Định Lý Cauchy-Riemann Và Các Ứng Dụng Trong Hàm Giải Tích
Giới Thiệu
Định lý Cauchy-Riemann là một công cụ nền tảng, đặt ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của đạo hàm của hàm số phức. Hiểu rõ các phương trình này giúp xác định tính giải tích của hàm số và tìm kiếm phần ảo khi biết phần thực (hoặc ngược lại). Bài viết này sẽ đi sâu vào định lý Cauchy-Riemann, định nghĩa về hàm giải tích, và cách áp dụng chúng trong việc giải quyết các bài toán thực tế, đặc biệt là việc tìm hàm giải tích khi biết một trong hai thành phần thực hoặc ảo.
Đề Bài
Nội dung gốc của bài viết bao gồm các định nghĩa, ví dụ và bài tập liên quan đến hàm giải tích và phương trình Cauchy-Riemann.
“Let be an open set in and a complex-valued function on . The function is holomorphic at the point if the quotient
converges to a limit when . Here and with ,so that the quotient is well defined. The limit of the quotient, when it exists, is denoted by , and is called the derivative of at :
It should be emphasized that in the above limit, is a complex number that may approach from any direction. The function is said to be holomorphic on if is holomorphic at every point of . If is a closed subset of , we say that is holomorphic on if is holomorphic in some open set containing . Finally, if f is holomorphic in all of we say that is entire.
Example 1. The function is holomorphic on any open set in , and . In fact, any polynomial is holomorphic in the entire complex plane and .
This follows from Proposition 2.2 below. Example 2. The function is holomorphic on any open set in that does not contain the origin, and . Example 3. The function is not holomorphic. Indeed, we have which has no limit as as one can see by first taking real and then purely imaginary.
The Cauchy-Riemann Equations
Let be a holomorphic function defined over an open set in the complex plane, and let denote the open set in defined by . Then the holomorphic function on determines differentiable real-valued functions and on such that for all . Now if is a function of a complex variable, defined in the neighbourhood of zero, then , if it exists, has the same value whether tends to along the real axis or along the imaginary axis. It follows that if exists then
,
where tends to zero through real values only.
On applying this principle to the holomorphic function , we find that the limit
and also
It follows that the functions and must satisfy the partial differential equations
These equations are referred to as the Cauchy-Riemann equations. Thus to each holomorphic function f there corresponds a pair of differentiable real- valued functions u and v, defined over an open subset of and satisfying the above system of partial differential equations.
The converse is true (provided that the partial derivatives of the functions and are continuous).
Vấn đề 1: Tìm hàm giải tích khi biết trước hàm phần thực hoặc hàm phần ảo.
Cho hàm là giải tích trong miền đơn liên . Phần thực và phần ảo là những hàm điều hoà trong , nghĩa là chúng thoả mãn phương trình:
Ngược lại nếu và là những hàm điều hoà thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann thì là giải tích.
Exercise 1: The function u(x, y) = x2– y 2– x is the real part of an analytic function. What is the imaginary part (the conjugate harmonic function of u(x, y)) of this analytic function?
Solution:
u(x, y) = x2–y 2– x, f = u + iv is analytic, v = ?
v = 2xy – y + C
Exercise 2: At which points z the function
has a derivative? Calculate f ‘(z ).
Solution:
Ví dụ 3: Cho hàm . Tìm hàm giải tích nhận làm phần thực.
Giải:
.
Vậy:
Bài tập
Bài 1: Chứng tỏ các hàm sau là hàm điều hòa và tìm hàm giải tích theo biến , biết
- và
- và
Exercise 2: Show that the following functions are harmonic and find harmonic conjugates:
Exercise 3: Show that u is harmonic and find a harmonic conjugate v when:
Ans:
Vấn đề 2: Xét tính khả vi của hàm phức bằng định lý Cauchy – Riemann.
Exercise 1: Which of the following functions are analytic in the complex plane?
a) , b) , c) .
Solution: f (z) = u(x, y) + iv (x, y) is analytic in the complex plane, if the 1st order partial derivatives of u and v are continuous and satisfy the Cauchy-Riemann equations
a) ,
, is not analytic.
b) ,
, f is analytic.
c) .
, is not analytic.
[
| Definition. A function is said to be analytic at a point if it is differentiable at every in some -neighbourhood of the point . The function is said to be analytic in a region if it is analyticat every point in the region. The function is said to be entire if it is analytic in . |
|---|
| A function of a complex variable is said to be analytic (or holomorphic, or regular ) in an open set if it has a derivative at every point of . If is not an open set, then we say is analytic in if is analytic in an open set containing . We call analytic at the point if is analytic in some neighborhood of . It is important to note that while differentiability is defined at a point, analyticity is defined on an open set. If a function is analytic on the whole complex plane, then it is said to be entire |
|---|
Copyright David R. Wilkins 1989–2008
Chia sẻ:
- Nhấp để chia sẻ trên X (Mở trong cửa sổ mới) X
- Nhấn vào chia sẻ trên Facebook (Mở trong cửa sổ mới) Facebook
Thích Đang tải…
Có liên quan“
Phân Tích Yêu Cầu
Bài viết gốc tập trung vào khái niệm hàm giải tích (holomorphic function) trong mặt phẳng phức, đạo hàm của hàm phức và giới thiệu định lý Cauchy-Riemann như một điều kiện quan trọng để hàm số đạt được tính giải tích này. Đồng thời, bài viết trình bày các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng, bao gồm việc xác định tính giải tích của hàm số và tìm hàm điều hòa liên hợp (harmonic conjugate).
Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng
Để hiểu về định lý Cauchy-Riemann, cần nắm vững các khái niệm sau:
Hàm phức: Một hàm số có miền xác định và miền giá trị là tập con của mặt phẳng phức . Hàm số có thể được biểu diễn dưới dạng phần thực và phần ảo: , với , và là các hàm số thực hai biến.
Đạo hàm của hàm phức: Giống như đạo hàm của hàm số thực, đạo hàm của hàm phức tại điểm được định nghĩa bởi giới hạn:
Điều kiện quan trọng là giới hạn này phải tồn tại bất kể biến phức tiến về 0 theo hướng nào trong mặt phẳng phức.
Hàm giải tích (Holomorphic function): Một hàm được gọi là giải tích tại điểm nếu nó khả vi tại và trong một lân cận nào đó của . Nếu hàm giải tích trên toàn bộ miền mở , nó được gọi là giải tích trên . Một hàm giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức được gọi là hàm toàn chỉnh (entire function).
Hàm điều hòa (Harmonic function): Một hàm số thực hai biến có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục thỏa mãn phương trình Laplace:
Định lý Cauchy-Riemann
Cho hàm xác định trên một miền mở của mặt phẳng phức. Nếu giải tích tại một điểm trong , thì các hàm phần thực và phần ảo phải thỏa mãn các phương trình đạo hàm riêng sau đây tại (gọi là phương trình Cauchy-Riemann):
Mệnh đề đảo: Nếu các hàm và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong một miền mở và thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann tại mọi điểm trong , thì hàm là giải tích trên .
Quan trọng: Nếu giải tích trên một miền mở, thì các hàm và là các hàm điều hòa trên miền đó.
Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Việc áp dụng định lý Cauchy-Riemann thường xoay quanh hai vấn đề chính: kiểm tra tính giải tích của hàm số và tìm hàm giải tích khi biết phần thực hoặc phần ảo.
Vấn đề 1: Tìm hàm giải tích khi biết phần thực hoặc phần ảo
Cho hàm là giải tích trong một miền mở . Khi đó, và là các hàm điều hòa và thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann:
Nếu biết , ta có thể tìm bằng cách lấy đạo hàm của theo và , sau đó sử dụng hai phương trình trên để thiết lập hệ phương trình cho và . Sau khi tìm được , ta ghép và lại để có .
Các bước thực hiện:
- Tính các đạo hàm riêng của : và .
- Sử dụng phương trình Cauchy-Riemann để tìm và :
- Từ , lấy nguyên hàm theo để tìm , trong đó hằng số tích phân có thể là một hàm của , ký hiệu là . Tức là .
- Lấy đạo hàm của vừa tìm được theo và cho bằng để xác định .
- Lấy nguyên hàm của theo để tìm .
- Thay vào biểu thức của . Thường thì sẽ có dạng (hằng số).
- Ghép .
Ví dụ: Tìm hàm giải tích biết phần thực là .
Bước 1: Tính đạo hàm của .
Bước 2: Sử dụng phương trình Cauchy-Riemann để tìm và .
Bước 3: Lấy nguyên hàm của theo .
Bước 4: Lấy đạo hàm của theo và cho bằng .
Ta có , suy ra .
Bước 5: Lấy nguyên hàm của theo .
Bước 6: Thay vào .
Bước 7: Ghép .
Để đưa về dạng chuẩn theo , ta có thể dùng công thức , hoặc nhận ra cấu trúc của nó. Ở đây, (với ).
Mẹo kiểm tra:
- Kiểm tra xem và có thỏa mãn phương trình Laplace (là hàm điều hòa) không.
- Kiểm tra xem đạo hàm riêng của có khớp với yêu cầu từ qua phương trình Cauchy-Riemann hay không.
Lỗi hay gặp:
- Sai sót trong phép tính đạo hàm hoặc nguyên hàm.
- Quên hằng số tích phân hoặc xử lý sai nó.
- Không kiểm tra điều kiện liên tục của đạo hàm riêng.
- Nhầm lẫn dấu trong phương trình Cauchy-Riemann.
Vấn đề 2: Xét tính khả vi của hàm phức bằng định lý Cauchy – Riemann
Để xác định một hàm phức có giải tích tại một điểm hay một miền hay không, ta có thể sử dụng định lý Cauchy-Riemann kết hợp với tính liên tục của các đạo hàm riêng.
Các bước thực hiện:
Viết hàm dưới dạng .
Tính các đạo hàm riêng cấp một của và : .
Kiểm tra tính liên tục của các đạo hàm riêng này trong miền đang xét.
Kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann tại mọi điểm trong miền đó hay không:
Nếu cả hai điều kiện trên đều được thỏa mãn, thì hàm là giải tích trên miền đó. Ngược lại, nếu một trong hai điều kiện không được thỏa mãn, hàm không giải tích.
Ví dụ: Xét hàm với .
Ta có , nên .
Do đó, và .
Tính các đạo hàm riêng:
=> .
=> .
Các đạo hàm riêng này liên tục với mọi .
Do đó, là giải tích trên .
Lỗi hay gặp:
- Nhầm lẫn giữa các đạo hàm riêng với và với .
- Quên kiểm tra tính liên tục của các đạo hàm riêng.
Đáp Án/Kết Quả
Các ví dụ và bài tập trong tài liệu gốc minh họa rõ cách áp dụng định lý Cauchy-Riemann để:
- Chứng minh một hàm là hàm điều hòa.
- Tìm phần ảo (hàm điều hòa liên hợp) khi biết phần thực của một hàm giải tích.
- Xác định xem một hàm số phức có giải tích tại một điểm hay một miền hay không dựa trên việc thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann và tính liên tục của các đạo hàm riêng.
Cụ thể, các bài tập đều yêu cầu áp dụng các phương pháp đã trình bày để giải quyết các vấn đề liên quan đến hàm điều hòa và hàm giải tích.
Kết Luận
Định lý Cauchy-Riemann là một công cụ tối quan trọng trong giải tích phức, nó không chỉ thiết lập mối liên hệ chặt chẽ giữa tính khả vi (giải tích) của hàm phức và đạo hàm riêng của phần thực và phần ảo, mà còn mở đường cho việc nghiên cứu sâu hơn về các tính chất của hàm giải tích, bao gồm cả việc tìm kiếm các hàm điều hòa và các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác của toán học và vật lý. Việc thành thạo áp dụng định lý Cauchy-Riemann là chìa khóa để giải quyết hiệu quả các bài toán về hàm phức.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
