Bài Tập Ứng Dụng Định Lý Viet Cho Học Sinh Lớp 9: Nâng Cao Tư Duy Toán Học

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Định lý Viet là một công cụ toán học mạnh mẽ, giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai, bậc ba và đa thức bậc cao. Nắm vững định lý này không chỉ giúp bạn giải nhanh các dạng bài thi mà còn phát triển khả năng tư duy logic và phân tích toán học. Bài viết này sẽ đi sâu vào ứng dụng thực tiễn của định lý Viet, cùng với các bài tập minh họa chi tiết và những lưu ý quan trọng để bạn chinh phục kiến thức này.

Đề Bài

Bài tập 1: Lập phương trình bậc hai từ tổng và tích nghiệm đã cho.

Đề bài: Hãy viết phương trình bậc hai có tổng nghiệm x1 + x2 = 5 và tích nghiệm x1 . x2 = 6

Bài tập 2: Bạn hãy chứng minh một mối quan hệ giữa các nghiệm sau:

Bài tập 3: Tìm điều kiện để nghiệm thỏa mãn yêu cầu cho trước

Đề bài: Cho phương trình x1 – px + q = 0. Hãy xác định điều kiện của các tham số p,q để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 đều dương, tức là thỏa mãn x1 > 0 và x2 > 0.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài tập trên đều xoay quanh việc ứng dụng định lý Viet, một công cụ quan trọng trong chương trình toán học THCS và THPT. Yêu cầu chung là vận dụng linh hoạt các hệ thức giữa nghiệm và hệ số của phương trình để giải quyết các bài toán cụ thể. Cụ thể:

Bài tập 1 yêu cầu xây dựng một phương trình bậc hai khi đã biết trước tổng và tích hai nghiệm của nó. Đây là ứng dụng trực tiếp của định lý Viet đảo.
Bài tập 2, với hình ảnh minh họa, gợi ý một dạng bài chứng minh mối quan hệ phức tạp hơn giữa các nghiệm, thường đòi hỏi kết hợp định lý Viet với các biến đổi đại số.
Bài tập 3 đặt ra yêu cầu tìm điều kiện cho tham số của phương trình để nghiệm thỏa mãn các tính chất nhất định (trong trường hợp này là nghiệm dương). Điều này đòi hỏi sự kết hợp giữa định lý Viet và điều kiện để phương trình có nghiệm (biệt thức Delta) cũng như các điều kiện về dấu của nghiệm.

Hiểu rõ yêu cầu của từng bài toán sẽ giúp chúng ta lựa chọn phương pháp tiếp cận phù hợp và hiệu quả nhất.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán liên quan đến định lý Viet, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Phương trình bậc hai và điều kiện có nghiệm

Một phương trình bậc hai có dạng tổng quát:
$ax^2 + bx + c = 0 quad (a \ne 0)$

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức Delta (Δ) không âm:
$\Delta = b^2 - 4ac \ge 0$

Nếu $\Delta > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Nếu $\Delta = 0$ , phương trình có nghiệm kép.
Nếu $\Delta < 0[/katex]</code>, phương trình vô nghiệm thực.</p> <h3>2. Định lý Viet cho phương trình bậc hai</h3> <p>Nếu phương trình <code>[katex]ax^2 + bx + c = 0 quad (a \ne 0)$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$ , thì:

Tổng hai nghiệm: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Tích hai nghiệm: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Đây là hệ thức Viet thuận.

Ngược lại, nếu có hai số $S$ và $P$ sao cho $S^2 - 4P \ge 0$ , thì hai số $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình:
$x^2 - Sx + P = 0$
Hoặc phương trình $kx^2 - kSx + kP = 0$ với $k \ne 0$ . Đây là hệ thức Viet đảo.

3. Điều kiện để hai nghiệm cùng dương

Cho phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0 quad (a \ne 0)$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ . Để cả hai nghiệm đều dương ( $x_1 > 0$ và $x_2 > 0$ ), ta cần thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:

Phương trình phải có nghiệm thực: $\Delta \ge 0$
Tổng hai nghiệm phải dương: $x_1 + x_2 > 0$ (tức là $-\frac{b}{a} > 0$ )
Tích hai nghiệm phải dương: $x_1 \cdot x_2 > 0$ (tức là $\frac{c}{a} > 0$ )

Nếu phương trình có nghiệm kép dương ( $x_1 = x_2 > 0$ ), thì điều kiện vẫn tương tự, chỉ cần thay $\Delta \ge 0$ bằng $\Delta = 0$ . Tuy nhiên, khi xét các bài toán yêu cầu nghiệm "dương", thường bao gồm cả trường hợp nghiệm kép dương, nên $\Delta \ge 0$ là đủ.

4. Định lý Viet cho phương trình bậc ba (Mở rộng)

Đối với phương trình bậc ba có dạng $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 quad (a \ne 0)$ , nếu có ba nghiệm là $x_1, x_2, x_3$ , thì:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a}$
$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

Mặc dù các bài tập minh họa chủ yếu tập trung vào bậc hai, việc biết đến định lý cho bậc ba sẽ giúp bạn có cái nhìn tổng quát hơn.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ tiến hành giải từng bài tập một cách chi tiết.

Bài tập 1: Lập phương trình bậc hai từ tổng và tích nghiệm

Đề bài: Hãy viết phương trình bậc hai có tổng nghiệm $x_1 + x_2 = 5$ và tích nghiệm $x_1 \cdot x_2 = 6$

Phân tích: Bài toán cho biết trực tiếp giá trị của tổng hai nghiệm (S) và tích hai nghiệm (P). Chúng ta cần áp dụng định lý Viet đảo để tìm phương trình bậc hai tương ứng.

Các bước giải:

Xác định S và P:
Theo đề bài, ta có:
$S = x_1 + x_2 = 5$
$P = x_1 \cdot x_2 = 6$
Kiểm tra điều kiện để tồn tại nghiệm:
Trước khi lập phương trình, ta nên kiểm tra xem liệu có tồn tại hai số với tổng $S = 5$ và tích $P = 6$ hay không. Điều này tương đương với việc phương trình $x^2 - Sx + P = 0$ có nghiệm hay không.
Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ :
$\Delta = S^2 - 4P = 5^2 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
Vì $\Delta = 1 > 0$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt. Điều này xác nhận rằng có hai số thỏa mãn điều kiện đã cho.
Lập phương trình bậc hai:
Sử dụng dạng $x^2 - Sx + P = 0$ , ta thay $S = 5$ và $P = 6$ vào:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Đây là một phương trình bậc hai có tổng nghiệm là 5 và tích nghiệm là 6. Nếu muốn, ta có thể nhân thêm một hệ số $k \ne 0$ vào phương trình này mà vẫn giữ nguyên mối quan hệ tổng và tích của nghiệm (chỉ thay đổi các nghiệm ban đầu nếu k ne 1). Ví dụ, $2x^2 - 10x + 12 = 0$ cũng có tổng nghiệm là [-(-10)/2] = 5 và tích nghiệm là [12/2] = 6. Tuy nhiên, dạng chuẩn nhất là $x^2 - Sx + P = 0$ .

Mẹo kiểm tra: Để kiểm tra, ta giải phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ .
$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5+1}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5-1}{2} = 2$
Kiểm tra lại: $x_1 + x_2 = 3 + 2 = 5$ (Đúng).
$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 2 = 6$ (Đúng).

Lỗi hay gặp: Quên kiểm tra điều kiện $S^2 - 4P \ge 0$ trước khi lập phương trình. Nếu điều kiện này không thỏa mãn, nghĩa là không tồn tại hai số thực có tổng S và tích P như yêu cầu.

Bài tập 2: Chứng minh mối quan hệ giữa các nghiệm

Đề bài: Bạn hãy chứng minh một mối quan hệ giữa các nghiệm sau: (Giả định là bài toán yêu cầu chứng minh $x_1^2 + x_2^2$ hoặc một biểu thức tương tự, dựa trên hình ảnh gốc). Giả sử đề gốc có hình ảnh liên quan đến $x_1^2 + x_2^2$ .

Phân tích: Các bài toán dạng này thường cho một phương trình bậc hai và yêu cầu biểu diễn một biểu thức đối xứng của hai nghiệm ( $x_1, x_2$ ) thông qua các hệ số của phương trình. Định lý Viet là công cụ chính để giải quyết.

Các bước giải:

Xác định phương trình và nghiệm:
Giả sử phương trình là $ax^2 + bx + c = 0 quad (a \ne 0)$ với hai nghiệm $x_1, x_2$ .
Theo định lý Viet:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
Biểu diễn biểu thức cần chứng minh qua S và P:
Chúng ta cần biến đổi biểu thức $x_1^2 + x_2^2$ sao cho chỉ còn lại các phép toán với $x_1 + x_2$ và $x_1 \cdot x_2$ .
Ta biết rằng $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$ .
Suy ra: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ .
Thay $S = x_1 + x_2$ và $P = x_1 \cdot x_2$ vào, ta có:
$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$
Thay thế S và P bằng các hệ số của phương trình:
Cuối cùng, ta thay các biểu thức của S và P theo hệ số a, b, c vào:
$x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2left(\frac{c}{a}\right)$
$x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}$
Quy đồng mẫu số:
$x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$

Mẹo kiểm tra: Nếu bài toán cho một phương trình cụ thể, ví dụ $x^2 - 5x + 6 = 0$ , ta có thể tìm nghiệm x_1=3, x_2=2. Tính $x_1^2 + x_2^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$ .
Rồi dùng công thức vừa tìm được: $\frac{b^2 - 2ac}{a^2} = \frac{(-5)^2 - 2(1)(6)}{1^2} = \frac{25 - 12}{1} = 13$ . Hai kết quả trùng khớp.

Lỗi hay gặp: Biến đổi sai các hằng đẳng thức hoặc nhầm lẫn các hệ số a, b, c khi thay thế.

Bài tập 3: Tìm điều kiện để nghiệm thỏa mãn yêu cầu cho trước

Đề bài: Cho phương trình $x^2 - px + q = 0$ . Hãy xác định điều kiện của các tham số $p, q$ để phương trình có hai nghiệm $x_1 , x_2$ đều dương, tức là thỏa mãn $x_1 > 0$ và $x_2 > 0$ .

Phân tích: Bài toán yêu cầu tìm điều kiện trên hệ số để nghiệm của phương trình có tính chất nhất định. Ở đây, tính chất là cả hai nghiệm đều dương. Chúng ta cần kết hợp điều kiện có nghiệm thực và các hệ thức Viet.

Các bước giải:

Xác định phương trình và hệ số:
Phương trình đã cho là $x^2 - px + q = 0$ .
So với dạng $ax^2 + bx + c = 0$ , ta có:
$a = 1$
$b = -p$
$c = q$
Áp dụng định lý Viet:
Nếu phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ , thì:
Tổng hai nghiệm: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-p}{1} = p$
Tích hai nghiệm: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{q}{1} = q$
Áp dụng điều kiện nghiệm dương:
Để $x_1 > 0$ và $x_2 > 0$ , ta cần thỏa mãn ba điều kiện đã nêu ở phần Kiến thức/Nền tảng:
- Điều kiện có nghiệm thực: $\Delta \ge 0$
  $\Delta = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4(1)(q) = p^2 - 4q$
  Vậy, $p^2 - 4q \ge 0$ (hay $p^2 \ge 4q$ )
- Tổng hai nghiệm dương: $x_1 + x_2 > 0$
  Theo định lý Viet, $x_1 + x_2 = p$ .
  Vậy, $p > 0$
- Tích hai nghiệm dương: $x_1 \cdot x_2 > 0$
  Theo định lý Viet, $x_1 \cdot x_2 = q$ .
  Vậy, $q > 0$
Tổng hợp các điều kiện:
Để phương trình có hai nghiệm đều dương, các tham số $p$ và $q$ phải thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện:
- $p^2 - 4q \ge 0$
- $p > 0$
- $q > 0$

Mẹo kiểm tra: Lấy một ví dụ. Nếu $p=5, q=6$ , ta có $p>0</code> và <code>[]q>0$ . Kiểm tra $p^2 - 4q = 5^2 - 4(6) = 25 - 24 = 1 \ge 0$ . Các điều kiện đều thỏa mãn. Phương trình là $x^2 - 5x + 6 = 0$ , có nghiệm x_1=3, x_2=2, cả hai đều dương.
Nếu $p=-5, q=6$ , thì $p ngtr 0$ . Phương trình là $x^2 + 5x + 6 = 0$ , có nghiệm x_1=-3, x_2=-2, cả hai đều âm.

Lỗi hay gặp:

Quên điều kiện $\Delta \ge 0$ .
Nhầm lẫn dấu của tổng và tích nghiệm. Ví dụ, hai nghiệm âm sẽ có tổng âm và tích dương.

Đáp Án/Kết Quả

Bài tập 1: Phương trình bậc hai cần tìm là $x^2 - 5x + 6 = 0$ .
Bài tập 2: Biểu thức $x_1^2 + x_2^2$ của hai nghiệm $x_1, x_2$ của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ được biểu diễn là $\frac{b^2 - 2ac}{a^2}$ .
Bài tập 3: Điều kiện để phương trình $x^2 - px + q = 0$ có hai nghiệm đều dương là $p > 0$ , $q > 0$ , và $p^2 - 4q \ge 0$ .

Lời kết

Nắm vững định lý Viet là chìa khóa để giải quyết hiệu quả nhiều dạng bài toán đại số phức tạp, từ việc lập phương trình theo yêu cầu nghiệm cho đến việc phân tích tính chất của nghiệm. Khả năng áp dụng định lý này không chỉ giúp bạn hoàn thành tốt các bài kiểm tra, kỳ thi mà còn rèn luyện tư duy toán học sắc bén. Hãy kiên trì luyện tập với các dạng bài tập khác nhau, chú trọng vào việc hiểu bản chất của từng hệ thức và điều kiện đi kèm. Việc này sẽ giúp bạn tự tin chinh phục mọi thử thách toán học.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.