15 Bài Tập Vận Dụng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Lớp 9 (Có Đáp Án Chi Tiết)

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là một trong những dạng bài quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán lớp 9. Dạng bài này đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà còn phải có kỹ năng phân tích đề bài, xây dựng mô hình toán học chính xác. Bài viết này cung cấp bộ 15 bài tập chọn lọc, kèm theo lời giải chi tiết, giúp các em học sinh củng cố và nâng cao năng lực giải toán, đặc biệt là kỹ năng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9. Bên cạnh đó, bài viết cũng bổ sung các mẹo kiểm tra và những lỗi sai thường gặp để các em tránh được những sai sót không đáng có.

Đề Bài

Câu 1: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm tổng các chữ số của số đó.

Câu 2: Cho một số có hai chữ số. Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng 3/8 số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.

Câu 3: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB.

Câu 4: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất lúa mới trên 1 ha là bằng bao nhiêu, biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.

Câu 5: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu.

Câu 6: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được một phần tư công việc. Hỏi mỗi người thợ làm một mình thì trong bao nhiêu giờ mới xong công việc đó?

Câu 7: Hai lớp 9A và 9B có tổng số 82 học sinh. Trong dịp Tết trồng cây năm 2020, mỗi học sinh lớp 9A trồng được 3 cây, mỗi học sinh lớp 9B trồng được 4 cây nên cả hai lớp trồng được tổng số 288 cây. Tính số học sinh mỗi lớp.

Câu 8: Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180 km, khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 10 km/h. Tính vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là?

Câu 9: Hai ô tô cùng khởi hành lúc 1 tại 2 tỉnh A và B cách nhau 400 km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe vẫn không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì 2 xe gặp nhau sau 5h 22 phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc của mỗi xe.

Câu 10: Hai người cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong công việc. Nếu người thứ 1 làm trong 4 giờ, người thứ 2 làm trong 3 giờ thì được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong mấy giờ thì xong.

Câu 11: Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia một cuộc thi. Biết trường A có 75% học sinh đạt, trường B có 60% đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt. Số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là bao nhiêu?

Câu 12: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 42m. Đường chéo hình chữ nhật dài 15m. Tính độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật.

Câu 13: Một mảnh đất hình chữ nhật có nửa chu vi bằng 34m. Đường chéo hình chữ nhật dài 26m. Tính chiều dài mảnh đất hình chữ nhật.

Câu 14: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu vòi I chảy riêng trong 4 giờ, vòi II chảy riêng trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 3/4 bể. Tính thời gian vòi I chảy một mình đầy bể.

Câu 15: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1,5 giờ sẽ đầy bể. Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25 giờ rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong 1 giờ thì cả hai vòi chảy được 5/8 bể. Hỏi nếu vòi 2 chảy riêng thì bao lâu đầy bể?

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trong bộ đề này đều thuộc dạng toán đố, yêu cầu áp dụng kiến thức về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9. Cụ thể, mỗi bài toán sẽ cung cấp các thông tin về mối quan hệ giữa các đại lượng (ví dụ: vận tốc, thời gian, quãng đường; số lượng, đơn giá, tổng tiền; năng suất, diện tích, sản lượng; phần trăm, tổng số; số học sinh, số cây; thời gian làm việc, khối lượng công việc…). Nhiệm vụ của chúng ta là phân tích kỹ đề bài để xác định các ẩn số, từ đó thiết lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn phản ánh đúng mối quan hệ đã cho. Sau khi giải hệ phương trình, ta cần đối chiếu kết quả với điều kiện của bài toán để chọn đáp án hoặc đưa ra câu trả lời phù hợp.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết dạng bài tập này, các em cần nắm vững các kiến thức sau:

Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Bước 1: Chọn ẩn. Đặt ẩn là các đại lượng cần tìm trong bài toán, thường là hai đại lượng có mối liên hệ với nhau. Đơn vị của các ẩn phải rõ ràng.
- Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn.
- Bước 3: Lập hệ phương trình. Dựa vào đề bài, thiết lập hai phương trình thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng.
- Bước 4: Giải hệ phương trình đã lập.
Một số công thức thường gặp:
- Chuyển động: Quãng đường = Vận tốc x Thời gian.
- Làm chung: Nếu hai người cùng làm chung một công việc, và mỗi người làm một mình hết lần lượt x giờ và y giờ thì mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Cả hai người làm chung mỗi giờ được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ công việc. Nếu thời gian để hoàn thành công việc là t giờ, thì $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{t}$ .
- Số có hai chữ số: Nếu số đó có chữ số hàng chục là a và chữ số hàng đơn vị là b, thì số đó có giá trị là $10a + b$ . Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau, số mới có giá trị là $10b + a$ .
- Hình chữ nhật: Chu vi $P = 2(x+y)$ , Diện tích $S = x \times y$ . Mối liên hệ giữa đường chéo (d), chiều dài (x), chiều rộng (y) là $x^2 + y^2 = d^2$ (Định lý Pytago).
- Phần trăm: $a%$ của một đại lượng X là $\frac{a}{100} \times X$ .
Các phép toán và quy tắc biến đổi đại số: Cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, khai căn, giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng bài tập, áp dụng các bước đã nêu.

Phân tích: Bài toán liên quan đến số có hai chữ số. Gọi chữ số hàng chục là $x$ và chữ số hàng đơn vị là $y$. Điều kiện: $x, y$ là các chữ số nguyên từ 0 đến 9, và x \ne 0.
- Số ban đầu có giá trị: $10x + y$ .
- Số mới sau khi đổi chỗ hai chữ số có giá trị: $10y + x$ .
Lập hệ phương trình:
- “Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63”:
  $(10y + x) - (10x + y) = 63$
  $9y - 9x = 63$
  $y - x = 7$ (1)
- “Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99”:
  $(10x + y) + (10y + x) = 99$
  $11x + 11y = 99$
  $x + y = 9$ (2)
Giải hệ phương trình:
Ta có hệ:
$\begin{cases} y - x = 7 x + y = 9 \end{cases}$
Cộng vế theo vế của (1) và (2):
$(y - x) + (x + y) = 7 + 9$
$2y = 16$
$y = 8$
Thay $y = 8$ vào phương trình (2):
$x + 8 = 9$
$x = 1$
Kết quả: Chữ số hàng chục là 1, chữ số hàng đơn vị là 8. Số đó là 18. Số mới sau khi đổi chỗ là 81.
- Kiểm tra: $81 - 18 = 63$ (Đúng). $18 + 81 = 99$ (Đúng).
- Tổng các chữ số của số đó là $x + y = 1 + 8 = 9$ .
Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được $x$ và $y$, hãy viết lại số ban đầu và số mới, sau đó thực hiện phép trừ và phép cộng theo đúng yêu cầu đề bài.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa số có hai chữ số và tổng/tích các chữ số; sai sót trong quá trình biến đổi đại số.

Phân tích: Gọi chữ số hàng chục là $x$ và chữ số hàng đơn vị là $y$. Điều kiện: $x, y$ là các chữ số nguyên từ 0 đến 9, x \ne 0, và $x > y$.
- Số ban đầu: $10x + y$ .
- Số mới sau khi đổi chỗ: $10y + x$ .
Lập hệ phương trình:
- “Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5”:
  $x - y = 5$ (1)
- “Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng 3/8 số ban đầu”:
  $10y + x = \frac{3}{8}(10x + y)$
  $8(10y + x) = 3(10x + y)$
  $80y + 8x = 30x + 3y$
  $77y = 22x$
  Chia cả hai vế cho 11: $7y = 2x$ (2)
Giải hệ phương trình:
Ta có hệ:
$\begin{cases} x - y = 5 7y = 2x \end{cases}$
Từ (1), ta có $x = y + 5$ . Thay vào phương trình (2):
$7y = 2(y + 5)$
$7y = 2y + 10$
$5y = 10$
$y = 2$
Thay $y = 2$ vào $x = y + 5$ :
$x = 2 + 5 = 7$
Kết quả: Chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 2. Số ban đầu là 72. Số mới là 27.
- Kiểm tra: $7 - 2 = 5$ (Đúng). $27 = \frac{3}{8}(72)$ $Rightarrow 27 = 3 \times 9$ (Đúng).
- Tích các chữ số của số ban đầu là $x \times y = 7 \times 2 = 14$ .
Mẹo kiểm tra: Hãy thử lập tỉ lệ giữa số mới và số ban đầu. Nếu số mới bằng $\frac{3}{8}$ số ban đầu, thì tỉ số đó phải bằng $\frac{27}{72}$ . Rút gọn $\frac{27}{72}$ ta được $\frac{3 \times 9}{8 \times 9} = \frac{3}{8}$ .
Lỗi hay gặp: Biến đổi sai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa hai số khi đổi chỗ chữ số; quên điều kiện $x > y$.

Phân tích: Bài toán về chuyển động. Các đại lượng cần quan tâm là quãng đường, vận tốc, thời gian.
- Ta có hai chặng đường: AB và BC.
- Quãng đường tổng cộng AB + BC = 165 km.
- Vận tốc trên AB là $v_{AB} = 50$ km/h.
- Vận tốc trên BC là $v_{BC} = 45$ km/h.
- Thời gian đi trên AB ít hơn thời gian đi trên BC là 30 phút.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB là $x$ (giờ) và thời gian đi trên đoạn đường BC là $y$ (giờ).
- Điều kiện: $x > 0$, $y > 0$. Lưu ý 30 phút = 0,5 giờ.
- Phương trình thứ nhất (liên quan đến thời gian): Thời gian đi trên AB ít hơn thời gian đi trên BC là 0,5 giờ, nên:
 $y - x = 0,5$ (1)
- Phương trình thứ hai (liên quan đến quãng đường):
 Quãng đường AB: $S{AB} = v{AB} \times x = 50x$ .
 Quãng đường BC: $S{BC} = v{BC} \times y = 45y$ .
 Tổng quãng đường: $S{AB} + S{BC} = 165$ .
 $50x + 45y = 165$
 Chia cả hai vế cho 5: $10x + 9y = 33$ (2)
Giải hệ phương trình:
Ta có hệ:
$\begin{cases} y - x = 0,5 10x + 9y = 33 \end{cases}$
Từ phương trình (1), ta có $y = x + 0,5$ . Thay vào phương trình (2):
$10x + 9(x + 0,5) = 33$
$10x + 9x + 4,5 = 33$
$19x = 33 - 4,5$
$19x = 28,5$
$x = \frac{28,5}{19} = 1,5$
Tìm $y$: $y = x + 0,5 = 1,5 + 0,5 = 2$ .
Kết quả: Thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB là x = 1,5 giờ. Thời gian đi trên đoạn đường BC là y = 2 giờ.
- Kiểm tra: $y - x = 2 - 1,5 = 0,5$ (Đúng, tức là 30 phút).
  $50x + 45y = 50(1,5) + 45(2) = 75 + 90 = 165$ (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo các đơn vị thời gian (giờ, phút) được sử dụng nhất quán.
Lỗi hay gặp: Đổi đơn vị thời gian không chính xác (30 phút thành 0,5 giờ); sai sót trong việc thiết lập phương trình quãng đường hoặc thời gian.

Phân tích: Bài toán về năng suất. Các đại lượng cần quan tâm là diện tích, năng suất (tấn/ha), tổng sản lượng (tấn).
- Có hai loại lúa: giống mới và giống cũ.
- Diện tích lúa mới: 60 ha.
- Diện tích lúa cũ: 40 ha.
- Tổng sản lượng thóc: 460 tấn.
- Mối quan hệ giữa năng suất 3 ha lúa mới và 4 ha lúa cũ.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi năng suất lúa mới trên 1 ha là $x$ (tấn/ha) và năng suất lúa cũ trên 1 ha là $y$ (tấn/ha).
- Điều kiện: $x > 0$, $y > 0$.
- Phương trình thứ nhất (liên quan đến tổng sản lượng):
  Sản lượng lúa mới: $60x$ (tấn).
  Sản lượng lúa cũ: $40y$ (tấn).
  Tổng sản lượng: $60x + 40y = 460$ .
  Chia cả hai vế cho 20: $3x + 2y = 23$ (1)
- Phương trình thứ hai (liên quan đến so sánh năng suất):
  Sản lượng 3 ha lúa mới: $3x$ (tấn).
  Sản lượng 4 ha lúa cũ: $4y$ (tấn).
  “3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn” nghĩa là:
  $4y - 3x = 1$ (2)
Giải hệ phương trình:
Ta có hệ:
$\begin{cases} 3x + 2y = 23 -3x + 4y = 1 \end{cases}$
Cộng vế theo vế của hai phương trình:
$(3x + 2y) + (-3x + 4y) = 23 + 1$
$6y = 24$
$y = 4$
Thay $y = 4$ vào phương trình (1):
$3x + 2(4) = 23$
$3x + 8 = 23$
$3x = 15$
$x = 5$
Kết quả: Năng suất lúa mới trên 1 ha là x = 5 tấn/ha. Năng suất lúa cũ trên 1 ha là y = 4 tấn/ha.
- Kiểm tra:
  Tổng sản lượng: $60x + 40y = 60(5) + 40(4) = 300 + 160 = 460$ (Đúng).
  So sánh năng suất: $4y - 3x = 4(4) - 3(5) = 16 - 15 = 1$ (Đúng).
- Câu hỏi là “Năng suất lúa mới trên 1 ha là bao nhiêu?”, đáp án là 5 tấn.
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo phân biệt rõ sản lượng từ diện tích lúa mới và lúa cũ.
Lỗi hay gặp: Sai phương trình biểu diễn mối quan hệ so sánh năng suất (ví dụ: $3x - 4y = 1$ thay vì $4y - 3x = 1$ ); nhầm lẫn giữa năng suất và sản lượng.

Phân tích: Bài toán chuyển động có yếu tố so sánh với thời gian, vận tốc dự định.
- Các đại lượng: Vận tốc, thời gian, quãng đường.
- Quãng đường AB là không đổi.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là $x$ (km/h) và thời gian dự định đi hết quãng đường là $y$ (giờ).
- Điều kiện: $x > 10$ (vì có trường hợp chạy chậm 10km/h), $y > 5$ (vì có trường hợp sớm hơn 3 giờ).
- Quãng đường AB: $S = x \times y$ .
- Trường hợp 1: Xe chạy nhanh hơn 10 km/h, đến sớm hơn 3 giờ.
  Vận tốc mới: $x + 10$ (km/h).
  Thời gian mới: $y - 3$ (giờ).
  Quãng đường: $(x + 10)(y - 3)$ .
  Ta có phương trình: $(x + 10)(y - 3) = xy$
  $xy - 3x + 10y - 30 = xy$
  $-3x + 10y = 30$ (1)
- Trường hợp 2: Xe chạy chậm lại 10 km/h, đến chậm hơn 5 giờ.
  Vận tốc mới: $x - 10$ (km/h).
  Thời gian mới: $y + 5$ (giờ).
  Quãng đường: $(x - 10)(y + 5)$ .
  Ta có phương trình: $(x - 10)(y + 5) = xy$
  $xy + 5x - 10y - 50 = xy$
  $5x - 10y = 50$
  Chia cả hai vế cho 5: $x - 2y = 10$ (2)
Giải hệ phương trình:
Ta có hệ:
$\begin{cases} -3x + 10y = 30 x - 2y = 10 \end{cases}$
Từ phương trình (2), ta có $x = 2y + 10$ . Thay vào phương trình (1):
$-3(2y + 10) + 10y = 30$
$-6y - 30 + 10y = 30$
$4y = 60$
$y = 15$
Thay $y = 15$ vào $x = 2y + 10$ :
$x = 2(15) + 10 = 30 + 10 = 40$
Kết quả: Vận tốc ban đầu của xe là x = 40 km/h. Thời gian dự định là y = 15 giờ.
- Kiểm tra:
  Quãng đường AB: $40 \times 15 = 600$ km.
  Trường hợp 1: Vận tốc $40+10=50$ km/h, thời gian $15-3=12$ giờ. Quãng đường: $50 \times 12 = 600$ km (Đúng).
  Trường hợp 2: Vận tốc $40-10=30$ km/h, thời gian $15+5=20$ giờ. Quãng đường: $30 \times 20 = 600$ km (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Nhớ rằng quãng đường không đổi trong cả ba trường hợp.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa vận tốc/thời gian dự định và vận tốc/thời gian thực tế; sai sót trong quá trình khai triển và rút gọn biểu thức.

Phân tích: Bài toán về năng suất lao động làm chung.
- Công việc là không đổi (coi là 1 đơn vị).
- Có hai người thợ.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong việc là $x$ (giờ) và thời gian người thợ thứ hai làm một mình xong việc là $y$ (giờ).
- Điều kiện: $x > 16$, $y > 16$.
- Năng suất của người thứ nhất trong 1 giờ: $\frac{1}{x}$ (công việc/giờ).
- Năng suất của người thứ hai trong 1 giờ: $\frac{1}{y}$ (công việc/giờ).
- Phương trình thứ nhất (làm chung): Hai người cùng làm trong 16 giờ thì xong. Nghĩa là trong 1 giờ, cả hai người làm được $\frac{1}{16}$ công việc.
  $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}$ (1)
- Phương trình thứ hai (làm riêng): Người thứ nhất làm 3 giờ được $3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$ công việc. Người thứ hai làm 6 giờ được $6 \times \frac{1}{y} = \frac{6}{y}$ công việc. Cả hai làm được $\frac{1}{4}$ công việc.
  $\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}$ (2)
Giải hệ phương trình:
Đặt $a = \frac{1}{x}$ và $b = \frac{1}{y}$ . Hệ phương trình trở thành:
$\begin{cases} a + b = \frac{1}{16} 3a + 6b = \frac{1}{4} \end{cases}$
Từ phương trình thứ nhất, $a = \frac{1}{16} - b$ . Thay vào phương trình thứ hai:
$3(\frac{1}{16} - b) + 6b = \frac{1}{4}$
$\frac{3}{16} - 3b + 6b = \frac{1}{4}$
$3b = \frac{1}{4} - \frac{3}{16}$
$3b = \frac{4}{16} - \frac{3}{16}$
$3b = \frac{1}{16}$
$b = \frac{1}{48}$
Thay $b = \frac{1}{48}$ vào $a = \frac{1}{16} - b$ :
$a = \frac{1}{16} - \frac{1}{48} = \frac{3}{48} - \frac{1}{48} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$
Kết quả:
Ta có a = \frac{1}{x} = \frac{1}{24} Rightarrow x = 24 giờ.
Ta có b = \frac{1}{y} = \frac{1}{48} Rightarrow y = 48 giờ.
Vậy, người thứ nhất làm một mình xong việc trong 24 giờ, người thứ hai làm một mình xong việc trong 48 giờ.
- Kiểm tra:
  $\frac{1}{24} + \frac{1}{48} = \frac{2}{48} + \frac{1}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$ (Đúng).
  $\frac{3}{24} + \frac{6}{48} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo đơn vị của thời gian và công việc được sử dụng nhất quán.
Lỗi hay gặp: Quên đặt ẩn phụ khi gặp hệ phương trình có dạng $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}$ ; sai sót trong quy đồng hoặc biến đổi phân số.

Phân tích: Bài toán liên quan đến số lượng và tổng số.
- Có hai lớp: 9A và 9B.
- Số học sinh và số cây trồng.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi số học sinh lớp 9A là $x$ và số học sinh lớp 9B là $y$.
- Điều kiện: $x, y$ là số nguyên dương, $x, y < 82$.
- Phương trình thứ nhất (tổng số học sinh):
 $x + y = 82$ (1)
- Phương trình thứ hai (tổng số cây trồng):
 Số cây lớp 9A trồng: $3x$ .
 Số cây lớp 9B trồng: $4y$ .
 Tổng số cây: $3x + 4y = 288$ (2)
Giải hệ phương trình:
Ta có hệ:
$\begin{cases} x + y = 82 3x + 4y = 288 \end{cases}$
Từ phương trình (1), ta có $x = 82 - y$ . Thay vào phương trình (2):
$3(82 - y) + 4y = 288$
$246 - 3y + 4y = 288$
$y = 288 - 246$
$y = 42$
Thay $y = 42$ vào $x = 82 - y$ :
$x = 82 - 42 = 40$
Kết quả: Lớp 9A có 40 học sinh, lớp 9B có 42 học sinh.
- Kiểm tra:
  Tổng số học sinh: $40 + 42 = 82$ (Đúng).
  Tổng số cây: $3(40) + 4(42) = 120 + 168 = 288$ (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Sau khi có kết quả, hãy kiểm tra xem số học sinh có phải là số nguyên dương và có hợp lý với ngữ cảnh bài toán không.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong quá trình thế hoặc quy đồng khi giải hệ phương trình.

Phân tích: Bài toán chuyển động ngược chiều.
- Hai phương tiện: ô tô và xe máy.
- Quãng đường AB: 180 km.
- Thời gian gặp nhau: 2 giờ.
- Quan hệ vận tốc: Vận tốc ô tô > Vận tốc xe máy 10 km/h.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi vận tốc của ô tô là $x$ (km/h) và vận tốc của xe máy là $y$ (km/h).
- Điều kiện: $x > y > 0$ và $x > 10$.
- Phương trình thứ nhất (quan hệ vận tốc):
 $x - y = 10$ (1)
- Phương trình thứ hai (quan hệ quãng đường khi gặp nhau):
 Trong 2 giờ, ô tô đi được quãng đường: $S{ô tô} = 2x$ (km).
 Trong 2 giờ, xe máy đi được quãng đường: $S{xe máy} = 2y$ (km).
 Khi gặp nhau, tổng quãng đường hai xe đi được bằng khoảng cách ban đầu:
 $S{ô tô} + S{xe máy} = 180$
 $2x + 2y = 180$
 Chia cả hai vế cho 2: $x + y = 90$ (2)
Giải hệ phương trình:
Ta có hệ:
$\begin{cases} x - y = 10 x + y = 90 \end{cases}$
Cộng vế theo vế của hai phương trình:
$(x - y) + (x + y) = 10 + 90$
$2x = 100$
$x = 50$
Thay $x = 50$ vào phương trình (2):
$50 + y = 90$
$y = 40$
Kết quả: Vận tốc của ô tô là 50 km/h. Vận tốc của xe máy là 40 km/h.
- Kiểm tra:
  $x - y = 50 - 40 = 10$ (Đúng).
  $2x + 2y = 2(50) + 2(40) = 100 + 80 = 180$ (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Kiểm tra xem vận tốc lớn hơn và nhỏ hơn có khớp với mối quan hệ cho trong đề bài hay không.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn công thức chuyển động ngược chiều với chuyển động cùng chiều hoặc đuổi nhau; sai sót trong biến đổi đại số.

Phân tích: Bài toán chuyển động ngược chiều có yếu tố xuất phát không cùng lúc.
- Quãng đường AB: 400 km.
- Trường hợp 1: Cùng khởi hành, gặp nhau sau 5 giờ.
- Trường hợp 2: Xe chậm xuất phát trước 40 phút, gặp nhau sau 5h 22 phút kể từ lúc xe chậm khởi hành.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi vận tốc xe nhanh là $x$ (km/h) và vận tốc xe chậm là $y$ (km/h).
- Điều kiện: $x > y > 0$. 40 phút = $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ giờ. 5 giờ 22 phút = $5 + \frac{22}{60} = 5 + \frac{11}{30} = \frac{150+11}{30} = \frac{161}{30}$ giờ.
- Phương trình thứ nhất (trường hợp 1):
  Trong 5 giờ, xe nhanh đi được $5x$ km, xe chậm đi được $5y$ km. Tổng quãng đường là 400 km.
  $5x + 5y = 400$
  Chia cả hai vế cho 5: $x + y = 80$ (1)
- Phương trình thứ hai (trường hợp 2):
  Xe chậm xuất phát trước 40 phút ( $\frac{2}{3}$ giờ). Trong thời gian này, xe chậm đi được quãng đường là $y \times \frac{2}{3} = \frac{2y}{3}$ km.
  Khi xe nhanh bắt đầu xuất phát, khoảng cách còn lại giữa hai xe là $400 - \frac{2y}{3}$ km.
  Hai xe gặp nhau sau 5h 22 phút kể từ lúc xe chậm khởi hành.
  Thời gian xe nhanh đi là: $5h 22ph - 40ph = 4h 42ph = 4 + \frac{42}{60} = 4 + \frac{7}{10} = \frac{47}{10}$ giờ.
  Quãng đường xe nhanh đi được trong thời gian này là $x \times \frac{47}{10} = \frac{47x}{10}$ km.
  Thời gian xe chậm đi thêm sau khi xe nhanh xuất phát là $\frac{47}{10}$ giờ. Quãng đường xe chậm đi thêm là $y \times \frac{47}{10} = \frac{47y}{10}$ km.
  Tổng quãng đường còn lại là $\frac{47x}{10} + \frac{47y}{10} = 400 - \frac{2y}{3}$ .
  $\frac{47(x+y)}{10} = 400 - \frac{2y}{3}$
  Thay $x+y = 80$ từ (1) vào:
  $\frac{47(80)}{10} = 400 - \frac{2y}{3}$
  $47 \times 8 = 400 - \frac{2y}{3}$
  $376 = 400 - \frac{2y}{3}$
  $\frac{2y}{3} = 400 - 376$
  $\frac{2y}{3} = 24$
  $2y = 72$
  $y = 36$
- Tìm $x$: Thay $y=36$ vào phương trình (1):
  $x + 36 = 80$
  $x = 80 - 36 = 44$
Kết quả: Vận tốc xe nhanh là 44 km/h. Vận tốc xe chậm là 36 km/h.
- Kiểm tra:
  Trường hợp 1: $5 \times 44 + 5 \times 36 = 220 + 180 = 400$ km (Đúng).
  Trường hợp 2: Xe chậm đi trước $\frac{2}{3}$ giờ đi được $36 \times \frac{2}{3} = 24$ km.
  Thời gian hai xe đi ngược chiều gặp nhau từ lúc xe nhanh xuất phát là $5h 22ph - 40ph = 4h 42ph = 4.7$ giờ.
  Xe nhanh đi được $44 \times 4.7 = 206.8$ km.
  Xe chậm đi thêm được $36 \times 4.7 = 169.2$ km.
  Tổng quãng đường = $24 + 206.8 + 169.2 = 24 + 376 = 400$ km (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Lưu ý phân biệt rõ thời gian xuất phát và thời gian di chuyển của mỗi xe.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn thời gian và quãng đường trong trường hợp xuất phát không cùng lúc; sai sót trong việc đổi đơn vị thời gian.

Phân tích: Bài toán năng suất lao động làm chung, tương tự Câu 6.
- Công việc là không đổi (1 đơn vị).
- Thời gian hoàn thành công việc: 7 giờ 12 phút = $7 + \frac{12}{60} = 7 + \frac{1}{5} = \frac{36}{5}$ giờ.
- 50% công việc = $\frac{1}{2}$ công việc.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong việc là $x$ (giờ) và thời gian người thứ hai làm một mình xong việc là $y$ (giờ).
- Điều kiện: $x > 0$, $y > 0$.
- Năng suất người thứ nhất trong 1 giờ: $\frac{1}{x}$ .
- Năng suất người thứ hai trong 1 giờ: $\frac{1}{y}$ .
- Phương trình thứ nhất (làm chung):
  $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{36/5} = \frac{5}{36}$ (1)
- Phương trình thứ hai (làm riêng):
  Người thứ nhất làm 4 giờ được $\frac{4}{x}$ . Người thứ hai làm 3 giờ được $\frac{3}{y}$ . Cả hai làm được $\frac{1}{2}$ công việc.
  $\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2}$ (2)
Giải hệ phương trình:
Đặt $a = \frac{1}{x}$ và $b = \frac{1}{y}$ . Hệ phương trình trở thành:
$\begin{cases} a + b = \frac{5}{36} 4a + 3b = \frac{1}{2} \end{cases}$
Từ phương trình thứ nhất, $a = \frac{5}{36} - b$ . Thay vào phương trình thứ hai:
$4(\frac{5}{36} - b) + 3b = \frac{1}{2}$
$\frac{20}{36} - 4b + 3b = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{9} - b = \frac{1}{2}$
$b = \frac{5}{9} - \frac{1}{2}$
$b = \frac{10}{18} - \frac{9}{18} = \frac{1}{18}$
Thay $b = \frac{1}{18}$ vào $a = \frac{5}{36} - b$ :
$a = \frac{5}{36} - \frac{1}{18} = \frac{5}{36} - \frac{2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
Kết quả:
Ta có a = \frac{1}{x} = \frac{1}{12} Rightarrow x = 12 giờ.
Ta có b = \frac{1}{y} = \frac{1}{18} Rightarrow y = 18 giờ.
Vậy, người thứ nhất làm một mình xong việc trong 12 giờ, người thứ hai làm một mình xong việc trong 18 giờ.
- Kiểm tra:
  $\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}$ (Đúng).
  $\frac{4}{12} + \frac{3}{18} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo đổi chính xác 7 giờ 12 phút sang đơn vị giờ.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong quy đổi đơn vị thời gian; nhầm lẫn trong việc đặt ẩn phụ hoặc giải hệ phương trình với phân số.

Phân tích: Bài toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm và tổng số.
- Có hai trường: A và B.
- Số học sinh và tỉ lệ đạt.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi số học sinh dự thi của trường A là $x$ và số học sinh dự thi của trường B là $y$.
- Điều kiện: $x, y$ là số nguyên dương, $x, y < 300$.
- Phương trình thứ nhất (tổng số học sinh):
 $x + y = 300$ (1)
- Phương trình thứ hai (tổng số học sinh đạt):
 Số học sinh đạt của trường A: $75% \times x = 0,75x$ .
 Số học sinh đạt của trường B: $60% \times y = 0,60y$ .
 Tổng số học sinh đạt: $0,75x + 0,60y = 207$ .
 Nhân hai vế với 100 để loại bỏ số thập phân: $75x + 60y = 20700$ .
 Chia cả hai vế cho 15: $5x + 4y = 1380$ (2)
Giải hệ phương trình:
Ta có hệ:
$\begin{cases} x + y = 300 5x + 4y = 1380 \end{cases}$
Từ phương trình (1), $y = 300 - x$ . Thay vào phương trình (2):
$5x + 4(300 - x) = 1380$
$5x + 1200 - 4x = 1380$
$x = 1380 - 1200$
$x = 180$
Thay $x = 180$ vào $y = 300 - x$ :
$y = 300 - 180 = 120$
Kết quả: Số học sinh dự thi của trường A là 180. Số học sinh dự thi của trường B là 120.
- Kiểm tra:
  Tổng số học sinh: $180 + 120 = 300$ (Đúng).
  Số học sinh đạt: $0,75(180) + 0,60(120) = 135 + 72 = 207$ (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Chú ý đổi phần trăm sang dạng thập phân hoặc phân số cho phù hợp khi thiết lập phương trình.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong tính toán phần trăm; nhầm lẫn giữa số học sinh tham gia và số học sinh đạt.

Câu 12: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 42m. Đường chéo hình chữ nhật dài 15m. Tính độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật.

Phân tích: Bài toán hình học liên quan đến tính chất của hình chữ nhật.
- Các đại lượng: chiều dài, chiều rộng, chu vi, đường chéo.
- Quan hệ: Chu vi, Định lý Pytago cho tam giác tạo bởi hai cạnh và đường chéo.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi chiều dài là $x$ (m) và chiều rộng là $y$ (m).
- Điều kiện: $x > y > 0$.
- Phương trình thứ nhất (chu vi):
  Chu vi hình chữ nhật $P = 2(x+y)$ .
  $2(x+y) = 42$
  $x+y = 21$ (1)
- Phương trình thứ hai (đường chéo – Định lý Pytago):
  Trong một tam giác vuông tạo bởi chiều dài, chiều rộng và đường chéo, ta có:
  $x^2 + y^2 = 15^2$
  $x^2 + y^2 = 225$ (2)
Giải hệ phương trình:
Ta có hệ:
$\begin{cases} x + y = 21 x^2 + y^2 = 225 \end{cases}$
Từ phương trình (1), $x = 21 - y$ . Thay vào phương trình (2):
$(21 - y)^2 + y^2 = 225$
$441 - 42y + y^2 + y^2 = 225$
$2y^2 - 42y + 441 - 225 = 0$
$2y^2 - 42y + 216 = 0$
Chia cả hai vế cho 2:
$y^2 - 21y + 108 = 0$
Giải phương trình bậc hai này:
Delta: $\Delta = (-21)^2 - 4(1)(108) = 441 - 432 = 9$
$\sqrt{\Delta} = 3$
Các nghiệm của $y$:
$y_1 = \frac{-(-21) + 3}{2(1)} = \frac{21+3}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$y_2 = \frac{-(-21) - 3}{2(1)} = \frac{21-3}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Nếu $y = 12$ , thì $x = 21 - 12 = 9$ . Tuy nhiên, theo quy ước chiều dài lớn hơn chiều rộng, nên trường hợp này không hợp lệ ($x > y$ bị vi phạm).
Nếu $y = 9$ , thì $x = 21 - 9 = 12$ . Trường hợp này hợp lệ ( $x=12 > y=9$ ).
Kết quả: Chiều rộng mảnh đất là y = 9m. Chiều dài là x = 12m.
- Kiểm tra:
  Chu vi: $2(12+9) = 2(21) = 42$ m (Đúng).
  Đường chéo: $12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$ . $\sqrt{225} = 15$ m (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Khi giải phương trình bậc hai cho ẩn $y$, ta có hai nghiệm. Cần chọn nghiệm phù hợp với điều kiện của bài toán ($x > y > 0$).
Lỗi hay gặp: Sai sót trong khai triển bình phương $(21-y)^2$ ; nhầm lẫn giữa chiều dài và chiều rộng; không kiểm tra điều kiện của ẩn sau khi tìm nghiệm.

Câu 13: Một mảnh đất hình chữ nhật có nửa chu vi bằng 34 m. Đường chéo hình chữ nhật dài 26 m. Tính chiều dài mảnh đất hình chữ nhật.

Phân tích: Tương tự Câu 12, bài toán về hình chữ nhật.
- Nửa chu vi: 34m.
- Đường chéo: 26m.
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi chiều dài là $x$ (m) và chiều rộng là $y$ (m).
- Điều kiện: $x > y > 0$.
- Phương trình thứ nhất (nửa chu vi):
  Nửa chu vi hình chữ nhật là $x+y$ .
  $x+y = 34$ (1)
- Phương trình thứ hai (đường chéo – Định lý Pytago):
  $x^2 + y^2 = 26^2$
  $x^2 + y^2 = 676$ (2)
Giải hệ phương trình:
Ta có hệ:
$\begin{cases} x + y = 34 x^2 + y^2 = 676 \end{cases}$
Từ phương trình (1), $y = 34 - x$ . Thay vào phương trình (2):
$x^2 + (34 - x)^2 = 676$
$x^2 + (1156 - 68x + x^2) = 676$
$2x^2 - 68x + 1156 - 676 = 0$
$2x^2 - 68x + 480 = 0$
Chia cả hai vế cho 2:
$x^2 - 34x + 240 = 0$
Giải phương trình bậc hai này:
Delta: $\Delta = (-34)^2 - 4(1)(240) = 1156 - 960 = 196$
$\sqrt{\Delta} = 14$
Các nghiệm của $x$:
$x_1 = \frac{-(-34) + 14}{2(1)} = \frac{34+14}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$x_2 = \frac{-(-34) - 14}{2(1)} = \frac{34-14}{2} = \frac{20}{2} = 10$
Nếu $x = 24$ , thì $y = 34 - 24 = 10$ . Trường hợp này hợp lệ ( $x=24 > y=10$ ).
Nếu $x = 10$ , thì $y = 34 - 10 = 24$ . Trường hợp này không hợp lệ ($x > y$ bị vi phạm).
Kết quả: Chiều dài mảnh đất là x = 24m. Chiều rộng là y = 10m.
- Kiểm tra:
  Nửa chu vi: $24 + 10 = 34$ m (Đúng).
  Đường chéo: $24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$ . $\sqrt{676} = 26$ m (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Tương tự Câu 12, cần chọn nghiệm phù hợp với điều kiện chiều dài lớn hơn chiều rộng.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong khai triển bình phương $(34-x)^2$ ; nhầm lẫn giữa chiều dài và chiều rộng; không kiểm tra điều kiện của ẩn.

Phân tích: Bài toán về năng suất làm việc của hai vòi nước.
- Thời gian đầy bể khi chảy chung: 4 giờ 48 phút = $4 + \frac{48}{60} = 4 + \frac{4}{5} = \frac{24}{5}$ giờ.
- Phần công việc: Đầy bể (coi là 1 đơn vị).
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là $x$ (giờ) và thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là $y$ (giờ).
- Điều kiện: $x > 0$, $y > 0$.
- Năng suất vòi I trong 1 giờ: $\frac{1}{x}$ (bể/giờ).
- Năng suất vòi II trong 1 giờ: $\frac{1}{y}$ (bể/giờ).
- Phương trình thứ nhất (làm chung):
  $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24/5} = \frac{5}{24}$ (1)
- Phương trình thứ hai (làm riêng):
  Vòi I chảy 4 giờ được $\frac{4}{x}$ bể. Vòi II chảy 3 giờ được $\frac{3}{y}$ bể. Cả hai chảy được $\frac{3}{4}$ bể.
  $\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{4}$ (2)
Giải hệ phương trình:
Đặt $a = \frac{1}{x}$ và $b = \frac{1}{y}$ . Hệ phương trình trở thành:
$\begin{cases} a + b = \frac{5}{24} 4a + 3b = \frac{3}{4} \end{cases}$
Từ phương trình thứ nhất, $a = \frac{5}{24} - b$ . Thay vào phương trình thứ hai:
$4(\frac{5}{24} - b) + 3b = \frac{3}{4}$
$\frac{20}{24} - 4b + 3b = \frac{3}{4}$
$\frac{5}{6} - b = \frac{3}{4}$
$b = \frac{5}{6} - \frac{3}{4}$
$b = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}$
Thay $b = \frac{1}{12}$ vào $a = \frac{5}{24} - b$ :
$a = \frac{5}{24} - \frac{1}{12} = \frac{5}{24} - \frac{2}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$
Kết quả:
Ta có a = \frac{1}{x} = \frac{1}{8} Rightarrow x = 8 giờ.
Ta có b = \frac{1}{y} = \frac{1}{12} Rightarrow y = 12 giờ.
Vậy, thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là 8 giờ. Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là 12 giờ.
- Kiểm tra:
  $\frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24}$ (Đúng).
  $\frac{4}{8} + \frac{3}{12} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Đảm bảo đổi chính xác 4 giờ 48 phút sang đơn vị giờ.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc đổi đơn vị thời gian; nhầm lẫn quy tắc làm việc chung.

Phân tích: Bài toán năng suất làm việc của hai vòi nước, tương tự Câu 14.
- Thời gian đầy bể khi chảy chung: 1,5 giờ = $\frac{3}{2}$ giờ.
- Phần công việc: Đầy bể (1 đơn vị).
Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn: Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là $x$ (giờ) và thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là $y$ (giờ).
- Điều kiện: $x > 0$, $y > 0$. (Lưu ý đề bài cho $x,y>1,5$ nhưng sau đó lại cho các mốc thời gian nhỏ hơn 1,5. Ta sẽ giữ điều kiện $x,y>0$ và kiểm tra lại).
- Năng suất vòi 1 trong 1 giờ: $\frac{1}{x}$ (bể/giờ).
- Năng suất vòi 2 trong 1 giờ: $\frac{1}{y}$ (bể/giờ).
- Phương trình thứ nhất (làm chung):
  $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$ (1)
- Phương trình thứ hai (làm riêng):
  Vòi 1 chảy 0,25 giờ = $\frac{1}{4}$ giờ được $\frac{1}{4x}$ bể.
  Vòi 2 chảy 1 giờ được $\frac{1}{y}$ bể.
  Cả hai chảy được $\frac{5}{8}$ bể.
  $\frac{1}{4x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{8}$ (2)
Giải hệ phương trình:
Đặt $a = \frac{1}{x}$ và $b = \frac{1}{y}$ . Hệ phương trình trở thành:
$\begin{cases} a + b = \frac{2}{3} \frac{1}{4}a + b = \frac{5}{8} \end{cases}$
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:
$(\frac{1}{4}a + b) - (a + b) = \frac{5}{8} - \frac{2}{3}$
$\frac{1}{4}a - a = \frac{15}{24} - \frac{16}{24}$
$-\frac{3}{4}a = -\frac{1}{24}$
$a = (-\frac{1}{24}) \times (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{72} = \frac{1}{18}$
Thay $a = \frac{1}{18}$ vào phương trình (1):
$\frac{1}{18} + b = \frac{2}{3}$
$b = \frac{2}{3} - \frac{1}{18} = \frac{12}{18} - \frac{1}{18} = \frac{11}{18}$
Kết quả:
Ta có a = \frac{1}{x} = \frac{1}{18} Rightarrow x = 18 giờ.
Ta có b = \frac{1}{y} = \frac{11}{18} Rightarrow y = \frac{18}{11} giờ.
Vậy, thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là 18 giờ. Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là \frac{18}{11} giờ.
- Kiểm tra:
  $\frac{1}{18} + \frac{11}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ (Đúng).
  $\frac{1}{4}(\frac{1}{18}) + \frac{11}{18} = \frac{1}{72} + \frac{11}{18} = \frac{1}{72} + \frac{44}{72} = \frac{45}{72} = \frac{5 \times 9}{8 \times 9} = \frac{5}{8}$ (Đúng).
Mẹo kiểm tra: Chú ý rằng thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể ( $\frac{18}{11} \approx 1.63$ giờ) lớn hơn 1,5 giờ, khớp với điều kiện ban đầu.
Lỗi hay gặp: Sai sót trong việc đổi đơn vị thời gian hoặc phần công việc; nhầm lẫn khi giải hệ phương trình với ẩn là nghịch đảo của thời gian.

Đáp Án/Kết Quả

Dưới đây là tóm tắt kết quả của các bài tập đã giải:

Câu 1: Tổng các chữ số là 9.
Câu 2: Tích các chữ số của số ban đầu là 14.
Câu 3: Thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB là 1,5 giờ.
Câu 4: Năng suất lúa mới trên 1 ha là 5 tấn.
Câu 5: Vận tốc ban đầu của xe là 40 km/h.
Câu 6: Người thứ nhất làm một mình xong việc trong 24 giờ, người thứ hai làm một mình xong việc trong 48 giờ.
Câu 7: Lớp 9A có 40 học sinh, lớp 9B có 42 học sinh.
Câu 8: Vận tốc ô tô là 50 km/h, vận tốc xe máy là 40 km/h.
Câu 9: Vận tốc xe nhanh là 44 km/h, vận tốc xe chậm là 36 km/h.
Câu 10: Người thứ nhất làm một mình xong việc trong 12 giờ, người thứ hai làm một mình xong việc trong 18 giờ.
Câu 11: Số học sinh trường A là 180, trường B là 120.
Câu 12: Chiều rộng mảnh đất là 9m.
Câu 13: Chiều dài mảnh đất là 24m.
Câu 14: Thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là 8 giờ.
Câu 15: Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là $\frac{18}{11}$ giờ.

Những bài tập này đều minh họa rõ nét cách áp dụng phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9. Bằng cách phân tích kỹ đề bài, xác định ẩn số và thiết lập mối quan hệ thông qua hệ phương trình, chúng ta có thể tìm ra lời giải chính xác cho các bài toán thực tế.

Bộ bài tập này được thiết kế để giúp học sinh lớp 9 nắm vững phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, một kỹ năng toán học cốt lõi và ứng dụng rộng rãi. Qua việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài đa dạng từ chuyển động, năng suất, số học đến hình học, các em sẽ tự tin hơn trong việc phân tích và giải quyết các bài toán phức tạp. Việc hiểu rõ bản chất của từng bài toán, kỹ năng xây dựng mô hình toán học bằng hệ phương trình và kỹ năng biến đổi đại số là chìa khóa để đạt được kết quả tốt.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.