Định Lí và Chứng Minh Định Lí Toán Lớp 7: Lý Thuyết Sách Kết Nối Tri Thức

by Thầy Đông · January 15, 2026

Rate this post

Trong chương trình Toán lớp 7, Định lí và chứng minh định lí là một chủ đề nền tảng, giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng lập luận. Bài viết này cung cấp lý thuyết chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập thực hành theo sách giáo khoa Kết nối tri thức, đảm bảo học sinh nắm vững kiến thức cốt lõi và áp dụng hiệu quả.

H2: Đề Bài

Bài 1. Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”.

Bài 2. Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

Bài 3. Cho hình vẽ dưới đây. Biết Ax song song với Cy. Chứng minh rằng xAB^+BCy^=ABC^

Hình vẽ minh họa cho Bài 3

H2: Phân Tích Yêu Cầu

Các bài toán yêu cầu chúng ta thực hiện ba bước chính đối với mỗi định lí:

Vẽ hình: Biểu diễn các đối tượng hình học và mối quan hệ giữa chúng.
Viết giả thiết và kết luận: Xác định rõ các điều kiện cho trước và điều cần chứng minh.
Chứng minh định lí: Sử dụng lập luận toán học dựa trên các kiến thức đã biết để suy ra kết luận từ giả thiết.

Đối với Bài 3, yêu cầu là chứng minh một đẳng thức liên quan đến các góc, dựa trên giả thiết về hai đường thẳng song song và một hình vẽ cho trước.

H2: Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết các bài toán về định lí và chứng minh định lí, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và quy tắc sau:

Định lí: Là một khẳng định toán học được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Định lí thường có dạng “Nếu … thì …”.
- Phần “Nếu …” là giả thiết (GT).
- Phần “thì …” là kết luận (KL).
Chứng minh định lí: Là quá trình dùng lập luận logic để từ giả thiết suy ra kết luận.
Góc kề bù: Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180 độ.
Tia phân giác của một góc: Là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh hai góc bằng nhau.
Hai góc đối đỉnh: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc: Hai đường thẳng vuông góc tạo với nhau bốn góc vuông (90 độ).
Hai đường thẳng song song:
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
- Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
  - So le trong bằng nhau.
  - Đồng vị bằng nhau.
  - Trong cùng phía bù nhau.
Đường thẳng song song với đường thẳng: Nếu một đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng song song với đường thẳng còn lại.

Các công thức và ký hiệu toán học cần lưu ý:

Góc vuông: $90^\circ$
Góc kề bù: $180^\circ$
Tia phân giác: Chia đôi góc. Nếu $OC$ là tia phân giác của $angle AOB$ , thì $angle AOC = angle BOC = \frac{1}{2}angle AOB$ .
Ký hiệu vuông góc: $perp$
Ký hiệu song song: $//$
Ký hiệu góc: $angle</code></li> <li>Ký hiệu ba chấm: <code>[]\ldots$

H2: Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài 1: Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù

Vẽ hình:
Vẽ hai góc kề bù $angle aPy$ và $angle yPb$ . Gọi $Px$ là tia phân giác của $angle aPy$ và $Pz$ là tia phân giác của $angle yPb$ .

Hình vẽ minh họa Bài 1

Giả thiết:

$angle aPy</code> và <code>[]angle yPb</code> là hai góc kề bù.</li> <li><code>[]Px</code> là tia phân giác của <code>[]angle aPy</code>.</li> <li><code>[]Pz</code> là tia phân giác của <code>[]angle yPb</code>.</li> </ul> Kết luận: <ul> <li><code>[]angle xPz = 90^\circ</code> (hay <code>[]angle xPz</code> là góc vuông).</li> </ul> Chứng minh: Vì <code>[]Px</code> là tia phân giác của <code>[]angle aPy</code>, ta có: <code>[]angle xPy = \frac{1}{2}angle aPy</code> (1) Vì <code>[]Pz</code> là tia phân giác của <code>[]angle yPb</code>, ta có: <code>[]angle yPz = \frac{1}{2}angle yPb</code> (2) Cộng vế theo vế của (1) và (2): <code>[]angle xPy + angle yPz = \frac{1}{2}angle aPy + \frac{1}{2}angle yPb</code> <code>[]angle xPz = \frac{1}{2}(angle aPy + angle yPb)</code> Do <code>[]angle aPy</code> và <code>[]angle yPb</code> là hai góc kề bù, nên tổng số đo của chúng là <code>[]180^\circ</code> <code>[]angle aPy + angle yPb = 180^\circ</code> Thay vào biểu thức trên: <code>[]angle xPz = \frac{1}{2}(180^\circ)</code> <code>[]angle xPz = 90^\circ</code> Vậy, góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông. (đpcm) Mẹo kiểm tra: Kiểm tra lại xem tia phân giác có chia góc ban đầu thành hai góc bằng nhau không. Tổng hai góc kề bù có đúng bằng 180 độ không. Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa tia phân giác và cạnh góc, hoặc tính sai tổng góc kề bù. <h3>Bài 2: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba</h3> Vẽ hình: Vẽ đường thẳng <code>[]zz'$ . Vẽ đường thẳng $xx'</code> vuông góc với <code>[]zz'$ tại điểm A. Vẽ đường thẳng $yy'</code> vuông góc với <code>[]zz'$ tại điểm B.
Hình vẽ minh họa Bài 2
Giả thiết:
- xx' perp zz' tại A.
- yy' perp zz' tại B.
Kết luận:
- xx' // yy'.
Chứng minh:
Vì xx' perp zz' tại A, nên góc tạo bởi xx' và zz' tại A là góc vuông. Ta có thể xét góc angle xAz' hoặc angle xAz. Giả sử ta xét góc đồng vị angle xAz' và angle z'By'.
angle xAz' = 90^circ (do xx' perp zz')
Vì yy' perp zz' tại B, nên góc tạo bởi yy' và zz' tại B là góc vuông.
angle y'Bz' = 90^circ (do yy' perp zz')
Ta thấy angle xAz' và angle y'Bz' là hai góc đồng vị (nếu xét đường thẳng zz' cắt xx' và yy').
Vì angle xAz' = angle y'Bz' = 90^circ và chúng ở vị trí đồng vị, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, ta có:
xx' // yy' (đpcm)
Mẹo kiểm tra: Xác định đúng cặp góc đồng vị hoặc cặp góc so le trong khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng cần xét.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn vị trí các cặp góc (đồng vị, so le trong, trong cùng phía), hoặc áp dụng sai dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Bài 3: Chứng minh đẳng thức góc dựa trên đường song song
Vẽ hình:
Hình vẽ đã cho sẵn, bao gồm hai đường thẳng Ax và Cy song song với nhau, bị cắt bởi đường thẳng BC. Điểm B nằm trên Ax, điểm C nằm trên Cy. Đoạn thẳng BC tạo thành góc angle ABC với Ax và góc angle BCy với Cy.
Hình vẽ minh họa Bài 3
Giả thiết:
- Ax // Cy.
- B thuộc Ax, C thuộc Cy.
- ABC là một tam giác hoặc một hình có liên quan.
Kết luận:
- angle xAB + angle BCy = angle ABC.
Chứng minh:
Để chứng minh đẳng thức này, ta cần tạo ra một đường thẳng phụ song song với Ax và Cy đi qua điểm B.
Qua B, kẻ đường thẳng mn sao cho mn // Ax.
Hình vẽ bổ sung đường thẳng mn song song với Ax
Vì mn // Ax (theo cách dựng) và Ax // Cy (theo giả thiết), suy ra mn // Cy (tính chất bắc cầu của hai đường thẳng song song).
Bây giờ, ta xem xét các cặp góc so le trong và đồng vị:
1. Xét đường thẳng BC cắt hai đường thẳng song song Ax và mn.
 Góc angle xAB và góc angle ABm (hoặc angle mBC tùy cách đặt tên điểm) là hai góc so le trong. Do đó:
 angle xAB = angle ABm (1) (vì Ax // mn)
2. Xét đường thẳng BC cắt hai đường thẳng song song mn và Cy.
 Góc angle mBC và góc angle BCy là hai góc so le trong. Do đó:
 angle mBC = angle BCy (2) (vì mn // Cy)
Ta có góc angle ABC được tạo bởi hai góc angle ABm và angle mBC (nếu tia Bm nằm giữa hai tia BA và BC). Tuy nhiên, cách vẽ và giả thiết có thể làm B nằm trên Ax và C trên Cy. Góc ABC là góc tạo bởi AB và BC.
Nếu tia Bm nằm giữa tia BA và BC, thì angle ABC = angle ABm + angle mBC.
Nếu tia BC nằm giữa tia BA và Bm, thì angle ABm = angle ABC + angle CBm.
Dựa vào hình vẽ, ta thấy tia BC cắt đường thẳng Ax tại B và đường thẳng Cy tại C. Góc xAB là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC nếu ta kéo dài AB. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chứng minh xAB^+BCy^=ABC^. Cách hiểu đúng là xAB là góc tạo bởi tia Ax và tia AB.
Xem lại hình vẽ và đề bài: Ax và Cy là hai tia song song. B nằm trên Ax, C nằm trên Cy. Góc xAB là góc tạo bởi tia Ax và tia AB. Góc BCy là góc tạo bởi tia BC và tia Cy. Góc ABC là góc tạo bởi tia BA và tia BC.
Ta cần chứng minh angle xAB + angle BCy = angle ABC.
Cách dựng đường thẳng mn qua B song song với Ax và Cy là chính xác.
Ta có:
angle xAB = angle ABm (so le trong, Ax // mn)
angle BCy = angle BmC (so le trong, mn // Cy) - Lưu ý: B nằm trên mn, C nằm trên Cy.
Góc angle ABC là góc tạo bởi tia BA và tia BC.
Góc angle ABm là góc tạo bởi tia Bm và tia BA.
Góc angle mBC là góc tạo bởi tia Bm và tia BC.
Nếu tia Bm nằm giữa hai tia BA và BC, thì angle ABC = angle ABm + angle mBC.
Nếu tia BC nằm giữa hai tia BA và Bm, thì angle ABm = angle ABC + angle CBm.
Dựa vào hình vẽ, mn là đường thẳng đi qua B song song Ax. Tia AB là một phần của Ax. Tia BA là tia đối của AB.
Góc xAB là góc tạo bởi tia Ax và tia AB.
Góc ABC là góc tạo bởi tia BA và tia BC.
Ta cần làm rõ ký hiệu xAB. Thông thường, nếu B nằm trên tia Ax, thì góc xAB có thể hiểu là góc tạo bởi tia Ax và tia AB. Tuy nhiên, trong hình vẽ, B là đỉnh của góc ABC. Ax là một tia.
Giả sử Ax và Cy là hai đường thẳng song song. B là một điểm trên Ax, C là một điểm trên Cy. BC là đoạn thẳng nối B và C.
Góc xAB có thể hiểu là góc tạo bởi đường thẳng Ax và đoạn thẳng AB.
Góc ABC là góc tạo bởi đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BC.
Góc BCy là góc tạo bởi đoạn thẳng BC và tia Cy.
Cách chứng minh trong bài gốc là:
Qua B, kẻ đường thẳng mn song song với đường thẳng chứa tia Ax.
Vì Ax // mn nên xAB^ = B1^ (hai góc so le trong)
Vì Ax // mn mà Ax //Cy (giả thiết)
Do đó: mn // Cy (tính chất hai đường thẳng song song)
Vì mn // Cy nên BCy^ = B2^ (hai góc so le trong)
Từ (1) và (2) ta có: xAB^+BCy^=B1^+B2^
Mà ABC^=B1^+B2^
Vậy xAB^+BCy^=ABC^ (đpcm)
Ở đây, B1 và B2 là các góc được tạo ra bởi đường thẳng mn và đường thẳng BC. Cụ thể, B1 là góc so le trong với xAB (nếu xAB được hiểu là góc tạo bởi tia Ax và tia AB), và B2 là góc so le trong với BCy (nếu BCy là góc tạo bởi tia BC và tia Cy).
Và ABC là tổng của B1 và B2.
Giả sử mn là đường thẳng qua B song song Ax và Cy.
angle xAB và angle ABm là hai góc so le trong. Nếu xAB là góc tạo bởi tia Ax và tia AB, thì angle xAB = angle ABm.
angle BCy và angle BmC là hai góc so le trong. Nếu BCy là góc tạo bởi tia BC và tia Cy, thì angle BCy = angle BmC.
Góc angle ABC là góc tạo bởi tia BA và tia BC.
Ta cần chứng minh angle xAB + angle BCy = angle ABC.
Cách diễn giải của bài gốc:
B1 là góc so le trong với xAB.
B2 là góc so le trong với BCy.
Và ABC = B1 + B2.
Điều này chỉ đúng nếu tia BA nằm giữa hai tia Bm và BC, hoặc tia BC nằm giữa hai tia BA và Bm.
Trong hình vẽ, mn là đường thẳng đi qua B. Ax là tia. Cy là tia.
Ax // mn và Ax // Cy nên mn // Cy.
angle xAB và angle ABm là so le trong.
angle BCy và angle BmC là so le trong.
Góc ABC là góc tạo bởi BA và BC.
Nếu B1 = angle ABm và B2 = angle BmC, thì ABC = B1 + B2.
Điều này có nghĩa là tia Bm nằm giữa hai tia BA và BC.
Và xAB = B1, BCy = B2.
Do đó xAB + BCy = B1 + B2 = ABC.
Mẹo kiểm tra: Vẽ thêm đường thẳng song song qua đỉnh của góc ở giữa (trong trường hợp này là B). Kiểm tra các cặp góc so le trong hoặc đồng vị.
Lỗi hay gặp: Nhầm lẫn giữa góc so le trong và góc đồng vị, hoặc không xác định đúng tia/đường thẳng tạo thành góc.
H2: Đáp Án/Kết Quả
Bài 1: Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông (90^circ).
Bài 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau (xx' // yy').
Bài 3: angle xAB + angle BCy = angle ABC.
Conclusion
Nắm vững khái niệm định lí, giả thiết, kết luận và cách chứng minh định lí là kỹ năng cốt lõi trong chương trình Toán lớp 7. Việc vận dụng các kiến thức về góc kề bù, tia phân giác, đường thẳng vuông góc, song song và các dấu hiệu nhận biết chúng giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học một cách logic và chính xác. Thực hành thường xuyên với các bài tập sẽ củng cố sự hiểu biết và nâng cao khả năng suy luận toán học.
Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 15, 2026 by Thầy Đông
Thầy Đông
Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.