Giải Toán 9 trang 48 Tập 1 Kết nối tri thức: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

by Thầy Đông · January 16, 2026

Rate this post

Giải Toán 9 trang 48 Tập 1, thuộc Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai trong bộ sách Kết nối tri thức, cung cấp các bài tập vận dụng kiến thức về căn bậc hai, căn thức bậc hai. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích, hướng dẫn chi tiết từng bước giải, giúp học sinh nắm vững phương pháp và tự tin chinh phục các dạng bài tương tự.

Đề Bài

Dưới đây là các bài tập được trích xuất nguyên văn từ trang 48, sách Toán 9, Tập 1, bộ sách Kết nối tri thức.

Luyện tập 5 trang 48 Toán 9 Tập 1

a) Rút gọn biểu thức $xsqrt{x^6}$ với $x < 0[/katex]. b) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức [katex]x+4x^2-4x+1$ tại $x = -2,5$ .

Vận dụng trang 48 Toán 9 Tập 1

Trở lại tình huống mở đầu: Một vật rơi tự do từ độ cao 122,5 mét.

a) Viết công thức tính thời gian $t$ (giây) cần thiết để vật rơi được quãng đường $S$ (mét).

b) Sử dụng công thức tìm được trong câu a, hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Bài 3.1 trang 48 Toán 9 Tập 1

Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) 24,5;

b) $\frac{9}{10}$ .

Bài 3.2 trang 48 Toán 9 Tập 1

Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng 2 $m^2$ . Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?

Bài 3.3 trang 48 Toán 9 Tập 1

Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{x+10}$ và tính giá trị của căn thức tại $x = -1$ .

Bài 3.4 trang 48 Toán 9 Tập 1

Tính: $\sqrt{5,1^2}$ ; $\sqrt{(-4,9)^2}$ ; $\sqrt{(-0,001)^2}$ .

Bài 3.5 trang 48 Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{(2-5)^2}$ ;

b) $\sqrt{(3x)^2}$ với $x < 0[/katex]; c) [katex]\sqrt{x^2-4x+4}$ với $x < 2[/katex]. <h3>Bài 3.6 trang 48 Toán 9 Tập 1</h3> Không dùng máy tính bỏ túi, chứng tỏ biểu thức [katex]A$ có giá trị là số nguyên: $A=\sqrt{1+\sqrt{2^2}}- \sqrt{1-\sqrt{2^2}}$ .

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập từ Luyện tập 5 đến Bài 3.6 đều xoay quanh chủ đề căn bậc hai và căn thức bậc hai. Yêu cầu chung là thực hiện các phép biến đổi đại số, rút gọn biểu thức, tính giá trị và xác định điều kiện xác định. Đặc biệt, các bài tập yêu cầu sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học, tính chất của căn bậc hai số học ( $\sqrt{a^2} = |a|$ ), và áp dụng vào các tình huống thực tế (vận dụng).

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa căn bậc hai: Căn bậc hai của một số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2 = a$ . Số dương $a$ có hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$ .
Căn bậc hai số học: Với số dương $a$ , $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$ .
Tính chất:
- $\sqrt{a^2} = |a|$ với mọi số $a$ .
- $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ với $a \ge 0, b \ge 0$ .
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a \ge 0, b > 0$ .
Căn thức bậc hai: Biểu thức $\sqrt{A}$ xác định khi và chỉ khi $A \ge 0$ .
Công thức nghiệm phương trình bậc hai: Trong bài Vận dụng, có thể liên quan đến công thức tính quãng đường rơi tự do $S = \frac{1}{2}gt^2$ , với $g$ là gia tốc trọng trường. Trong trường hợp này, $g \approx 9,8 m/s^2$ , nên $S = 4,9t^2$ .
Làm tròn số: Quy tắc làm tròn số thập phân.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Luyện tập 5 trang 48

a) Rút gọn biểu thức $xsqrt{x^6}$ với $x < 0[/katex]. <ul> <li>Phân tích: Ta cần rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai của một lũy thừa bậc chẵn. Áp dụng công thức [katex]\sqrt{a^2} = |a|$ .

Bước 1: Biến đổi $x^6$ về dạng bình phương của một biểu thức. Ta có $x^6 = (x^3)^2$ .

Bước 2: Áp dụng công thức $\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$ .

Bước 3: Xét dấu của $x^3$ . Vì $x < 0[/katex], nên [katex]x^3 < 0[/katex]. Do đó, [katex]|x^3| = -x^3[/katex].</li> <li>Bước 4: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu: [katex]xsqrt{x^6} = x \cdot (-x^3) = -x^4$ .

Mẹo kiểm tra: Thay một giá trị $x$ âm, ví dụ $x = -1$ . Biểu thức ban đầu là katexsqrt{(-1)^6} = (-1)sqrt{1} = -1[/katex]. Kết quả rút gọn là $-(-1)^4 = -(1) = -1$ . Hai kết quả trùng khớp.

Lỗi hay gặp: Quên xét dấu của $x^3$ khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, dẫn đến kết quả sai.

b) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức $x+4x^2-4x+1$ tại $x = -2,5$ .

Phân tích: Biểu thức dưới dấu căn là một tam thức bậc hai. Ta cần kiểm tra xem nó có phải là bình phương của một biểu thức hay không.
Bước 1: Nhận dạng biểu thức dưới dấu căn: $x^2 - 4x + 1$ . Đây không phải là một bình phương hoàn chỉnh. Tuy nhiên, đề bài có thể có lỗi đánh máy hoặc ý đồ khác. Giả sử đề bài là $\sqrt{x^2 - 4x + 4}$ hoặc tương tự.
Nếu đề bài gốc là $\sqrt{x^2-4x+1}$ , việc rút gọn sẽ phức tạp hơn và có thể không đưa về dạng đơn giản.
Tuy nhiên, dựa vào cách giải của bài gốc, có vẻ như đề bài muốn nói đến biểu thức $\sqrt{x^2-4x+4}$ hoặc có một cách hiểu khác.
Xem lại cách giải gốc: "Ta có: $x+4x^2-4x+1=x+2x-12=x+2x-1$ ." Cách giải này dường như đang xử lý một biểu thức khác.
Giả sử đề bài là $\sqrt{x^2-4x+4}$ thì $\sqrt{x^2-4x+4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$ .
Nếu đề bài là $x+|x^2-4x+1|$ hoặc $x+\sqrt{x^2-4x+1}$ , cách giải sẽ khác.
Dựa vào cách giải được cung cấp: "Ta có: $x+4x^2-4x+1=x+2x-12=x+2x-1$ ." và "–2,5 + |2.(–2,5) – 1| = –2,5 + |–6| = –2,5 + 6 = 3,5."
Điều này gợi ý rằng biểu thức cần tính giá trị là $x + |2x-1|$ hoặc $x + \sqrt{(2x-1)^2}$ .
Ta sẽ làm theo cách hiểu này để khớp với kết quả.
Bước 1: Rút gọn biểu thức $x + |2x-1|$ .
Bước 2: Thay $x = -2,5$ vào biểu thức.
$2x - 1 = 2(-2,5) - 1 = -5 - 1 = -6$ .
$|2x - 1| = |-6| = 6$ .
Bước 3: Tính giá trị: $x + |2x - 1| = -2,5 + 6 = 3,5$ .
Mẹo kiểm tra: Thay một giá trị $x$ khác, ví dụ $x=0$ . Biểu thức là $0 + |2(0)-1| = |{-1}| = 1$ .
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa biểu thức có căn và biểu thức có giá trị tuyệt đối, hoặc sai sót trong việc xác định dấu của biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối.

Vận dụng trang 48 Toán 9 Tập 1

a) Viết công thức tính thời gian $t$ (giây) cần thiết để vật rơi được quãng đường $S$ (mét).

Phân tích: Bài toán cho biết công thức tính quãng đường rơi tự do là $S = 4,9t^2$ và yêu cầu tìm công thức tính thời gian $t$ theo quãng đường $S$ .
Bước 1: Bắt đầu với công thức đã cho: $S = 4,9t^2$ .
Bước 2: Chia cả hai vế cho 4,9 để tìm $t^2$ : $t^2 = \frac{S}{4,9}$ .
Bước 3: Lấy căn bậc hai hai vế để tìm $t$ . Vì thời gian $t$ luôn không âm ( $t \ge 0$ ), ta lấy căn bậc hai số học: $t = \sqrt{\frac{S}{4,9}}$ .
Mẹo kiểm tra: Thay $t = 5$ giây vào công thức $S = 4,9t^2$ ta được $S = 4,9 \times 5^2 = 4,9 \times 25 = 122,5$ mét. Thay $S = 122,5$ vào công thức mới tìm được: $t = \sqrt{\frac{122,5}{4,9}} = \sqrt{25} = 5$ giây. Kết quả khớp.
Lỗi hay gặp: Quên điều kiện $t \ge 0$ hoặc sai sót trong quá trình biến đổi đại số.

b) Sử dụng công thức tìm được trong câu a, hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Phân tích: Tình huống mở đầu cho biết vật rơi tự do từ độ cao 122,5 mét. Ta cần tìm thời gian để vật chạm đất.
Bước 1: Xác định quãng đường vật rơi. Vật rơi từ độ cao 122,5 mét đến khi chạm đất, vậy quãng đường $S = 122,5$ mét.
Bước 2: Sử dụng công thức đã tìm được ở câu a: $t = \sqrt{\frac{S}{4,9}}$ .
Bước 3: Thay $S = 122,5$ vào công thức: $t = \sqrt{\frac{122,5}{4,9}}$ .
Bước 4: Tính toán: $\frac{122,5}{4,9} = 25$ . Vậy $t = \sqrt{25} = 5$ giây.
Kết quả: Sau 5 giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao 122,5 mét.
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo các phép tính chia và lấy căn bậc hai là chính xác.
Lỗi hay gặp: Nhập sai số liệu vào máy tính hoặc sai sót trong phép chia.

Bài 3.1 trang 48 Toán 9 Tập 1

Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) 24,5;

Phân tích: Tìm căn bậc hai của một số dương.
Bước 1: Số 24,5 là số dương, nó có hai căn bậc hai là $\sqrt{24,5}$ và $-\sqrt{24,5}$ .
Bước 2: Sử dụng máy tính bỏ túi để tính $\sqrt{24,5}$ . Kết quả là xấp xỉ 4,949747468.
Bước 3: Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai. Chữ số thập phân thứ hai là 4, chữ số thập phân thứ ba là 9. Vì 9 $\ge 5$ , ta làm tròn lên: 4,95.
Kết quả: Số 24,5 có hai căn bậc hai là 4,95 và -4,95.

b) $\frac{9}{10}$ .

Phân tích: Tương tự câu a, tìm căn bậc hai của một số dương.
Bước 1: Số $\frac{9}{10}$ là số dương, nó có hai căn bậc hai là $\sqrt{\frac{9}{10}}$ và $-\sqrt{\frac{9}{10}}$ .
Bước 2: Sử dụng máy tính bỏ túi để tính $\sqrt{\frac{9}{10}}$ . Kết quả là xấp xỉ 0,9486832981.
Bước 3: Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai. Chữ số thập phân thứ hai là 4, chữ số thập phân thứ ba là 8. Vì 8 $\ge 5$ , ta làm tròn lên: 0,95.
Kết quả: Số $\frac{9}{10}$ có hai căn bậc hai là 0,95 và -0,95.
Mẹo kiểm tra: Với các số chính phương, ta có thể tính nhẩm. Ví dụ, $\sqrt{0,81} = 0,9$ . Số 0,9 $^2$ = 0,81. Số 0,95 $^2$ = 0,9025, gần với 0,9.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong quá trình làm tròn số hoặc nhầm lẫn giữa căn bậc hai và căn bậc hai số học.

Bài 3.2 trang 48 Toán 9 Tập 1

Phân tích: Bài toán cho diện tích hình tròn và yêu cầu tìm đường kính, với độ chính xác nhất định. Ta cần sử dụng công thức tính diện tích hình tròn và mối liên hệ giữa bán kính và đường kính.
Bước 1: Nhắc lại công thức tính diện tích hình tròn: $S = \pi R^2$ , trong đó $S$ là diện tích, $R$ là bán kính.
Bước 2: Theo đề bài, $S = 2$ $m^2$ . Ta có phương trình: $\pi R^2 = 2$ .
Bước 3: Giải phương trình tìm $R$ . Chia cả hai vế cho $\pi$ : $R^2 = \frac{2}{\pi}$ . Lấy căn bậc hai hai vế (vì $R > 0$ ): $R = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$ .
Bước 4: Tính bán kính $R$ bằng máy tính bỏ túi: $R \approx \sqrt{\frac{2}{3,14159...}} \approx \sqrt{0,6366...} \approx 0,7979...$ mét.
Bước 5: Tìm đường kính $d$ . Đường kính gấp đôi bán kính: $d = 2R$ .
$d = 2 \times \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \sqrt{4 \times \frac{2}{\pi}} = \sqrt{\frac{8}{\pi}}$ .
Bước 6: Tính giá trị đường kính $d$ bằng máy tính: $d \approx 2 \times 0,7979... \approx 1,595769...$ mét.
Bước 7: Làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005. Điều này có nghĩa là làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai. Chữ số thập phân thứ hai là 9, chữ số thập phân thứ ba là 5. Vì 5 $\ge 5$ , ta làm tròn lên: 1,60 mét.
Kết quả: Đường kính của các ô đất đó khoảng 1,60 m.
Mẹo kiểm tra: Thay $d = 1,60$ m vào, suy ra $R = 0,80$ m. Diện tích $S = \pi R^2 = \pi (0,80)^2 = 0,64pi \approx 0,64 \times 3,14159 \approx 2,01$ $m^2$ . Giá trị này gần với 2 $m^2$ .
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa bán kính và đường kính, sai sót trong quá trình tính toán hoặc làm tròn số.

Bài 3.3 trang 48 Toán 9 Tập 1

Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{x+10}$ và tính giá trị của căn thức tại $x = -1$ .

Phân tích: Bài toán yêu cầu hai việc: tìm điều kiện xác định cho căn thức và tính giá trị của nó tại một điểm cụ thể.
Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Căn thức $\sqrt{A}$ xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu căn $A \ge 0$ . Trong trường hợp này, $A = x+10$ .
Vậy điều kiện xác định là $x+10 \ge 0$ .
Bước 2: Giải bất phương trình $x+10 \ge 0$ . Trừ 10 khỏi cả hai vế: $x \ge -10$ .
Điều kiện xác định là $x \ge -10$ .
Bước 3: Tính giá trị của căn thức tại $x = -1$ .
Trước hết, kiểm tra xem $x = -1$ có thỏa mãn điều kiện xác định không. Vì $-1 \ge -10$ , nên giá trị $x = -1$ hợp lệ.
Bước 4: Thay $x = -1$ vào biểu thức $\sqrt{x+10}$ :
$\sqrt{-1+10} = \sqrt{9}$ .
Bước 5: Tính căn bậc hai số học của 9: $\sqrt{9} = 3$ .
Kết quả: Điều kiện xác định là $x \ge -10$ . Giá trị của căn thức tại $x = -1$ là 3.
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo rằng giá trị $x$ được thay vào thỏa mãn điều kiện xác định.
Lỗi hay gặp: Quên điều kiện xác định hoặc sai sót trong phép tính cộng/trừ.

Bài 3.4 trang 48 Toán 9 Tập 1

Tính: $\sqrt{5,1^2}$ ; $\sqrt{(-4,9)^2}$ ; $\sqrt{(-0,001)^2}$ .

Phân tích: Các biểu thức đều có dạng $\sqrt{a^2}$ . Ta áp dụng trực tiếp công thức $\sqrt{a^2} = |a|$ .
a) Tính $\sqrt{5,1^2}$ :
Áp dụng công thức: $\sqrt{5,1^2} = |5,1|$ .
Vì 5,1 là số dương, $|5,1| = 5,1$ .
Kết quả: 5,1.
b) Tính $\sqrt{(-4,9)^2}$ :
Áp dụng công thức: $\sqrt{(-4,9)^2} = |-4,9|$ .
Vì -4,9 là số âm, $|-4,9| = -(-4,9) = 4,9$ .
Kết quả: 4,9.
c) Tính $\sqrt{(-0,001)^2}$ :
Áp dụng công thức: $\sqrt{(-0,001)^2} = |-0,001|$ .
Vì -0,001 là số âm, $|-0,001| = -(-0,001) = 0,001$ .
Kết quả: 0,001.
Mẹo kiểm tra: Luôn nhớ rằng kết quả của căn bậc hai số học là một số không âm.
Lỗi hay gặp: Quên áp dụng giá trị tuyệt đối và cho rằng $\sqrt{a^2} = a$ mà không xét dấu của $a$ .

Bài 3.5 trang 48 Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{(2-5)^2}$ ;

Phân tích: Áp dụng công thức $\sqrt{a^2} = |a|$ .
Bước 1: Xác định biểu thức bên trong bình phương: $a = 2-5 = -3$ .
Bước 2: Áp dụng công thức: $\sqrt{(2-5)^2} = |-3|$ .
Bước 3: Tính giá trị tuyệt đối: $|-3| = 3$ .
Kết quả: 3.

b) $\sqrt{(3x)^2}$ với $x < 0[/katex]; <ul> <li>Phân tích: Áp dụng công thức [katex]\sqrt{a^2} = |a|$ với $a = 3x$ .

Bước 1: Áp dụng công thức: $\sqrt{(3x)^2} = |3x|$ .

Bước 2: Xét dấu của $3x$ dựa vào điều kiện $x < 0[/katex]. Vì [katex]x < 0[/katex], nên [katex]3x < 0[/katex].</li> <li>Bước 3: Khi [katex]3x < 0[/katex], ta có [katex]|3x| = -(3x) = -3x[/katex].</li> <li>Kết quả: -3x.</li> </ul> c) [katex]\sqrt{x^2-4x+4}$ với $x < 2[/katex]. <ul> <li>Phân tích: Biểu thức dưới dấu căn là một tam thức bậc hai có thể phân tích thành bình phương.</li> <li>Bước 1: Nhận dạng tam thức bậc hai: [katex]x^2-4x+4$ . Đây là dạng $a^2 - 2ab + b^2$ với $a=x$ và $b=2$ .
Do đó, $x^2-4x+4 = (x-2)^2$ .

Bước 2: Thay vào biểu thức căn: $\sqrt{x^2-4x+4} = \sqrt{(x-2)^2}$ .

Bước 3: Áp dụng công thức $\sqrt{a^2} = |a|$ với $a = x-2$ : $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$ .

Bước 4: Xét dấu của $x-2$ dựa vào điều kiện $x < 2[/katex]. Nếu [katex]x < 2[/katex], thì [katex]x-2 < 0[/katex].</li> <li>Bước 5: Khi [katex]x-2 < 0[/katex], ta có [katex]|x-2| = -(x-2) = -x+2 = 2-x[/katex].</li> <li>Kết quả: 2-x.</li> <li>Mẹo kiểm tra: Với câu b, chọn [katex]x=-1$ . Biểu thức là $\sqrt{(3(-1))^2} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ . Kết quả rút gọn là $-3(-1) = 3$ . Khớp.
Với câu c, chọn $x=1$ . Biểu thức là $\sqrt{1^2-4(1)+4} = \sqrt{1-4+4} = \sqrt{1} = 1$ . Kết quả rút gọn là $2-1 = 1$ . Khớp.

Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc xác định dấu của biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối hoặc nhầm lẫn công thức bình phương.

Bài 3.6 trang 48 Toán 9 Tập 1

Không dùng MTCT, chứng tỏ biểu thức $A$ có giá trị là số nguyên: $A=\sqrt{1+\sqrt{2^2}}- \sqrt{1-\sqrt{2^2}}$ .

Phân tích: Bài toán yêu cầu chứng minh

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 16, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.