Giải Toán Từng Bước Chuẩn Xác và Dễ Hiểu Trên Website
Trang web dehocsinhgioi.com tự hào mang đến cho các bạn học sinh nguồn tài liệu phong phú và phương pháp học tập hiệu quả. Đặc biệt, chúng tôi tập trung vào việc cung cấp các bài giải toán chi tiết, giúp các em nắm vững kiến thức nền tảng và tự tin chinh phục mọi dạng bài. Mục tiêu của chúng tôi là làm cho quá trình giải toán từng bước trở nên đơn giản và dễ tiếp cận nhất có thể, đảm bảo sự chính xác học thuật và tính ứng dụng cao.
Đề Bài
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} + \sqrt{z^2 + 1}
với x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 2.
Phân Tích Yêu Cầu
Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị nhỏ nhất (GNN) của một biểu thức chứa căn bậc hai. Biểu thức P phụ thuộc vào ba biến số x, y, z, đồng thời ba biến này có một ràng buộc là tổng của chúng bằng 2. Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các bất đẳng thức toán học phù hợp kết hợp với điều kiện ràng buộc để tìm ra giá trị nhỏ nhất có thể của P.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
Bất đẳng thức Minkowski (hoặc bất đẳng thức Bunyakovsky dạng vector):
Cho hai dãy số thực (a_1, a_2, dots, a_n) và (b_1, b_2, dots, b_n). Khi đó, ta có:
\sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sqrt{a_2^2 + b_2^2} + dots + \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \ge \sqrt{(a_1 + a_2 + dots + a_n)^2 + (b_1 + b_2 + dots + b_n)^2}
Dấu bằng xảy ra khi các vector (a_1, dots, a_n) và (b_1, dots, b_n) cùng phương, tức là có tỉ lệ tương ứng bằng nhau.Biểu diễn hình học của căn bậc hai:
Biểu thức \sqrt{a^2 + b^2} có thể được hiểu là độ dài đoạn thẳng nối gốc tọa độ katex[/katex] với điểm katex[/katex] trong mặt phẳng Oxy. Khi đó, bất đẳng thức Minkowski có thể được diễn giải bằng quy tắc cộng độ dài các vector.Sử dụng bất đẳng thức để tìm GNN:
Sau khi áp dụng bất đẳng thức để thu được một biểu thức có dạng P \ge K (với K là một hằng số hoặc biểu thức chỉ phụ thuộc vào các biến không bị ràng buộc), chúng ta cần kiểm tra xem liệu dấu bằng có thể xảy ra hay không, tức là liệu có tồn tại x, y, z thỏa mãn cả điều kiện ràng buộc và điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức hay không.
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Chúng ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho ba cặp số, dựa trên cấu trúc của biểu thức P.
Bước 1: Biến đổi biểu thức P
Ta có thể viết lại các số hạng trong P như sau:
\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{x^2 + 1^2}
\sqrt{y^2 + 1} = \sqrt{y^2 + 1^2}
\sqrt{z^2 + 1} = \sqrt{z^2 + 1^2}
Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Minkowski
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho ba cặp số (x, 1), (y, 1), (z, 1), ta có:
P = \sqrt{x^2 + 1^2} + \sqrt{y^2 + 1^2} + \sqrt{z^2 + 1^2}
P \ge \sqrt{(x+y+z)^2 + (1+1+1)^2}
Bước 3: Sử dụng điều kiện ràng buộc
Theo đề bài, ta có x + y + z = 2. Thay giá trị này vào bất đẳng thức vừa thu được:
P \ge \sqrt{(2)^2 + (3)^2}
P \ge \sqrt{4 + 9}
P \ge \sqrt{13}
Như vậy, giá trị nhỏ nhất của P là ít nhất \sqrt{13}.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng
Dấu bằng trong bất đẳng thức Minkowski xảy ra khi các vector tương ứng cùng phương. Trong trường hợp này, điều kiện là:
\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}
Điều này suy ra x = y = z.
Kết hợp với điều kiện ràng buộc x + y + z = 2, ta có:
x + x + x = 2
3x = 2
x = \frac{2}{3}
Do đó, x = y = z = \frac{2}{3}.
Mẹo kiểm tra:
Khi x = y = z = \frac{2}{3}, các số hạng trong P là:
\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 1} = \sqrt{\frac{4}{9} + 1} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}
Do có 3 số hạng giống nhau, tổng P sẽ là:
P = 3 \times \frac{\sqrt{13}}{3} = \sqrt{13}
Điều này xác nhận rằng giá trị nhỏ nhất \sqrt{13} đạt được khi x = y = z = \frac{2}{3}.
Lỗi hay gặp:
- Quên kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng: Chỉ ra rằng P \ge \sqrt{13} mà không chứng minh được giá trị này đạt được.
- Áp dụng sai bất đẳng thức hoặc nhầm lẫn điều kiện dấu bằng.
- Tính toán sai khi thay thế giá trị của x, y, z vào biểu thức.
Đáp Án/Kết Quả
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} + \sqrt{z^2 + 1} với điều kiện x + y + z = 2 là \sqrt{13}. Giá trị này đạt được khi x = y = z = \frac{2}{3}.
Việc giải toán từng bước như trên giúp học sinh không chỉ tìm ra đáp án mà còn hiểu rõ bản chất của bài toán và phương pháp giải. Tại dehocsinhgioi.com, chúng tôi cam kết mang đến những bài viết chất lượng cao, chính xác và dễ hiểu, giúp các em học sinh xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc và phát huy tối đa tiềm năng của mình.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
