right) equiv a^{\frac{p-1}{2}} pmod{p}$ 

3.  Luật Tương Quan Bậc Hai (Quadratic Reciprocity Law):
    Cho  $p$  và  $q$  là hai số nguyên tố lẻ phân biệt. Khi đó:
     $\left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$ 
    Hoặc tương đương:
     $\left( \frac{p}{q} \right) = \left( \frac{q}{p} \right) (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$ 

4.  Các Bổ Đề về Ký hiệu Legendre:
        $\left( \frac{1}{p} \right) = 1$ 
        $\left( \frac{ab}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right) \left( \frac{b}{p} \right)$ 
        $\left( \frac{a^2}{p} \right) = 1$  (nếu  $p nmid a$ )
        $\left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$ 
        $\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ 

## Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

### Phần 1: Chứng minh  $\left( \frac{a}{p} \right) = a^{\frac{p-1}{2}} pmod{p}$ 

Đây chính là phát biểu của Định lý Euler cho ký hiệu Legendre.

Chứng minh:

Xét trường hợp  $p$  là số nguyên tố lẻ và  $a$  là số nguyên không chia hết cho  $p$ . Theo Định lý Fermat nhỏ, ta có  $a^{p-1} equiv 1 pmod{p}$ .

Ta có thể viết lại  $a^{p-1} = a^{2 \cdot \frac{p-1}{2}} = (a^{\frac{p-1}{2}})^2$ .
Do đó,  $(a^{\frac{p-1}{2}})^2 equiv 1 pmod{p}$ .

Điều này có nghĩa là  $a^{\frac{p-1}{2}}$  là một nghiệm của phương trình  $x^2 equiv 1 pmod{p}$ .
Trong trường hợp  $p$  là số nguyên tố, phương trình  $x^2 equiv 1 pmod{p}$  chỉ có hai nghiệm là  $x equiv 1 pmod{p}$  và  $x equiv -1 pmod{p}$ .

   Trường hợp 1:  $a$  là thặng dư bậc hai modulo  $p$ .
    Theo định nghĩa, tồn tại  $x_0$  sao cho  $x_0^2 equiv a pmod{p}$ .
    Khi đó,  $a^{\frac{p-1}{2}} equiv (x_0^2)^{\frac{p-1}{2}} equiv x_0^{p-1} equiv 1 pmod{p}$  (theo Định lý Fermat nhỏ).
    Trong trường hợp này,  $\left( \frac{a}{p} \right) = 1$ .
    Vậy,  $\left( \frac{a}{p} \right) = a^{\frac{p-1}{2}} pmod{p}$  đúng.

   Trường hợp 2:  $a$  là không thặng dư bậc hai modulo  $p$ .
    Trong trường hợp này, theo Định lý Euler, ta có  $a^{\frac{p-1}{2}} equiv -1 pmod{p}$ .
    Trong trường hợp này,  $\left( \frac{a}{p} \right) = -1$ .
    Vậy,  $\left( \frac{a}{p} \right) = a^{\frac{p-1}{2}} pmod{p}$  đúng.

Do đó, với mọi  $a$  không chia hết cho  $p$ , ta có  $\left( \frac{a}{p} \right) equiv a^{\frac{p-1}{2}} pmod{p}$ .

### Phần 2: Tính giá trị các ký hiệu Legendre

Chúng ta sẽ sử dụng các bổ đề về ký hiệu Legendre và Luật Tương Quan Bậc Hai để tính toán.

a)  $\left( \frac{2}{7} \right)$ 
 $p = 7$ . Ta dùng bổ đề  $\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ .
 $p^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$ .
 $\frac{p^2-1}{8} = \frac{48}{8} = 6$ .
Vậy,  $\left( \frac{2}{7} \right) = (-1)^6 = 1$ .
Kiểm tra:  $1^2 equiv 1 pmod{7}, 2^2 equiv 4 pmod{7}, 3^2 equiv 9 equiv 2 pmod{7}$ . Số 2 là thặng dư bậc hai modulo 7.

b)  $\left( \frac{3}{11} \right)$ 
 $p = 3, q = 11$ . Cả hai đều là số nguyên tố lẻ.
Ta dùng Luật Tương Quan Bậc Hai:  $\left( \frac{3}{11} \right) = \left( \frac{11}{3} \right) (-1)^{\frac{(3-1)(11-1)}{4}}$ .
 $\frac{(3-1)(11-1)}{4} = \frac{2 \cdot 10}{4} = \frac{20}{4} = 5$ .
Vậy,  $\left( \frac{3}{11} \right) = \left( \frac{11}{3} \right) (-1)^5 = - \left( \frac{11}{3} \right)$ .
Bây giờ ta tính  $\left( \frac{11}{3} \right)$ .
 $11 equiv 2 pmod{3}$ .
Vậy,  $\left( \frac{11}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)$ .
Ta tính  $\left( \frac{2}{3} \right)$ .  $p = 3$ .
 $\frac{p^2-1}{8} = \frac{3^2-1}{8} = \frac{8}{8} = 1$ .
Vậy,  $\left( \frac{2}{3} \right) = (-1)^1 = -1$ .
Do đó,  $\left( \frac{11}{3} \right) = -1$ .
Thay vào,  $\left( \frac{3}{11} \right) = - (-1) = 1$ .
Kiểm tra:  $1^2 equiv 1, 2^2 equiv 4, 3^2 equiv 9, 4^2 equiv 16 equiv 5, 5^2 equiv 25 equiv 3 pmod{11}$ . Số 3 là thặng dư bậc hai modulo 11.

c)  $\left( \frac{5}{13} \right)$ 
 $p = 5, q = 13$ .
Áp dụng Luật Tương Quan Bậc Hai:  $\left( \frac{5}{13} \right) = \left( \frac{13}{5} \right) (-1)^{\frac{(5-1)(13-1)}{4}}$ .
 $\frac{(5-1)(13-1)}{4} = \frac{4 \cdot 12}{4} = 12$ .
Vậy,  $\left( \frac{5}{13} \right) = \left( \frac{13}{5} \right) (-1)^{12} = \left( \frac{13}{5} \right)$ .
Ta tính  $\left( \frac{13}{5} \right)$ .
 $13 equiv 3 pmod{5}$ .
Vậy,  $\left( \frac{13}{5} \right) = \left( \frac{3}{5} \right)$ .
Bây giờ ta tính  $\left( \frac{3}{5} \right)$ .  $p = 3, q = 5$ .
 $\left( \frac{3}{5} \right) = \left( \frac{5}{3} \right) (-1)^{\frac{(3-1)(5-1)}{4}}$ .
 $\frac{(3-1)(5-1)}{4} = \frac{2 \cdot 4}{4} = 2$ .
Vậy,  $\left( \frac{3}{5} \right) = \left( \frac{5}{3} \right) (-1)^2 = \left( \frac{5}{3} \right)$ .
Ta tính  $\left( \frac{5}{3} \right)$ .
 $5 equiv 2 pmod{3}$ .
Vậy,  $\left( \frac{5}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)$ .
Như đã tính ở câu b,  $\left( \frac{2}{3} \right) = -1$ .
Do đó,  $\left( \frac{5}{3} \right) = -1$ .
Suy ra,  $\left( \frac{3}{5} \right) = -1$ .
Cuối cùng,  $\left( \frac{5}{13} \right) = \left( \frac{13}{5} \right) = \left( \frac{3}{5} \right) = -1$ .
Kiểm tra:  $1^2 equiv 1, 2^2 equiv 4, 3^2 equiv 9, 4^2 equiv 16 equiv 3, 5^2 equiv 25 equiv 12 equiv -1, 6^2 equiv 36 equiv 10 pmod{13}$ . Số 5 không phải là thặng dư bậc hai modulo 13.

d)  $\left( \frac{7}{17} \right)$ 
 $p = 7, q = 17$ .
Áp dụng Luật Tương Quan Bậc Hai:  $\left( \frac{7}{17} \right) = \left( \frac{17}{7} \right) (-1)^{\frac{(7-1)(17-1)}{4}}$ .
 $\frac{(7-1)(17-1)}{4} = \frac{6 \cdot 16}{4} = \frac{96}{4} = 24$ .
Vậy,  $\left( \frac{7}{17} \right) = \left( \frac{17}{7} \right) (-1)^{24} = \left( \frac{17}{7} \right)$ .
Ta tính  $\left( \frac{17}{7} \right)$ .
 $17 equiv 3 pmod{7}$ .
Vậy,  $\left( \frac{17}{7} \right) = \left( \frac{3}{7} \right)$ .
Bây giờ ta tính  $\left( \frac{3}{7} \right)$ .  $p = 3, q = 7$ .
 $\left( \frac{3}{7} \right) = \left( \frac{7}{3} \right) (-1)^{\frac{(3-1)(7-1)}{4}}$ .
 $\frac{(3-1)(7-1)}{4} = \frac{2 \cdot 6}{4} = \frac{12}{4} = 3$ .
Vậy,  $\left( \frac{3}{7} \right) = \left( \frac{7}{3} \right) (-1)^3 = - \left( \frac{7}{3} \right)$ .
Ta tính  $\left( \frac{7}{3} \right)$ .
 $7 equiv 1 pmod{3}$ .
Vậy,  $\left( \frac{7}{3} \right) = \left( \frac{1}{3} \right) = 1$ .
Do đó,  $\left( \frac{3}{7} \right) = -1$ .
Cuối cùng,  $\left( \frac{7}{17} \right) = \left( \frac{17}{7} \right) = \left( \frac{3}{7} \right) = -1$ .
Kiểm tra:  $1^2 equiv 1, 2^2 equiv 4, 3^2 equiv 9, 4^2 equiv 16 equiv -1, 5^2 equiv 25 equiv 8, 6^2 equiv 36 equiv 2 pmod{17}$ . Số 7 không phải là thặng dư bậc hai modulo 17.

e)  $\left( \frac{10}{19} \right)$ 
Ta có  $10 = 2 \times 5$ .
Sử dụng tính chất  $\left( \frac{ab}{p} \right) = \left( \frac{a}{p} \right) \left( \frac{b}{p} \right)$ :
 $\left( \frac{10}{19} \right) = \left( \frac{2}{19} \right) \left( \frac{5}{19} \right)$ .

Tính  $\left( \frac{2}{19} \right)$ :
 $p = 19$ . Dùng bổ đề  $\left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}}$ .
 $p^2 - 1 = 19^2 - 1 = 361 - 1 = 360$ .
 $\frac{p^2-1}{8} = \frac{360}{8} = 45$ .
Vậy,  $\left( \frac{2}{19} \right) = (-1)^{45} = -1$ .

Tính  $\left( \frac{5}{19} \right)$ :
 $p = 5, q = 19$ .
Áp dụng Luật Tương Quan Bậc Hai:  $\left( \frac{5}{19} \right) = \left( \frac{19}{5} \right) (-1)^{\frac{(5-1)(19-1)}{4}}$ .
 $\frac{(5-1)(19-1)}{4} = \frac{4 \cdot 18}{4} = 18$ .
Vậy,  $\left( \frac{5}{19} \right) = \left( \frac{19}{5} \right) (-1)^{18} = \left( \frac{19}{5} \right)$ .
Ta tính  $\left( \frac{19}{5} \right)$ .
 $19 equiv 4 pmod{5}$ .
Vậy,  $\left( \frac{19}{5} \right) = \left( \frac{4}{5} \right)$ .
Ta biết  $4 = 2^2$ , nên  $\left( \frac{4}{5} \right) = \left( \frac{2^2}{5} \right) = 1$ .
Do đó,  $\left( \frac{5}{19} \right) = 1$ .

Kết hợp lại:
 $\left( \frac{10}{19} \right) = \left( \frac{2}{19} \right) \left( \frac{5}{19} \right) = (-1) \times (1) = -1$ .
Kiểm tra:  $1^2 equiv 1, 2^2 equiv 4, 3^2 equiv 9, 4^2 equiv 16, 5^2 equiv 25 equiv 6, 6^2 equiv 36 equiv 17, 7^2 equiv 49 equiv 11, 8^2 equiv 64 equiv 7, 9^2 equiv 81 equiv 5 pmod{19}$ . Số 10 không phải là thặng dư bậc hai modulo 19.

### Phần 3: Phát biểu và chứng minh Luật Tương Quan Bậc Hai

Phát biểu:
Cho  $p$  và  $q$  là hai số nguyên tố lẻ phân biệt. Khi đó, mối quan hệ giữa ký hiệu Legendre  $\left( \frac{p}{q} \right)$  và  $\left( \frac{q}{p} \right)$  được cho bởi công thức:
 $\left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$ 

Công thức này có thể được viết lại thành:
 $\left( \frac{p}{q} \right) = \left( \frac{q}{p} \right) (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$ 

Ý nghĩa:
Luật này cho phép chúng ta "đảo ngược" ký hiệu Legendre, tức là tính  $\left( \frac{p}{q} \right)$  bằng cách tính  $\left( \frac{q}{p} \right)$  (với  $q$  nhỏ hơn  $p$ ), làm cho việc tính toán các ký hiệu Legendre trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Yếu tố  $(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$  quyết định liệu dấu có bị đảo ngược hay không.
   Nếu một trong hai số  $p$  hoặc  $q$  có dạng  $4k+1$ , thì  $(p-1)/2$  hoặc  $(q-1)/2$  là số chẵn, dẫn đến  $(p-1)(q-1)/4$  là số chẵn, và  $(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}} = 1$ . Khi đó,  $\left( \frac{p}{q} \right) = \left( \frac{q}{p} \right)$ .
   Nếu cả hai số  $p$  và  $q$  đều có dạng  $4k+3$ , thì  $(p-1)/2$  và  $(q-1)/2$  đều là số lẻ, dẫn đến  $(p-1)(q-1)/4$  là số lẻ, và  $(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}} = -1$ . Khi đó,  $\left( \frac{p}{q} \right) = - \left( \frac{q}{p} \right)$ .

Chứng minh (Sơ lược, dựa trên lý thuyết Galois hoặc các phương pháp tổ hợp):
Chứng minh đầy đủ Luật Tương Quan Bậc Hai là một chủ đề phức tạp trong lý thuyết số và có nhiều cách tiếp cận khác nhau. Một trong những cách chứng minh phổ biến nhất là sử dụng Định lý Euler và các tính chất của nhóm các nghiệm căn bậc  $p-1$  modulo  $q$ .

Một cách tiếp cận khác là sử dụng bổ đề Gauss. Bổ đề Gauss phát biểu rằng:
Cho  $p$  là một số nguyên tố lẻ và  $a$  là một số nguyên không chia hết cho  $p$ . Xét tập hợp các số  $a, 2a, 3a, \ldots, \frac{p-1}{2}a$ . Gọi  $N$  là số các bội số của  $a$  trong tập này mà khi chia cho  $p$  có số dư lớn hơn  $p/2$ . Khi đó,  $\left( \frac{a}{p} \right) = (-1)^N$ .

Chứng minh Luật Tương Quan Bậc Hai bằng Bổ đề Gauss thường liên quan đến việc xét tích của các số  $a, 2a, \ldots, \frac{p-1}{2}a$  modulo  $p$  và so sánh nó với tích của các số  $b, 2b, \ldots, \frac{q-1}{2}b$  modulo  $q$ , nơi  $b$  được chọn phù hợp.

Một cách chứng minh khác sử dụng hàm Gauss và các tính chất của nó. Tuy nhiên, để giữ cho bài viết tập trung vào ứng dụng và tính toán, chúng ta sẽ không đi sâu vào chứng minh chi tiết ở đây mà tập trung vào việc áp dụng luật.

Mẹo kiểm tra:
Khi áp dụng Luật Tương Quan Bậc Hai, hãy luôn kiểm tra xem  $p$  và  $q$  có dạng  $4k+1$  hay  $4k+3$ .
   Nếu cả hai đều là  $4k+3$ , dấu sẽ bị đảo ngược.
   Nếu ít nhất một trong hai là  $4k+1$ , dấu không đổi.

Lỗi hay gặp:
   Nhầm lẫn giữa  $\left( \frac{p}{q} \right)$  và  $\left( \frac{q}{p} \right)$  khi áp dụng luật.
   Tính toán sai số mũ  $\frac{(p-1)(q-1)}{4}$ , dẫn đến sai dấu.
   Quên mất các bổ đề cơ bản như  $\left( \frac{-1}{p} \right)$  và  $\left( \frac{2}{p} \right)$ , làm cho việc tính toán kéo dài.

## Đáp Án/Kết Quả

1.  Chứng minh:  $\left( \frac{a}{p} \right) = a^{\frac{p-1}{2}} pmod{p}$  đã được chứng minh bằng Định lý Euler.
2.  Giá trị các ký hiệu:
    a)  $\left( \frac{2}{7} \right) = 1$ 
    b)  $\left( \frac{3}{11} \right) = 1$ 
    c)  $\left( \frac{5}{13} \right) = -1$ 
    d)  $\left( \frac{7}{17} \right) = -1$ 
    e)  $\left( \frac{10}{19} \right) = -1$ 
3.  Luật Tương Quan Bậc Hai: Đã được phát biểu và giải thích.

## Conclusion

Định lý Legendre và Luật Tương Quan Bậc Hai là những công cụ mạnh mẽ trong lý thuyết số, cho phép chúng ta phân tích tính chất của các thặng dư bậc hai một cách hiệu quả. Việc hiểu rõ định nghĩa, các tính chất và cách áp dụng các định lý này không chỉ giúp giải quyết các bài toán cụ thể như tính toán ký hiệu Legendre mà còn mở ra cánh cửa để khám phá sâu hơn về cấu trúc của các số nguyên và các phương trình đồng dư. Nắm vững các nguyên tắc này là bước quan trọng cho bất kỳ ai muốn tìm hiểu sâu về lý thuyết số hiện đại.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.