Các Dạng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình

by Thầy Đông · January 8, 2026

Rate this post

Các dạng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là một trong những chuyên đề trọng tâm, đòi hỏi sự tư duy logic và khả năng chuyển đổi ngôn ngữ toán học. Nắm vững phương pháp này không chỉ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập mà còn là nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng, đặc biệt là thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức chi tiết và các ví dụ minh họa, giúp bạn đọc tiếp cận và làm chủ dạng toán này.

Đề Bài

Bài toán 1. Dạng toán chuyển động
Một Ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, Ô tô thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng (frac{2}{3}) vận tốc Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu.
Bài toán 2:
Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B.
Bài toán 3:
Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h. Khi đi từ B về A người ấy đi đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h nên thời gian ít hơn thời gian khi đi là 20 phút. Tính quãng đường AB?
Bài toán 4:
Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nước) và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
Dạng 2: Toán thêm bớt một lượng
Bài 5.
Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 học sinh. nếu chuyển 5 học sinh từ lớp 9A sang lớp 9B thì số học sinh ở hai lớp bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 6:
Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi lấy ra ở thùng thứ nhát một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?
Dạng 3: Toán phần trăm
Bài 7.
Hai trường A, B có 250 học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 học sinh đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10.
Dạng 4: Toán làm chung làm riêng
Bài 8.
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể.
Bài 9.
Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. Nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu.

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán thuộc dạng này thường yêu cầu tìm các đại lượng chưa biết dựa trên mối quan hệ giữa chúng. Yêu cầu cốt lõi là xác định đúng ẩn, thiết lập các phương trình toán học dựa trên dữ kiện đề bài cho, sau đó giải hệ phương trình thu được và kiểm tra kết quả với điều kiện thực tế của bài toán. Các dữ kiện quan trọng bao gồm quãng đường, vận tốc, thời gian trong bài toán chuyển động; năng suất, thời gian, khối lượng công việc trong bài toán làm chung làm riêng; tỉ lệ phần trăm; lượng thay đổi… Hướng giải chung là biến đổi các mối quan hệ được mô tả bằng lời thành các biểu thức đại số, từ đó hình thành hệ phương trình.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải các dạng bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Phương pháp giải chung:
- Bước 1: Lập hệ phương trình:
  - Chọn ẩn, đặt đơn vị cho ẩn, xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (thường là số dương).
  - Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn đã chọn, chú ý thống nhất đơn vị.
  - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập một hệ phương trình với số phương trình bằng số ẩn.
- Bước 2: Giải hệ phương trình: Sử dụng các phương pháp đã học như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm của hệ.
- Bước 3: Kiểm tra và trả lời: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của ẩn và yêu cầu của bài toán để chọn kết quả thích hợp. Trả lời bằng câu văn rõ ràng, có kèm theo đơn vị.
Các công thức và định lý cơ bản:
- Chuyển động:
  text{Quãng đường} = text{Vận tốc} times text{Thời gian}
  S = V times T
  text{Vận tốc} = frac{text{Quãng đường}}{text{Thời gian}}
  V = frac{S}{T}
  text{Thời gian} = frac{text{Quãng đường}}{text{Vận tốc}}
  T = frac{S}{V}
- Chuyển động có dòng nước:
  V_{text{Xuôi}} = V_{text{Thực}} + V_{text{Dòng nước}}
  V_{text{Ngược}} = V_{text{Thực}} - V_{text{Dòng nước}}
- Công việc:
  text{Khối lượng công việc} = text{Năng suất} times text{Thời gian}
  Nếu coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị thì:
  text{Năng suất của một người/vòi/tổ} = frac{1}{text{Thời gian hoàn thành một mình}}
  text{Tổng năng suất} times text{Thời gian làm chung} = 1
- Tỉ lệ phần trăm:
  Nếu một đại lượng A tăng/giảm x% thì đại lượng mới là A pm A times frac{x}{100}.
Các dạng toán thường gặp:
- Dạng toán chuyển động (ô tô, tàu thuyền, xe đạp, người đi bộ).
- Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học (chu vi, diện tích).
- Dạng toán công việc làm chung, làm riêng.
- Dạng toán vòi nước chảy chung, chảy riêng.
- Dạng toán tìm số.
- Dạng toán sử dụng kiến thức về tỉ lệ phần trăm.
- Dạng toán có yếu tố vật lý, hóa học (ít gặp hơn).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài toán 1: Dạng toán chuyển động

Đề bài: Một Ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, Ô tô thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng (frac{2}{3}) vận tốc Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu.
Phân tích:
- Đây là bài toán chuyển động ngược chiều.
- Hai ô tô xuất phát cùng lúc, gặp nhau sau 5 giờ.
- Quan hệ vận tốc giữa hai ô tô: Vận tốc ô tô thứ hai bằng (frac{2}{3}) vận tốc ô tô thứ nhất.
- Cần tìm thời gian để mỗi ô tô đi hết quãng đường AB (tức là tìm thời gian dự định ban đầu).
Giải chi tiết:
- Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là (x) (giờ, (x > 0)).
- Gọi quãng đường AB là (S) (km).
- Vận tốc ô tô đi từ A là (V_1 = frac{S}{x}) (km/h).
- Vận tốc ô tô đi từ B là (V_2 = frac{2}{3} V_1 = frac{2}{3} frac{S}{x}) (km/h).
- Hai xe gặp nhau sau 5 giờ, nghĩa là tổng quãng đường hai xe đi được trong 5 giờ bằng quãng đường AB.
- Quãng đường ô tô đi từ A đi được trong 5 giờ là: (S_1 = V_1 times 5 = 5 frac{S}{x}).
- Quãng đường ô tô đi từ B đi được trong 5 giờ là: (S_2 = V_2 times 5 = 5 times frac{2}{3} frac{S}{x} = frac{10S}{3x}).
- Ta có phương trình: (S_1 + S_2 = S)
  5 frac{S}{x} + frac{10S}{3x} = S
- Chia cả hai vế cho (S) (vì (S > 0)):
  frac{5}{x} + frac{10}{3x} = 1
- Quy đồng mẫu số (3x):
  frac{5 times 3}{3x} + frac{10}{3x} = 1
  frac{15 + 10}{3x} = 1
  frac{25}{3x} = 1
- Suy ra (3x = 25), vậy (x = frac{25}{3}) (giờ).
- Đây là thời gian dự định để ô tô thứ nhất đi từ A đến B.
- Thời gian ô tô thứ hai đi từ B đến A là: (frac{2}{3} x = frac{2}{3} times frac{25}{3} = frac{50}{9}) (giờ).
Mẹo kiểm tra:
- Vận tốc ô tô 1: (V_1 = S / (25/3) = 3S/25).
- Vận tốc ô tô 2: (V_2 = S / (50/9) = 9S/50).
- Kiểm tra tỉ lệ vận tốc: (frac{V_2}{V_1} = frac{9S/50}{3S/25} = frac{9S}{50} times frac{25}{3S} = frac{9 times 25}{50 times 3} = frac{3 times 1}{2 times 1} = frac{3}{2}). Điều này mâu thuẫn với đề bài là (V_2 = frac{2}{3} V_1).
- Sai lầm ở đâu? Tôi đã hiểu nhầm "thời gian ô tô đi từ A đến B là x" thành "thời gian dự định để ô tô thứ nhất đi từ A đến B". Đề bài yêu cầu "Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu".
- Kiểm tra lại logic:
  - Gọi thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là (x_1) (giờ, (x_1 > 0)).
  - Gọi thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là (x_2) (giờ, (x_2 > 0)).
  - Quãng đường AB là (S).
  - Vận tốc ô tô thứ nhất: (V_1 = S/x_1).
  - Vận tốc ô tô thứ hai: (V_2 = S/x_2).
  - Theo đề bài: (V_2 = frac{2}{3} V_1 Rightarrow frac{S}{x_2} = frac{2}{3} frac{S}{x_1} Rightarrow frac{1}{x_2} = frac{2}{3x_1} Rightarrow x_2 = frac{3}{2} x_1).
  - Hai xe gặp nhau sau 5 giờ. Tổng quãng đường hai xe đi được trong 5 giờ là (S).
  - Quãng đường ô tô 1 đi trong 5 giờ: (5 V_1 = 5 frac{S}{x_1}).
  - Quãng đường ô tô 2 đi trong 5 giờ: (5 V_2 = 5 frac{S}{x_2}).
  - Phương trình: 5 V_1 + 5 V_2 = S
    5 frac{S}{x_1} + 5 frac{S}{x_2} = S
    Chia cả hai vế cho (S):
    frac{5}{x_1} + frac{5}{x_2} = 1
  - Thay (x_2 = frac{3}{2} x_1) vào phương trình:
    frac{5}{x_1} + frac{5}{frac{3}{2} x_1} = 1
    frac{5}{x_1} + frac{10}{3x_1} = 1
    Quy đồng mẫu (3x_1):
    frac{15}{3x_1} + frac{10}{3x_1} = 1
    frac{25}{3x_1} = 1 Rightarrow 3x_1 = 25 Rightarrow x_1 = frac{25}{3} (giờ).
  - Tính (x_2): x_2 = frac{3}{2} x_1 = frac{3}{2} times frac{25}{3} = frac{25}{2} (giờ).
Đáp án:
Thời gian ô tô thứ nhất đi cả quãng đường AB là (frac{25}{3}) giờ.
Thời gian ô tô thứ hai đi cả quãng đường AB là (frac{25}{2}) giờ.
Lỗi hay gặp:
- Nhầm lẫn giữa vận tốc thực, vận tốc xuôi dòng, ngược dòng.
- Nhầm lẫn giữa thời gian dự định và thời gian gặp nhau.
- Không kiểm tra lại kết quả so với đề bài.

Bài toán 2:

Đề bài: Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B.
Phân tích:
- Bài toán chuyển động ngược chiều.
- Cho biết quãng đường AB, thời gian gặp nhau.
- Có mối quan hệ giữa vận tốc hai xe.
Giải chi tiết:
- Gọi vận tốc ô tô đi từ A là (v_A) (km/h, (v_A > 0)).
- Gọi vận tốc ô tô đi từ B là (v_B) (km/h, (v_B > 0)).
- Quãng đường AB là 160 km.
- Hai xe gặp nhau sau 2 giờ. Tổng quãng đường hai xe đi được trong 2 giờ là 160 km.
- Phương trình 1: 2 v_A + 2 v_B = 160
  v_A + v_B = 80 (chia cả hai vế cho 2)
- Theo giả thiết thứ hai: Nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ô tô đi từ B.
- Phương trình 2: v_A + 10 = 2 v_B
- Ta có hệ phương trình:
  { v_A + v_B = 80
  { v_A + 10 = 2 v_B
- Từ phương trình 2, ta rút ra: v_A = 2 v_B - 10
- Thế v_A vào phương trình 1:
  (2 v_B - 10) + v_B = 80
  3 v_B - 10 = 80
  3 v_B = 90
  v_B = 30 (km/h)
- Tìm (v_A):
  v_A = 80 - v_B = 80 - 30 = 50 (km/h)
Mẹo kiểm tra:
- Vận tốc (v_A = 50) km/h, (v_B = 30) km/h.
- Tổng vận tốc: (50 + 30 = 80) km/h. Quãng đường đi được sau 2 giờ: (80 times 2 = 160) km. (Khớp với dữ kiện đầu).
- Kiểm tra điều kiện thứ hai: (v_A + 10 = 50 + 10 = 60). (2 v_B = 2 times 30 = 60). (Khớp).
Đáp án:
Vận tốc ô tô đi từ A là 50 km/h.
Vận tốc ô tô đi từ B là 30 km/h.

Bài toán 3:

Đề bài: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h. Khi đi từ B về A người ấy đi đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h nên thời gian ít hơn thời gian khi đi là 20 phút. Tính quãng đường AB?
Phân tích:
- Bài toán có hai hành trình đi và về, quãng đường đi và về khác nhau.
- Cho biết vận tốc ở mỗi hành trình và sự chênh lệch thời gian.
Giải chi tiết:
- Gọi quãng đường AB là (x) (km, (x > 0)).
- Thời gian đi từ A đến B là: T_1 = frac{x}{9} (giờ).
- Quãng đường đi từ B về A là (x + 6) (km).
- Vận tốc đi từ B về A là (12) km/h.
- Thời gian đi từ B về A là: T_2 = frac{x+6}{12} (giờ).
- Chênh lệch thời gian là 20 phút, đổi ra giờ là (frac{20}{60} = frac{1}{3}) giờ.
- Vì thời gian đi từ B về A ít hơn thời gian đi từ A đến B, ta có: T_1 - T_2 = frac{1}{3}
  frac{x}{9} - frac{x+6}{12} = frac{1}{3}
- Quy đồng mẫu số chung là 36:
  frac{4x}{36} - frac{3(x+6)}{36} = frac{12}{36}
- Nhân cả hai vế với 36:
  4x - 3(x+6) = 12
  4x - 3x - 18 = 12
  x - 18 = 12
  x = 30 (km)
Mẹo kiểm tra:
- Quãng đường AB = 30 km.
- Thời gian đi từ A đến B: T_1 = 30 / 9 = 10/3 giờ.
- Quãng đường từ B về A: 30 + 6 = 36 km.
- Thời gian đi từ B về A: T_2 = 36 / 12 = 3 giờ.
- Chênh lệch thời gian: T_1 - T_2 = 10/3 - 3 = 10/3 - 9/3 = 1/3 giờ.
- (1/3) giờ bằng 20 phút. (Khớp với đề bài).
Đáp án:
Quãng đường AB là 30 km.

Bài toán 4:

Đề bài: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nước) và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
Phân tích:
- Bài toán ca nô xuôi dòng, ngược dòng.
- Cho quãng đường, thời gian gặp nhau.
- Cho mối quan hệ giữa vận tốc xuôi/ngược dòng và vận tốc dòng nước.
- Cần tìm vận tốc riêng của mỗi ca nô.
Giải chi tiết:
- Vận tốc dòng nước là (v_n = 3) km/h.
- Gọi vận tốc riêng của ca nô thứ nhất (từ A) là (v_1) (km/h).
- Gọi vận tốc riêng của ca nô thứ hai (từ B) là (v_2) (km/h).
- Do hai ca nô đi ngược chiều nhau, ta coi một ca nô đi xuôi dòng và một ca nô đi ngược dòng để áp dụng công thức. Tuy nhiên, đề bài nói "hai ca nô cùng khởi hành... đi ngược chiều nhau" và sau đó lại nói "vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng". Cách diễn đạt này hơi lẫn lộn. Ta hiểu là có hai ca nô, mỗi ca nô có vận tốc riêng, và chúng đang đi ngược chiều nhau trên một dòng sông có vận tốc dòng nước. Để gặp nhau, chúng đi theo hai hướng (một hướng xuôi dòng, một hướng ngược dòng). Tuy nhiên, đề bài chỉ cho "vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng". Điều này hàm ý rằng hai ca nô này có thể khác nhau hoặc cùng một ca nô đi theo hai hướng khác nhau. Giả sử có 2 ca nô A và B.
- Giả sử ca nô đi từ A có vận tốc riêng (v_A) và ca nô đi từ B có vận tốc riêng (v_B). Vận tốc dòng nước là (v_n = 3) km/h.
- Nếu giả định ca nô A đi xuôi dòng và ca nô B đi ngược dòng (hoặc ngược lại):
  - Vận tốc xuôi dòng: (v{xuôi} = v{riêng} + v_n)
  - Vận tốc ngược dòng: (v{ngược} = v{riêng} - v_n)
- Đề bài nói: "vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h".
  - Giả sử ca nô A có vận tốc riêng (v_A), ca nô B có vận tốc riêng (v_B).
  - Ta không biết ca nô nào đi xuôi, ca nô nào đi ngược. Cách hiểu hợp lý nhất là: có hai ca nô, mỗi ca nô có vận tốc riêng. Chúng đi ngược chiều nhau. Vận tốc tương đối (khi đi ngược chiều) là tổng vận tốc.
  - Dữ kiện "vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h" và "vận tốc dòng nước là 3 km/h" gợi ý về việc sử dụng công thức xuôi/ngược dòng.
  - Phân tích lại: "hai ca nô cùng khởi hành... đi ngược chiều nhau" -> hai ca nô A và B đi trên sông, chúng đi ngược hướng nhau.
  - "vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h" -> Điều này ngụ ý rằng có một ca nô đi theo hướng xuôi dòng và một ca nô đi theo hướng ngược dòng. Nhưng nếu chúng đi ngược chiều nhau thì không thể đồng thời có một ca nô đi xuôi và một ca nô đi ngược trên cùng một đoạn sông nếu chỉ có 1 dòng chảy.
  - Cách hiểu hợp lý nhất: Có hai ca nô, vận tốc riêng của chúng là (v_1) và (v_2). Vận tốc dòng nước là (vn=3) km/h. Khi đi xuôi dòng, vận tốc là (v{riêng}+vn), khi đi ngược dòng là (v{riêng}-v_n). Có thể đề bài ám chỉ: Giả sử có một ca nô đi xuôi dòng và một ca nô đi ngược dòng, thì vận tốc xuôi dòng của một ca nô (với vận tốc riêng của nó) lớn hơn vận tốc ngược dòng của ca nô kia (với vận tốc riêng của nó) là 9 km/h. Nhưng điều này không hợp lý lắm.
  - Cách hiểu khác (và có lẽ là ý của đề bài): Có hai ca nô A và B. Vận tốc riêng của ca nô A là (v_A), vận tốc riêng của ca nô B là (v_B). Dòng nước có vận tốc (v_n = 3) km/h. Chúng đi ngược chiều nhau trên sông. Vận tốc tổng hợp khi đi ngược chiều là (v_A + v_B).
  - Mối liên hệ vận tốc: Vận tốc xuôi dòng của một ca nô có vận tốc riêng là (v{riêng}) là (v{riêng} + vn). Vận tốc ngược dòng của ca nô đó là (v{riêng} - v_n).
  - Đề bài nói: Vận tốc ca nô xuôi dòng (của một ca nô nào đó) lớn hơn vận tốc ca nô ngược dòng (của ca nô kia nào đó) là 9 km/h. Điều này vẫn mâu thuẫn.
  - Giả sử đề bài ý là: Vận tốc xuôi dòng của ca nô A (với vận tốc riêng (v_A)) là (v_A + 3), vận tốc ngược dòng của ca nô B (với vận tốc riêng (v_B)) là (v_B - 3). Vận tốc dòng nước là 3.
  - Rất có thể đề bài ám chỉ về cùng một ca nô: "vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h" và "vận tốc dòng nước là 3 km/h".
    - Nếu có một ca nô có vận tốc riêng là (v). Vận tốc xuôi là (v+3), vận tốc ngược là (v-3).
    - Thì ((v+3) - (v-3) = 2v). Vậy (2v = 9) => (v = 4.5) km/h.
    - Nếu vậy, vận tốc xuôi là (4.5+3=7.5) km/h, vận tốc ngược là (4.5-3=1.5) km/h.
  - Tuy nhiên, đề bài có hai ca nô: "Hai ca nô cùng khởi hành...". Nên cách hiểu trên là không đúng.
  - Giả sử ý đề bài là: Vận tốc của ca nô A khi xuôi dòng (với vận tốc riêng (v_A)) là (v_A+3). Vận tốc của ca nô B khi ngược dòng (với vận tốc riêng (v_B)) là (v_B-3). Và có mối liên hệ nào đó giữa hai ca nô này.
  - Xem lại dữ kiện: "vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h". Điều này có thể hiểu là hiệu giữa vận tốc xuôi dòng của ca nô A và vận tốc ngược dòng của ca nô B là 9 km/h. Hoặc ngược lại.
  - Giả thiết mới: Vận tốc riêng ca nô A là (v_A), ca nô B là (v_B). Vận tốc dòng nước (v_n = 3). Ca nô A đi xuôi dòng, ca nô B đi ngược dòng (hoặc ngược lại). Nhưng đề bài nói "đi ngược chiều nhau".
  - Nếu hai ca nô đi ngược chiều nhau trên sông: Ca nô A từ A đến B, ca nô B từ B đến A. Dòng nước chảy từ A đến B với vận tốc 3km/h.
    - Vận tốc ca nô A: (v_A) (riêng). Vận tốc ca nô B: (v_B) (riêng).
    - Vận tốc ca nô A khi đi từ A (hướng xuôi dòng): (v_A + 3).
    - Vận tốc ca nô B khi đi từ B (hướng ngược dòng): (v_B - 3).
    - Chúng gặp nhau sau 1h 40 phút = (1 + frac{40}{60} = 1 + frac{2}{3} = frac{5}{3}) giờ.
    - Phương trình 1: (v_A + 3) times frac{5}{3} + (v_B - 3) times frac{5}{3} = 85
      (v_A + 3 + v_B - 3) times frac{5}{3} = 85
      (v_A + v_B) times frac{5}{3} = 85
      v_A + v_B = 85 times frac{3}{5} = 17 times 3 = 51
    - Phương trình 2: "vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h".
      - Nếu ca nô A đi xuôi dòng, ca nô B đi ngược dòng:
        Vận tốc ca nô A xuôi: (v_A + 3)
        Vận tốc ca nô B ngược: (v_B - 3)
        Câu này có thể hiểu là hiệu giữa hai vận tốc này. Ai là xuôi, ai là ngược? "Vận tốc của ca nô xuôi dòng" (ví dụ của ca nô A) lớn hơn "vận tốc của ca nô ngược dòng" (ví dụ của ca nô B) là 9.
        (v_A + 3) - (v_B - 3) = 9
        v_A + 3 - v_B + 3 = 9
        v_A - v_B + 6 = 9
        v_A - v_B = 3
    - Hệ phương trình:
      { v_A + v_B = 51
      { v_A - v_B = 3
    - Cộng hai phương trình:
      2 v_A = 54 Rightarrow v_A = 27 (km/h)
    - Trừ hai phương trình:
      2 v_B = 48 Rightarrow v_B = 24 (km/h)
    - Kiểm tra lại:
      - Vận tốc riêng A là 27, B là 24. Vận tốc nước 3.
      - Ca nô A đi xuôi dòng (từ A): vận tốc (27+3=30) km/h.
      - Ca nô B đi ngược dòng (từ B): vận tốc (24-3=21) km/h.
      - Hai ca nô đi ngược chiều nhau. Vận tốc tương đối: (30 + 21 = 51) km/h.
      - Thời gian gặp nhau: (85 / 51 = 5/3) giờ = 1 giờ 40 phút. (Khớp).
      - "vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h":
        Vận tốc ca nô A xuôi: 30. Vận tốc ca nô B ngược: 21.
        Hiệu: (30 - 21 = 9) km/h. (Khớp).
- Giả sử ca nô A đi ngược dòng, ca nô B đi xuôi dòng:
  - Vận tốc ca nô A ngược: (v_A - 3).
  - Vận tốc ca nô B xuôi: (v_B + 3).
  - Phương trình 1: (v_A - 3) times frac{5}{3} + (v_B + 3) times frac{5}{3} = 85
    (v_A - 3 + v_B + 3) times frac{5}{3} = 85
    (v_A + v_B) times frac{5}{3} = 85 Rightarrow v_A + v_B = 51 (Giống phương trình 1 ở trên)
  - Phương trình 2: "vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h".
    - Ở đây, ca nô B đi xuôi dòng, ca nô A đi ngược dòng.
    - Vận tốc ca nô B xuôi: (v_B + 3).
    - Vận tốc ca nô A ngược: (v_A - 3).
    - Ta có: (v_B + 3) - (v_A - 3) = 9
      v_B + 3 - v_A + 3 = 9
      v_B - v_A + 6 = 9
      v_B - v_A = 3
    - Hệ phương trình:
      { v_A + v_B = 51
      { -v_A + v_B = 3
    - Cộng hai phương trình:
      2 v_B = 54 Rightarrow v_B = 27 (km/h)
    - Trừ hai phương trình:
      2 v_A = 48 Rightarrow v_A = 24 (km/h)
    - Kiểm tra lại:
      - Vận tốc riêng A là 24, B là 27. Vận tốc nước 3.
      - Ca nô A đi ngược dòng: vận tốc (24-3=21) km/h.
      - Ca nô B đi xuôi dòng: vận tốc (27+3=30) km/h.
      - Vận tốc ca nô B xuôi (30) lớn hơn vận tốc ca nô A ngược (21) là 9 km/h. (Khớp).
      - Vận tốc tương đối: (21 + 30 = 51) km/h. Thời gian gặp nhau: (85 / 51 = 5/3) giờ. (Khớp).
- Kết luận: Đề bài không nói rõ ca nô nào đi xuôi, ca nô nào đi ngược. Tuy nhiên, kết quả về vận tốc riêng của hai ca nô là {27, 24} hoặc {24, 27}. Thông thường, ta quy ước ca nô đi từ A có vận tốc riêng nhỏ hơn hoặc bằng ca nô đi từ B. Hoặc đơn giản là tìm vận tốc riêng của hai ca nô.
Đáp án:
Vận tốc riêng của hai ca nô lần lượt là 27 km/h và 24 km/h.

Bài toán 5: Dạng toán thêm bớt một lượng

Đề bài: Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 học sinh. nếu chuyển 5 học sinh từ lớp 9A sang lớp 9B thì số học sinh ở hai lớp bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp.
Phân tích:
- Bài toán có hai đại lượng (số học sinh mỗi lớp) có tổng không đổi.
- Có sự thay đổi số lượng giữa hai đại lượng, dẫn đến một điều kiện mới (hai lớp bằng nhau).
Giải chi tiết:
- Gọi số học sinh lớp 9A là (x) (học sinh, (x > 0)).
- Gọi số học sinh lớp 9B là (y) (học sinh, (y > 0)).
- Tổng số học sinh là 70, nên ta có phương trình:
  x + y = 70 (1)
- Sau khi chuyển 5 học sinh từ lớp 9A sang lớp 9B:
  - Số học sinh lớp 9A còn lại là (x - 5).
  - Số học sinh lớp 9B lúc này là (y + 5).
- Theo đề bài, số học sinh ở hai lớp bằng nhau sau khi chuyển:
  x - 5 = y + 5
- Rút gọn phương trình này:
  x - y = 10 (2)
- Ta có hệ phương trình:
  { x + y = 70
  { x - y = 10
- Cộng hai phương trình:
  2x = 80 Rightarrow x = 40 (học sinh)
- Trừ hai phương trình:
  2y = 60 Rightarrow y = 30 (học sinh)
Mẹo kiểm tra:
- Lớp 9A có 40 học sinh, lớp 9B có 30 học sinh. Tổng: (40+30=70). (Khớp).
- Chuyển 5 học sinh từ 9A sang 9B: 9A còn (40-5=35), 9B có (30+5=35). Hai lớp bằng nhau. (Khớp).
Đáp án:
Lớp 9A có 40 học sinh.
Lớp 9B có 30 học sinh.

Bài toán 6:

Đề bài: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi lấy ra ở thùng thứ nhát một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?
Phân tích:
- Bài toán liên quan đến lượng chất lỏng trong hai vật chứa, có sự thay đổi lượng.
- Có mối quan hệ giữa lượng dầu lấy ra và lượng dầu còn lại.
Giải chi tiết:
- Gọi lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai là (y) (lít, (y > 0)).
- Theo đề bài, lượng dầu lấy ra ở thùng thứ nhất gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, nên lượng dầu lấy ra ở thùng thứ nhất là (3y) (lít).
- Số lượng dầu ban đầu: Thùng 1 có 120 lít, Thùng 2 có 90 lít.
- Sau khi lấy dầu:
  - Lượng dầu còn lại ở thùng thứ nhất: (120 - 3y) (lít).
  - Lượng dầu còn lại ở thùng thứ hai: (90 - y) (lít).
- Theo đề bài: Lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất.
- Ta có phương trình:
  90 - y = 2 times (120 - 3y)
  90 - y = 240 - 6y
- Chuyển vế:
  6y - y = 240 - 90
  5y = 150
  y = 30 (lít)
- Vậy, lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai là (y = 30) lít.
- Lượng dầu lấy ra ở thùng thứ nhất là (3y = 3 times 30 = 90) lít.
Mẹo kiểm tra:
- Thùng 1 ban đầu có 120 lít, lấy ra 90 lít, còn lại (120 - 90 = 30) lít.
- Thùng 2 ban đầu có 90 lít, lấy ra 30 lít, còn lại (90 - 30 = 60) lít.
- Lượng dầu còn lại ở thùng thứ hai (60 lít) gấp đôi lượng dầu còn lại ở thùng thứ nhất (30 lít). (60 = 2 times 30). (Khớp).
- Điều kiện (y>0) và (3y>0) được thỏa mãn. Lượng dầu còn lại cũng phải dương: (120-3y = 30 > 0) và (90-y = 60 > 0). (Khớp).
Đáp án:
Lượng dầu đã lấy ra ở thùng thứ nhất là 90 lít.
Lượng dầu đã lấy ra ở thùng thứ hai là 30 lít.

Bài toán 7: Toán phần trăm

Đề bài: Hai trường A, B có 250 học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 học sinh đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10.
Phân tích:
- Bài toán có hai đối tượng (trường A, trường B) với tổng số học sinh và tổng số học sinh trúng tuyển.
- Có tỉ lệ đỗ riêng của từng trường.
Giải chi tiết:
- Gọi số học sinh dự thi của trường A là (x) (học sinh, (x > 0)).
- Gọi số học sinh dự thi của trường B là (y) (học sinh, (y > 0)).
- Tổng số học sinh dự thi là 250:
  x + y = 250 (1)
- Số học sinh trúng tuyển của trường A là 80% của (x), tức là 0.8x.
- Số học sinh trúng tuyển của trường B là 90% của (y), tức là 0.9y.
- Tổng số học sinh trúng tuyển của hai trường là 210:
  0.8x + 0.9y = 210 (2)
- Ta có hệ phương trình:
  { x + y = 250
  { 0.8x + 0.9y = 210
- Nhân phương trình (2) với 10 để loại bỏ số thập phân:
  { x + y = 250
  { 8x + 9y = 2100
- Từ phương trình (1), rút ra (x = 250 - y).
- Thế vào phương trình sau:
  8(250 - y) + 9y = 2100
  2000 - 8y + 9y = 2100
  2000 + y = 2100
  y = 100 (học sinh)
- Tìm (x):
  x = 250 - y = 250 - 100 = 150 (học sinh)
Mẹo kiểm tra:
- Trường A có 150 học sinh, trường B có 100 học sinh. Tổng: (150+100=250). (Khớp).
- Số học sinh trúng tuyển trường A: 0.8 times 150 = 120 học sinh.
- Số học sinh trúng tuyển trường B: 0.9 times 100 = 90 học sinh.
- Tổng số học sinh trúng tuyển: (120 + 90 = 210). (Khớp).
Đáp án:
Trường A có 150 học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10.
Trường B có 100 học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10.

Bài toán 8: Toán làm chung làm riêng

Đề bài: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể.
Phân tích:
- Bài toán về năng suất làm việc (chảy nước).
- Cho biết thời gian làm chung và mối quan hệ về thời gian làm riêng giữa hai vòi.
Giải chi tiết:
- Đổi 2 giờ 55 phút ra giờ: (2 + frac{55}{60} = 2 + frac{11}{12} = frac{24+11}{12} = frac{35}{12}) giờ.
- Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là (x) (giờ, (x > 0)).
- Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là (x + 2) (giờ).
- Năng suất của vòi thứ nhất: (frac{1}{x}) (bể/giờ).
- Năng suất của vòi thứ hai: (frac{1}{x+2}) (bể/giờ).
- Khi hai vòi chảy chung, năng suất tổng cộng là: frac{1}{x} + frac{1}{x+2} (bể/giờ).
- Thời gian chảy chung là (frac{35}{12}) giờ.
- Ta có phương trình: left(frac{1}{x} + frac{1}{x+2}right) times frac{35}{12} = 1 (vì cả bể là 1 đơn vị công việc).
- Hoặc: frac{1}{x} + frac{1}{x+2} = frac{1}{frac{35}{12}} = frac{12}{35}
- Quy đồng vế trái:
  frac{x+2 + x}{x(x+2)} = frac{12}{35}
  frac{2x+2}{x^2+2x} = frac{12}{35}
- Nhân chéo:
  35(2x+2) = 12(x^2+2x)
  70x + 70 = 12x^2 + 24x
- Chuyển vế về phương trình bậc hai:
  12x^2 + 24x - 70x - 70 = 0
  12x^2 - 46x - 70 = 0
- Chia cả hai vế cho 2:
  6x^2 - 23x - 35 = 0
- Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
  (Delta = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4(6)(-35) = 529 + 840 = 1369)
  (sqrt{Delta} = sqrt{1369} = 37)
  Nghiệm:
  x_1 = frac{-b + sqrt{Delta}}{2a} = frac{23 + 37}{2 times 6} = frac{60}{12} = 5
  x_2 = frac{-b - sqrt{Delta}}{2a} = frac{23 - 37}{2 times 6} = frac{-14}{12} = -frac{7}{6}
- Vì (x) là thời gian nên phải dương, ta chọn (x = 5) (giờ).
- Thời gian vòi thứ nhất chảy riêng là 5 giờ.
- Thời gian vòi thứ hai chảy riêng là (x + 2 = 5 + 2 = 7) giờ.
Mẹo kiểm tra:
- Vòi 1 chảy riêng mất 5 giờ, năng suất là (frac{1}{5}) bể/giờ.
- Vòi 2 chảy riêng mất 7 giờ, năng suất là (frac{1}{7}) bể/giờ.
- Chảy chung, năng suất là: frac{1}{5} + frac{1}{7} = frac{7+5}{35} = frac{12}{35} bể/giờ.
- Thời gian chảy chung để đầy bể: 1 div frac{12}{35} = frac{35}{12} giờ.
- (frac{35}{12}) giờ = 2 giờ (frac{11}{12} times 60) phút = 2 giờ 55 phút. (Khớp).
Đáp án:
Thời gian để vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 5 giờ.
Thời gian để vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 7 giờ.

Bài toán 9:

Đề bài: Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. Nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu.
Phân tích:
- Bài toán làm chung làm riêng với hai tổ.
- Cho biết thời gian làm chung và một phần công việc khi làm riêng trong thời gian nhất định.
Giải chi tiết:
- Gọi thời gian tổ một làm riêng hoàn thành công việc là (x) (giờ, (x > 0)).
- Gọi thời gian tổ hai làm riêng hoàn thành công việc là (y) (giờ, (y > 0)).
- Năng suất của tổ một là (frac{1}{x}) (công việc/giờ).
- Năng suất của tổ hai là (frac{1}{y}) (công việc/giờ).
- Khi làm chung, năng suất tổng cộng là (frac{1}{x} + frac{1}{y}).
- Thời gian làm chung là 15 giờ, nên ta có phương trình:
  left(frac{1}{x} + frac{1}{y}right) times 15 = 1
  frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{15} (1)
- Nếu tổ một làm 5 giờ và tổ hai làm 3 giờ thì được 30% công việc (0.3 công việc).
- Khối lượng công việc tổ một làm được trong 5 giờ là (5 times frac{1}{x} = frac{5}{x}).
- Khối lượng công việc tổ hai làm được trong 3 giờ là (3 times frac{1}{y} = frac{3}{y}).
- Ta có phương trình:
  frac{5}{x} + frac{3}{y} = 0.3 = frac{3}{10} (2)
- Ta có hệ phương trình:
  { frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{15}
  { frac{5}{x} + frac{3}{y} = frac{3}{10}
- Đặt (a = frac{1}{x}) và (b = frac{1}{y}). Hệ phương trình trở thành:
  { a + b = frac{1}{15}
  { 5a + 3b = frac{3}{10}
- Từ phương trình đầu, rút ra (b = frac{1}{15} - a).
- Thế vào phương trình sau:
  5a + 3left(frac{1}{15} - aright) = frac{3}{10}
  5a + frac{3}{15} - 3a = frac{3}{10}
  2a + frac{1}{5} = frac{3}{10}
  2a = frac{3}{10} - frac{1}{5}
  2a = frac{3}{10} - frac{2}{10}
  2a = frac{1}{10}
  a = frac{1}{20}
- Tìm (b):
  b = frac{1}{15} - a = frac{1}{15} - frac{1}{20}
  Quy đồng mẫu chung là 60:
  b = frac{4}{60} - frac{3}{60} = frac{1}{60}
- Suy ra:
  (a = frac{1}{x} = frac{1}{20} Rightarrow x = 20) (giờ)
  (b = frac{1}{y} = frac{1}{60} Rightarrow y = 60) (giờ)
Mẹo kiểm tra:
- Tổ 1 làm riêng mất 20 giờ, tổ 2 làm riêng mất 60 giờ.
- Năng suất tổ 1: (frac{1}{20}). Năng suất tổ 2: (frac{1}{60}).
- Làm chung 15 giờ:
  Khối lượng công việc = 15 times (frac{1}{20} + frac{1}{60}) = 15 times (frac{3}{60} + frac{1}{60}) = 15 times frac{4}{60} = 15 times frac{1}{15} = 1. (Khớp).
- Tổ 1 làm 5 giờ, tổ 2 làm 3 giờ:
  Khối lượng công việc = 5 times frac{1}{20} + 3 times frac{1}{60} = frac{5}{20} + frac{3}{60} = frac{1}{4} + frac{1}{20} = frac{5}{20} + frac{1}{20} = frac{6}{20} = frac{3}{10} = 0.3. (Khớp).
Đáp án:
Tổ một làm riêng hoàn thành công việc trong 20 giờ.
Tổ hai làm riêng hoàn thành công việc trong 60 giờ.

Đáp Án/Kết Quả

Tổng kết các kết quả từ các bài toán đã giải:

Bài toán 1: Ô tô thứ nhất: (frac{25}{3}) giờ, Ô tô thứ hai: (frac{25}{2}) giờ.
Bài toán 2: Vận tốc ô tô đi từ A: 50 km/h, Vận tốc ô tô đi từ B: 30 km/h.
Bài toán 3: Quãng đường AB: 30 km.
Bài toán 4: Vận tốc riêng của hai ca nô: 27 km/h và 24 km/h.
Bài toán 5: Lớp 9A: 40 học sinh, Lớp 9B: 30 học sinh.
Bài toán 6: Lượng dầu lấy ra ở thùng thứ nhất: 90 lít, Thùng thứ hai: 30 lít.
Bài toán 7: Trường A: 150 học sinh, Trường B: 100 học sinh.
Bài toán 8: Vòi thứ nhất: 5 giờ, Vòi thứ hai: 7 giờ.
Bài toán 9: Tổ một: 20 giờ, Tổ hai: 60 giờ.

Bài viết này đã trình bày chi tiết các bước giải cho nhiều dạng bài tập khác nhau thuộc chuyên đề "Các dạng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình". Bằng việc nắm vững phương pháp chung và luyện tập thường xuyên với các ví dụ đa dạng, học sinh có thể tự tin chinh phục dạng toán này.

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết tài liệu

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.