Bài Tập Vector: Tìm Tọa Độ Điểm M Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước
Giới Thiệu Bài Tập
Bài toán hôm nay sẽ giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức về vector trong không gian tọa độ, đặc biệt là cách áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân vector với một số để tìm tọa độ một điểm thỏa mãn các điều kiện cho trước. Đây là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán học lớp 10, đòi hỏi sự hiểu biết chắc chắn về định nghĩa vector, các phép toán trên vector và ứng dụng của chúng trong hệ tọa độ Descartes. Chúng ta sẽ đi sâu vào cách xác định tọa độ điểm M thông qua các mối quan hệ vector đã cho, đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu cho mọi học sinh.
Đề Bài
Cho ba điểm (A), (B), (C) với tọa độ lần lượt là (A(1; 2)), (B(3; 5)), (C(6; 4)). Tìm tọa độ điểm (M) sao cho:
- vec{AM} = 3vec{AB}
- vec{BM} = \frac{1}{2}vec{BC}
Phân Tích Yêu Cầu
Đề bài yêu cầu chúng ta tìm tọa độ của điểm (M) dựa trên hai mối quan hệ vector khác nhau giữa (M) với các điểm (A), (B), (C). Mỗi mối quan hệ vector này sẽ cho chúng ta một hệ phương trình độc lập để tìm tọa độ (M).
- Trường hợp 1: vec{AM} = 3vec{AB}
Chúng ta cần tính tọa độ vector (vec{AM}) và (vec{AB}) theo tọa độ của (A), (M), (B). Sau đó, thiết lập phương trình bằng nhau giữa hai vector này để suy ra tọa độ (M). - Trường hợp 2: vec{BM} = \frac{1}{2}vec{BC}
Tương tự, ta tính tọa độ vector (vec{BM}) và (vec{BC}), rồi lập phương trình để tìm (M).
Mục tiêu là tìm ra một cặp tọa độ ((x_M; y_M)) thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Tuy nhiên, thông thường trong các bài tập dạng này, mỗi điều kiện sẽ dẫn đến một kết quả (M) khác nhau, hoặc đề bài có thể hỏi tìm (M) thỏa mãn từng điều kiện riêng lẻ. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ giải quyết từng trường hợp một và có thể so sánh kết quả. Nếu đề bài ngụ ý tìm (M) duy nhất thỏa mãn cả hai, ta cần xem xét kỹ lưỡng hơn. Tuy nhiên, với cách đặt câu hỏi “Tìm tọa độ điểm M sao cho:”, thông thường ta sẽ xét từng mệnh đề riêng biệt. Chúng ta sẽ giải quyết từng mệnh đề.
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau về vector trong hệ tọa độ Descartes:
Tọa độ vector:
Cho hai điểm (P(x_P; y_P)) và (Q(x_Q; y_Q)). Tọa độ vector (vec{PQ}) được tính bằng công thức:
vec{PQ} = (x_Q - x_P; y_Q - y_P)Phép nhân vector với một số:
Cho vector (vec{u} = (u_x; u_y)) và một số thực (k). Tích của (k) với (vec{u}) là vector (kvec{u}) có tọa độ:
kvec{u} = (k \cdot u_x; k \cdot u_y)Hai vector bằng nhau:
Hai vector (vec{u} = (u_x; u_y)) và (vec{v} = (v_x; v_y)) bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau:
vec{u} = vec{v} iff (u_x = v_x \text{ và } u_y = v_y)
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của đề bài một cách chi tiết.
Phần 1: Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn vec{AM} = 3vec{AB}
Bước 1: Xác định tọa độ các điểm đã cho.
Chúng ta có:
(A(1; 2))
(B(3; 5))
Gọi (M(x_M; y_M)) là tọa độ điểm (M) cần tìm.
Bước 2: Tính tọa độ vector vec{AB}.
Sử dụng công thức tọa độ vector:
vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - 1; 5 - 2) = (2; 3)
Bước 3: Tính tọa độ vector vec{AM}.
Sử dụng công thức tọa độ vector:
vec{AM} = (x_M - x_A; y_M - y_A) = (x_M - 1; y_M - 2)
Bước 4: Áp dụng điều kiện vec{AM} = 3vec{AB}.
Ta có:
(x_M - 1; y_M - 2) = 3 \cdot (2; 3)
(x_M - 1; y_M - 2) = (3 \cdot 2; 3 \cdot 3)
(x_M - 1; y_M - 2) = (6; 9)
Bước 5: Giải hệ phương trình tọa độ.
Từ đẳng thức vector, ta có hệ phương trình:
\begin{cases} x_M - 1 = 6 y_M - 2 = 9 \end{cases}
Giải hệ phương trình này:
\begin{cases} x_M = 6 + 1 y_M = 9 + 2 \end{cases}
\begin{cases} x_M = 7 y_M = 11 \end{cases}
Vậy, tọa độ điểm (M) thỏa mãn điều kiện thứ nhất là (M(7; 11)).
Phần 2: Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn vec{BM} = \frac{1}{2}vec{BC}
Bước 1: Xác định tọa độ các điểm đã cho.
Chúng ta có:
(B(3; 5))
(C(6; 4))
Gọi (M(x_M; y_M)) là tọa độ điểm (M) cần tìm. (Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu điểm M thỏa mãn cả hai điều kiện, thì (M) ở đây phải trùng với (M) ở trên. Tuy nhiên, cách diễn đạt thường gặp là tìm (M) cho từng trường hợp hoặc một hệ điều kiện phụ thuộc. Chúng ta đang giải quyết từng mệnh đề riêng lẻ.)
Bước 2: Tính tọa độ vector vec{BC}.
Sử dụng công thức tọa độ vector:
vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (6 - 3; 4 - 5) = (3; -1)
Bước 3: Tính tọa độ vector vec{BM}.
Sử dụng công thức tọa độ vector:
vec{BM} = (x_M - x_B; y_M - y_B) = (x_M - 3; y_M - 5)
Bước 4: Áp dụng điều kiện vec{BM} = \frac{1}{2}vec{BC}.
Ta có:
(x_M - 3; y_M - 5) = \frac{1}{2} \cdot (3; -1)
(x_M - 3; y_M - 5) = (\frac{1}{2} \cdot 3; \frac{1}{2} \cdot (-1))
(x_M - 3; y_M - 5) = (\frac{3}{2}; -\frac{1}{2})
Bước 5: Giải hệ phương trình tọa độ.
Từ đẳng thức vector, ta có hệ phương trình:
\begin{cases} x_M - 3 = \frac{3}{2} y_M - 5 = -\frac{1}{2} \end{cases}
Giải hệ phương trình này:
\begin{cases} x_M = 3 + \frac{3}{2} y_M = 5 - \frac{1}{2} \end{cases}
\begin{cases} x_M = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} y_M = \frac{10}{2} - \frac{1}{2} \end{cases}
\begin{cases} x_M = \frac{9}{2} y_M = \frac{9}{2} \end{cases}
Vậy, tọa độ điểm (M) thỏa mãn điều kiện thứ hai là (M(frac{9}{2}; frac{9}{2})).
Mẹo kiểm tra và Lỗi hay gặp
- Mẹo kiểm tra: Sau khi tìm được tọa độ (M) cho mỗi trường hợp, bạn có thể thay tọa độ (M) vừa tìm được vào lại các vector (vec{AM}), (vec{AB}), (vec{BM}), (vec{BC}) và kiểm tra lại các phép toán nhân vector với số và phép bằng nhau của hai vector. Ví dụ, với (M(7; 11)) cho trường hợp 1, ta có (vec{AM} = (7-1; 11-2) = (6; 9)). Ta tính (3vec{AB} = 3(2; 3) = (6; 9)). Hai vector này bằng nhau, vậy kết quả đúng.
- Lỗi hay gặp:
- Nhầm lẫn thứ tự tọa độ: Khi tính vector, ví dụ (vec{AB}) phải là (B-A), không phải (A-B).
- Sai sót trong phép nhân số với vector: Nhân số (k) với từng thành phần tọa độ của vector.
- Sai sót khi giải hệ phương trình: Đặc biệt là các phép cộng/trừ phân số hoặc số âm.
- Quên chia cho số: Ví dụ, ở trường hợp 2, quên nhân với \frac{1}{2}) hoặc chỉ áp dụng cho một tọa độ.</li> <li><strong>Hiểu sai đề:</strong> Nhầm lẫn giữa việc tìm (M) thỏa mãn từng điều kiện riêng lẻ hay đồng thời cả hai. Với cách đặt câu hỏi này, ta thường hiểu là tìm (M) cho từng điều kiện. Nếu đề yêu cầu (M) thỏa mãn đồng thời cả hai, tọa độ (M) tìm được ở hai trường hợp phải trùng nhau. Trong bài này, (M(7; 11) \ne M(\frac{9}{2}; \frac{9}{2})), do đó không có điểm (M) nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện này.</li> </ul> </li> </ul> <h2>Đáp Án/Kết Quả</h2> <ul> <li>Tọa độ điểm (M) thỏa mãn []vec{AM} = 3vec{AB} là (M(7; 11)).
- Tọa độ điểm (M) thỏa mãn vec{BM} = \frac{1}{2}vec{BC} là (M(frac{9}{2}; frac{9}{2})).
Kết Luận
Qua bài tập này, chúng ta đã luyện tập thành thạo kỹ năng sử dụng tọa độ vector và các phép toán trên vector để giải quyết các bài toán hình học trong mặt phẳng. Việc nắm vững quy tắc tính tọa độ vector, phép nhân vector với số và điều kiện hai vector bằng nhau là chìa khóa để giải quyết các dạng bài tìm tọa độ điểm dựa trên mối quan hệ vector. Hãy luôn chú ý kiểm tra lại kết quả bằng cách thay tọa độ tìm được vào điều kiện ban đầu để đảm bảo tính chính xác.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
