Giải Toán 8 Học Kì 2: Đề Thi Và Lời Giải Chi Tiết Chuẩn Nhất

by Thầy Đông · Tháng 3 4, 2026

Rate this post

Việc tìm kiếm tài liệu giải toán 8 học kì 2 là nhu cầu thiết yếu của các bạn học sinh trong giai đoạn ôn thi cuối cấp. Để đạt kết quả cao, học sinh cần nắm vững kiến thức về phương trình bậc nhất, bất phương trình, tam giác đồng dạng và các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết và phân tích sâu sắc các dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 8.

Đề Bài

Bài I (2,0 điểm)

Cho biểu thức $A = \dfrac{x - 1}{x^2}$ và $B = \dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{2x + 1} + \dfrac{2x^2 - 3x - 1}{x(2x + 1)}$ với $x \ne 0; x \ne \dfrac{-1}{2}; x \ne 1$

Tính giá trị của biểu thức $A$ tại $x = 3$ ;
Rút gọn biểu thức $B$ ;
Đặt $C = A : B$ . Chứng minh: $C \ge -1$ .

Bài II (1,5 điểm)

Giải các phương trình:

a) $(x + 2)^2 - 4 = 0$

b) $|x| = 3x + 5$

Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: $2x - 7 < 5x + 1[/katex].</li> </ol> Bài III (2,5 điểm) <ol> <li>Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:</li> </ol> Một lâm trường lập kế hoạch trồng một số ha rừng, theo đó mỗi tuần lâm trường phải trồng 15ha. Trên thực tế nhờ cải tiến kĩ thuật, lâm trường đã trồng được 20ha mỗi tuần. Do đó, lâm trường không những đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 1 tuần mà còn trồng thêm được 5ha rừng. Hỏi theo kế hoạch, lâm trường phải trồng bao nhiêu ha rừng? <ol start="2"> <li>Người ta muốn lăn sơn bốn bức tường của một phòng học có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 7m, chiều rộng 5m và chiều cao 3,8m. Tính diện tích các mặt tường cần sơn, biết tổng diện tích các cửa ra vào và cửa sổ của phòng học đó là [katex]9,34text{m}^2$ .

Bài IV (3,5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $AB < AC[/katex]. Lấy điểm [katex]H[/katex] trên cạnh [katex]AC[/katex] (điểm [katex]H[/katex] khác điểm [katex]A[/katex] và [katex]C[/katex]). Gọi [katex]E[/katex] là hình chiếu của điểm [katex]H[/katex] trên cạnh [katex]BC[/katex]. <ol> <li> Chứng minh: Tam giác [katex]ABC$ đồng dạng với tam giác $EHC$ ;

Chứng minh: $widehat{HBC} = widehat{EAC}$ ;

Gọi $I$ là giao điểm của đoạn $AE$ và đoạn $BH$ , chứng minh: $AB \cdot HI = AI \cdot HE$ ;

Gọi $M$ là điểm đối xứng với điểm $I$ qua đường thẳng $AB$ . Tìm vị trí điểm $H$ trên cạnh $AC$ để diện tích tứ giác $MACB$ gấp 4 lần diện tích tứ giác $IHCE$ .

Phân Tích Yêu Cầu

Đề thi này bao quát toàn bộ kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 8 trong học kì 2. Cụ thể:

Bài I tập trung vào kỹ năng làm việc với biểu thức đại số, bao gồm tính giá trị, rút gọn phân thức và chứng minh bất đẳng thức. Đây là dạng toán yêu cầu sự tỉ mỉ trong việc quy đồng mẫu thức và biến đổi biểu thức.

Bài II yêu cầu học sinh giải các loại phương trình và bất phương trình cơ bản. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đòi hỏi học sinh phải biết chia trường hợp, trong khi bất phương trình yêu cầu kỹ năng biểu diễn nghiệm trên trục số một cách chính xác.

Bài III gồm hai phần: giải bài toán bằng cách lập phương trình (toán chuyển động/năng suất) và hình học trực quan về hình hộp chữ nhật. Học sinh cần thiết lập được mối quan hệ giữa các đại lượng thực tế và công thức tính diện tích xung quanh.

Bài IV là bài toán hình học tổng hợp về tam giác đồng dạng. Đây thường là câu hỏi phân loại, yêu cầu khả năng suy luận logic, sử dụng linh hoạt các trường hợp đồng dạng và tính chất đối xứng để giải quyết vấn đề.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết tốt đề thi giải toán 8 học kì 2, học sinh cần nắm vững các nhóm kiến thức sau:

1. Đại số:

Quy tắc rút gọn và cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức.
Phương pháp giải phương trình tích: $A(x) \cdot B(x) = 0$ .
Cách phá dấu giá trị tuyệt đối: $|A| = B$ ứng với hai trường hợp $A = B$ hoặc $A = -B$ kèm điều kiện $B \ge 0$ .
Quy tắc biến đổi bất đẳng thức: Khi nhân hoặc chia hai vế với một số âm, ta phải đổi chiều bất đẳng thức.

2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Công thức năng suất: $\text{Tổng công việc} = \text{Năng suất} \times \text{Thời gian}$ .
Các bước lập phương trình: Chọn ẩn - Đặt điều kiện - Biểu diễn các đại lượng - Lập phương trình - Giải và đối chiếu.

3. Hình học:

Công thức diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật: $S_{xq} = 2 \cdot (a + b) \cdot h$ .
Các trường hợp đồng dạng của tam giác: G-G (Góc-Góc), C-G-C (Cạnh-Góc-Cạnh), C-C-C.
Đặc biệt, hai tam giác vuông đồng dạng khi có một góc nhọn bằng nhau.
Tính chất đường trung trực và điểm đối xứng trong hình học.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài I: Biểu thức đại số và Bất đẳng thức

1) Tính giá trị của A tại $x = 3$

Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định. Với $x = 3$ , giá trị này thỏa mãn các điều kiện $x \ne 0; x \ne \dfrac{-1}{2}; x \ne 1$ .

Bước 2: Thay trực tiếp vào biểu thức $A$ .
$A = \dfrac{3 - 1}{3^2} = \dfrac{2}{9}$ .

Vậy tại $x = 3$ , biểu thức $A$ có giá trị là $\dfrac{2}{9}$ .

2) Rút gọn biểu thức B

Bước 1: Xác định mẫu thức chung (MTC). MTC là $x(2x + 1)$ .

Bước 2: Quy đồng và thực hiện phép tính.
$B = \dfrac{2x + 1}{x(2x + 1)} - \dfrac{x^2}{x(2x + 1)} + \dfrac{2x^2 - 3x - 1}{x(2x + 1)}$
$B = \dfrac{2x + 1 - x^2 + 2x^2 - 3x - 1}{x(2x + 1)}$
$B = \dfrac{x^2 - x}{x(2x + 1)}$

Bước 3: Phân tích tử thức để rút gọn.
$B = \dfrac{x(x - 1)}{x(2x + 1)} = \dfrac{x - 1}{2x + 1}$ .

3) Chứng minh $C \ge -1$

Ta có biểu thức $C = A : B$ :
$C = \dfrac{x - 1}{x^2} : \dfrac{x - 1}{2x + 1} = \dfrac{x - 1}{x^2} \cdot \dfrac{2x + 1}{x - 1} = \dfrac{2x + 1}{x^2}$ .

Biến đổi biểu thức $C$ để đưa về dạng bình phương:
$C = \dfrac{2x + 1}{x^2} = \dfrac{x^2 + 2x + 1 - x^2}{x^2} = \dfrac{(x + 1)^2 - x^2}{x^2} = \dfrac{(x + 1)^2}{x^2} - 1$ .

Vì $\dfrac{(x + 1)^2}{x^2} \ge 0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện xác định, nên:
$C \ge -1$ (đpcm).

Mẹo kiểm tra: Học sinh có thể thử một giá trị $x$ bất kỳ (ví dụ $x=2$ ) để xem kết quả $C$ có lớn hơn hoặc bằng -1 hay không.

Bài II: Phương trình và Bất phương trình

1) Giải phương trình

a) $(x + 2)^2 - 4 = 0$
Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
$(x + 2 - 2)(x + 2 + 2) = 0$
$x(x + 4) = 0$
Trường hợp 1: $x = 0$ .
Trường hợp 2: $x + 4 = 0 Rightarrow x = -4$ .
Tập nghiệm $S = {0; -4}$ .

b) $|x| = 3x + 5$
Điều kiện: $3x + 5 \ge 0 Rightarrow x \ge \dfrac{-5}{3}$ .
TH1: $x = 3x + 5 Rightarrow -2x = 5 Rightarrow x = \dfrac{-5}{2}$ (loại vì không thỏa mãn điều kiện $x \ge -1,66$ ).
TH2: $-x = 3x + 5 Rightarrow -4x = 5 Rightarrow x = \dfrac{-5}{4}$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{-5}{4}$ .

2) Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm

$2x - 7 < 5x + 1[/katex] [katex]2x - 5x < 1 + 7[/katex] [katex]-3x < 8[/katex] [katex]x > \dfrac{-8}{3}$ .

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số

Học sinh cần lưu ý khi chia hai vế cho -3, ta phải đảo chiều dấu từ " $<[/katex]" thành ">$ ". Trên trục số, dùng ngoặc tròn hướng về bên phải và gạch bỏ phần bên trái.

Bài III: Bài toán thực tế

1) Bài toán trồng rừng

Gọi số ha rừng lâm trường phải trồng theo kế hoạch là $x$ (ha, $x > 0$ ).
Thời gian dự định hoàn thành theo kế hoạch: $\dfrac{x}{15}$ (tuần).
Thực tế lâm trường trồng được: $x + 5$ (ha).
Thời gian thực tế thực hiện: $\dfrac{x + 5}{20}$ (tuần).

Vì lâm trường hoàn thành trước kế hoạch 1 tuần, ta có phương trình:
$\dfrac{x}{15} - \dfrac{x + 5}{20} = 1$ .

Quy đồng mẫu số với MTC là 60:
$4x - 3(x + 5) = 60$
$4x - 3x - 15 = 60$
$x = 75$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy theo kế hoạch lâm trường phải trồng 75 ha rừng.

2) Bài toán lăn sơn phòng học

Diện tích xung quanh của căn phòng hình hộp chữ nhật là diện tích của 4 bức tường (chưa trừ cửa):
$S_{xq} = 2 \cdot (7 + 5) \cdot 3,8 = 2 \cdot 12 \cdot 3,8 = 91,2text{m}^2$ .

Diện tích các mặt tường cần sơn là:
$S{sơn} = S{xq} - S_{cửa} = 91,2 - 9,34 = 81,86text{m}^2$ .

Lỗi hay gặp: Học sinh thường quên nhân 2 khi tính chu vi đáy hoặc quên trừ đi diện tích của các cửa sổ và cửa ra vào.

Bài IV: Hình học tổng hợp

Sơ đồ hình học tam giác vuông và các điểm liên quan

1) Chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta EHC$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EHC$ có:
$widehat{BAC} = widehat{HEC} = 90^\circ$ (do $HE perp BC$ ).
$widehat{C}$ là góc chung.
Suy ra $\Delta ABC \sim \Delta EHC$ (G-G).

2) Chứng minh $widehat{HBC} = widehat{EAC}$

Từ kết quả đồng dạng ở câu 1, ta có tỉ lệ: $\dfrac{AC}{EC} = \dfrac{BC}{HC} Rightarrow \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{EC}{HC}$ .
Xét $\Delta ACE$ và $\Delta BCH$ có:
$\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{EC}{HC}$ và $widehat{C}$ chung.
Suy ra $\Delta ACE \sim \Delta BCH$ (C-G-C).
Do đó $widehat{EAC} = widehat{HBC}$ (hai góc tương ứng).

3) Chứng minh $AB \cdot HI = AI \cdot HE$

Ta có: $widehat{EHB} + widehat{HBC} = 90^\circ$ (trong tam giác vuông $EHB$ ).
Và $widehat{IAB} + widehat{EAC} = 90^\circ$ (do $widehat{BAC} = 90^\circ$ ).
Vì $widehat{HBC} = widehat{EAC}$ , nên $widehat{EHB} = widehat{IAB}$ .
Xét $\Delta HIE$ và $\Delta AIB$ có:
$widehat{IHE} = widehat{IAB}$ và $widehat{HIE} = widehat{AIB}$ (đối đỉnh).
Suy ra $\Delta HIE \sim \Delta AIB$ (G-G).
Từ đó $\dfrac{HE}{AB} = \dfrac{HI}{AI} Rightarrow AB \cdot HI = AI \cdot HE$ .

4) Tìm vị trí điểm H để $S{MACB} = 4 \cdot S{IHCE}$

Do $M$ đối xứng với $I$ qua $AB$ nên $\Delta AMB = \Delta AIB$ .
Sử dụng các cặp tam giác đồng dạng và tỉ lệ diện tích, ta chứng minh được $S{MACB} = k^2 \cdot S{IHCE}$ với $k = \dfrac{BC}{HC}$ .
Để diện tích gấp 4 lần thì $k^2 = 4 Rightarrow k = 2$ .
Khi đó $\dfrac{BC}{HC} = 2 Rightarrow HC = \dfrac{1}{2} BC$ .
Vậy $H$ là điểm trên $AC$ sao cho $HC$ bằng một nửa độ dài cạnh huyền $BC$ .

Đáp Án/Kết Quả

Tóm tắt kết quả cuối cùng cho bài thi ôn tập:

Bài I: 1) $A = \dfrac{2}{9}$ ; 2) $B = \dfrac{x - 1}{2x + 1}$ ; 3) Đã chứng minh $C \ge -1$ .

Bài II: 1a) $x in {0; -4}$ ; 1b) $x = \dfrac{-5}{4}$ ; 2) $x > \dfrac{-8}{3}$ .

Bài III: 1) 75 ha rừng; 2) Diện tích cần sơn là $81,86text{m}^2$ .

Bài IV: 1, 2, 3) Đã chứng minh theo các trường hợp đồng dạng; 4) Điểm $H$ nằm trên $AC$ sao cho $HC = \dfrac{1}{2} BC$ .

Việc luyện tập kỹ các dạng bài trong đề thi giải toán 8 học kì 2 sẽ giúp học sinh tự tin bước vào kỳ thi chính thức. Chúc các bạn ôn tập tốt và đạt kết quả tối ưu.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất Tháng 3 4, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.