Giải Toán 10 Bài 2 Chương 2: Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn (Sách Cánh Diều)

by Thầy Đông · January 6, 2026

Rate this post

Trong chương trình Toán học lớp 10, Giải Toán 10 Bài 2 Chương 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một chủ đề quan trọng, giúp học sinh nắm vững cách giải và biểu diễn miền nghiệm. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức chi tiết, phương pháp giải bài tập một cách khoa học và dễ hiểu nhất, tuân thủ theo sách giáo khoa Cánh Diều, đảm bảo tính chính xác và hữu ích cho việc ôn tập.

Đề Bài

Nội dung của bài 2, chương 2, sách giáo khoa Toán 10 Cánh Diều xoay quanh khái niệm và phương pháp giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bài tập trong sách tập trung vào việc:

Xác định nghiệm của hệ bất phương trình.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
Áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào các bài toán thực tế.

Phân Tích Yêu Cầu

Khi tiếp cận bài toán về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh cần hiểu rõ các yêu cầu sau:

Xác định tập nghiệm: Tìm tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ.
Biểu diễn miền nghiệm: Minh họa tập nghiệm này trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Miền nghiệm thường là một vùng được giới hạn bởi các đường thẳng và có thể bao gồm hoặc không bao gồm biên.
Ứng dụng: Sử dụng các kiến thức về bất phương trình để mô hình hóa và giải quyết các vấn đề thực tế, thường liên quan đến tối ưu hóa hoặc ràng buộc.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta cần ôn lại và áp dụng các kiến thức sau:

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Nhắc lại cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b < 0 (hoặc ≤, >, ≥).

2. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng tổng quát là ax + by < c (hoặc ≤, >, ≥), trong đó a, b, c là các số thực đã cho, và a, b không đồng thời bằng 0.
Biểu diễn miền nghiệm:
- Xét bất phương trình ax + by < c. Đầu tiên, ta xét đường thẳng d có phương trình ax + by = c.
- Đường thẳng d chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng.
- Để xác định nửa mặt phẳng nào là miền nghiệm của bất phương trình, ta chọn một điểm bất kỳ không nằm trên đường thẳng d (thường là gốc tọa độ O(0, 0) nếu nó không thuộc d).
- Thay tọa độ của điểm đó vào bất phương trình.
  - Nếu mệnh đề nhận được là đúng, nửa mặt phẳng chứa điểm đó là miền nghiệm.
  - Nếu mệnh đề nhận được là sai, nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm.
- Nếu bất phương trình có dấu <, > thì đường thẳng d không thuộc miền nghiệm (vẽ nét đứt).
- Nếu bất phương trình có dấu ≤, ≥ thì đường thẳng d thuộc miền nghiệm (vẽ nét liền).

3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa: Một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một tập hợp gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Nghiệm của hệ: Một cặp số (x_0, y_0) là một nghiệm của hệ nếu nó thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ.
Miền nghiệm của hệ: Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.

Quy trình biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Vẽ các đường thẳng biên: Với mỗi bất phương trình ax + by < c (hoặc ≤, >, ≥) trong hệ, ta xét đường thẳng ax + by = c. Vẽ các đường thẳng này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình: Đối với mỗi đường thẳng, xác định nửa mặt phẳng tương ứng là miền nghiệm của bất phương trình đó, sử dụng điểm thử O(0,0) hoặc một điểm bất kỳ khác. Lưu ý vẽ nét liền hay nét đứt cho đường thẳng biên tùy theo dấu bất đẳng thức.
Tìm giao của các miền nghiệm: Miền nghiệm của hệ là phần chung (giao) của tất cả các miền nghiệm đã xác định ở bước 2. Vùng giao này chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ đi qua các dạng bài tập thường gặp.

Dạng 1: Kiểm tra một cặp số có phải là nghiệm của hệ bất phương trình hay không.

Yêu cầu: Cho một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và một hoặc nhiều cặp số (x, y). Kiểm tra xem các cặp số này có phải là nghiệm của hệ hay không.

Cách làm:
Thay tọa độ của từng cặp số (x, y) vào tất cả các bất phương trình trong hệ.

Nếu cặp số thỏa mãn tất cả các bất phương trình, thì nó là nghiệm của hệ.
Nếu cặp số không thỏa mãn ít nhất một bất phương trình, thì nó không là nghiệm của hệ.

Ví dụ: Kiểm tra xem cặp (1, 2) có phải là nghiệm của hệ sau không:
{ x + y < 5
{ 2x - y ≥ 0

Giải:

Thay x = 1, y = 2 vào bất phương trình thứ nhất: 1 + 2 < 5 (3 < 5), mệnh đề này đúng.
Thay x = 1, y = 2 vào bất phương trình thứ hai: 2(1) - 2 ≥ 0 (2 - 2 ≥ 0 hay 0 ≥ 0), mệnh đề này cũng đúng.
Vì cặp (1, 2) thỏa mãn cả hai bất phương trình, nên nó là nghiệm của hệ.

Mẹo kiểm tra: Luôn thay giá trị vào từng bất phương trình một cách cẩn thận. Nếu có một bất phương trình không thỏa mãn, có thể dừng lại và kết luận ngay.

Lỗi hay gặp: Quên kiểm tra tất cả các bất phương trình hoặc tính toán sai khi thay số.

Dạng 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Yêu cầu: Vẽ miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.

Cách làm:
Áp dụng quy trình đã nêu ở phần Kiến thức/Nền tảng.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của hệ:
{ x + y ≤ 3
{ x - y > 0

Giải:

Xét bất phương trình thứ nhất: x + y ≤ 3
- Đường thẳng biên là d1: x + y = 3.
- Lấy điểm thử O(0, 0): 0 + 0 ≤ 3 (0 ≤ 3), mệnh đề đúng.
- Do đó, miền nghiệm của bất phương trình này là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, kể cả đường thẳng d1 (vẽ nét liền).
Xét bất phương trình thứ hai: x - y > 0
- Đường thẳng biên là d2: x - y = 0 hay y = x.
- Lấy điểm thử O(0, 0): 0 - 0 > 0 (0 > 0), mệnh đề sai.
- Do đó, miền nghiệm của bất phương trình này là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, không kể đường thẳng d2 (vẽ nét đứt).
Tìm giao của hai miền nghiệm:
- Vẽ hai đường thẳng d1 và d2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
- Miền nghiệm của hệ là phần mặt phẳng nằm phía dưới (hoặc bên trái) đường thẳng d1 (bao gồm d1) và nằm phía bên phải đường thẳng d2 (không bao gồm d2).

Mẹo kiểm tra: Sau khi vẽ, chọn một điểm trong vùng giao (ví dụ: điểm (1, 0) cho hệ trên) và thay vào cả hai bất phương trình gốc để xác nhận nó thỏa mãn. Chọn một điểm ngoài vùng giao và kiểm tra, nó phải không thỏa mãn ít nhất một trong hai bất phương trình.

Lỗi hay gặp:

Vẽ sai đường thẳng biên (tính sai tọa độ giao điểm, sai hệ số).
Xác định sai nửa mặt phẳng (chọn sai điểm thử hoặc nhầm lẫn dấu).
Sử dụng sai loại nét vẽ cho đường biên (liền hay đứt).
Không tìm đúng phần giao của các miền nghiệm.

Dạng 3: Bài toán thực tế liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Yêu cầu: Đọc hiểu bài toán thực tế, thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và sau đó giải nó (thường là tìm miền nghiệm hoặc một nghiệm cụ thể).

Cách làm:

Chọn biến: Xác định các đại lượng cần tìm trong bài toán và đặt ẩn x, y cho chúng. Các ẩn này thường phải không âm.
Thiết lập hệ bất phương trình: Dựa vào các điều kiện, ràng buộc trong bài toán để viết thành các bất phương trình bậc nhất hai ẩn tương ứng.
Giải hệ bất phương trình: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
Trả lời câu hỏi: Dựa vào miền nghiệm tìm được, trả lời câu hỏi của bài toán (ví dụ: tìm một cặp (x, y) thỏa mãn, hoặc tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của một biểu thức nào đó nếu bài toán yêu cầu tìm cực trị).

Ví dụ: (Dựa trên Bài 4 trang 29 SGK Cánh Diều)
Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ: kiểu A và kiểu B. Mỗi chiếc mũ kiểu A cần 1 giờ để cắt, 2 giờ để may và bán với giá 50 nghìn đồng. Mỗi chiếc mũ kiểu B cần 2 giờ để cắt, 1 giờ để may và bán với giá 60 nghìn đồng. Phân xưởng có tối đa 8 giờ cắt và 7 giờ may trong một ngày. Gọi x là số chiếc mũ kiểu A và y là số chiếc mũ kiểu B được sản xuất trong một ngày. Hãy lập hệ bất phương trình cho bài toán và xác định miền nghiệm của x và y.

Giải:

Chọn biến:
- x: số chiếc mũ kiểu A sản xuất trong một ngày (x ≥ 0).
- y: số chiếc mũ kiểu B sản xuất trong một ngày (y ≥ 0).
Thiết lập hệ bất phương trình:
- Ràng buộc về thời gian cắt: Tổng thời gian cắt không vượt quá 8 giờ.
  1x + 2y ≤ 8
- Ràng buộc về thời gian may: Tổng thời gian may không vượt quá 7 giờ.
  2x + 1y ≤ 7
- Ràng buộc về số lượng sản phẩm: Số lượng mũ không thể âm.
  x ≥ 0
  y ≥ 0
Vậy hệ bất phương trình là:
{ x + 2y ≤ 8
{ 2x + y ≤ 7
{ x ≥ 0
{ y ≥ 0
Xác định miền nghiệm:
Chúng ta cần biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy, với x ≥ 0 và y ≥ 0 nghĩa là ta chỉ xét góc phần tư thứ nhất.
- Xét x + 2y ≤ 8: Đường thẳng d1: x + 2y = 8.
  Khi x=0 thì y=4. Điểm (0, 4).
  Khi y=0 thì x=8. Điểm (8, 0).
  Lấy O(0,0): 0 + 2(0) ≤ 8 (0 ≤ 8), đúng. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa O, kể cả d1.
- Xét 2x + y ≤ 7: Đường thẳng d2: 2x + y = 7.
  Khi x=0 thì y=7. Điểm (0, 7).
  Khi y=0 thì x = 7/2 = 3.5. Điểm (3.5, 0).
  Lấy O(0,0): 2(0) + 0 ≤ 7 (0 ≤ 7), đúng. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa O, kể cả d2.
- Xét x ≥ 0 và y ≥ 0: Giới hạn miền nghiệm trong góc phần tư thứ nhất.
Biểu diễn: Vẽ các đường thẳng d1, d2, trục Ox và Oy. Miền nghiệm là vùng đa giác lồi có 4 đỉnh được tạo bởi giao của các đường này trong góc phần tư thứ nhất.
- Đỉnh 1: Giao của x=0 và y=0 là O(0,0).
- Đỉnh 2: Giao của y=0 và 2x + y = 7 là (3.5, 0).
- Đỉnh 3: Giao của x=0 và x + 2y = 8 là (0, 4).
- Đỉnh 4: Giao của x + 2y = 8 và 2x + y = 7.
  Từ x + 2y = 8 suy ra x = 8 - 2y. Thay vào phương trình thứ hai:
  2(8 - 2y) + y = 7
  16 - 4y + y = 7
  16 - 3y = 7
  3y = 9
  y = 3
  Thay y=3 vào x = 8 - 2y: x = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2.
  Vậy đỉnh thứ tư là (2, 3).
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh (0, 0), (3.5, 0), (2, 3), (0, 4), bao gồm cả biên.
Trả lời: Miền nghiệm cho phép sản xuất x chiếc mũ kiểu A và y chiếc mũ kiểu B là vùng tứ giác có các đỉnh (0, 0), (3.5, 0), (2, 3), (0, 4), bao gồm cả các cạnh và các đỉnh. Vì x và y là số lượng mũ, chúng phải là các số nguyên không âm. Do đó, các nghiệm nguyên trong miền này mới là các cặp số lượng mũ thực tế có thể sản xuất được.

Mẹo kiểm tra: Đảm bảo tất cả các ràng buộc (thời gian, số lượng, không âm) đều được chuyển đổi thành bất phương trình chính xác. Vẽ lại các đường thẳng và kiểm tra miền giao cẩn thận.

Lỗi hay gặp:

Thiết lập sai bất phương trình từ dữ kiện bài toán.
Quên các điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0.
Tính toán sai tọa độ giao điểm giữa các đường thẳng.
Biểu diễn sai miền nghiệm (vẽ sai đường biên, tô sai miền).

Đáp Án/Kết Quả

Nghiệm của hệ bất phương trình: Là tập hợp các cặp (x, y) thỏa mãn đồng thời mọi bất phương trình trong hệ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình: Là hình ảnh biểu diễn tập hợp các nghiệm trên mặt phẳng tọa độ. Miền nghiệm thường là một vùng đa giác lồi (trong trường hợp của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn).
Bài toán ứng dụng: Kết quả giải hệ bất phương trình cung cấp các khả năng thực tế cho bài toán, giúp đưa ra quyết định hoặc tối ưu hóa.

Kết Luận

Việc nắm vững cách giải và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là khi áp dụng vào các bài toán thực tế. Bằng cách hiểu rõ định nghĩa, quy trình và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin chinh phục dạng bài này và các bài toán phức tạp hơn. Chủ đề này là nền tảng cho nhiều kiến thức sau này, bao gồm cả quy hoạch tuyến tính.

Bài viết này cung cấp chi tiết về cách Giải Toán 10 Bài 2 Chương 2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sách Cánh Diều, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết để làm tốt các bài tập liên quan.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 6, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.