HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH LỚP 8 CHUẨN XÁC VÀ DỄ HIỂU

Chương trình Toán lớp 8, đặc biệt là phần về Phương trình, đóng vai trò then chốt trong việc xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc cho học sinh. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8 không chỉ giúp các em chinh phục các bài kiểm tra 1 tiết, thi học kỳ mà còn là hành trang quan trọng cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Tài liệu này cung cấp chuỗi bài tập và hướng dẫn chi tiết, giúp các em ôn luyện và nâng cao kỹ năng giải toán.

Đề Bài

Bài 1 :

Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp ba lần chữ số hàng chục. Nếu viết thêm chữ số 2 xen giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu 200 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài 2 :

Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị. Nếu ta đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được số mới kém số cũ 36 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài 3.

Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị là 16. Nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số ban đầu 630 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Bài 4.

Hai giá sách có 320 cuốn sách. Nếu chuyển 40 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu ở mỗi giá.

Bài 5.

Một cửa hàng ngày thứ nhất bán được nhiều hơn ngày thứ hai 420kg gạo.Tính số gạo cửa hàng bán được trong ngày thứ nhất biết nếu ngày thứ nhất bán được thêm 120kg gạo thì số gạo bán được sẽ bán được gấp rưỡi ngày thứ hai.

Bài 6.

Tổng số dầu của hai thùng A và B là 125 lít. Nếu lấy bớt ở thùng dầu A đi 30 lít và thêm vào thùng dầu B 10 lít thì số dầu thùng A bằng \frac{3}{4}số dầu thùng B. Tính số dầu lúc đầu ở mỗi thùng.

Bài 7.

Giá sách thứ nhất có số sách bằng \frac{3}{4} số sách của giá sách thứ hai. Nếu ta chuyển 30 quyển sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trong giá thứ nhất bằng \frac{5}{9} số sách trong giá thứ hai. Hỏi cả hai giá sách có bao nhiêu quyển sách ?

Bài 8.

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 112 m. Biết rằng nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì khu vườn trở thành hình vuông. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.

Bài 9.

Một hình chữ nhật có chu vi bằng 114 cm. Biết rằng nếu giảm chiều rộng đi 5cm và tăng chiều dài thêm 8cm thì diện tích khu vườn không đổi. Tính diên tích hình chữ nhật.

Bài 10.

Một hình chữ nhật có chiều dài bằng \frac{5}{4} chiều rộng. Nếu tăng chiều dài thêm 3 cm và tăng chiều rộng thêm 8 cm thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu ?

Bài 11.

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 98m. Nếu giảm chiều rộng 5m và tăng chiều dài 2m thì diện tích giảm 101 {{m}^{2}}. Tính diện tích mảnh đất ban đầu ?

Bài 12 :

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 152 m. Nếu tăng chiều rộng lên ba lần và tăng chiều dài lên hai lần thì chu vi của khu vườn là 368m. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.

Bài 13.

Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc 35 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 40 phút rồi quay về A với vận tốc 30 km/h. Tính quãng đường AB, biết thời gian cả đi và về là 4 giờ 8 phút.

Bài 14.

Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc 40 km/h rồi quay về A với vận tốc 36 km/h. Tính quãng đường AB, biết thời gian đi từ A đến B ít hơn thời gian đi từ B về A là 10 phút.

Bài 15.

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Trên quãng đường từ B về A, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian về ngắn hơn thời gian đi là 36 phút. Tính quãng đường từ A đến B ?

Câu 16:

Một xe ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Sau khi đi được 1 giờ thì xe bị hỏng phải dừng lại sửa 15 phút. Do đó đến B đúng giờ dự định ô tô phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính quãng đường AB ?

Câu 17:

Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định 10 km/h và đi nửa sau kém hơn dự định 6 km/h. Biết ô tô đến đúng dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường AB ?

Câu 18:

Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. Sau khi đi được \frac{2}{3} quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đường còn lại. Do đó, người đó đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB ?

Bài 19 :

Một ô tô đi từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc 30 km/h. Trên quãng đường từ đền Hùng về Hà Nội, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian về ngắn hơn thời gian đi là 30 phút. Tính quãng đường tử Hà Nội đến Đền Hùng ?

Bài 20 :

Một người đi xe máy dự định từ A đến B trong thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường với vận tốc 30 km/h thì người đó đi tiếp nửa quãng đường còn lại với vận tốc 36 km/h do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian dự định đi quãng đường AB ?

Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán thuộc dạng “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” yêu cầu người học xác định các đại lượng chưa biết, đặt biến cho một đại lượng, biểu diễn các đại lượng còn lại theo biến đã chọn và thiết lập phương trình dựa trên mối quan hệ đã cho trong đề bài. Sau khi giải phương trình, cần kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn điều kiện ban đầu của bài toán hay không và trả lời câu hỏi của đề bài.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần nắm vững:

1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn: Là phương trình có dạng ax + b = 0, với $a$ và $b$ là các hệ số, $x$ là ẩn.
2. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
   • Bước 1: Lập phương trình
     • Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn (nếu cần).
     • Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn.
     • Lập phương trình dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng.
   • Bước 2: Giải phương trình.
   • Bước 3: Trả lời (kiểm tra điều kiện và kết luận).
3. Các công thức cơ bản:
   • Số có hai chữ số: Nếu chữ số hàng chục là $a$ và chữ số hàng đơn vị là $b$, số đó có giá trị là 10a + b.
   • Vận tốc – Quãng đường – Thời gian: S = v \times t (Quãng đường = Vận tốc x Thời gian), từ đó suy ra v = \frac{S}{t} và t = \frac{S}{v}.
   • Chu vi hình chữ nhật: P = 2(l + w) (với $l$ là chiều dài, $w$ là chiều rộng).
   • Diện tích hình chữ nhật: A = l \times w.
   • Các phép toán trên phân số, tỉ lệ phần trăm.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 1: Số Tự Nhiên Có Hai Chữ Số

• Phân tích yêu cầu: Tìm số tự nhiên có hai chữ số thỏa mãn hai điều kiện: chữ số hàng đơn vị gấp ba lần chữ số hàng chục và thêm chữ số 2 vào giữa hai chữ số tạo thành số mới lớn hơn số ban đầu 200 đơn vị.
• Kiến thức cần dùng: Biểu diễn số có hai chữ số, lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Gọi chữ số hàng chục là $x$. Theo đề bài, $x$ là chữ số tự nhiên nên x in {1, 2, ..., 9} (vì là chữ số hàng chục nên phải khác 0).
  • Chữ số hàng đơn vị là 3x. Theo đề bài, chữ số này cũng phải là một chữ số từ 0 đến 9. Do đó, 3x \le 9, suy ra x \le 3. Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có x in {1, 2, 3}.
  • Số ban đầu có giá trị là 10x + 3x = 13x.
  • Khi viết thêm chữ số 2 xen giữa, số mới có dạng x2(3x). Giá trị của số mới này là 100x + 2 \times 10 + 3x = 103x + 20.
  • Theo đề bài, số mới lớn hơn số ban đầu 200 đơn vị, nên ta có phương trình:
    103x + 20 = 13x + 200
  • Giải phương trình:
    103x - 13x = 200 - 20
    90x = 180
    x = 2
  • Kiểm tra: x=2 thỏa mãn điều kiện x in {1, 2, 3}.
  • Đáp án/Kết quả:
    Chữ số hàng chục là 2.
    Chữ số hàng đơn vị là 3 \times 2 = 6.
    Số ban đầu là 26.
    Kiểm tra lại: Số mới là 226. Số ban đầu là 26. 226 - 26 = 200. (Thỏa mãn)

Bài 2: Số Tự Nhiên Có Hai Chữ Số (Đổi Chỗ)

• Phân tích yêu cầu: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị và khi đổi chỗ hai chữ số thì số mới kém số cũ 36 đơn vị.
• Kiến thức cần dùng: Biểu diễn số có hai chữ số, lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Gọi chữ số hàng đơn vị là $x$. Theo đề bài, $x$ là chữ số nên x in {0, 1, ..., 9}.
  • Chữ số hàng chục là 2x. Vì đây là chữ số hàng chục nên 2x \ne 0, suy ra x \ne 0. Đồng thời, 2x cũng là một chữ số, nên 2x \le 9, suy ra x \le 4.5. Vậy x in {1, 2, 3, 4}.
  • Số ban đầu có giá trị là 10 \times (2x) + x = 20x + x = 21x.
  • Số mới sau khi đổi chỗ hai chữ số có giá trị là 10x + 2x = 12x.
  • Theo đề bài, số mới kém số cũ 36 đơn vị, nên ta có phương trình:
    21x = 12x + 36
  • Giải phương trình:
    21x - 12x = 36
    9x = 36
    x = 4
  • Kiểm tra: x=4 thỏa mãn điều kiện x in {1, 2, 3, 4}.
  • Đáp án/Kết quả:
    Chữ số hàng đơn vị là 4.
    Chữ số hàng chục là 2 \times 4 = 8.
    Số ban đầu là 84.
    Kiểm tra lại: Số mới là 48. Số cũ là 84. 84 - 48 = 36. (Thỏa mãn)

Bài 3: Số Tự Nhiên Có Hai Chữ Số (Tổng Các Chữ Số)

• Phân tích yêu cầu: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số là 16 và khi viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số thì số mới lớn hơn số ban đầu 630 đơn vị.
• Kiến thức cần dùng: Biểu diễn số có hai chữ số, lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Gọi chữ số hàng chục là $x$. Theo đề bài, $x$ là chữ số tự nhiên, x \ne 0.
  • Chữ số hàng đơn vị là 16-x. Vì đây là chữ số nên 0 \le 16-x \le 9.
    • 16-x \ge 0 Rightarrow x \le 16.
    • 16-x \le 9 Rightarrow x \ge 7.
    • Kết hợp với x \ne 0, ta có x in {7, 8, 9}.
  • Số ban đầu có giá trị là 10x + (16-x) = 9x + 16.
  • Khi viết thêm chữ số 0 xen giữa, số mới có dạng x0(16-x). Giá trị của số mới là 100x + 0 \times 10 + (16-x) = 100x + 16 - x = 99x + 16.
  • Theo đề bài, số mới lớn hơn số ban đầu 630 đơn vị, nên ta có phương trình:
    99x + 16 = (9x + 16) + 630
  • Giải phương trình:
    99x + 16 = 9x + 646
    99x - 9x = 646 - 16
    90x = 630
    x = 7
  • Kiểm tra: x=7 thỏa mãn điều kiện x in {7, 8, 9}.
  • Đáp án/Kết quả:
    Chữ số hàng chục là 7.
    Chữ số hàng đơn vị là 16 - 7 = 9.
    Số ban đầu là 79.
    Kiểm tra lại: Số mới là 709. Số ban đầu là 79. 709 - 79 = 630. (Thỏa mãn)

Bài 4: Bài Toán Về Số Lượng Đồ Vật (Giá Sách)

• Phân tích yêu cầu: Hai giá sách có tổng cộng 320 cuốn. Sau khi chuyển 40 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai, số sách ở hai giá bằng nhau. Tìm số sách ban đầu ở mỗi giá.
• Kiến thức cần dùng: Lập phương trình biểu diễn số lượng.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Gọi số sách lúc đầu ở giá thứ nhất là $x$ (cuốn). Điều kiện: $x$ là số nguyên dương và x \le 320.
  • Số sách lúc đầu ở giá thứ hai là 320 - x (cuốn).
  • Sau khi chuyển 40 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai:
    • Số sách ở giá thứ nhất còn lại là: x - 40 (cuốn).
    • Số sách ở giá thứ hai lúc này là: (320 - x) + 40 = 360 - x (cuốn).
  • Theo đề bài, số sách ở giá thứ hai bằng số sách ở giá thứ nhất lúc sau, nên ta có phương trình:
    x - 40 = 360 - x
  • Giải phương trình:
    x + x = 360 + 40
    2x = 400
    x = 200
  • Kiểm tra: x = 200 thỏa mãn điều kiện 0 < 200 \le 320[/katex].</li> <li><strong>Đáp án/Kết quả</strong>:Số sách ban đầu ở giá thứ nhất là 200 cuốn.Số sách ban đầu ở giá thứ hai là [katex]320 - 200 = 120 cuốn.
    Kiểm tra lại: Sau khi chuyển, giá 1 còn 200 - 40 = 160 cuốn, giá 2 có 120 + 40 = 160 cuốn. Hai giá bằng nhau. (Thỏa mãn)

Bài 5: Bài Toán Về Số Lượng (Gạo Bán Được)

• Phân tích yêu cầu: Ngày thứ nhất bán nhiều hơn ngày thứ hai 420kg gạo. Nếu ngày thứ nhất bán thêm 120kg thì số gạo bán được gấp rưỡi ngày thứ hai. Tính số gạo bán được trong ngày thứ nhất.
• Kiến thức cần dùng: Lập phương trình biểu diễn số lượng, tỉ lệ.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Gọi số gạo bán được trong ngày thứ nhất là $x$ (kg). Điều kiện: $x > 0$.
  • Số gạo bán được trong ngày thứ hai là x - 420 (kg). Điều kiện: x - 420 > 0, tức là $x > 420$.
  • Nếu ngày thứ nhất bán thêm 120kg, số gạo bán được là x + 120 (kg).
  • Theo đề bài, số gạo bán được trong ngày thứ nhất (nếu thêm 120kg) gấp rưỡi ngày thứ hai, tức là bằng \frac{3}{2} lần số gạo ngày thứ hai. Ta có phương trình:
    x + 120 = \frac{3}{2}(x - 420)
  • Giải phương trình:
    2(x + 120) = 3(x - 420)
    2x + 240 = 3x - 1260
    3x - 2x = 240 + 1260
    x = 1500
  • Kiểm tra: x = 1500 thỏa mãn điều kiện $x > 420$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Số gạo cửa hàng bán được trong ngày thứ nhất là 1500 kg.
    Kiểm tra lại: Ngày thứ hai bán 1500 - 420 = 1080 kg. Nếu ngày thứ nhất bán thêm 120kg thì được 1500 + 120 = 1620 kg. Ta có 1620 = \frac{3}{2} \times 1080 (vì \frac{3}{2} \times 1080 = 3 \times 540 = 1620). (Thỏa mãn)

Bài 6: Bài Toán Về Số Lượng (Dầu Trong Thùng)

• Phân tích yêu cầu: Tổng số dầu hai thùng A và B là 125 lít. Sau khi chuyển 30 lít từ A sang B, số dầu thùng A bằng \frac{3}{4} số dầu thùng B. Tìm số dầu ban đầu ở mỗi thùng.
• Kiến thức cần dùng: Lập phương trình biểu diễn số lượng, tỉ lệ.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Gọi số dầu lúc đầu ở thùng A là $x$ (lít). Điều kiện: $0 < x < 125$.
  • Số dầu lúc đầu ở thùng B là 125 - x (lít).
  • Sau khi thay đổi:
    • Số dầu ở thùng A còn lại là: x - 30 (lít). Điều kiện: x - 30 > 0, tức là $x > 30$.
    • Số dầu ở thùng B lúc này là: (125 - x) + 10 = 135 - x (lít).
  • Theo đề bài, số dầu thùng A bằng \frac{3}{4} số dầu thùng B, nên ta có phương trình:
    x - 30 = \frac{3}{4}(135 - x)
  • Giải phương trình:
    4(x - 30) = 3(135 - x)
    4x - 120 = 405 - 3x
    4x + 3x = 405 + 120
    7x = 525
    x = 75
  • Kiểm tra: x = 75 thỏa mãn điều kiện $30 < 75 < 125$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Số dầu ban đầu ở thùng A là 75 lít.
    Số dầu ban đầu ở thùng B là 125 - 75 = 50 lít.
    Kiểm tra lại: Sau khi thay đổi, thùng A có 75 - 30 = 45 lít. Thùng B có 50 + 10 = 60 lít. Ta có 45 = \frac{3}{4} \times 60 (vì \frac{3}{4} \times 60 = 3 \times 15 = 45). (Thỏa mãn)

Bài 7: Bài Toán Về Số Lượng (Sách Trên Giá)

• Phân tích yêu cầu: Giá sách thứ nhất có số sách bằng \frac{3}{4} số sách giá thứ hai. Chuyển 30 quyển từ giá 1 sang giá 2, số sách giá 1 bằng \frac{5}{9} số sách giá 2. Tìm tổng số sách ban đầu.
• Kiến thức cần dùng: Lập phương trình biểu diễn số lượng, tỉ lệ.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Gọi số sách lúc đầu ở giá thứ hai là $x$ (quyển). Điều kiện: x in mathbb{N}^.
  • Số sách lúc đầu ở giá thứ nhất là \frac{3}{4}x (quyển). Điều kiện: \frac{3}{4}x > 0 và $x$ phải chia hết cho 4 để số sách là số nguyên.
  • Sau khi chuyển 30 quyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai:
    • Số sách ở giá thứ nhất còn lại là: \frac{3}{4}x - 30 (quyển). Điều kiện: \frac{3}{4}x - 30 > 0 implies \frac{3}{4}x > 30 implies x > \frac{120}{3} = 40.
    • Số sách ở giá thứ hai lúc này là: x + 30 (quyển).
  • Theo đề bài, số sách ở giá thứ nhất bằng \frac{5}{9} số sách ở giá thứ hai, nên ta có phương trình:
    \frac{3}{4}x - 30 = \frac{5}{9}(x + 30)
  • Giải phương trình:
    Nhân cả hai vế với 36 (bội chung nhỏ nhất của 4 và 9) để khử mẫu:
    36 \times (\frac{3}{4}x - 30) = 36 \times \frac{5}{9}(x + 30)
    27x - 1080 = 20(x + 30)
    27x - 1080 = 20x + 600
    27x - 20x = 600 + 1080
    7x = 1680
    x = 240
  • Kiểm tra: x = 240. $x$ chia hết cho 4. $240 > 40$. (Thỏa mãn)
  • Đáp án/Kết quả:
    Số sách ban đầu ở giá thứ hai là 240 quyển.
    Số sách ban đầu ở giá thứ nhất là \frac{3}{4} \times 240 = 180 quyển.
    Tổng số sách cả hai giá là 240 + 180 = 420 quyển.
    Kiểm tra lại: Sau khi chuyển, giá 1 có 180 - 30 = 150 quyển. Giá 2 có 240 + 30 = 270 quyển. Ta có 150 = \frac{5}{9} \times 270 (vì \frac{5}{9} \times 270 = 5 \times 30 = 150). (Thỏa mãn)

Bài 8: Bài Toán Hình Học (Khu Vườn Hình Chữ Nhật)

• Phân tích yêu cầu: Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 112 m. Nếu tăng chiều rộng lên 4 lần và chiều dài lên 3 lần thì khu vườn trở thành hình vuông. Tính diện tích khu vườn ban đầu.
• Kiến thức cần dùng: Công thức chu vi hình chữ nhật, đặc điểm hình vuông, lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Nửa chu vi khu vườn ban đầu là 112 div 2 = 56 (m).
  • Gọi chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là $x$ (m). Điều kiện: $0 < x < 56$.
  • Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là 56 - x (m).
  • Sau khi thay đổi kích thước:
    • Chiều rộng mới là 4x (m).
    • Chiều dài mới là 3 \times (56 - x) = 168 - 3x (m).
  • Khu vườn lúc sau trở thành hình vuông, nghĩa là chiều dài bằng chiều rộng:
    4x = 168 - 3x
  • Giải phương trình:
    4x + 3x = 168
    7x = 168
    x = 24
  • Kiểm tra: x = 24 thỏa mãn điều kiện $0 < 24 < 56$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Chiều rộng ban đầu là 24 m.
    Chiều dài ban đầu là 56 - 24 = 32 m.
    Diện tích khu vườn ban đầu là 24 \times 32 = 768 m^2.
    Kiểm tra lại: Kích thước mới là chiều rộng 4 \times 24 = 96 m, chiều dài 3 \times 32 = 96 m. Đây là hình vuông. (Thỏa mãn)

Bài 9: Bài Toán Hình Học (Hình Chữ Nhật - Chu Vi và Diện Tích)

• Phân tích yêu cầu: Hình chữ nhật có chu vi 114 cm. Nếu giảm chiều rộng 5cm và tăng chiều dài 8cm thì diện tích không đổi. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
• Kiến thức cần dùng: Công thức chu vi, diện tích hình chữ nhật, lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Nửa chu vi hình chữ nhật là 114 div 2 = 57 (cm).
  • Gọi chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là $x$ (cm). Điều kiện: $0 < x < 57$.
  • Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là 57 - x (cm).
  • Diện tích ban đầu là x(57 - x) = 57x - x^2 (cm^2).
  • Sau khi thay đổi kích thước:
    • Chiều rộng mới là x - 5 (cm). Điều kiện: x - 5 > 0 implies x > 5.
    • Chiều dài mới là (57 - x) + 8 = 65 - x (cm).
  • Diện tích mới là (x - 5)(65 - x) = 65x - x^2 - 325 + 5x = 70x - x^2 - 325 (cm^2).
  • Theo đề bài, diện tích không đổi, nên ta có phương trình:
    57x - x^2 = 70x - x^2 - 325
  • Giải phương trình:
    57x = 70x - 325
    70x - 57x = 325
    13x = 325
    x = 25
  • Kiểm tra: x = 25 thỏa mãn điều kiện $5 < 25 < 57$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Chiều rộng ban đầu là 25 cm.
    Chiều dài ban đầu là 57 - 25 = 32 cm.
    Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 25 \times 32 = 800 cm^2.
    Kiểm tra lại: Kích thước mới là chiều rộng 25 - 5 = 20 cm, chiều dài 32 + 8 = 40 cm. Diện tích mới là 20 \times 40 = 800 cm^2. Diện tích không đổi. (Thỏa mãn)

Bài 10: Bài Toán Hình Học (Hình Chữ Nhật - Tỉ Lệ Cạnh)

• Phân tích yêu cầu: Hình chữ nhật có chiều dài bằng \frac{5}{4} chiều rộng. Tăng chiều dài 3cm, tăng chiều rộng 8cm thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tính diện tích ban đầu.
• Kiến thức cần dùng: Tỉ lệ giữa các cạnh, đặc điểm hình vuông, lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Gọi chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là $x$ (cm). Điều kiện: $x > 0$.
  • Chiều dài hình chữ nhật ban đầu là \frac{5}{4}x (cm).
  • Sau khi thay đổi kích thước:
    • Chiều dài mới là \frac{5}{4}x + 3 (cm).
    • Chiều rộng mới là x + 8 (cm).
  • Hình chữ nhật trở thành hình vuông, nghĩa là chiều dài mới bằng chiều rộng mới:
    \frac{5}{4}x + 3 = x + 8
  • Giải phương trình:
    \frac{5}{4}x - x = 8 - 3
    \frac{1}{4}x = 5
    x = 20
  • Kiểm tra: x = 20 thỏa mãn điều kiện $x > 0$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Chiều rộng ban đầu là 20 cm.
    Chiều dài ban đầu là \frac{5}{4} \times 20 = 25 cm.
    Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 20 \times 25 = 500 cm^2.
    Kiểm tra lại: Kích thước mới là chiều dài 25 + 3 = 28 cm, chiều rộng 20 + 8 = 28 cm. Đây là hình vuông. (Thỏa mãn)

Bài 11: Bài Toán Hình Học (Miếng Đất Hình Chữ Nhật)

• Phân tích yêu cầu: Miếng đất hình chữ nhật có chu vi 98m. Giảm chiều rộng 5m, tăng chiều dài 2m thì diện tích giảm 101 m^2. Tính diện tích ban đầu.
• Kiến thức cần dùng: Công thức chu vi, diện tích hình chữ nhật, lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Nửa chu vi miếng đất là 98 div 2 = 49 (m).
  • Gọi chiều rộng ban đầu là $x$ (m). Điều kiện: $0 < x < 49$.
  • Chiều dài ban đầu là 49 - x (m).
  • Diện tích ban đầu là x(49 - x) = 49x - x^2 (m^2).
  • Sau khi thay đổi kích thước:
    • Chiều rộng mới là x - 5 (m). Điều kiện: x - 5 > 0 implies x > 5.
    • Chiều dài mới là (49 - x) + 2 = 51 - x (m).
  • Diện tích mới là (x - 5)(51 - x) = 51x - x^2 - 255 + 5x = 56x - x^2 - 255 (m^2).
  • Theo đề bài, diện tích mới giảm 101 m^2 so với diện tích ban đầu, nghĩa là: Diện tích mới = Diện tích ban đầu - 101.
    56x - x^2 - 255 = (49x - x^2) - 101
  • Giải phương trình:
    56x - x^2 - 255 = 49x - x^2 - 101
    56x - 255 = 49x - 101
    56x - 49x = 255 - 101
    7x = 154
    x = 22
  • Kiểm tra: x = 22 thỏa mãn điều kiện $5 < 22 < 49$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Chiều rộng ban đầu là 22 m.
    Chiều dài ban đầu là 49 - 22 = 27 m.
    Diện tích ban đầu là 22 \times 27 = 594 m^2.
    Kiểm tra lại: Kích thước mới là chiều rộng 22 - 5 = 17 m, chiều dài 27 + 2 = 29 m. Diện tích mới là 17 \times 29 = 493 m^2. Diện tích giảm: 594 - 493 = 101 m^2. (Thỏa mãn)

Bài 12: Bài Toán Hình Học (Khu Vườn Hình Chữ Nhật - Chu Vi Mới)

• Phân tích yêu cầu: Khu vườn hình chữ nhật có chu vi 152 m. Nếu tăng chiều rộng lên 3 lần và chiều dài lên 2 lần thì chu vi khu vườn mới là 368m. Tính diện tích ban đầu.
• Kiến thức cần dùng: Công thức chu vi hình chữ nhật, lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Nửa chu vi khu vườn ban đầu là 152 div 2 = 76 (m).
  • Gọi chiều rộng ban đầu là $x$ (m). Điều kiện: $0 < x < 76$.
  • Chiều dài ban đầu là 76 - x (m).
  • Sau khi thay đổi kích thước:
    • Chiều rộng mới là 3x (m).
    • Chiều dài mới là 2(76 - x) = 152 - 2x (m).
  • Chu vi khu vườn mới là 368m. Ta có công thức chu vi: P_{mới} = 2 \times (\text{chiều rộng mới} + \text{chiều dài mới}).
    368 = 2 \times (3x + (152 - 2x))
  • Giải phương trình:
    368 = 2 \times (x + 152)
    184 = x + 152
    x = 184 - 152
    x = 32
  • Kiểm tra: x = 32 thỏa mãn điều kiện $0 < 32 < 76$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Chiều rộng ban đầu là 32 m.
    Chiều dài ban đầu là 76 - 32 = 44 m.
    Diện tích khu vườn ban đầu là 44 \times 32 = 1408 m^2.
    Kiểm tra lại: Kích thước mới là chiều rộng 3 \times 32 = 96 m, chiều dài 2 \times 44 = 88 m. Chu vi mới là 2 \times (96 + 88) = 2 \times 184 = 368 m. (Thỏa mãn)

Bài 13: Bài Toán Chuyển Động (Ô tô Đi và Về Có Nghỉ)

• Phân tích yêu cầu: Ô tô đi từ A đến B với vận tốc 35 km/h, nghỉ 40 phút, rồi về A với vận tốc 30 km/h. Thời gian cả đi và về (không tính nghỉ) là 4 giờ 8 phút. Tính quãng đường AB.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian; đổi đơn vị thời gian; lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Đổi đơn vị thời gian:
    • Thời gian nghỉ: 40 phút = \frac{40}{60} giờ = \frac{2}{3} giờ.
    • Tổng thời gian cả đi và về (bao gồm cả nghỉ): 4 giờ 8 phút = 4 + \frac{8}{60} giờ = 4 + \frac{2}{15} giờ = \frac{62}{15} giờ.
  • Thời gian thực tế đi và về (không tính nghỉ) là: \frac{62}{15} - \frac{2}{3} = \frac{62}{15} - \frac{10}{15} = \frac{52}{15} giờ.
  • Gọi quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện: $x > 0$.
  • Thời gian ô tô đi từ A đến B là t_{AB} = \frac{x}{35} (giờ).
  • Thời gian ô tô đi từ B về A là t_{BA} = \frac{x}{30} (giờ).
  • Tổng thời gian đi và về là t<em>{AB} + t</em>{BA}. Ta có phương trình:
    \frac{x}{35} + \frac{x}{30} = \frac{52}{15}
  • Giải phương trình:
    Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 35, 30, 15 là 210.
    Nhân cả hai vế với 210:
    210 \times \frac{x}{35} + 210 \times \frac{x}{30} = 210 \times \frac{52}{15}
    6x + 7x = 14 \times 52
    13x = 728
    x = \frac{728}{13}
    x = 56
  • Kiểm tra: x = 56 thỏa mãn điều kiện $x > 0$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Quãng đường AB là 56 km.
    Kiểm tra lại: Thời gian đi: 56/35 = 1.6 giờ. Thời gian về: 56/30 \approx 1.867 giờ. Tổng thời gian: 1.6 + 1.867 \approx 3.467 giờ. Đổi 52/15 giờ: 52/15 \approx 3.467 giờ. (Thỏa mãn)

Bài 14: Bài Toán Chuyển Động (Ô tô Đi và Về, Thời Gian Chênh Lệch)

• Phân tích yêu cầu: Ô tô đi từ A đến B (vận tốc 40 km/h) và quay về A (vận tốc 36 km/h). Thời gian đi ít hơn thời gian về 10 phút. Tính quãng đường AB.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian; đổi đơn vị thời gian; lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Đổi đơn vị thời gian: 10 phút = \frac{10}{60} giờ = \frac{1}{6} giờ.
  • Gọi quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện: $x > 0$.
  • Thời gian ô tô đi từ A đến B là t_{đi} = \frac{x}{40} (giờ).
  • Thời gian ô tô đi từ B về A là t_{về} = \frac{x}{36} (giờ).
  • Theo đề bài, thời gian đi ít hơn thời gian về 10 phút, nghĩa là t<em>{về} - t</em>{đi} = \frac{1}{6} giờ. Ta có phương trình:
    \frac{x}{36} - \frac{x}{40} = \frac{1}{6}
  • Giải phương trình:
    Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 36, 40, 6 là 360.
    Nhân cả hai vế với 360:
    360 \times \frac{x}{36} - 360 \times \frac{x}{40} = 360 \times \frac{1}{6}
    10x - 9x = 60
    x = 60
  • Kiểm tra: x = 60 thỏa mãn điều kiện $x > 0$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Quãng đường AB là 60 km.
    Kiểm tra lại: Thời gian đi: 60/40 = 1.5 giờ. Thời gian về: 60/36 \approx 1.667 giờ. Chênh lệch: 1.667 - 1.5 = 0.167 giờ. Đổi 1/6 giờ $approx 0.167$ giờ. (Thỏa mãn)

Bài 15: Bài Toán Chuyển Động (Ô tô Đi và Về, Tăng Tốc)

• Phân tích yêu cầu: Ô tô đi từ A đến B (vận tốc 40 km/h). Về A, vận tốc tăng 10 km/h, thời gian về ngắn hơn thời gian đi 36 phút. Tính quãng đường AB.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian; đổi đơn vị thời gian; lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Đổi đơn vị thời gian: 36 phút = \frac{36}{60} giờ = \frac{3}{5} giờ.
  • Gọi quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện: $x > 0$.
  • Vận tốc đi từ A đến B là v_{đi} = 40 km/h.
  • Thời gian đi từ A đến B là t_{đi} = \frac{x}{40} (giờ).
  • Vận tốc đi từ B về A là v_{về} = 40 + 10 = 50 km/h.
  • Thời gian đi từ B về A là t_{về} = \frac{x}{50} (giờ).
  • Theo đề bài, thời gian về ngắn hơn thời gian đi 36 phút, nghĩa là t<em>{đi} - t</em>{về} = \frac{3}{5} giờ. Ta có phương trình:
    \frac{x}{40} - \frac{x}{50} = \frac{3}{5}
  • Giải phương trình:
    Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 40, 50, 5 là 200.
    Nhân cả hai vế với 200:
    200 \times \frac{x}{40} - 200 \times \frac{x}{50} = 200 \times \frac{3}{5}
    5x - 4x = 40 \times 3
    x = 120
  • Kiểm tra: x = 120 thỏa mãn điều kiện $x > 0$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Quãng đường AB là 120 km.
    Kiểm tra lại: Thời gian đi: 120/40 = 3 giờ. Thời gian về: 120/50 = 2.4 giờ. Chênh lệch: 3 - 2.4 = 0.6 giờ. Đổi 3/5 giờ = $0.6$ giờ. (Thỏa mãn)

Câu 16: Bài Toán Chuyển Động (Xe Ô tô Hỏng, Tăng Tốc)

• Phân tích yêu cầu: Xe dự định đi A đến B với vận tốc 48 km/h. Đi được 1 giờ thì hỏng, sửa 15 phút. Để đến B đúng giờ dự định, xe phải tăng tốc thêm 6 km/h. Tính quãng đường AB.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian; đổi đơn vị thời gian; lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Đổi đơn vị thời gian: 15 phút = \frac{15}{60} giờ = \frac{1}{4} giờ.
  • Gọi thời gian dự định đi từ A đến B là t<em>{dự_định} (giờ). Điều kiện: t</em>{dự_định} > 0.
  • Quãng đường AB là S = 48 \times t_{dự_định} (km).
  • Trong 1 giờ đầu, xe đi được quãng đường là 48 \times 1 = 48 (km).
  • Thời gian còn lại để đến B đúng giờ dự định là: t_{dự_định} - 1 (giờ).
  • Sau khi sửa xe, xe phải di chuyển trong thời gian thực tế là: t<em>{thực_tế} = (t</em>{dự_định} - 1) - \frac{1}{4} = t_{dự_định} - \frac{5}{4} (giờ).
  • Vận tốc mới của ô tô là 48 + 6 = 54 km/h.
  • Quãng đường còn lại mà xe phải đi là: S - 48 (km).
  • Ta có phương trình: Quãng đường còn lại = Vận tốc mới x Thời gian thực tế.
    S - 48 = 54 \times (t_{dự_định} - \frac{5}{4})
  • Thay S = 48 t<em>{dự_định} vào phương trình:
    48 t</em>{dự_định} - 48 = 54 (t<em>{dự_định} - \frac{5}{4})
    48 t</em>{dự_định} - 48 = 54 t<em>{dự_định} - 54 \times \frac{5}{4}
    48 t</em>{dự_định} - 48 = 54 t<em>{dự_định} - \frac{270}{4}
    48 t</em>{dự_định} - 48 = 54 t<em>{dự_định} - \frac{135}{2}
    54 t</em>{dự_định} - 48 t<em>{dự_định} = \frac{135}{2} - 48
    6 t</em>{dự_định} = \frac{135 - 96}{2}
    6 t<em>{dự_định} = \frac{39}{2}
    t</em>{dự_định} = \frac{39}{12} = \frac{13}{4}
  • Kiểm tra: Thời gian dự định t_{dự_định} = \frac{13}{4} = 3.25 giờ. Thời gian thực tế đi là 3.25 - 1 - 0.25 = 2 giờ. Vận tốc mới 54 km/h. Quãng đường còn lại là 54 \times 2 = 108 km. Quãng đường AB = 48 \times 3.25 = 156 km. 156 - 48 = 108 km. (Thỏa mãn)
  • Đáp án/Kết quả:
    Quãng đường AB là 48 \times \frac{13}{4} = 12 \times 13 = 156 km.

Câu 17: Bài Toán Chuyển Động (Thay Đổi Vận Tốc Hai Nửa Quãng Đường)

• Phân tích yêu cầu: Ô tô đi quãng đường AB 60 km. Nửa đầu vận tốc hơn dự định 10 km/h, nửa sau kém dự định 6 km/h. Đến đúng giờ dự định. Tính thời gian dự định.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian; lập phương trình với ẩn vận tốc.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Quãng đường AB là 60 km. Chia làm hai nửa: 30 km đầu và 30 km sau.
  • Gọi vận tốc dự định là $x$ (km/h). Điều kiện: $x > 0$.
  • Thời gian dự định đi hết quãng đường AB là t_{dự_định} = \frac{60}{x} (giờ).
  • Vận tốc đi nửa đầu quãng đường là x + 10 (km/h). Điều kiện x+10 > 0 (luôn đúng).
  • Thời gian đi nửa đầu quãng đường là t_{nửa_đầu} = \frac{30}{x+10} (giờ).
  • Vận tốc đi nửa sau quãng đường là x - 6 (km/h). Điều kiện x - 6 > 0 implies x > 6.
  • Thời gian đi nửa sau quãng đường là t_{nửa_sau} = \frac{30}{x-6} (giờ).
  • Vì ô tô đến đúng giờ dự định, nên tổng thời gian đi thực tế bằng thời gian dự định: t<em>{nửa_đầu} + t</em>{nửa_sau} = t_{dự_định}.
    \frac{30}{x+10} + \frac{30}{x-6} = \frac{60}{x}
  • Chia cả hai vế cho 30 để đơn giản phương trình:
    \frac{1}{x+10} + \frac{1}{x-6} = \frac{2}{x}
  • Quy đồng vế trái:
    \frac{(x-6) + (x+10)}{(x+10)(x-6)} = \frac{2}{x}
    \frac{2x+4}{x^2 + 4x - 60} = \frac{2}{x}
  • Nhân chéo (và lưu ý x \ne 0, x \ne 6, x \ne -10):
    x(2x+4) = 2(x^2 + 4x - 60)
    2x^2 + 4x = 2x^2 + 8x - 120
    4x = 8x - 120
    8x - 4x = 120
    4x = 120
    x = 30
  • Kiểm tra: x = 30 thỏa mãn điều kiện $x > 6$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Vận tốc dự định là 30 km/h.
    Thời gian dự định đi quãng đường AB là \frac{60}{30} = 2 giờ.
    Kiểm tra lại: Nửa đầu (30km) đi với vận tốc 30+10=40 km/h mất \frac{30}{40} = 0.75 giờ. Nửa sau (30km) đi với vận tốc 30-6=24 km/h mất \frac{30}{24} = 1.25 giờ. Tổng thời gian thực tế: 0.75 + 1.25 = 2 giờ. Thời gian dự định là 2 giờ. (Thỏa mãn)

Câu 18: Bài Toán Chuyển Động (Đi Chậm Hơn Dự Định)

• Phân tích yêu cầu: Ô tô dự định đi A đến B (vận tốc 50 km/h). Đi \frac{2}{3} quãng đường với vận tốc đó, còn lại giảm tốc 10 km/h. Đến B chậm 30 phút. Tính quãng đường AB.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian; đổi đơn vị thời gian; lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Đổi đơn vị thời gian: 30 phút = \frac{1}{2} giờ.
  • Gọi quãng đường AB là $x$ (km). Điều kiện: $x > 0$.
  • Vận tốc dự định là v_{dự_định} = 50 km/h.
  • Thời gian dự định đi hết quãng đường AB là t_{dự_định} = \frac{x}{50} (giờ).
  • Quãng đường đi với vận tốc dự định là \frac{2}{3}x (km).
  • Thời gian đi quãng đường này là t_1 = \frac{\frac{2}{3}x}{50} = \frac{2x}{150} = \frac{x}{75} (giờ).
  • Quãng đường còn lại là \frac{1}{3}x (km).
  • Vận tốc trên quãng đường còn lại là 50 - 10 = 40 km/h.
  • Thời gian đi quãng đường còn lại là t_2 = \frac{\frac{1}{3}x}{40} = \frac{x}{120} (giờ).
  • Tổng thời gian đi thực tế là t_{thực_tế} = t_1 + t_2 = \frac{x}{75} + \frac{x}{120} (giờ).
  • Xe đến B chậm 30 phút so với dự định, nghĩa là t<em>{thực_tế} - t</em>{dự_định} = \frac{1}{2} giờ. Ta có phương trình:
    (\frac{x}{75} + \frac{x}{120}) - \frac{x}{50} = \frac{1}{2}
  • Giải phương trình:
    Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 75, 120, 50 là 300.
    Nhân cả hai vế với 300:
    300 \times \frac{x}{75} + 300 \times \frac{x}{120} - 300 \times \frac{x}{50} = 300 \times \frac{1}{2}
    4x + \frac{5}{2}x - 6x = 150
    4x + 2.5x - 6x = 150
    0.5x = 150
    x = 300
  • Kiểm tra: x = 300 thỏa mãn điều kiện $x > 0$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Quãng đường AB là 300 km.
    Kiểm tra lại: Thời gian dự định: 300/50 = 6 giờ. Quãng đường đầu: 2/3 \times 300 = 200 km, đi với 50 km/h mất 200/50 = 4 giờ. Quãng đường sau: 1/3 \times 300 = 100 km, đi với 40 km/h mất 100/40 = 2.5 giờ. Tổng thời gian thực tế: 4 + 2.5 = 6.5 giờ. Chậm hơn dự định: 6.5 - 6 = 0.5 giờ = 30 phút. (Thỏa mãn)

Bài 19: Bài Toán Chuyển Động (Ô tô Đi Hà Nội - Đền Hùng)

• Phân tích yêu cầu: Ô tô đi Hà Nội đến Đền Hùng (vận tốc 30 km/h). Về Hà Nội, vận tốc tăng 10 km/h, thời gian về ngắn hơn thời gian đi 30 phút. Tính quãng đường Hà Nội - Đền Hùng.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian; đổi đơn vị thời gian; lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Đổi đơn vị thời gian: 30 phút = \frac{30}{60} giờ = \frac{1}{2} giờ.
  • Gọi quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng là $x$ (km). Điều kiện: $x > 0$.
  • Vận tốc đi từ Hà Nội đến Đền Hùng là v_{đi} = 30 km/h.
  • Thời gian đi từ Hà Nội đến Đền Hùng là t_{đi} = \frac{x}{30} (giờ).
  • Vận tốc đi từ Đền Hùng về Hà Nội là v_{về} = 30 + 10 = 40 km/h.
  • Thời gian đi từ Đền Hùng về Hà Nội là t_{về} = \frac{x}{40} (giờ).
  • Theo đề bài, thời gian về ngắn hơn thời gian đi 30 phút, nghĩa là t<em>{đi} - t</em>{về} = \frac{1}{2} giờ. Ta có phương trình:
    \frac{x}{30} - \frac{x}{40} = \frac{1}{2}
  • Giải phương trình:
    Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 30, 40, 2 là 120.
    Nhân cả hai vế với 120:
    120 \times \frac{x}{30} - 120 \times \frac{x}{40} = 120 \times \frac{1}{2}
    4x - 3x = 60
    x = 60
  • Kiểm tra: x = 60 thỏa mãn điều kiện $x > 0$.
  • Đáp án/Kết quả:
    Quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng là 60 km.
    Kiểm tra lại: Thời gian đi: 60/30 = 2 giờ. Thời gian về: 60/40 = 1.5 giờ. Chênh lệch: 2 - 1.5 = 0.5 giờ = 30 phút. (Thỏa mãn)

Bài 20: Bài Toán Chuyển Động (Xe Máy Sớm Hơn Dự Định)

• Phân tích yêu cầu: Xe máy dự định đi A đến B. Đi nửa quãng đường đầu với vận tốc 30 km/h, nửa quãng đường sau với vận tốc 36 km/h. Đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian dự định.
• Kiến thức cần dùng: Công thức quãng đường, vận tốc, thời gian; đổi đơn vị thời gian; lập phương trình.
• Hướng dẫn giải chi tiết:
  • Đổi đơn vị thời gian: 10 phút = \frac{10}{60} giờ = \frac{1}{6} giờ.
  • Gọi quãng đường AB là $S$ (km). Điều kiện: $S > 0$.
  • Nửa quãng đường đầu là \frac{S}{2} (km). Vận tốc đi là v_1 = 30 km/h.
  • Thời gian đi nửa quãng đường đầu là t_1 = \frac{S/2}{30} = \frac{S}{60} (giờ).
  • Nửa quãng đường sau là \frac{S}{2} (km). Vận tốc đi là v_2 = 36 km/h.
  • Thời gian đi nửa quãng đường sau là t_2 = \frac{S/2}{36} = \frac{S}{72} (giờ).
  • Tổng thời gian thực tế đi hết quãng đường AB là t_{thực_tế} = t_1 + t_2 = \frac{S}{60} + \frac{S}{72} (giờ).
  • Giả sử thời gian dự định đi hết quãng đường AB là t_{dự_định} (giờ).
  • Xe đến B sớm hơn dự định 10 phút, nghĩa là t<em>{dự_định} - t</em>{thực_tế} = \frac{1}{6} giờ.
    t<em>{dự_định} = t</em>{thực_tế} + \frac{1}{6} = \frac{S}{60} + \frac{S}{72} + \frac{1}{6} (giờ).
  • Mặt khác, nếu đi hết quãng đường S với vận tốc dự định v<em>{dự_định} thì S = v</em>{dự_định} \times t<em>{dự_định}. Tuy nhiên, đề bài không cho vận tốc dự định mà chỉ cho thời gian dự định. Ta có thể xem mối quan hệ giữa thời gian và quãng đường dựa trên hai vận tốc đã cho. Nếu xe đi với một vận tốc trung bình là v</em>{avg}, thì S = v<em>{avg} \times t</em>{dự_định}.
  • Ta có thể thiết lập một phương trình liên quan đến $S$ và t_{dự_định}.
  • Hoặc, ta có thể giả sử vận tốc dự định là v<em>{dự_định}, và t</em>{dự_định} = S / v_{dự_định}.
  • Thay vào phương trình thời gian: \frac{S}{v_{dự_định}} = \frac{S}{60} + \frac{S}{72} + \frac{1}{6}.
  • Để tìm thời gian dự định t_{dự_định}, ta cần tìm $S$ trước hoặc tìm mối liên hệ.
  • Cách tiếp cận khác: Tìm S trước.
    Nếu đề bài cho ta vận tốc dự định ban đầu, ví dụ v<em>{dự_định}, thì t</em>{dự_định} = S/v<em>{dự_định}.
    Ta có thể lập phương trình với ẩn $S$:
    \frac{S}{v</em>{dự_định}} = \frac{S}{60} + \frac{S}{72} + \frac{1}{6}.
    Nhưng ta không biết v_{dự_định}.
  • Quay lại phương trình: \frac{S}{60} + \frac{S}{72} = t_{dự_định} - \frac{1}{6}.
  • Tuy nhiên, nếu ta nhìn kỹ lại bài giải gốc, họ đã lập một phương trình khác:
    \frac{S}{2.30}+\frac{S}{2.36}=\frac{S}{30}-\frac{1}{6}
    Đây có vẻ là một cách đặt biến chưa rõ ràng.
    Giả sử thời gian dự định là $T$ (giờ). Vận tốc dự định là $V$ (km/h). Vậy S=VT.
    Thời gian thực tế là T - 1/6.
    Ta có: t_1 = \frac{S}{60} (giờ), t<em>2 = \frac{S}{72} (giờ).
    t</em>{thực_tế} = t_1 + t_2.
    T - \frac{1}{6} = \frac{S}{60} + \frac{S}{72}.
    Ta cần một phương trình khác để liên hệ $S$ và $T$.
    Nếu ta giả định rằng S/30 là thời gian dự định, thì $V$ (vận tốc dự định) = S/(S/30) = 30 km/h.
    Khi đó, thời gian dự định là T = S/30.
    Phương trình trở thành:
    \frac{S}{60} + \frac{S}{72} = \frac{S}{30} - \frac{1}{6}
    Đây là phương trình mà bài giải gốc đã sử dụng. Ta giải phương trình này cho $S$.
  • Giải phương trình:
    Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 60, 72, 30 là 360.
    Nhân cả hai vế với 360:
    360 \times \frac{S}{60} + 360 \times \frac{S}{72} = 360 \times \frac{S}{30} - 360 \times \frac{1}{6}
    6S + 5S = 12S - 60
    11S = 12S - 60
    12S - 11S = 60
    S = 60
  • Kiểm tra: S=60 km. Nếu vận tốc dự định là 30 km/h, thời gian dự định là 60/30 = 2 giờ.
    Thời gian đi nửa đầu (30km với 30km/h) là 30/30 = 1 giờ.
    Thời gian đi nửa sau (30km với 36km/h) là 30/36 = 5/6 giờ.
    Tổng thời gian thực tế là 1 + 5/6 = 11/6 giờ.
    Thời gian dự định là 2 giờ.
    Xe đến sớm hơn: 2 - 11/6 = 12/6 - 11/6 = 1/6 giờ = 10 phút. (Thỏa mãn)
  • Đáp án/Kết quả:
    Quãng đường AB là 60 km.
    Thời gian dự định đi quãng đường AB là 60 div 30 = 2 giờ.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi phân tích và giải chi tiết từng bài toán, chúng ta đã có các kết quả sau cho từng bài tập:

• Bài 1: Số ban đầu là 26.
• Bài 2: Số ban đầu là 84.
• Bài 3: Số ban đầu là 79.
• Bài 4: Giá thứ nhất có 200 cuốn, giá thứ hai có 120 cuốn.
• Bài 5: Ngày thứ nhất bán được 1500 kg gạo.
• Bài 6: Thùng A có 75 lít, thùng B có 50 lít.
• Bài 7: Cả hai giá sách có 420 quyển sách.
• Bài 8: Diện tích khu vườn là 768 m^2.
• Bài 9: Diện tích hình chữ nhật là 800 cm^2.
• Bài 10: Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 500 cm^2.
• Bài 11: Diện tích mảnh đất ban đầu là 594 m^2.
• Bài 12: Diện tích hình chữ nhật ban đầu là 1408 m^2.
• Bài 13: Quãng đường AB là 56 km.
• Bài 14: Quãng đường AB là 60 km.
• Bài 15: Quãng đường AB là 120 km.
• Câu 16: Quãng đường AB là 156 km.
• Câu 17: Thời gian dự định đi quãng đường AB là 2 giờ.
• Câu 18: Quãng đường AB là 300 km.
• Bài 19: Quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng là 60 km.
• Bài 20: Thời gian dự định đi quãng đường AB là 2 giờ.

Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài toán lập phương trình sẽ giúp học sinh làm quen với các tình huống khác nhau, từ đó nâng cao khả năng tư duy logic và kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.