Giải Toán 10: Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn – Hướng Dẫn Chi Tiết Và Bài Tập Minh Họa

by Thầy Đông · January 9, 2026

Rate this post

Tìm hiểu về bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một bước quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, giúp học sinh nắm vững kiến thức về biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ. Bài viết này cung cấp một cái nhìn toàn diện về định nghĩa, cách giải và biểu diễn miền nghiệm của loại bất phương trình này, đặc biệt tập trung vào việc làm rõ các khái niệm cốt lõi để học sinh có thể tự tin chinh phục các dạng bài tập tương tự.

Đề Bài

Bài toán minh họa: Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

a) $2x + y \le 4$
b) $x - 3y > 6$
c) $3x + 2y < 9[/katex]</code>d) <code>[katex]y \ge -2x + 1$

Phân Tích Yêu Cầu

Mỗi bất phương trình trên đều chứa hai ẩn là x và y, với số mũ cao nhất của mỗi ẩn là 1, do đó chúng được gọi là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Yêu cầu của bài toán là chúng ta cần xác định tập hợp tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn mỗi bất phương trình đó, và biểu diễn tập hợp nghiệm này dưới dạng một miền trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Kiến Thức/Nền Tảng Cần Dùng

Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Là bất phương trình có dạng $ax + by \le c$ , $ax + by \ge c$ , $ax + by < c[/katex]</code>, hoặc <code>[katex]ax + by > c$ , trong đó a, b, c là các số thực đã cho, và a, b không đồng thời bằng 0.
Đường thẳng biên: Đối với mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có một đường thẳng biên tương ứng được xác định bằng cách thay dấu bất đẳng thức bởi dấu bằng (=). Ví dụ, với $ax + by \le c$ , đường thẳng biên là $ax + by = c$ .
Biểu diễn miền nghiệm: Miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng, được xác định bởi đường thẳng biên và một điểm thử.
- Nếu bất phương trình có dấu le hoặc ge, đường thẳng biên bao gồm các điểm trên đường đó.
- Nếu bất phương trình có dấu < hoặc >, đường thẳng biên không bao gồm các điểm trên đường đó (thường được biểu diễn bằng nét đứt).
Chọn điểm thử: Chọn một điểm bất kỳ không nằm trên đường thẳng biên (thường là gốc tọa độ O(0, 0) nếu nó không nằm trên đường biên) để kiểm tra xem nó có thỏa mãn bất phương trình hay không.
- Nếu điểm thử thỏa mãn, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm thử đó (bao gồm cả đường biên nếu là dấu le hoặc ge).
- Nếu điểm thử không thỏa mãn, miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại (bao gồm cả đường biên nếu là dấu le hoặc ge).

Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Chúng ta sẽ áp dụng quy trình trên để giải quyết từng phần của bài toán minh họa.

Phần a) $2x + y \le 4$

Bước 1: Xác định đường thẳng biên.
Thay le bằng = ta có phương trình đường thẳng: $2x + y = 4$ .
Bước 2: Vẽ đường thẳng biên.
Để vẽ đường thẳng $2x + y = 4$ , ta tìm hai điểm thuộc đường thẳng này.
- Cho x = 0, ta có y = 4. Điểm thứ nhất là (0, 4).
- Cho y = 0, ta có 2x = 4, suy ra x = 2. Điểm thứ hai là (2, 0).
  Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0, 4) và (2, 0). Vì bất phương trình có dấu le, ta vẽ đường thẳng này bằng nét liền.
Bước 3: Chọn điểm thử và xác định miền nghiệm.
Chọn gốc tọa độ O(0, 0) làm điểm thử (vì O không nằm trên đường thẳng $2x + y = 4$ ). Thay tọa độ O(0, 0) vào bất phương trình:
$2(0) + 0 \le 4$
$0 \le 4$ (Đúng)
Vì điểm O(0, 0) thỏa mãn bất phương trình, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bao gồm cả đường thẳng biên $2x + y = 4$ .

Phần b) $x - 3y > 6$

Bước 1: Xác định đường thẳng biên.
Thay > bằng = ta có phương trình đường thẳng: $x - 3y = 6$ .
Bước 2: Vẽ đường thẳng biên.
Tìm hai điểm thuộc đường thẳng $x - 3y = 6$ :
- Cho x = 0, ta có -3y = 6, suy ra y = -2. Điểm thứ nhất là (0, -2).
- Cho y = 0, ta có x = 6. Điểm thứ hai là (6, 0).
  Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0, -2) và (6, 0). Vì bất phương trình có dấu >, ta vẽ đường thẳng này bằng nét đứt.
Bước 3: Chọn điểm thử và xác định miền nghiệm.
Chọn gốc tọa độ O(0, 0) làm điểm thử. Thay tọa độ O(0, 0) vào bất phương trình:
$0 - 3(0) > 6$
$0 > 6$ (Sai)
Vì điểm O(0, 0) không thỏa mãn bất phương trình, miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại, không chứa gốc tọa độ. Đường thẳng biên được vẽ bằng nét đứt, nghĩa là các điểm trên đường thẳng này không thuộc miền nghiệm.

Phần c) $3x + 2y < 9[/katex]</code></strong></p> <ul> <li><strong>Bước 1: Xác định đường thẳng biên.</strong>Phương trình đường thẳng biên là: <code>[katex]3x + 2y = 9$ .

Bước 2: Vẽ đường thẳng biên.
Tìm hai điểm:

Cho x = 0, ta có 2y = 9, suy ra y = 4.5. Điểm thứ nhất là (0, 4.5).
Cho y = 0, ta có 3x = 9, suy ra x = 3. Điểm thứ hai là (3, 0).
Vẽ đường thẳng đi qua (0, 4.5) và (3, 0) bằng nét đứt vì dấu bất phương trình là <.

Bước 3: Chọn điểm thử và xác định miền nghiệm.
Chọn điểm thử O(0, 0). Thay tọa độ vào bất phương trình:

 $3(0) + 2(0) < 9[/katex]</code><code>[katex]0 < 9[/katex]</code> (Đúng)Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, không bao gồm đường thẳng biên.</li> </ul> <p><strong>Phần d) <code>[katex]y \ge -2x + 1$

Bước 1: Xác định đường thẳng biên.
Phương trình đường thẳng biên là: $y = -2x + 1$ .
Bước 2: Vẽ đường thẳng biên.
Tìm hai điểm:
- Cho x = 0, ta có y = 1. Điểm thứ nhất là (0, 1).
- Cho x = 1, ta có y = -2(1) + 1 = -1. Điểm thứ hai là (1, -1).
  Vẽ đường thẳng đi qua (0, 1) và (1, -1) bằng nét liền vì dấu bất phương trình là ge.
Bước 3: Chọn điểm thử và xác định miền nghiệm.
Chọn điểm thử O(0, 0). Thay tọa độ vào bất phương trình:
$0 \ge -2(0) + 1$
$0 \ge 1$ (Sai)
Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, bao gồm cả đường thẳng biên.

Mẹo kiểm tra

Sau khi xác định được miền nghiệm, bạn có thể chọn một điểm bất kỳ trong miền đó và thay vào bất phương trình gốc để kiểm tra lại. Nếu kết quả đúng, miền nghiệm của bạn là chính xác.

Lỗi hay gặp

Nhầm lẫn giữa dấu le, ge và <, >: Điều này dẫn đến việc vẽ đường thẳng biên sai (liền nét thay vì đứt hoặc ngược lại).
Chọn điểm thử nằm trên đường biên: Điểm này không giúp xác định đúng miền nghiệm vì nó thuộc cả hai nửa mặt phẳng.
Quên việc biểu diễn miền nghiệm: Chỉ dừng lại ở việc xác định tập nghiệm mà không vẽ lên mặt phẳng tọa độ.

Đáp Án/Kết Quả

Tóm lại, miền nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như sau:

a) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, bao gồm cả đường thẳng $2x + y = 4$ (nét liền).
b) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, không bao gồm đường thẳng $x - 3y = 6$ (nét đứt).
c) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ, không bao gồm đường thẳng $3x + 2y = 9$ (nét đứt).
d) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, bao gồm cả đường thẳng $y = -2x + 1$ (nét liền).

Việc nắm vững cách biểu diễn bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ là kỹ năng cơ bản nhưng vô cùng quan trọng, giúp các em học sinh tiếp cận hiệu quả các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán lớp 10 và các cấp học tiếp theo.

Ngày chỉnh sửa nội dung mới nhất January 9, 2026 by Thầy Đông

Thầy Đông

Thầy Đông – Giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội, giáo viên luyện thi THPT
Thầy Đông bắt đầu sự nghiệp tại một trường THPT ở quê nhà, sau đó trúng tuyển giảng viên Đại học Công nghiệp Hà Nội nhờ chuyên môn vững và kinh nghiệm giảng dạy thực tế. Với nhiều năm đồng hành cùng học sinh, thầy được biết đến bởi phong cách giảng dạy rõ ràng, dễ hiểu và gần gũi. Hiện thầy giảng dạy tại dehocsinhgioi, tiếp tục truyền cảm hứng học tập cho học sinh cấp 3 thông qua các bài giảng súc tích, thực tiễn và giàu nhiệt huyết.