Giải Toán 10 Bài 2 Trang 18 Cánh Diều: Tập Hợp Số Thực Và Quan Hệ Bao Hàm

Giới thiệu

Chào mừng bạn đến với chuyên mục giải toán 10 bài 2 trang 18 thuộc sách Cánh Diều tập 1. Bài viết này sẽ đi sâu vào việc giải thích chi tiết bài tập về tập hợp số thực và quan hệ bao hàm (ký hiệu “⊂”), giúp học sinh nắm vững kiến thức nền tảng quan trọng này. Chúng ta sẽ khám phá ý nghĩa của các ký hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng, cách biểu diễn chúng trên trục số và đặc biệt là cách sắp xếp chúng theo thứ tự quan hệ bao hàm một cách logic và chính xác. Bên cạnh đó, bài viết còn cung cấp kiến thức bổ trợ về các loại tập hợp số khác nhau, những lỗi thường gặp khi làm bài và phương pháp kiểm tra kết quả.

Đề Bài

Sắp xếp các tập hợp sau theo quan hệ “⊂”: [2; 5], (2; 5), [2; 5), (1; 5]

Phân Tích Yêu Cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta sắp xếp bốn tập hợp số thực đã cho theo quan hệ bao hàm, tức là từ tập hợp “nhỏ nhất” (bị bao hàm) đến tập hợp “lớn nhất” (bao hàm các tập khác). Để làm được điều này, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của từng loại tập hợp được biểu diễn bằng các ký hiệu khoảng, đoạn và nửa khoảng, cũng như cách chúng tương tác với nhau trên trục số.

Cụ thể, chúng ta cần xác định:

1. Định nghĩa chính xác của mỗi tập hợp: [2; 5], (2; 5), [2; 5), (1; 5].
2. Biểu diễn trực quan của mỗi tập hợp trên trục số.
3. So sánh mối quan hệ giữa các cặp tập hợp để xác định tập nào là tập con của tập nào.
4. Sắp xếp cuối cùng theo đúng thứ tự quan hệ bao hàm.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các khái niệm sau đây về tập hợp số thực và ký hiệu biểu diễn:

1. Các Loại Tập Hợp Số Thực

Trong toán học, chúng ta thường làm việc với các tập hợp số thực được biểu diễn dưới dạng khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Mỗi ký hiệu mang một ý nghĩa riêng:

• Đoạn: Ký hiệu [a; b] (hoặc [a; b] trong LaTeX). Tập hợp này bao gồm tất cả các số thực x sao cho a ≤ x ≤ b. Cả hai đầu mút a và b đều thuộc tập hợp.

  • Ví dụ: [2; 5] là tập hợp các số thực x thỏa mãn 2 ≤ x ≤ 5.

• Khoảng: Ký hiệu (a; b) (hoặc (a; b) trong LaTeX). Tập hợp này bao gồm tất cả các số thực x sao cho a < x < b. Hai đầu mút a và b không thuộc tập hợp.

  • Ví dụ: (2; 5) là tập hợp các số thực x thỏa mãn 2 < x < 5.

• Nửa khoảng: Có hai dạng:

  • [a; b) (hoặc [a; b) trong LaTeX): Bao gồm các số thực x thỏa mãn a ≤ x < b. Đầu mút a thuộc tập hợp, b không thuộc.
    • Ví dụ: [2; 5) là tập hợp các số thực x thỏa mãn 2 ≤ x < 5.
  • (a; b] (hoặc (a; b] trong LaTeX): Bao gồm các số thực x thỏa mãn a < x ≤ b. Đầu mút a không thuộc tập hợp, b thuộc.
    • Ví dụ: (1; 5] là tập hợp các số thực x thỏa mãn 1 < x ≤ 5.

2. Biểu Diễn Trên Trục Số

Việc biểu diễn các tập hợp số thực trên trục số giúp chúng ta hình dung rõ ràng hơn về các tập hợp này và mối quan hệ giữa chúng.

• Điểm mút thuộc tập hợp được biểu diễn bằng một dấu chấm đặc (•).
• Điểm mút không thuộc tập hợp được biểu diễn bằng một vòng tròn rỗng (○).

Áp dụng cho các tập hợp trong bài toán:

• [2; 5]: Biểu diễn trên trục số là một đoạn thẳng từ 2 đến 5, với cả điểm 2 và điểm 5 đều được tô đặc.

  -----•----------•-----
      2          5

• (2; 5): Biểu diễn trên trục số là một đoạn thẳng từ 2 đến 5, với cả điểm 2 và điểm 5 đều là vòng tròn rỗng.

  -----○----------○-----
      2          5

• [2; 5): Biểu diễn trên trục số là một đoạn thẳng từ 2 đến 5, điểm 2 tô đặc và điểm 5 vòng tròn rỗng.

  -----•----------○-----
      2          5

• (1; 5]: Biểu diễn trên trục số là một đoạn thẳng từ 1 đến 5, điểm 1 vòng tròn rỗng và điểm 5 tô đặc.

  -----○----------•-----
      1          5

3. Quan Hệ Bao Hàm (Tập Con)

Một tập hợp A được gọi là tập con của tập hợp B (ký hiệu A ⊂ B) nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B.

Khi xét quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số thực biểu diễn bằng khoảng/đoạn/nửa khoảng trên trục số, điều này có nghĩa là: Tập hợp A là tập con của tập hợp B nếu như biểu diễn của A nằm hoàn toàn bên trong hoặc trùng với biểu diễn của B, và các đầu mút của A phải “nằm trong hoặc tại” các đầu mút tương ứng của B theo quy tắc bao hàm.

Cụ thể, xét hai tập hợp dạng khoảng/đoạn:

• [a; b] là tập con của [c; d] nếu c ≤ a và b ≤ d.
• (a; b) là tập con của (c; d) nếu c ≤ a và b ≤ d.
• [a; b) là tập con của [c; d) nếu c ≤ a và b ≤ d.
• (a; b] là tập con của (c; d] nếu c ≤ a và b ≤ d.
• Và các trường hợp kết hợp giữa khoảng, đoạn, nửa khoảng:
  • [a; b] là tập con của [c; d] nếu c ≤ a và b ≤ d.
  • (a; b) là tập con của [c; d] nếu c ≤ a và b ≤ d.
  • [a; b) là tập con của [c; d] nếu c ≤ a và b ≤ d.
  • (a; b] là tập con của [c; d] nếu c ≤ a và b ≤ d.
  • Và tương tự khi tập hợp bao hàm là khoảng hay nửa khoảng.

Quan trọng nhất là:

• Đầu mút bên trái của tập con phải lớn hơn hoặc bằng đầu mút bên trái của tập bao hàm.
• Đầu mút bên phải của tập con phải nhỏ hơn hoặc bằng đầu mút bên phải của tập bao hàm.
• Nếu đầu mút của tập bao hàm là mở (ví dụ: a trong (a; b)), thì đầu mút tương ứng của tập con cũng phải mở hoặc nằm bên trong. Nếu đầu mút của tập bao hàm là đóng (ví dụ: a trong [a; b)), thì đầu mút tương ứng của tập con có thể là mở hoặc đóng.

Ví dụ:

• (2; 5) là con của [2; 5) vì 2 ≥ 2 (đầu mút trái của (2;5) là 2, đầu mút trái của [2;5) là 2, và 2 không nhỏ hơn 2; hơn nữa, 2 của (2;5) là “mở” còn 2 của [2;5) là “đóng” nên 2 của (2;5) vẫn nằm trong [2;5)) và 5 ≤ 5.
• [2; 5) là con của [2; 5] vì 2 ≥ 2 và 5 ≤ 5.

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành sắp xếp bốn tập hợp đã cho dựa trên các kiến thức đã ôn tập.

Bước 1: Phân tích từng tập hợp

Chúng ta cần làm rõ từng tập hợp:

1. Tập hợp [2; 5]: Đây là một đoạn số thực. Nó bao gồm tất cả các số thực x sao cho 2 ≤ x ≤ 5. Các đầu mút 2 và 5 đều thuộc tập hợp này. Trên trục số, nó là đoạn thẳng từ 2 đến 5, bao gồm cả 2 và 5.

2. Tập hợp (2; 5): Đây là một khoảng số thực. Nó bao gồm tất cả các số thực x sao cho 2 < x < 5. Các đầu mút 2 và 5 không thuộc tập hợp này. Trên trục số, nó là đoạn thẳng từ 2 đến 5, không bao gồm 2 và 5.

3. Tập hợp [2; 5): Đây là một nửa khoảng số thực. Nó bao gồm tất cả các số thực x sao cho 2 ≤ x < 5. Đầu mút 2 thuộc tập hợp, còn đầu mút 5 không thuộc. Trên trục số, nó là đoạn thẳng từ 2 đến 5, bao gồm 2 nhưng không bao gồm 5.

4. Tập hợp (1; 5]: Đây cũng là một nửa khoảng số thực. Nó bao gồm tất cả các số thực x sao cho 1 < x ≤ 5. Đầu mút 1 không thuộc tập hợp, còn đầu mút 5 thuộc. Trên trục số, nó là đoạn thẳng từ 1 đến 5, không bao gồm 1 nhưng bao gồm 5.

Bước 2: So sánh các tập hợp và xác định quan hệ bao hàm

Để sắp xếp theo quan hệ “⊂”, chúng ta cần xác định tập hợp nào nằm hoàn toàn trong tập hợp nào.

So sánh (2; 5) và [2; 5):

• Đầu mút trái: (2; 5) có đầu mút trái là 2 (mở), [2; 5) có đầu mút trái là 2 (đóng). Vì 2 của (2; 5) không thuộc (2; 5) còn 2 của [2; 5) thì thuộc [2; 5). Tuy nhiên, về mặt biểu diễn trên trục số, điểm 2 của (2; 5) nằm ngay sau điểm 2 (vòng tròn rỗng), còn điểm 2 của [2; 5) là điểm 2 được tô đặc. Như vậy, mọi số x thỏa mãn 2 < x cũng thỏa mãn 2 ≤ x.
• Đầu mút phải: (2; 5) có đầu mút phải là 5 (mở), [2; 5) có đầu mút phải là 5 (mở). Mọi số x thỏa mãn x < 5 cũng thỏa mãn x < 5.
• Kết luận: Vì mọi phần tử x của (2; 5) (tức 2 < x < 5) đều thỏa mãn 2 ≤ x < 5, nên (2; 5) là tập con của [2; 5).
  (2; 5) subset [2; 5)

So sánh [2; 5) và [2; 5]:

• Đầu mút trái: [2; 5) có đầu mút trái là 2 (đóng), [2; 5] có đầu mút trái là 2 (đóng). 2 ≤ 2.
• Đầu mút phải: [2; 5) có đầu mút phải là 5 (mở), [2; 5] có đầu mút phải là 5 (đóng). Mọi số x thỏa mãn x < 5 cũng thỏa mãn x ≤ 5.
• Kết luận: Mọi phần tử x của [2; 5) (tức 2 ≤ x < 5) đều thỏa mãn 2 ≤ x ≤ 5, nên [2; 5) là tập con của [2; 5].
  [2; 5) subset [2; 5]

Kết hợp hai so sánh trên, ta có chuỗi bao hàm: (2; 5) subset [2; 5) subset [2; 5].

Bây giờ, xem xét tập hợp (1; 5]:
Tập hợp này có đầu mút trái là 1 (mở). Cả ba tập hợp trên ((2; 5), [2; 5), [2; 5]) đều có đầu mút trái là 2 hoặc lớn hơn 2. Điều này có nghĩa là tập hợp (1; 5] sẽ bao hàm tất cả các tập hợp trên vì nó bắt đầu từ một số nhỏ hơn (1 so với 2).

So sánh [2; 5] và (1; 5]:

• Đầu mút trái: [2; 5] có đầu mút trái là 2 (đóng), (1; 5] có đầu mút trái là 1 (mở). Mọi số x thỏa mãn 2 ≤ x cũng thỏa mãn 1 < x.
• Đầu mút phải: [2; 5] có đầu mút phải là 5 (đóng), (1; 5] có đầu mút phải là 5 (đóng). 5 ≤ 5.
• Kết luận: Mọi phần tử x của [2; 5] (tức 2 ≤ x ≤ 5) đều thỏa mãn 1 < x ≤ 5, nên [2; 5] là tập con của (1; 5].
  [2; 5] subset (1; 5]

Kiểm tra lại toàn bộ chuỗi bao hàm:
Chúng ta có:

• (2; 5) subset [2; 5)
• [2; 5) subset [2; 5]
• [2; 5] subset (1; 5]

Ghép lại, ta được chuỗi bao hàm hoàn chỉnh:
(2; 5) subset [2; 5) subset [2; 5] subset (1; 5]

Mẹo Kiểm Tra

• Trục số: Vẽ trục số và đánh dấu 4 tập hợp này lên cùng một trục. Bạn sẽ thấy rõ ràng tập nào nằm gọn trong tập nào.

  • Vẽ điểm 1, 2, 5 trên trục.
  • Biểu diễn (1; 5] (vòng tròn rỗng tại 1, chấm đặc tại 5).
  • Biểu diễn [2; 5] (chấm đặc tại 2, chấm đặc tại 5). Dễ thấy nó nằm trong (1; 5].
  • Biểu diễn [2; 5) (chấm đặc tại 2, vòng tròn rỗng tại 5). Dễ thấy nó nằm trong [2; 5].
  • Biểu diễn (2; 5) (vòng tròn rỗng tại 2, vòng tròn rỗng tại 5). Dễ thấy nó nằm trong [2; 5).

• Logic đầu mút:

  • Để A subset B, đầu mút trái của A phải lớn hơn hoặc bằng đầu mút trái của B (hoặc nếu B có đầu mút trái mở, thì A cũng có thể có đầu mút trái tương ứng).
  • Đầu mút phải của A phải nhỏ hơn hoặc bằng đầu mút phải của B (hoặc nếu B có đầu mút phải mở, thì A cũng có thể có đầu mút phải tương ứng).
  • Quan trọng là: một đầu mút đóng không thể là tập con của đầu mút mở tương ứng. Ví dụ: [2; x] không thể là tập con của (2; y).

Lỗi Hay Gặp

1. Nhầm lẫn ký hiệu mở/đóng: Quên mất sự khác biệt giữa dấu ngoặc vuông [ ] (bao gồm đầu mút) và dấu ngoặc tròn ( ) (không bao gồm đầu mút). Điều này dẫn đến việc xác định sai mối quan hệ bao hàm, đặc biệt là khi so sánh các đầu mút.
2. Nhầm lẫn thứ tự trên trục số: Sắp xếp sai thứ tự các số 1, 2, 5 trên trục số.
3. Hiểu sai quan hệ “⊂”: Coi hai tập hợp là bằng nhau hoặc nhầm lẫn giữa tập con và tập mẹ. Ví dụ, nhầm A ⊂ B với B ⊂ A.
4. Áp dụng sai điều kiện bao hàm: Khi [a; b] subset [c; d], điều kiện đúng là c le a và b le d. Một số học sinh có thể nhầm lẫn hoặc đảo ngược điều kiện này.
5. Quên xét tất cả các đầu mút: Chỉ tập trung vào một đầu mút mà quên mất đầu mút còn lại, dẫn đến kết luận sai.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi phân tích và so sánh, ta có thứ tự sắp xếp các tập hợp theo quan hệ bao hàm “⊂” là:

(2; 5) ⊂ [2; 5) ⊂ [2; 5] ⊂ (1; 5]

Viết đầy đủ bằng ký hiệu KaTeX:
(2; 5) subset [2; 5) subset [2; 5] subset (1; 5)

Kết Luận

Việc nắm vững định nghĩa và cách biểu diễn các loại tập hợp số thực như khoảng, đoạn, nửa khoảng là chìa khóa để giải quyết bài toán sắp xếp theo quan hệ bao hàm trong giải toán 10 bài 2 trang 18 sách Cánh Diều. Thông qua việc phân tích từng tập hợp, biểu diễn trên trục số và so sánh cẩn thận các đầu mút, chúng ta đã xác định được thứ tự chính xác: (2; 5) subset [2; 5) subset [2; 5] subset (1; 5]. Hãy luôn ghi nhớ các quy tắc về đầu mút mở và đóng để tránh những sai sót không đáng có và tự tin chinh phục các dạng bài tập tương tự.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 8, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.