Giải Toán 10 Cánh Diều Bài 6 Trang 98: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ

by Thầy Đông · January 7, 2026

Rate this post

Chào mừng bạn đến với bài viết chi tiết về giải toán 10 bài 6 trang 98, sách Cánh Diều, tập 1. Trong chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ, bài toán này đòi hỏi chúng ta vận dụng linh hoạt các định nghĩa và tính chất để chứng minh các đẳng thức liên quan đến đường cao trong một tam giác nhọn. Bài viết sẽ đi sâu vào phân tích, hướng dẫn giải chi tiết và cung cấp các mẹo hữu ích, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục các dạng bài tương tự.

Đề Bài

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) AB→. AH→=AC→.AH→;

b) AB→ .BC→=HB→. BC→.

Minh họa bài toán hình học về tam giác và đường cao

Phân Tích Yêu Cầu

Đề bài yêu cầu chứng minh hai đẳng thức liên quan đến tích vô hướng của các vectơ trong một tam giác nhọn. Yếu tố quan trọng được cho trước là tam giác ABC nhọn và AH là đường cao, điều này ngụ ý rằng điểm H nằm trên đoạn BC và vectơ AH vuông góc với vectơ BC. Chúng ta cần khai thác mối quan hệ này để biến đổi các biểu thức tích vô hướng về dạng đã cho.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa tích vô hướng:
- Tích vô hướng của hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ là một số, ký hiệu là $vec{a} \cdot vec{b}$ , được xác định bởi:
  $vec{a} \cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| \cos (alpha)$
  trong đó $alpha$ là góc giữa hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ .
- Nếu hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$ vuông góc với nhau, thì tích vô hướng của chúng bằng 0:
  $vec{a} perp vec{b} implies vec{a} \cdot vec{b} = 0$
Các tính chất của tích vô hướng:
- Giao hoán: $vec{a} \cdot vec{b} = vec{b} \cdot vec{a}$
- Phân phối đối với phép cộng vectơ: $vec{a} \cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} \cdot vec{b} + vec{a} \cdot vec{c}$
- Nhân với một số: $(kvec{a}) \cdot vec{b} = k(vec{a} \cdot vec{b})$
Vectơ trong hình học:
- Nếu H là hình chiếu của A lên đường thẳng chứa vectơ u, thì $vec{a} \cdot vec{u} = vec{AH} \cdot vec{u}$ .

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Lưu ý: Tam giác ABC nhọn nên chân đường cao H sẽ nằm trên đoạn BC.

a) Chứng minh AB→. AH→=AC→.AH→

Chúng ta sẽ biến đổi vế trái của đẳng thức để đi đến vế phải.
Xét hiệu: $vec{AB} \cdot vec{AH} - vec{AC} \cdot vec{AH}$

Áp dụng tính chất giao hoán của tích vô hướng, ta có:
$vec{AB} \cdot vec{AH} = vec{AH} \cdot vec{AB}$
$vec{AC} \cdot vec{AH} = vec{AH} \cdot vec{AC}$

Do đó, hiệu trở thành:
$vec{AH} \cdot vec{AB} - vec{AH} \cdot vec{AC}$

Sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép trừ, ta nhóm $vec{AH}$ làm nhân tử chung:
$vec{AH} \cdot (vec{AB} - vec{AC})$

Ta biết rằng $vec{AB} - vec{AC} = vec{CB}$ (quy tắc trừ vectơ).
Vì vậy, biểu thức trở thành:
$vec{AH} \cdot vec{CB}$

Do AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC (hay CB). Theo định nghĩa tích vô hướng, hai vectơ vuông góc có tích vô hướng bằng 0.
$vec{AH} perp vec{CB} implies vec{AH} \cdot vec{CB} = 0$

Như vậy, chúng ta có:
$vec{AB} \cdot vec{AH} - vec{AC} \cdot vec{AH} = 0$

Chuyển vế, ta được:
$vec{AB} \cdot vec{AH} = vec{AC} \cdot vec{AH}$
Điều phải chứng minh.

Mẹo kiểm tra:
Nếu AH là đường cao, thì hình chiếu của AB lên AH và AC lên AH có độ dài bằng nhau hoặc ngược dấu tùy thuộc vào góc. Tuy nhiên, cách tiếp cận bằng biến đổi tích vô hướng là trực tiếp nhất.

Lỗi hay gặp:

Quên tính chất giao hoán hoặc phân phối của tích vô hướng.
Nhầm lẫn quy tắc trừ vectơ $vec{AB} - vec{AC}$ .
Không nhận ra $vec{AH} \cdot vec{CB} = 0$ do AH là đường cao.

b) Chứng minh AB→ .BC→=HB→. BC→

Tương tự, ta xét hiệu hai vế: $vec{AB} \cdot vec{BC} - vec{HB} \cdot vec{BC}$

Áp dụng tính chất giao hoán, ta có:
$vec{AB} \cdot vec{BC} = vec{BC} \cdot vec{AB}$
$vec{HB} \cdot vec{BC} = vec{BC} \cdot vec{HB}$

Hiệu trở thành:
$vec{BC} \cdot vec{AB} - vec{BC} \cdot vec{HB}$

Sử dụng tính chất phân phối:
$vec{BC} \cdot (vec{AB} - vec{HB})$

Ta có $vec{AB} - vec{HB} = vec{AB} + vec{BH}$ .
Vì H nằm trên đoạn BC, ta có thể viết $vec{AB} + vec{BH} = vec{AH}$ (quy tắc ba điểm hoặc cộng vectơ).

Vậy biểu thức trở thành:
$vec{BC} \cdot vec{AH}$

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, AH vuông góc với BC. Do đó, $vec{AH} \cdot vec{BC} = 0$ .

Suy ra:
$vec{AB} \cdot vec{BC} - vec{HB} \cdot vec{BC} = 0$

Chuyển vế, ta được:
$vec{AB} \cdot vec{BC} = vec{HB} \cdot vec{BC}$
Điều phải chứng minh.

Mẹo kiểm tra:
Trong phần b), chúng ta có thể hình dung tích vô hướng $vec{AB} \cdot vec{BC}$ như là độ dài hình chiếu của AB lên BC nhân với độ dài BC, và tương tự cho $vec{HB} \cdot vec{BC}$ . Việc chứng minh đẳng thức này cho thấy hình chiếu của AB lên BC bằng với độ dài HB.

Lỗi hay gặp:

Sai quy tắc cộng trừ vectơ.
Không nhận ra $vec{AB} + vec{BH} = vec{AH}$ .
Lỗi tương tự phần a) trong việc áp dụng tính chất tích vô hướng.

Đáp Án/Kết Quả

Sau khi thực hiện các bước biến đổi và áp dụng tính chất của tích vô hướng cùng với đặc điểm đường cao trong tam giác nhọn, chúng ta đã chứng minh thành công hai đẳng thức sau:

a) $vec{AB} \cdot vec{AH} = vec{AC} \cdot vec{AH}$

b) $vec{AB} \cdot vec{BC} = vec{HB} \cdot vec{BC}$

Bài toán giải toán 10 bài 6 trang 98 đã được giải quyết bằng phương pháp sử dụng định nghĩa và tính chất của tích vô hướng, cùng với việc khai thác mối quan hệ hình học giữa đường cao và các cạnh của tam giác.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 7, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.