Định Lý Đường Cao Tam Giác Vuông Và Chứng Minh Định Lý Pitago
Trong hình học, có những định lý tuy quen thuộc nhưng ẩn chứa sức mạnh kết nối sâu sắc, giúp ta khám phá những mối quan hệ toán học tưởng chừng phức tạp. Một trong số đó chính là định lý đường cao tam giác vuông, một công cụ mạnh mẽ không chỉ để phân tích cấu trúc bên trong tam giác vuông mà còn là chìa khóa để chứng minh định lý Pitago. Bài viết này sẽ đi sâu vào bản chất của định lý đường cao tam giác vuông, cách nó tạo ra các tam giác đồng dạng và ứng dụng nó để chứng minh định lý Pitago một cách trực quan và dễ hiểu.
Đề Bài
Hôm nay chúng ta sẽ học về Định lý đường cao tam giác vuông và dùng nó để chứng minh Định lý Pitago.
Chúng ta biết rằng hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có ba cặp góc bằng nhau và ba cặp cạnh tỷ lệ với nhau.
Nếu ai đó hỏi bạn, bạn thích nhất ví dụ nào về tam giác đồng dạng, bạn sẽ trả lời như thế nào?
Đối với tôi, có một ví dụ về tam giác đồng dạng mà tôi rất thích, đó là ví dụ về Định lý đường cao tam giác vuông.
Ví dụ đó là như sau. Bạn hãy vẽ một tam giác vuông $ABC$ (vuông ở đỉnh $B$). Sau đó bạn hãy vẽ đường cao $BH$ để chia hình tam giác $ABC$ thành hai hình tam giác vuông con $BHA$ và $BHC$. Bạn có thấy rằng tam giác mẹ $ABC$ đồng dạng với hai tam giác con $BHA$ và $BHC$ này không?
Tam giác vuông ABC và đường cao BH
Các bạn có thể vẽ hình trên giấy rồi dùng kéo cắt các hình tam giác vuông này như sau.
Các tam giác con khi cắt ra
Các bạn hãy nhìn tam giác mẹ $ABC$ và tam giác con $AHB$. Rõ ràng chúng có cặp góc vuông hiển nhiên bằng nhau angle B = angle H = 90^{o}. Ngoài ra chúng có chung một cặp góc $A$. Vậy chúng có hai cặp góc bằng nhau, cho nên đồng dạng với nhau.
So sánh tam giác ABC và AHB
Tỷ lệ giữa các cặp cạnh của hai tam giác $ABC$ và $AHB$:
\frac{{bf AB}}{{bf AH}} = \frac{BC}{HB} = \frac{{bf AC}}{{bf AB}}
cho chúng ta hằng đẳng thức
AB^2 = AH \times AC
Tỷ lệ giữa các cặp cạnh của tam giác mẹ $ABC$ và tam giác con $BHC$:
\frac{AB}{BH} = \frac{{bf BC}}{{bf HC}} = \frac{{bf AC}}{{bf BC}}
cho chúng ta hằng đẳng thức
CB^2 = CH \times CA
So sánh tam giác ABC và BHC
Tỷ lệ giữa các cặp cạnh của hai tam giác con $AHB$ và $BHC$:
\frac{{bf AH}}{{bf BH}} = \frac{{bf HB}}{{bf HC}} = \frac{AB}{BC}
cho chúng ta hằng đẳng thức
HB^2 = HA \times HC
Tóm lại, chúng ta có 3 hằng đẳng thức cho tam giác vuông. Chúng ta tạm gọi là đẳng thức bên phải, đẳng thức bên trái và đẳng thức ở giữa. Và đây chính là Định lý đường cao tam giác vuông.
Các đẳng thức của định lý đường cao tam giác vuông
Định lý đường cao tam giác vuông: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh góc vuông này bằng tích của hình chiếu của nó trên cạnh huyền với độ dài cạnh huyền. Bình phương độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
đẳng thức bên trái AB^2 = AH \times AC đẳng thức bên phải CB^2 = CH \times CA và đẳng thức ở giữa HB^2 = HA \times HC
Định Lý Pitago
Chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức ở trên để chứng minh Định lý Pitago.
Hình minh họa định lý Pitago
Định lý Pitago: Trong tam giác vuông $ABC$ vuông ở đỉnh $B$ thì
AB^2 + BC^2 = AC^2
Định lý Pitago nói rằng hai hình vuông nhỏ $ABXY$ và $BCPQ$ có tổng diện tích bằng hình vuông lớn $CAIJ$.
- Sử dụng hằng đẳng thức bên trái AB^2 = AH \times AC cho chúng ta thấy hình vuông nhỏ $ABXY$ có diện tích bằng hình chữ nhật $AHMI$.
- Còn hằng đẳng thức bên phải CB^2 = CH \times CA cho chúng ta thấy hình vuông nhỏ $BCPQ$ có diện tích đúng bằng hình chữ nhật $CHMJ$.
Như vậy hình vuông lớn $CAIJ$ rõ ràng bằng tổng của hai hình vuông nhỏ $ABXY$ và $BCPQ$, và định lý Pitago đã được chứng minh.
Chúng ta tạm dừng ở đây. Kỳ sau chúng ta sẽ xem xét vì sao, bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức trong tam giác vuông này, nhà toán học Gauss đã dựng được hình đa giác đều 17 cạnh.
Hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.
Bài tập về nhà.
- Chứng minh rằng nếu hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì cả ba cặp góc của hai tam giác này sẽ bằng nhau.
- Bạn hãy viết về một ví dụ tam giác đồng dạng mà bạn thích.
- Nếu bạn đã học về lượng giác, hãy dùng công thức lượng giác để giải thích các hằng đẳng thức hình học ở trên.
- Cho trước ba đoạn thẳng có độ dài $r$, $r a$ và $r b$. Dùng thước và compa, hãy
- dựng một đoạn thẳng có độ dài r (a+b)
- dựng một đoạn thẳng có độ dài r (a-b)
- dựng một đoạn thẳng có độ dài $r (ab)$
- dựng một đoạn thẳng có độ dài r (a/b)
- dựng một đoạn thẳng có độ dài r \sqrt{ab}
- Cho trước một đoạn thẳng có độ dài bằng $r$. Bằng thước và compa, bạn có thể dựng được những đoạn thẳng có độ dài bằng bao nhiêu?
- Vào google.com để tìm hiểu về các phép dựng hình.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.
