Giải Toán 12 Bài Ôn Tập Chương 2 Chi Tiết Và Dễ Hiểu

Việc tìm kiếm tài liệu giải toán 12 bài ôn tập chương 2 chất lượng giúp học sinh củng cố toàn bộ kiến thức về vectơ và tọa độ. Chương này tập trung vào các khái niệm quan trọng như hệ tọa độ Oxyz, biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ và tích vô hướng trong không gian. Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn cách giải quyết từng bài tập một cách logic nhằm tối ưu hóa kết quả học tập.

Đề Bài

A – TRẮC NGHIỆM

Câu 2.25. Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. overrightarrow{BG} + overrightarrow{CG} + overrightarrow{DG} = vec{0}.

B. overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} + overrightarrow{AD} = 3overrightarrow{AG}.

C. overrightarrow{BC} + overrightarrow{BD} = 3overrightarrow{BG}.

D. overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC} + overrightarrow{GD} = vec{0}.

Câu 2.26. Cho hình hộp ABCD \cdot A’B’C’D’. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ overrightarrow{AM} bằng

A. overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} + overrightarrow{AA’}.

B. overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}overrightarrow{AA’}.

C. overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}overrightarrow{AA’}.

D. \frac{1}{2}overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} + overrightarrow{AA’}.

Câu 2.27. Cho hình hộp ABCD \cdot A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. overrightarrow{AB} + overrightarrow{CC’} = overrightarrow{AB’}.

B. overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} + overrightarrow{AA’} = overrightarrow{AC’}.

C. overrightarrow{AD} + overrightarrow{BB’} = overrightarrow{AD’}.

D. overrightarrow{AB} + overrightarrow{CC’} = overrightarrow{AC’}.

Câu 2.28. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng overrightarrow{AB} \cdot overrightarrow{AM} bằng

A. \frac{a^2}{4}.

B. \frac{a^2}{2}.

C. \frac{a^2}{3}.

D. a^2.

Câu 2.29. Trong không gian Oxyz, cho vec{a} = \left( 1; -2; 2 \right), vec{b} = \left( -2; 0; 3 \right). Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. vec{a} + vec{b} = \left( -1; -2; 5 \right).

B. vec{a} - vec{b} = \left( 3; -2; -1 \right).

C. 3vec{a} = \left( 3; -2; 2 \right).

D. 2vec{a} + vec{b} = \left( 0; -4; 7 \right).

Câu 2.30. Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có Aleft( -1; 0; 3 \right), Bleft( 2; 1; -1 \right) và Cleft( 3; 2; 2 \right). Tọa độ của điểm D là

A. \left( 2; -1; 0 \right).

B. \left( 0; -1; -6 \right).

C. \left( 0; 1; 6 \right).

D. \left( -2; 1; 0 \right).

Câu 2.31. Trong không gian Oxyz, cho Aleft( 1; 0; -1 \right), Bleft( 0; -1; 2 \right) và Gleft( 2; 1; 0 \right). Biết tam giác ABC có trọng tâm là điểm G. Tọa độ của điểm C là

A. \left( 5; 4; -1 \right).

B. \left( -5; -4; 1 \right).

C. \left( 1; 2; -1 \right).

D. \left( -1; -2; 1 \right).

Câu 2.32. Trong không gian Oxyz, cho vec{a} = \left( 2; 1; -3 \right), vec{b} = \left( -2; -1; 2 \right). Tích vô hướng vec{a} \cdot vec{b} bằng

A. -2.

B. -11.

C. 11.

D. 2.

Câu 2.33. Trong không gian Oxyz, cho vec{a} = \left( 2; 1; -2 \right), vec{b} = \left( 0; -1; 1 \right). Góc giữa hai vectơ vec{a}, vec{b} bằng

A. 60^\circ.

B. 135^\circ.

C. 120^\circ.

D. 45^\circ.

Câu 2.34. Trong không gian Oxyz, cho vec{a} = \left( -2; 2; 2 \right), vec{b} = \left( 1; -1; -2 \right). Côsin của góc giữa hai vectơ vec{a}, vec{b} bằng

A. \frac{-2sqrt{2}}{3}.

B. \frac{2sqrt{2}}{3}.

C. \frac{\sqrt{2}}{3}.

D. \frac{-\sqrt{2}}{3}.

B – TỰ LUẬN

Câu 2.35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: overrightarrow{SA} + overrightarrow{SC} = overrightarrow{SB} + overrightarrow{SD}.

Câu 2.36. Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thoả mãn overrightarrow{MB} + 2overrightarrow{MA} = vec{0} và overrightarrow{NC} = 2overrightarrow{DN}. Hãy biểu diễn overrightarrow{MN} theo overrightarrow{AD} và overrightarrow{BC}.

Câu 2.37. Cho hình hộp ABCD \cdot A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.

a) Biểu diễn overrightarrow{AG} theo overrightarrow{AB}, overrightarrow{AD} và overrightarrow{AA’}.

b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Câu 2.38. Trong không gian Oxyz, cho các điểm Aleft( 2; -1; 3 \right), Bleft( 1; 1; -1 \right) và Cleft( -1; 0; 2 \right).

a) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Câu 2.39. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ và các điểm Aleft( 2; 3; 1 \right), Cleft( -1; 2; 3 \right) và O’\left( 1; -2; 2 \right). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Câu 2.40. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ vec{a} = \left( -2; 1; 2 \right), vec{b} = \left( 1; 1; -1 \right).

a) Xác định toạ độ của vectơ vec{u} = vec{a} - 2vec{b}.

b) Tính độ dài vectơ vec{u}.

c) Tính cosleft( vec{a}, vec{b} \right).

Câu 2.41. Trong không gian Oxyz, cho các điểm Aleft( 4; 2; -1 \right), Bleft( 1; -1; 2 \right) và Cleft( 0; -2; 3 \right).

a) Tìm toạ độ của vectơ overrightarrow{AB} và tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Tìm toa độ điểm M sao cho overrightarrow{AB} + overrightarrow{CM} = vec{0}.

c) Tìm toạ độ điểm N thuộc mặt phẳng \left( Oxy \right), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Câu 2.42. Hình 2.53 minh hoạ một chiếc đèn được treo cách trần nhà là 0,5text{ m}, cách hai tường lần lượt là 1,2text{ m} và 1,6text{ m}. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4text{ m}, cách hai tường đều là 1,5text{ m}.

a) Lập một hệ trục toạ độ Oxyz phù hợp và xác định toạ độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.

b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phân Tích Yêu Cầu

Nội dung bài học yêu cầu người học vận dụng linh hoạt các kiến thức về vectơ trong không gian. Các bài toán trắc nghiệm tập trung vào các tính chất cơ bản của hình học không gian và các phép toán tọa độ đơn giản.

Các bài tập tự luận đòi hỏi khả năng lập luận, chứng minh dựa trên các quy tắc cộng vectơ và phân tích thành phần tọa độ. Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững cách tìm tọa độ điểm dựa trên các điều kiện hình học cho trước.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để xử lý tốt các bài tập trong phần này, học sinh cần ghi nhớ một số quy tắc và biểu thức tọa độ cốt lõi. Dưới đây là các công thức quan trọng nhất cần được áp dụng chính xác.

Quy tắc hình hộp: Đối với hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta luôn có overrightarrow{AC'} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} + overrightarrow{AA'}. Đây là nền tảng để giải các bài tập về phân tích vectơ trong khối hộp.

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: G = \left( \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}; \dfrac{z_A + z_B + z_C}{3} \right). Công thức này cực kỳ hữu dụng trong việc xác định nhanh tọa độ các điểm đặc biệt.

Tích vô hướng của hai vectơ: vec{a} \cdot vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3. Kết quả của phép toán này là một số thực, giúp chúng ta tính toán góc và kiểm tra tính vuông góc.

Công thức tính côsin góc giữa hai vectơ: \cos (vec{a}, vec{b}) = \dfrac{vec{a} \cdot vec{b}}{|vec{a}| \cdot |vec{b}|}. Lưu ý rằng độ dài vectơ |vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Phần A: Lời Giải Các Câu Trắc Nghiệm

Câu 2.25: Phân tích các lựa chọn dựa trên tính chất trọng tâm. Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC} + overrightarrow{GD} = vec{0}, do đó A đúng. Hệ thức ở B là hệ thức trọng tâm cơ bản nên cũng đúng. Phương án D sai vì G không phải trọng tâm tứ diện ABCD.

Câu 2.26: Theo quy tắc cộng vectơ, ta có overrightarrow{AM} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{CM}. Mà overrightarrow{AC} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} và overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}overrightarrow{CC'} = \frac{1}{2}overrightarrow{AA'}. Vậy overrightarrow{AM} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}overrightarrow{AA'}, chọn B.

Câu 2.27: Kiểm tra từng khẳng định. Ta thấy overrightarrow{AB} + overrightarrow{CC'} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BB'} = overrightarrow{AB'} nên A đúng. Phương án D sai vì overrightarrow{AB} + overrightarrow{CC'} = overrightarrow{AB'} chứ không phải overrightarrow{AC'}.

Câu 2.28: Sử dụng công thức tích vô hướng overrightarrow{AB} \cdot overrightarrow{AM} = |overrightarrow{AB}| \cdot |overrightarrow{AM}| \cdot \cos (overrightarrow{AB}, overrightarrow{AM}). Vì AM là đường cao của tam giác đều cạnh a nên AM = \frac{asqrt{3}}{2}. Góc giữa AB và AM là 30^\circ. Kết quả tính toán cho ta \frac{a^2}{2}, chọn B.

Câu 2.29: Tính toán các phép toán vectơ. Với 3vec{a}, ta nhân 3 vào từng thành phần: 3 \times 1 = 3; 3 \times (-2) = -6; 3 \times 2 = 6. Vậy 3vec{a} = (3; -6; 6). Khẳng định C ghi (3; -2; 2) là sai.

Sơ đồ biểu diễn các vectơ cơ bản trong không gian Oxyz

Phần B: Hướng Dẫn Giải Tự Luận Chi Tiết

Câu 2.35: Chứng minh đẳng thức vectơ trong hình chữ nhật.
Ta sử dụng điểm trung gian là tâm O của hình chữ nhật ABCD. Vì O là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD, ta có:
overrightarrow{SA} + overrightarrow{SC} = 2overrightarrow{SO}
overrightarrow{SB} + overrightarrow{SD} = 2overrightarrow{SO}
Từ hai điều này, ta suy ra overrightarrow{SA} + overrightarrow{SC} = overrightarrow{SB} + overrightarrow{SD}. Bài toán được chứng minh một cách gọn gàng.

Câu 2.36: Biểu diễn vectơ overrightarrow{MN}.
Đầu tiên, từ overrightarrow{MB} + 2overrightarrow{MA} = vec{0}, ta rút ra overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}overrightarrow{AB}.
Từ overrightarrow{NC} = 2overrightarrow{DN}, ta có overrightarrow{NC} = -2overrightarrow{ND}, dẫn đến overrightarrow{DN} = \frac{1}{3}overrightarrow{DC}.
Sử dụng quy tắc chèn điểm: overrightarrow{MN} = overrightarrow{MA} + overrightarrow{AD} + overrightarrow{DN}.
Sau khi thực hiện các bước biến đổi và cộng hai biểu thức liên quan như trong lời giải gốc, ta thu được kết quả cuối cùng là overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}overrightarrow{BC}.

Hình vẽ minh họa trọng tâm G của tam giác BDA' trong hình hộp

Câu 2.37: Hình hộp và trọng tâm tam giác.
a) Vì G là trọng tâm tam giác BDA', theo tính chất trọng tâm ta có overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} + overrightarrow{AA'}).
b) Theo quy tắc hình hộp, vectơ đường chéo chính là overrightarrow{AC'} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD} + overrightarrow{AA'}.
So sánh hai kết quả, ta thấy overrightarrow{AC'} = 3overrightarrow{AG}. Vì hai vectơ này cùng phương và có chung điểm đầu nên ba điểm A, G, C' thẳng hàng.

Câu 2.38: Bài toán tọa độ trong không gian Oxyz.
a) Tọa độ trọng tâm G: áp dụng công thức trung bình cộng tọa độ của A, B, C.
x_G = \frac{2 + 1 - 1}{3} = \frac{2}{3}, y_G = \frac{-1 + 1 + 0}{3} = 0, z_G = \frac{3 - 1 + 2}{3} = \frac{4}{3}. Vậy Gleft( \frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3} \right).
b) Vì M thuộc trục Oz nên M(0; 0; t). Tính vectơ overrightarrow{BM} = (-1; -1; t+1) và overrightarrow{AC} = (-3; 1; -1).
Để BM perp AC, tích vô hướng của chúng phải bằng 0: katex(-3) + (-1)(1) + (t+1)(-1) = 0[/katex]. Giải ra ta được t = 1, vậy M(0; 0; 1).

Cách xác định các đỉnh của hình hộp thông qua phép cộng vectơ

Câu 2.39: Tìm tọa độ các đỉnh hình hộp.
Với gốc là O(0;0;0), tọa độ các điểm tương ứng chính là tọa độ vectơ gốc O.
overrightarrow{OB} = overrightarrow{OA} + overrightarrow{OC} = (2-1; 3+2; 1+3) = (1; 5; 4).
Sử dụng các quy tắc cộng tương tự cho các đỉnh còn lại dựa trên tính chất đối xứng của hình hộp, ta lần lượt tìm được A'(3; 1; 3), C'(0; 0; 5), và B'(2; 3; 6).

Câu 2.42: Bài toán thực tế về chiếc đèn treo.
a) Thiết lập hệ trục Oxyz với O là góc tường. Trục Oz thẳng đứng, Ox và Oy nằm dọc theo hai bức tường trên trần nhà.
Ban đầu, tọa độ bóng đèn là A(1,2; 1,6; 0,5). Sau khi di chuyển, tọa độ mới là B(1,5; 1,5; 0,4).
b) Tính khoảng cách AB = \sqrt{(1,5-1,2)^2 + (1,5-1,6)^2 + (0,4-0,5)^2}.
Kết quả xấp xỉ 0,3 m. Đây là một bài toán ứng dụng thực tế rất hay để rèn luyện tư duy không gian.

Chiếc đèn treo trong một góc phòng được mô phỏng qua tọa độ

Mẹo và lỗi hay gặp

Khi tính tọa độ trọng tâm, nhiều học sinh quên không chia cho 3 mà chỉ cộng tổng tọa độ. Trong các bài toán hình chóp hoặc hình hộp, việc chọn sai điểm gốc của vectơ khi dùng quy tắc cộng sẽ dẫn đến kết quả sai lệch hoàn toàn. Hãy luôn vẽ một sơ đồ nhanh để xác định đúng hướng của các vectơ.

Hệ trục tọa độ Oxyz áp dụng vào bài toán thực tế

Đáp Án/Kết Quả

Dưới đây là bảng tổng kết các đáp án cho phần trắc nghiệm để các em đối soát nhanh chóng:

• Câu 2.25: D
• Câu 2.26: B
• Câu 2.27: D
• Câu 2.28: B
• Câu 2.29: C
• Câu 2.30: C
• Câu 2.31: A
• Câu 2.32: B
• Câu 2.33: B
• Câu 2.34: A

Lời giải chi tiết các bài tự luận đã giúp làm sáng tỏ quy trình tư duy. Hãy nhớ kiểm tra lại các bước tính tích vô hướng của mình vì dấu âm thường gây ra nhầm lẫn đáng tiếc.

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải toán 12 bài ôn tập chương 2 đầy đủ và chính xác nhất. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài về vectơ và tọa độ sẽ tạo nền tảng vững chắc cho các chương tiếp theo. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất Tháng 3 4, 2026 by Thầy Đông